EAD 529 5ª Lista de exercícios

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Introdução a Teoria dos Números 
 
 
5ª Lista de exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
Matricula: 13.1.9842 
Nome: Neila Chaves de Abreu Rosa Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tutor Presencial: Anderson Aristides Alves 
Professor: Dr. Frederico da Silva Reis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caratinga- MG 
2015 
 
 
Resposta: 
a) 72 I 20 72= 20 x 3 + 12 
12 3 q = 3 e r = 12 
___________________________________________________________________________ 
Resposta: 
 
 
mdc(72, 20) = 4 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
b) 
 
 mdc(20, r) = 4 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
c) (72, 20) = (20, r) 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
a) 
 
mdc(990, 720) = 90 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
b) (990, - 720, 720) = 90 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
c) (990, 720) = (990, - 720, 720) 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
Seja (a, 0) = 13. Então 13 | a e 13 | 0. Como 0 é múltiplo de qualquer inteiro, ou seja, qualquer 
inteiro divide 0, então (a, 0) = |a|. Logo |a| = 13 ⟹ a = 13 ou a = −13. 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
160 = a.q1 + 7 _ 160 - 7 = a.q _ 153 = a.q1 
198 = a.q2 + 11 _ 189 -11 = a.q2 _ 187 = a.q2 
370 = a.q3 + 13 _ 370 – 13 = a.q3 _ 357 = a.q3 
A = mdc ( 153, 187, 357) = 17 
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 3 1 1 
72 20 12 8 2 
12 8 4 0 4 
 1 1 2 
20 12 8 4 
8 4 0 
 1 2 1 2 
990 720 270 180 90 
270 180 90 0 
 
 
Resposta: 
a) 
Como 9|a, existe inteiro q tal que a = 9q. 
Como 9|b, existe inteiro k tal que b = 9k. 
Assim a + b = 9q + 9k = 9(q + k). Como a + b = 63, então 9(q + k) = 63. 
O que implica q + k = 7. 
 
Temos então as seguintes possibilidades para q e k: 
q = 1 e k = 6 ⇒ a = 9 e b = 54 
q= 2 e k = 5 ⇒ a = 18 e b = 45 
q = 3 e k = 4 ⇒ a = 27 e b = 36 
q = 4 e k = 3 ⇒ a = 36 e b = 27 
q = 5 e k = 2 ⇒ a = 45 e b = 18 
q = 6 e k = 1 ⇒ a = 54 e b = 9 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
b) 
Temos que 6|a e 6|b. Então existem inteiros q e k tais que a = 6q e b = 6k. 
Assim a ∙ b = (6q) ∙ (6k) = 36q ∙ k. Como a ∙ b = 756, então 36q ∙ k = 756, o que implica q ∙ k = 21. 
 
Temos então as seguintes possibilidades para e : 
q = 21 e k = 1 ⇒a = 126 e b = 6 
q = 3 e k = 7 ⇒ a = 18 e b = 42 
q = 7 e k = 3 ⇒ a = 42 e b = 18 
q = 1 e k = 21 ⇒ a = 6 e b = 126. 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
Seja d = (n, n + 2). 
Como é impar, então existe inteiro a tal que n= 2a + 1. 
 
Assim d = (2a + 1, 2a + 3). 
 
Então d|(2a + 1) e d|(2a + 3). 2a + 1 = dq e 2a + 3 = dk, com q e k inteiros. 
 
Temos que dk = 2a + 3 = (2a + 1) + 2 = dq + 2 d(k − q) = 2 ⇒ d|2 ⇒ d = 2 ou q = 1. 
Como é impar, então d ≠ 2 ⇒ d = 1. 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
 
Seja d = (n, n + 10). Então d|n e d|( + 10). O que implica = dq e n + 10 = dq, com q e k inteiros. 
Assim dk = dq + 10 ⇒ d(q − k) = 10. 
 
Como k > q, então k– q > 0. Então d|10 e d > 0. 
Logo os possíveis valores para d são 1, 2, 5 ou 10. 
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Resposta: 
Seja b um inteiro positivo tal que (120, b) = 10 e 0 < b < 120. 
Assim 10|b e, portanto existe um inteiro q tal que b = 10q. 
 
