04reta_no_espaco

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UNIDADE V – A RETA EM
3
 
Professora – Simone Leal Schwertl 
1 
A RETA 
 
1.1.Equação Vetorial da Reta 
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a direção de um vetor não nulo 
.

v
 Para que um 
ponto P do espaço pertença à reta r, é necessário e suficiente que os vetores 
veAP 
 sejam 
colineares, isto é: 
 
 
 
 vtAPouvtAP ),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyxouvtAPou 
 se 
).,,( ),,( );,,( 111 cbavezyxAzyxP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O vetor 
),,( cbav 
 é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. É fácil 
verificar que cada valor de t corresponde um ponto particular P: quando t varia de 
 a
, 
o ponto P descreve a reta r. 
 
Exemplo: 

 Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a 
direção do vetor 
.22

 kjiv
 
 
 
1.2.Equações Paramétricas da Reta 
 
 Sejam 
),,,0(

kji
 um sistema de coordenadas, 
),,( ),,( 111 zyxAezyxP
 um ponto genérico e 
um ponto dado, respectivamente, da reta r, e 
 kcjbiav
 um vetor de mesma direção de r. 
 
Da equação vetorial da reta r: 
,

 vtAP
 ou 
),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyx 
 ou, ainda: 
 









ctzz
btyy
atxx
vemctzbtyatxzyx
1
1
1
11 : ),,(),,(
 
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As equações, nas quais a, b e c não são todos nulos (
0

v
) são denominadas equações 
paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas fixado. 
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas 
quando t varia de 
.  a
 
 
 
Exemplo: 

 Determine as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é 
paralela ao vetor 
).1,2,3( 

v
 
 
 
1.3.Reta Definida por Dois Pontos 
 
A reta definida pelos pontos 
),,( ),,( 222111 zyxBezyxA
é a reta que passa pelo ponto A (ou B) 
e tem a direção do vetor 
).,,( 121212 zzyyxxABv 
 
 
 
Exemplo: 

Determine as equações da reta r que passam pelos pontos A(1,-2,-3) e B(3,1,-4). 
 
 
1.4.Equações Simétricas da Reta 
Das equações paramétricas 








ctzz
btyy
atxx
1
1
1
 , supondo 
,0abc
vem: 
c
zz
t
b
yy
t
a
xx
t
1
1
1






 , logo: 
.111
c
zz
b
yy
a
xx 




 
 
Estas equações são denominadas equações simétricas ou normais de uma reta que passa por um 
ponto 
 ),,( 111 zyxA
e tem a direção do vetor 
),,( cbav 
 . 
 
 
Exemplo: 

Determinar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a 
direção do vetor 
.22

 kjiv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4.1. Condição para que três pontos estejam em linha reta 
 
 A condição para que três pontos 
),,( ),,(),,,( 333322221111 zyxAezyxAzyxA
 estejam em linha 
reta é que os vetores 
21AA
 e 
31AA
 sejam colineares, isto é: 
3121 AAAA m


, para algum 
m
 ou 
.
13
12
13
12
13
12
zz
zz
yy
yy
xx
xx








 
 
1.5.Equações Reduzidas da Reta 
 
Às equações simétricas da reta 
c
zz
b
yy
a
xx 111 



 pode-se dar outra forma, isolando as 
variáveis y e z e expressando-as em função de x. 
Assim 


b
yy 1
a
xx 1  nmxy 
 e 
c
zz 1
=
a
xx 1 qpxz 
. 
 
Estas, são as equações reduzidas da reta 
 
 
Exemplo: 

Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A(2,1,-3) e 
B(4,0,-2). 
 
 
1.6.Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados 
 
Vimos que as equações 








ctzz
btyy
atxx
1
1
1
 , ou as equações 
c
zz
b
yy
a
xx 111 



 representam 
uma reta r determinada por um ponto 
 ),,( 111 zyxA
e por um vetor diretor 
),,( cbav 
 . Até 
agora, supôs-se que as componentes do vetor são diferentes de zero. Entretanto, uma ou duas 
destas componentes podem ser nulas. Então, temos dois casos: 
 

1º) Uma só das componentes de 
v
é nula. 
 
