AULA 6 - CIRCUNFERENCIA

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR
Aula 6
Prof. Baggio
Circunferência
A imagem de um ponto circundado por infinitos 
outros, todos a mesma distância dele, é o que 
chamamos de circunferência. 
Logo, a circunferência é o conjunto de todos os 
pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo 
chamado de centro e a distancia constante é 
denominada raio da circunferência.
Circunferência
Centro: C(𝑥𝑐 , 𝑦𝑐)
Raio : r
Ponto P(x,y)
- Equação reduzida da circunferência
(𝒙 − 𝒙𝒄)
𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝒄)
𝟐 = 𝒓𝟐
C
0
r
P(x,y)
x
y
𝑦𝑐
𝑥𝑐
r
r
𝑥
𝑦
Circunferência
Quando o centro da circunferência esta na origem 
dos eixos cartesianos, ou seja, 𝒙𝒄 = 𝒚𝒄 = 0, a 
equação da circunferência é:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
- Equação geral da circunferência
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐–2𝒙𝒄x–2𝒚𝒄y+(𝒙𝒄
𝟐+𝒚𝒄
𝟐 − 𝒓𝟐)=0
Circunferência
Exemplo 1: Determinar o centro e o raio da 
circunferência dada por 𝑥2 + 𝑦2 = 25.
Centro: (0,0)
Raio: 5
Exemplo 2: Determinar o centro e o raio da 
circunferência dada por (𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 1)2 = 5.
Centro: ( 1, -1)
Raio: 5
Circunferência
Exemplo 3: Encontre a equação reduzida da circunferência 
que tem diâmetro PQ, com P(-1,-3) e Q(3,1).
O centro é o ponto médio entre os dois pontos do diâmetro, 
logo:
C=
(−1+3)
2
,
(−3+1)
2
= C = 1, −1
r =
1
2
𝑑𝑃𝑄 =
1
2
(3 + 1)2+(1 + 3)2=
1
2
16 + 16 = 
1
2
32 =
4 2
2
∴ 𝐫 = 𝟐 𝟐
r2= (2 2 )2 ∴ 𝐫𝟐 = 𝟖
(𝒙 − 𝟏)𝟐+(𝒚 + 𝟏)𝟐= 𝟖
Circunferência
Exemplo 4: Determine a equação da circunferência 
com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto 
P(2,3).
Pela figura, r=d(P,A).Então:
d(P,A)= (2 − 1)2+(3 + 2)2=
r = 26
(𝒙 − 𝒙𝒄)
𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝒄)
𝟐 = 𝒓𝟐
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = ( 26 ) 2
(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 26 ou
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟐𝟏 = 𝟎
P
A
y
x
-2
r
2
3
1
0
Circunferência
A equação geral não nos permite identificar o raio 
nem o centro, porém existe dois métodos que 
podem ser utilizados para obter o centro e o raio:
1º - método de completar os quadrados;
2º - método da comparação.
Circunferência
1º método de completar os quadrados-
Nesse método o objetivo é obter os quadrados 
perfeitos (𝑥 − 𝑥𝑐)
2 𝑒 (𝑦 − 𝑦𝑐)
2.
2º método da comparação –
Nesse método o objetivo é comparar os coeficientes 
dos termos da equação dada e da teórica.
Circunferência
Exemplo 5: Dada a equação 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 23 = 0,
determinar o centro e o raio dessa circunferência.
𝑥2 − 6𝑥 +𝑦2 −4𝑦 = 23
𝑥2 − 6𝑥 +9 + 𝑦2 −4𝑦 + 4 = 23+9+4
(𝑥 − 3)2+(𝑦 − 2)2= 36, logo, r= 6 e C(3,2)
Circunferência
Exemplo 6 – Dada a equação 𝑥2 +𝑦2 −2𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0, determinar 
o centro e o raio da circunferência.