Então 0 < 10q < 120 ⇒ 0 < q < 12 
 q = 1 ⇒ b = 10 ⇒ (120, b) = 10 
 q = 2, 3, 4, 6, 8 ou 10 ⇒ b = 20, 30, 40, 60, 80, 90 ou 100 ⇒ (120, b) ≠10. 
 q = 5 ⇒ b = 50 ⇒ (120, 50) = 10 
 q = 7 ⇒ b = 70 ⇒ (120, 70) = 10 
 q = 11 ⇒ b = 110 ⇒ (120, 110) = 10. 
 
Logo os possíveis valores para são 10, 50, 70 ou 110. 
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Resposta: 
Suponha que n= ab + 1 
Pelo Teorema (mdc). Temos que: (a,1) = (a, ab + 1 = ( a, n) 
Como ( a, 1)= 1 ( a, ab + 1 ) = (a, n) = 1 
 
Continuando pelo Teorema, temos: (b, 1) = ( b, ab + 1) = (b, n) 
Como (a, 1)= 1 então (b, n) = 1 
Logo (a, 1) = (b, n) = 1 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
12|a ⇒ a = 12q, com q inteiro. 
12|a ⇒ b = 12k, com k inteiro. 
Assim 1008 = a² − b² = 144(q² − k²) ⇒ q² − k² = 7 ⇒ (q + k)(q − k) = 7⇒ q + k = 7 e q – k = 1. 
 
Somando as duas equações encontraram 2q = 8. 
Logo q = 4 e k = 3 e consequentemente a = 48 e b = 36. 
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Resposta: 
Sejam a e b inteiros positivos tais que d = (a, b), onde a = dq e b = dk, com q e k inteiros positivos. 
Suponhamos que q + k = 8 e que a + b = 384. 
Assim dq + dk = 384 ⇒ d(q + k) = 384 ⇒ 8d = 384 ⇒ d = 48. 
Temos então a = 48q e b = 48k. 
 
Os possíveis valores para q e k são: 
q = 1 e k = 7 ⇒ a = 48 e b = 336 
q = 2 e k = 6 ⇒ a = 96 e b = 288 
q= 3 e k = 5 ⇒ a = 144 e b = 240 
q = 4 = k ⇒ a = b = 92. 
 
Como (96, 288) = 96 ≠ 48 e (192, 192) = 192 ≠ 48, então os possíveis valores para q e b são 48 e 
336 ou 144 e 240. 
 
 
Resposta: 
 
Se n é impar então existe b inteiro tal que = 2b + 1. 
Assim 5n + 6 = 10b + 11 e 5n + 8 = 10b + 13. 
 
Seja d = (10d + 11, 10b + 13) = (5n + 6, 5n + 8). 
Então d|(10b + 11) e d|(10b + 13). 
 
Podemos então escrever 10b + 11 = dq e 10b + 13 = dq, com q e k inteiros. 
 
Assim dq = 10b + 13 = (10b + 11) + 2 = dq + 2 ⇒ d(k − q) = 2 ⇒d|2 ⇒d = 1 ou d = 2. 
Como 5n + 6 e 5n + 8 são ímpares, pois é impar, então d = 1. 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
a) 
 
mdc(306, 657) = 9 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
b) 
 mdc( 272, 1479) = 17 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
c) 
 
mdc(844, 1292) = 68 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
d) 
 
mdc(-816, 7209) = (816, 7209) = 3 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
e) 
 mdc( 7469, 2387) = 77 
_____________________________________________________________________________ 
 
 2 6 1 4 
657 306 45 36 9 
45 36 9 0 
 5 2 3 2 
1479 272 119 34 17 
119 34 17 0 
 1 2 6 
1292 844 408 62 
408 68 0 
 8 1 5 22 2 
7209 816 681 135 6 3 
681 135 6 3 0 
 3 7 1 3 
4769 2387 308 231 77 
308 231 77 0 
 
Resposta: 
f) 
 
 
 
mdc(- 5376, - 3402) = ( 5376, 3402) = 42 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
g) 
mdc(1176, 471) = 78 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
h) 
mdc(2536, - 638) = 2 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
i) 
 mdc( 12578, 6248) = 2 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
j) 
mdc(1589, - 3584) = 7 
______________________________________________________________________________Resposta: 
 
 
mdc (a, b) =3 ; a>b 
 
 
Portanto r3 = 9 
r2 = 2r2 + 3 = 18 + 3 = 21 
r1= 3r2 + r3 = 3 . 21 + 9 = 63 + 9 = 72 
b= r1 + r2 = 72 + 21 = 93 
a = 2b + r1 = 2 . 93 + 72 = 186 + 72 = 258 
______________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
Temos que (36, 48, 72) = 12. 
Como 36 ÷ 12 = 3, 48 ÷ 12 = 4 e 72 ÷ 12 = 6, então o número total de pedaços é 3 + 4 + 6 = 13. 
 