 Neste caso, o vetor 
v
é ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r é paralela 
ao plano dos outros eixos. Assim: 
a) Se 
yOzrOxcbva //),,0( ,0 
 
As equações de r ficam: 









c
zz
b
yy
xx
11
1 nas quais se verifica que, das coordenadas (x, y, z) 
de um ponto genérico P da reta r, variam somente y e z, conservando-se x = x1 constante. Isto 
significa que a reta r se acha num plano paralelo ao plano coordenado y0z. 
 
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b) Se 
xOzrOycavb //),0,(,0 
 
As equações de r ficam: 









c
zz
a
xx
yy
11
1 . Das coordenadas de um ponto genérico P(x, y, 
z) da reta r variam somente x e z, conservando-se y = y1 constante. A reta r se acha num 
plano paralelo ao plano xOz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Se 
yxrzbavc 0//0)0,,(,0 
 
As equações de r ficam: 









b
yy
a
xx
zz
11
1 . Das coordenadas de um ponto genérico P(x, y, z) 
da reta r variam somente x e y, conservando-se z = z1 constante. A reta r se acha num plano 
paralelo ao plano xOy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2º) Duas das componentes de 
v
 são nulas. 
 
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 Neste caso, o vetor 
v
 tem a direção de um dos vetores 
)1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( 

koujoui
 e, portanto, a reta r é paralela ao eixo que tem a 
direção de 
. 

kdeoujdeoui
 
Assim: 
 
a) Se 
zrkcvba 0// // ),0,0( ,0 
 
As equações de r ficam: 








ctzz
yy
xx
1
1
1
. Costuma-se dizer, simplesmente, que as equações da reta r 
são:





1
1
yy
xx subentendendo-se z variável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se 
yrjbvca 0//// )0,,0( ,0 
 
As equações de r ficam: 








1
1
1
zz
btyy
xx
,ou simplesmente: 





1
1
zz
xx , 
subentendendo-se y variável. 
 
 
 
 
 
 
c) Se 
xriavcb 0////)0,0,( ,0 
 
As equações de r ficam: 








1
1
1
zz
yy
atxx
 ou, simplesmente, 
,
1
1





zz
yy 
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subentendendo-se x variável. 
 
 
 
Observação: Os eixos 0x, 0y e 0z são retas particulares. Assim o eixo 0x é uma reta que passa pela 
origem O(0,0,0) e tem a direção do vetor 
).0,0,1(

i
Logo, suas equações são: 





.0
0
z
y
 
De forma análoga, as equações do eixo 0y são: 





0
0
z
x
 e as equações do eixo 0z são: 





.0
0
y
x
 
 
 
1.7.Ângulo de duas retas 
 Sejam asretas r1, que passa pelo ponto 
),,( 1111 zyxA
e tem direção de um vetor 
),,( 1111 cbav 
 , 
e r2 , que passa pelo ponto 
),,( 2222 zyxA
e tem a direção de um vetor 
),,( 2222 cbav 
 . 
 Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor 
diretor de r2. Logo, sendo  este ângulo, tem-se .
2
0 ,
.
.
cos
21
21 
 


com
vv
vv
 
ou, em coordenadas: 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.
cos
cbacba
ccbbaa



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Na figura, o ângulo 
, sup edelementaré 
portanto, 
.coscos   O ângulo  
é o ângulo formado por 
. 2121

 vevouvev
 
 
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Exemplo: 

Calcular o ângulo entre as retas 





















tz
ty
tx
r
zyx
r
21
3
:
11
3
2
2
:
1
2
 
 
 
 
 
1.8.Condição de Paralelismo de duas retas 
A condição de paralelismo das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores ),,( 1111 cbav  e 
),,( 2222 cbav 
 , que definem as direções dessas retas, isto é: 
 21 vmv
 ou 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a

 
 
Exemplo: 

 Verifique se a reta r1, que passa pelos pontos A1 (-3,4,2) e B1 (5,-2,4), e a reta r2 , 
que passa pelos pontos A2 (-1,2,-3) e B2 (-5,5,-4), são paralelas. 
 