1º método-
𝑥2 − 2𝑥 +𝑦2 +4𝑦 = 4
𝑥2 − 2𝑥 + 1 +𝑦2 +4𝑦 + 4 = 4+1+4
(𝑥 − 1)2+(𝑦 + 2)2= 9, logo, r= 3 e C(1,-2)
2º método-
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐–2𝒙𝒄x–2𝒚𝒄y+(𝒙𝒄
𝟐+𝒚𝒄
𝟐 − 𝒓𝟐)= 𝑥2 +𝑦2 −2𝑥 + 4𝑦 − 4
–2𝑥𝑐x= −2𝑥 ∴ 𝑥𝑐=1
–2𝑦𝑐y= 4𝑦 ∴ 𝑦𝑐= -2
(𝑥𝑐
2+𝑦𝑐
2 − 𝑟2)= -4 ⇒12 + (−2)2−𝑟2=-4 ⇒1+4-𝑟2=-4 ⇒ 𝑟2=9 ∴
r=3, 
logo, r= 3 e C(1,-2)
Circunferência
Condições de existência -
Nem sempre uma equação da forma 
𝐴𝑥2 +𝐵𝑦2 +𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + Ey + F = 0, com coeficientes 
reais, representa uma circunferência. Para que ela 
represente uma circunferência é necessário que sejam 
atendidas três condições:
1ª condição: A=B≠0, ou seja o coeficiente de 𝒙𝟐 = 𝒚𝟐
2ª condição: C=0, ou seja, não pode existir o produto xy
3ª condição: 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑨𝑭 > 𝟎, ou seja, r tem que 
ser positivo, portanto um número real positivo.
Circunferência
Exemplo 7 – Verifique se a equação 𝑥2 +𝑦2 −4𝑥 −
8𝑦 + 19 = 0, representa uma circunferência.
1ª condição: A=B ≠0 ⇒ A=B=1;
2ª condição: C=0, ∄ coeficiente do produto xy.
3ª condição: 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 > 0
(−4)2+(−8)2−4.1.19 > 0
16 + 64 - 76 = 4
4 > 0,
Logo, a equação representa uma circunferência.
Circunferência
Posição de um ponto em relação a uma circunferência-
Dados um ponto P(𝑥𝑝, 𝑦𝑝) e uma circunferência 𝜆 de 
equação: (𝒙 − 𝒙𝒄)
𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝒄)
𝟐 = 𝒓𝟐, verificar qual é a 
posição do ponto P em relação à circunferência 𝜆.
São possíveis três casos:
1º caso: P 𝝐 𝝀, logo a distância do ponto ao centro da 
circunferência é igual à medida do raio.
d(PC) = r
C
P
Circunferência
2º caso: P é interior a 𝝀, logo a distância do ponto ao 
centro da circunferência é menor do que a medida do 
raio.
3º caso: P é exterior a 𝝀, logo a distância do ponto ao 
centro da circunferência é maior do que a medida do raio.
C
P
C
P
d(PC) < r
d(PC) > r
Circunferência
Exemplo:
Determinar a posição do ponto P(3,4) em relação a 𝝀: 
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 =9
- Determino as coordenadas do centro e o raio de 𝝀
C(2,3) e r = 3
- Calculo a distância de P a C
(3 − 2)2+(4 − 3)2 = 𝟐
Logo, 2 < 3, então P é interior a 𝝀
Circunferência
Posição de uma reta em relação a uma circunferência-
Dadas uma reta s: ax+by+c=0 e uma circunferência 𝝀: 
(𝒙 − 𝒙𝒄)
𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝒄)
𝟐 = 𝒓𝟐, verificar qual é a posição da 
reta s em relação a 𝝀.
São possíveis três casos:
1º caso: s é tangente a 𝝀, logo, a distância do centro à 
reta é igual à medida do raio. 
C
s
d(C,r) = r
Circunferência
2º caso: s é secante a 𝝀, logo, a distância do centro à 
reta é menor do que a medida do raio. 
3º caso: s é exterior a 𝝀, logo, a distância do centro 
à reta é maior do que a medida do raio. 
C
s
d(C,r) < r
C
s
d(C,r) > r
Circunferência
Exemplo:
Verifique a posição da reta s: 3x+4y-8=0 em relação à 
circunferência (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 =9
C(2,3) 
r = 3
d(C,s) = 
𝑎𝑥𝑝+𝑏𝑦𝑝+𝑐
𝑎2+𝑏2
= 
3.2+4.3−8
32+42
= 2
Sendo, d(C,s) = 2 e r=3, logo,
d(C,s)<r⇒ 2<3, então a reta é secante à circunferência