Analítica Circunferência Equação

Prévia do material em texto

PROF: Wagner Lucas (∑ 𝑺) 
 COLÉGIO “TENENTE RÊGO BARROS” 
(∑ 𝑺) PROFESSOR: WAGNER LUCAS® 
 
 Circunferência 
 
 
 
 
 É um conjunto dos pontos de um plano cuja 
distância a um ponto dado desse plano é igual a uma 
distância (não nula) dada. O ponto dado é o centro, e a 
distância dada é o raio da circunferência. 
 
Definição2: circunferência é “o lugar geométrico (L.G) dos 
pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado 
centro. 
 
 
Dado a circunferência 𝜆 de centro 𝐶(𝑎, 𝑏) e raio 𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) pertence a 𝜆 se, e somente se, a 
distância 𝑃𝐶 é igual ao raio 𝑟. 
 
𝑃 ∈ 𝜆 ⇔ 𝑃𝐶 = 𝑟 
 
 
 
 
 Chama-se equação da circunferência aquela que é 
satisfeita exclusivamente pelos pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) pertencente 
à curva. 
 Para deduzirmos a equação da circunferência 𝜆 , 
notemos que, dado um ponto genérico 𝑃 ∈ 𝜆 a distância do 
centro C ao ponto 𝑃 é igual ao raio. (𝑃𝐶 = 𝑟). Assim temos: 
 
𝑃 ∈ 𝜆 ⇔ 𝑃𝐶 = 𝑟 ⇔ √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, temos a equação reduzida da circunferência: 
 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 (𝐼) 
 
Portanto, por exemplo, podemos escrever a equação 
reduzida das circunferências abaixo, sabendo seus centros e 
seus raios: 
 
a) 𝜆1: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶(2, 5) 𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑟 = 3 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 9 
 
b) 𝜆2: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶(−3, −6) 𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑟 = 4 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 6)2 = 16 
 
c) 𝜆3: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶(0,0) 𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑟 = 5 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 
 
Exemplo: 
 Determine a equação reduzida nos casos abaixo: 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) Centro: 𝐶(−2, −3) e raio: 𝑟 = 4 
 
 
d) Centro: 𝐶(1, −3) e raio: 𝑟 = 3 
 
 
e) Qual é a equação da circunferência de centro 𝐶(2, −1) 
que passa pelo ponto 𝑃(3, 3)? 
 
f) Qual é a equação da circunferência de centro 𝐶(−2, 5) 
que é tangente ao eixo dos 𝑦? 
 
Circunferência (Definição) 
Equação Reduzida da Circunferência 
PROF: Wagner Lucas (∑ 𝑺) 
 
 
 
Para obtermos a equação Normal da circunferência, basta 
desenvolvermos a equação reduzida ( 𝐼 ) que obtemos: 
 
(𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2) + (𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2) = 𝑟2 
𝑡𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2 
𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + ( 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2) = 0 (𝐼𝐼) 
 
 A equação (II) é chamada Equação Normal da 
Circunferência e podemos escrevê-la na forma: 
 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 (𝐼𝐼𝐼) 
Onde: 
𝐸 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 𝑒 ⇒ 𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝐸(𝐼𝑉) 
 
Assim, comparando (II) e (III) temos: 
𝐶 = −2𝑎 ⇒ 𝑎 = −
𝐶
2
 (𝑉) 
 
𝐷 = −2𝑏 ⇒ 𝑏 = −
𝐷
2
 (𝑉𝐼) 
 
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑠. (𝑉) 𝑒 (𝑉𝐼) 𝑛𝑎 (𝐼𝑉)𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 𝑟2 = (−
𝐶
2
)
2
+ (−
𝐷
2
)
2
− 𝐸 ⇒ 
⇒ 𝑟2 =
𝐶
4
2
+ 
𝐷
4
2
− 𝐸 ⇒ 
 
⇒ 4𝑟2 = 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 ⇒ 
Daí temos as seguintes Possibilidades: 
 
i) 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 > 0. Nesse caso, a equação representa 
uma circunferência de centro 𝐶(𝑎, 𝑏) com: 
𝑎 = −
𝐶
2
, 𝑏 = −
𝐷
2
 e 𝑟 = 
√𝐶2+𝐷2−4𝐸
2
 
ii) 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 = 0. Nesse caso, a equação apresenta o 
ponto: 
𝐶(−
𝐶
2
, − 
𝐷
2
) 
iii) 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 < 0. Para esse caso, a equação não será 
satisfeita por nenhum ponto no plano. 
 
Portanto, no exemplo, a equação: 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 
Representa uma circunferência de centro (1, -1) e raio r =3, 
pois a equação equivale a (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo1: Quais das equações abaixo representa uma 
circunferência? 
a) 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑥 − 8𝑦 − 2 = 0 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 + 8𝑦 + 2𝑦 − 7 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 15 = 0 
d) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 
e) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 
 
𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎: 
a) A equação da letra “a” não representa uma 
circunferência, pois os coeficientes 𝐴 = 1 𝑒 𝐵 = 2 de 
𝑥2𝑒 𝑦2são diferentes. 
b) A equação da letra “b” não representa uma 
circunferência, porque existe um termo misto 𝑥𝑦. 
c) A equação da letra “c” não representa uma 
circunferência, porque como 𝐶(−2, 3) e 𝐸 = 15 e 
 𝐴 = 𝐵 = 1 podemos aplicar: 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐸 
temos: 𝑟 = √(−2)2 + 32 − 15 = √13 − 15 = √−2 
(O raio seria um número complexo.) 
d) A equação da letra “d” não representa uma 
circunferência, pois como 𝐶(1, 1) e 𝐸 = 2 e 
 𝐴 = 𝐵 = 1 podemos aplicar: 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐸 
Assim: 𝑟 = √12 + 12 − 2 = √2 − 2 = √0 = 0 
(O raio seria nulo.) 
e) A equação da letra “e” representa uma circunferência, 
pois desde que, 𝐴 = 𝐵 = 1 como 𝐶(2, 3) e 𝐸 = −3 e 
 podemos aplicar: 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐸 
Assim: 𝑟 = √22 + 32 − 3 = √13 − 3 = √10 
(O raio real positivo.) 
Exemplo2: Encontre as coordenadas do centro e o raio da 
circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜: 
Basta aplicarmos: 
𝐶(−
𝐶
2
, − 
𝐷
2
) 
𝐶 (−
(−2)
2
, − 
1
2
) = (1, −
1
2
) = 𝐶 (1, −
1
2
) 
 Para o raio aplicamos: 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐸 
𝑟 = √12 + (−
1
2
)
2
− 1 = √1 +
1
4
− 1 =
1
2
 
 
Portanto o centro é igual 𝐶 (1, −
1
2
) e o raio é 
1
2
 
 
Equação Normal da Circunferência 
Anotações: 
OBS1: Para que uma equação do tipo 
 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 
Seja a equação de uma circunferência temos que: 
𝐴 = 𝐵 ≠ 0, 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 > 0 
 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑥𝑦 𝑒; 
𝑟 = 
√𝐶2+𝐷2−4𝐸
2
 for real positive. Quando a equação 
tiver 𝐴 = 𝐵 = 1, podemos calcular o raio por: 
 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐸 
PROF: Wagner Lucas (∑ 𝑺) 
 
 
 
1. (UFC- CE) O segmento que une os pontos de intersecção 
da reta 2𝑥 + 𝑦 – 4 = 0 com os eixos coordenados 
determina um diâmetro de uma circunferência. A equação 
dessa circunferência é: 
 a) (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² = 5 
 b) (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² = 20 
 c) (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² = 25 
 d) (𝑥 + 1)² + (𝑦 + 2)² = 5 
 e) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)² = 20 
 
2. A circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 – 4𝑥 + 6𝑦 +
12 = 0 tem todos os seus pontos situados: 
a) No primeiro quadrante. 
b) No segundo quadrante. 
c) No terceiro quadrante. 
d) No quarto quadrante. 
e) Em dois quadrantes distintos. 
3. (PUC-08) O comprimento da curva de equação 
 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 – 9 = 0 é: 
 a) -1 
 b) 3 
 c) 𝜋 
 d) 3𝜋 
 e) 6𝜋 
4. A área da circunferência de equação x2+y2 -2x +8y +8= 0 é: 
a) 3𝜋 
b) 5𝜋 
c) 9𝜋 
d) 15𝜋 
e) 25𝜋 
5. (EEAR-2016) Para que a circunferência 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 −
𝑚𝑥 − 4𝑦 − 𝑐 = 0 tenha centro 𝐶(1, 2) e raio 𝑅 = 5, os 
valores de 𝑚 𝑒 𝑐 são respectivamente: 
a) −1 𝑒 − 10 
b) −2 𝑒 25 
c) 1 𝑒 − 20 
d) 2 𝑒 20 
 
6. (EsSA-2017) A equação da circunferência de centro (1, 2) 
e raio 3 é: 
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 14 = 0 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 
d) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 14 = 0 
e) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 14 = 0 
7.(EEAR-2017) Seja (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 6)2 = 25 a equação 
reduzida de uma circunferência de centro 𝐶(𝑎, 𝑏) e raio 𝑅. 
Assim, 𝑎 + 𝑏 + 𝑅 é igual a: 
a) 18 
b) 15 
c) 12 
d) 9 
 
8.(EsSA-2013) Dado que a equação da circunferência é: 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2, sendo (𝑎, 𝑏) as coordenadas do 
centro e 𝑟 a medida do raio, identifique a equação geral da 
circunferência de centro (2, 3) e raio igual a 5. 
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 25 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥𝑦 − 12 = 0 
c) 𝑥2 − 4𝑥 = 16 
d) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0 
e) 𝑦2 − 6𝑦 = −9 
9. (EEAR-2006) Se a circunferência de equação 𝑥2 + 𝑏𝑦2 +
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑘 = 0 tem centro 𝐶(1, −3) e raio √3,então 𝑏 +
𝑐 + 𝑑 + 𝑘 é igual a: 
a) 12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
 
10. Qual a equação da circunferência que passa 
𝐴(4,2), 𝐵(−1,1) 𝑒 𝐷(1,1)? 
a) (𝑥 –
3
2
)² + (𝑦 – 
3
2
)² = 
13
2
 
b) (𝑥 –
5
2
)² + (𝑦 – 
3
2
)² = 
1
2
 
c) (𝑥 –
3
2
)² + (𝑦 – 
5
2
)² = 
13
3
 
d) (𝑥 –
3
2
)² + (𝑦 + 
3
2
)² = 
11
2
 
 
Exercícios