 
 
Observações: 

 I) Seja uma reta r1, que passa por um ponto 
),,( 1111 zyxA
 e tem a direção de 
um vetor 
),,( 1111 cbav 
 , expressa pelas equações: 
1
1
1
1
1
1
c
zz
b
yy
a
xx 




. Qualquer reta r2, 
paralela à reta r1, tem parâmetros diretores a2, b2, c2 proporcionais aos parâmetros diretores a1, b1, c1 
de r1. Em particular, a1, b1, c1, são parâmetros diretores de qualquer reta paralela à reta r1. Nestas 
condições, se 
),,( 2222 zyxA
 é um ponto qualquer do espaço, as equações da paralela à reta r1, que 
passa por A2 , são: 
1
2
1
2
1
2
c
zz
b
yy
a
xx 




. 
 
 

 II) Se as retas r1 e r2 forem expressas, respectivamente, pelas equações reduzidas: 
 
,: :
22
22
2
11
11
1










qxpz
nxmy
re
qxpz
nxmy
r
cujas direções são dadas, respectivamente pelos 
vetores:
),,,1( ),,1( 222111 pmvepmv 
 a condição de paralelismo permite escrever: 
2
1
2
1
1
1
p
p
m
m

 ou 
. 2121 ppemm 
 
 
 
 
1.9.Condição de Ortogonalidade de duas retas 
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 A condição de ortogonalidade da retas r1 e r2 é a mesma dos vetores ),,( 1111 cbav  e 
),,( 2222 cbav 
 que definem as direções dessas retas, isto é: 
0 0. 21212121 

ccbbaaouvv
 
 
 
 
Exemplo: As retas 
4
3
5
1
3
: 
6
1
8
3
3
: 21













zyx
rezx
y
r
 são ortogonais. De fato: 
 I) A direção de r1 é dada pelo vetor );6,0,8(1 v 
 II) A direção de r2 é dada pelo vetor );4,5,3(2 v 
 III) A condição de ortogonalidade de duas retas é: 
0 212121  ccbbaa
 e, neste caso: 
 
0240244)6(5038  xxx
,o que prova serem ortogonais as retas 
r1 e r2. 
 
Observação: Uma reta r, cujo vetor diretor 
v
é ortogonal (ou normal) a um plano 

, é ortogonal a 
qualquer reta contida nesse plano. Assim, existem infinitas retas que passam por um ponto A 

e 
são ortogonais à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.10. Condição de Coplanaridade de duas retas 
A reta r1, que passa por um ponto 
),,( 1111 zyxA
 e tem a direção de um vetor 
),,( 1111 cbav 
 , e a 
reta r2, que passa por um ponto 
),,( 2222 zyxA
 e tem a direção de um vetor 
),,( 2222 cbav 
 , são 
coplanares se os vetores 
2121 , AAevv
 forem coplanares, isto é, se for nulo o produto misto 
(

2121 , AAevv
) 
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9 
 
0),,(
121212
222
111
2121 



zzyyxx
cba
cba
AAvv
 
 
1.11. Posições Relativas de duas retas 
 
Duas retas r1 e r2, no espaço, podem ser: 
a) coplanares, isto é, situadas no mesmo plano. Neste caso, as retas poderão ser: 
 
I) concorrentes: 
}1{21  rr
(I é o ponto de intersecção das retas r1 e r2); 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) paralelas: 
 21 rr
 (

 é o conjunto vazio) 
 
 
 
 
 
 
 
(0 caso de serem r1 e r2 coincidentes pode ser considerado como um caso particular de paralelismo.) 
 
b) reversas, isto é, não situadas no mesmo plano. Nesse caso: 
.21  rr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: A igualdade 
0),,( 2121 

AAvv
 é a condição de coplanaridade de duas retas r1 e r2 
que passam, respectivamente, pelos pontos A1 e A2, e têm por vetores diretores os vetores 
21 ,vv
: 
 
a) se r1 e r2 forem paralelas, serão coplanares, isto é: 0),,( 2121  AAvv , pois duas linhas do 
determinante utilizado para calcular 
),,( 2121

AAvv
 apresentam elementos proporcionais 
);( 21

 vkv
 
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b) se r1 e r2 não forem paralelas, a igualdade 0),,( 2121  AAvv exprime a condição de 
concorrência dessas retas; 
 
c) se o determinante utilizado para calcular 
),,( 2121

AAvv
for diferente de zero, as retas r1 e r2 são 
reversas. 
 
1.12. Intersecção de duas retas 
 
Duas retas r1 e r2 coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas: 













tz
ty
tx
re
xz
xy
r
2
21: 
13
23
: 21
 e determinemos o seu ponto de intersecção. Se I(x,y,z) é este 
ponto, suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r1 e r2, isto é, I(x,y,z) é a 
solução do sistema: 













tz
ty
tx
xz
xy
2
21
13
23
 
. Eliminando t nas três últimas equações, temos o sistema equivalente 











xz
xy
xz
xy
2
21
13
23
 . Resolvendo o sistema, encontramos: 
.
2
1
1








z
y
x
 Logo, o ponto de 
intersecção das retas r1 e r2 é: I(1,-1,2). 
 
1.13. Reta Ortogonal a duas retas 
Sejam as retas r1 e r2, não paralelas, com as direções dos vetores ),,( 1111 cbav  e 
),,( 2222 cbav 
 , respectivamente. Qualquer reta r, simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2, terá 
um vetor diretor paralelo ou igual ao vetor 
.21

vxv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 
Nas condições dadas, uma reta r estará bem definida quando se conhece um de seus pontos. 
 
Observação: Se as retas r1 e r2 são paralelas, existem infinitas retas que passam por um ponto A e 
são ortogonais ao mesmo tempo a elas.EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1ª) Verificar se os pontos P1 (5,-5,6) e P2 (4,-1,12) pertencem à reta 
2
2
2
1
1
3
:






 zyx
r
 
 
2ª) Determinar o ponto da reta 








tz
ty
tx
r
21
3
2
:
 que tem abscissa 4. 
 
3ª) Determinar “m” e “n” para que o ponto P (3,m,n) pertença à reta 








tz
ty
tx
s
4
3
21
:
 
 
4ª) Determinar os pontos da reta 
21
1
2
3
:





 zyx
r
 que têm : 
4.1.) abscissa 5; 4.2.) ordenada 4: 4.3.) cota 1. 
5ª) O ponto P (2,y,z) pertence à reta determinada por A (3,-1,4) e B(4,-3,-1). Calcular P. 
 
6ª) Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A 
(4,0,-3) e tem a direção do vetor 
.542

 kjiv
 
 
7ª) Determinar as equações reduzidas ( variável independente x) da reta determinada pelos pares de 
pontos: 
7.1.) A (1,-2,3) e B(3,-1,-1) 7.2.) A(-1,2,3) e B(2,-1,3) 
 
8ª) Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos 
pontos P1 (-1,0,3) e P2 (1,2,7). 
 
9ª) Mostrar que os pontos A (-1,4,-3) ; B (2,1,3) e C (4,-1,7) são colineares. 
 
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12 
10ª) Qual deve ser o valor de “m” para que os pontos A (3,m,1) ; B (1,1,-1) e C (-2,10,-4) 
pertençam à mesma reta ? 
 
11ª) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas: 
11.1.) 








1
4
3
3
1
y
zx
 11.2.) 





3
2
z
yx 11.3.) 








tz
y
tx
2
1
2
 
 
11.4.) 





1
3
z
y
 11.5.) 





xz
xy
3
 11.6.) 
zyx 
 
 
12ª) Determinar as equações das seguintes retas: 
12.1.) reta que passa por A (1,-2,4) e é paralela ao eixo dos x; 
12.2.) reta que passa por B (3,2,1) e é perpendicular ao plano x0z; 
12.3.) reta que passa por A (2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y; 
12.4.) reta que passa por A (4,-1,2) e tem a direção do vetor 
;

 ji
 
12.5.) reta que passa pelos pontos M (2,-3,4) e N (2,-1,3). 
 
13ª) Representar graficamente as retas cujas equações são: 
13.1.) 








tz
ty
tx
39
510
1
 13.4.) 








tz
ty
tx
2
3
1
 13.7.) 





3
2
x
yz 
 
13.2.) 








tz
y
tx
55
3
24
 13.5.) 





3
2
z
xy 13.8.) 





4
3
y
x 
 
13.3.) 





4
63
xz
xy 13.6.) 





xz
y
2
3 13.9.) 





4
3
z
x 
 
14ª) Determinar o ângulo entre as seguintes retas: 
14.1.) r: 
2
1
2
6
4
: 
43
2
22












zyx
se
tz
ty
tx
 
 
14.2.) r: 
2;
3
1
3
: 
2
12









x
zy
se
xz
xy 
 
UNIDADE V – A RETA EM
3
 
Professora – Simone Leal Schwertl 
13 
14.3.) r: 













0
0
: 
35
21
y
x
se
tz
ty
tx
 
14.4.) r: 

















3
2
4
1
1
: 
2
1
12
4
zy
x
se
zyx 
 
15ª) Determinar o valor de “n” para que seja de 30º o ângulo entre as retas 
 









22
5
: 
35
4
4
2
:
xz
nxy
se
zyx
r
 
 
16ª) Calcular o valor de “n” para que seja de 30º o ângulo que a reta 





32
5
:
xz
nxy
r
 forma com 
o eixo dos y. 
 
17ª) A reta 








tz
ty
tx
r
3
21
:
 forma um ângulo de 60º com a reta determinada pelos pontos A (3,1,-2) 
e B (4,0,m). Calcular o valor de “m”. 
 
18ª) Calcular o valor de “m” para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: 
18.1.) 
6;
1
6
5
: 
4
3
3
: 











z
m
yx
se
z
ty
tx
r
 
18.2.) 
7;
5
1
6
4
: 3
32
: 











y
zx
se
mtz
ty
tx
r
 
 
19ª) A reta r passa pelo ponto A (1,-2,1) e é paralela à reta 
.3
2
:








tz
ty
tx
s
 Se P (-3,m,n) 
,r
determinar “m” e “n”. 
 
20ª) Quais as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto A (-2,1,0) e é paralela à reta 
141
1
:


 zyx
r
 ? 
 
21ª) A reta que passa pelos pontos A (-2,5,1) e B (1,3,0) é paralela à reta determinada por 
C (3,-1,-1) e D (0,y,z). Determinar o ponto D. 
 
UNIDADE V – A RETA EM
3
 
Professora – Simone Leal Schwertl 
14 
22ª) A reta 





1
3
:
xz
mxy
r
 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A (1,0,m) e B (-2,2m,2m). 
Calcular o valor de “m”. 
 
23ª) Calcular o valor de “m” para que sejam coplanares as seguintes retas: 
23.1.) 
m
zyx
se
xz
xy
r 








12
1
: 
13
32
:
 
23.2.) 










xz
mxy
se
y
x
r
4
: 
3
1
:
 
23.3.) 










xz
xy
sez
y
m
mx
r
2
43
: 6;
3
4
:
 
 
24ª) Calcular o ponto de intersecção das retas: 
24.1.) 










xz
xy
se
xz
xy
r
3
24
: 
12
13
:
 
 
24.2.) 











tz
ty
tx
se
zyx
r
27
2
5
: 
4
5
32
2
:
 
24.3.) 
7
12
3
7
: 
104
32
:










 zy
xse
xz
xy
r
 
24.4.) 
5;
3
5
2
1
: 
14
5
: 









y
zx
se
xz
y
r
 
25ª) Dadas as retas


















tz
ty
tx
he
xz
xy
sx
zy
r 31
3
: 
3
2
: ; 2;
2
1
2
3
:
 , determinar: 
25.1.) o ponto de intersecção de s e h; 
25.2.) o ângulo entre r e s. 
 
26ª) Em que ponto a reta que passa por A (2,3,4) e B (1,0,-2) intercepta o plano xy ? 
 
27ª) Sejam as retas 














2
3
2
12
: 54
32
: x
z
xy
se
mtz
ty
tx
r
. 
27.1. Calcular o valor de “m” para que r e s sejam concorrentes; 
27.2. Determinar, para o valor de “m” , o ponto de intersecção de r e s. 
 
28ª) Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A (3,2,1) e é 
simultaneamente ortogonal às retas 










3
12
: 
1
3
:
xz
xy
se
z
x
r
. 
UNIDADE V – A RETA EM
3
 
Professora – Simone Leal Schwertl 
15 
 
29ª) Estabelecer as equações da reta que passa pelaorigem e é simultaneamente ortogonal às retas 
 










4
13
: 
2
3
12
:
xz
xy
se
zyx
r
 
 
30ª) Determinar as equações paramétricas da reta que contém o ponto A (2,0,-1) e é 
simultaneamente ortogonal à reta 
1;
1
1
2
3
: 




x
zy
r
 e ao eixo dos y. 
 
31ª) Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas 
 








yz
yx
se
zy
xr
22
1
: 
32
1
2:
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s. 
 
32ª) A reta 
2
1
:


 z
b
y
a
x
r
 é paralela à reta que passa pelo ponto A (-1,0,0) e é 
simultaneamente ortogonal às retas 













xz
xy
re
tz
ty
tx
r
2
: 
13
32: 21
.Calcular “a” e “b”. 
 
 
GABARITO 
 
1ª) Apenas P1 
 
2ª) (4,1,5) 
 
3ª) m = -2; n = -5 
 
4ª) 
)1,
2
1
,2();10,4,7();2,2,5( 
 
 
5ª) P(2,1,9) 
 
6ª) 
13
2
5
 82  xzexy
 
 
7.1.) 






52
2
5
2
xz
x
y 
 
7.2.) 





3
1
z
xy 
 
8ª) 
2
3
2
1
 
2
5
2
1
 zyezx
 
 
10ª) m = -5 
 
12.1.) 





4
2
z
y 
 
12.2.) 





1
3
z
x 
 
12.3.) 





3
2
y
x 
 
12.4.) 





3
2
yx
z 
 
UNIDADE V – A RETA EM
3
 
Professora – Simone Leal Schwertl 
16 
12.5.) 









1
3
2
1
2
zy
x
 
 
14.1.) 60º 
 
14.2.) 30º 
 
14.3.) 30º 
 
14.4.) 
'11º48
3
2
arccos 






 
 
15ª) 7 ou 1 
 
16ª) 
15
 
 
17ª) –4 
 
18.1.) –2 
 
18.2.) 
2
5

 
 
19ª) m = 10 e n = 5 
 
20ª) y = 4x + 9 e z = -x – 2 
 
21ª) D(0,1,0) 
 
22ª) 
2
3
 1 ou
 
 
23.1.) 4 
 
23.2.) –7 
 
23.3.) 
2
3
 
 
24.1.) (1,2,3) 
 
24.2.) (4,3,9) 
 
24.3.) (2,1,-2) 
 
24.4.) (1,-5,5) 
 
25.1.) (2,4,-1) 
 
25.2.) 
6
3
arccos
 
 
26ª) 






0,1,
3
4
 
 
27.1.) m = 2 
 
27.2.) (-1,-1,-2) 
 
28ª)








tz
y
tx
1
2
3
 
 
29ª) 





zx
y 0 
 
30ª) 





1
0
z
y 
 
31ª) 








tz
ty
tx
3
51
2
 
 
32ª) 





10
14
b
a