 1 1 1 2 1 1 1 1 2 
53766 3402 1974 1428 546 336 210 126 84 42 
1974 1428 546 336 210 126 84 42 0 
 2 2 78 
1176 471 234 3 
234 3 0 
 2 1 2 2 1 2 17 
2536 938 660 278 104 70 34 2 
660 278 104 70 34 2 0 
 2 76 5 8 
12578 6248 82 16 2 
82 16 2 0 
 2 3 1 10 1 1 2 
3584 1589 406 371 35 21 14 7 
406 371 35 21 14 7 0 
 2 1 3 2 3 
a b r1 r2 r3 3 
r1 r2 r3 3 0 
 
 
Resposta: 
a) 
Pelo Teorema temos que (a,b) ∙ [a, b] = a ∙ b. 
Assim a. b = 8 × 560 = 4480. 
Logo os possíveis valores para a e são 8 e 560 ou 16 e 280 ou 40 e 112 ou 56 e 80.. 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
b) 
Seja d= (a,b) e m= [a,b]. 
Temos m/d= 84 
Pelo Teorema, md=ab 
Assim md = 84d2 =ab (*) 
Como d/a, então a um número inteiro q, sendo a = dq 
Como d/b, então a um número inteiro k, sendo b = dk 
 
Sendo assim: ab = d2qk ⇒(*) qk= 84 
 
Temos as seguintes possibilidades para q e k: 
 
q =1 e k=84⇒ a = d e b =84d⇒ a + b =85d = 589 ⇒ d∉Z 
q =2 e k=42⇒ a =2d e b =42d⇒a + b =44d = 589 ⇒ d∉Z 
q =3 e k=28⇒ a =3d e b =28d⇒ a + b =31d = 589 ⇒ d=19 
q =4 e k=21⇒ a =4d e b =21d⇒ a + b =25d = 589 ⇒ d∉Z 
q =6 e k=14⇒ a =6d e b =14d⇒ a + b =20d = 589 ⇒ d∉ Z 
q =7 e k=12⇒ a =7d e b =12d⇒ a + b =19d =589 ⇒ d = 31 
 
Logo as possibilidades são: 
d=19 ⇒ m = 19x84 = 1596 
d=31 ⇒ m = 31x 84 =2604 
 
Resolvendo os sistemas, temos: 
 
{
𝑎𝑥𝑏 = 30324
𝑎 + 𝑏 = 589
 e {
𝑎𝑥𝑏 = 80724
𝑎 + 𝑏 = 589
 
 
 
Ficando como soluções: ( a = 532 e b = 57) e ( a = 372 e b= 217) 
_____________________________________________________________________________ 
Resposta: 
c) 
(a,b) ∙ 336 = a ∙b = 4032 ⇒ (a,b) =12. 
Então existem inteiros q e k tais que a= 12q e b= 12k. 
Assim a ∙b = 12q ∙ 12k = 144(qk) = 4032 ⇒ qk = 28. 
 
Os possíveis valores para e são: 
q = 1 e k= 28 ⇒ a = 12 e b= 336 
q = 2 e k =14 ⇒ a = 24 e b = 168 
q = 4 e k = 7 ⇒ a = 48 e b = 84 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
 
Resposta: 
Seja d = (2a + b, + 2b). Então d| (2a + b) e d | (a + 2b). 
 
O que implica 2a + b = dq, com q inteiro e a + 2b = dk, com k inteiro. 
 
Assim a + 2b =a + 2(dq – 2a) ⇒ 3a = d(2q − k) ⇒ d|3a. 
 
Além disso, 2a + b = 2(2q – 2b) + b ⇒ 3b =d(2k − q) ⇒ d|3b. 
 
Pela propriedade 5, temos (3a,3b) = 3(a, b) = 3. Assim d ≤ 3. 
 
Supondo por absurdo que d = 2. Então como 2|(2a + b)e 2|2a, segue que 2|(2a + b −2a) ⇒ 2|b. 
 
Temos também que 2|(a +2b)e 2 |2b, segue que 2|(a + 2b – 2b) ⇒ 2|a. 
 
Então 2 ≤ 1 = (a,b)., o que é absurdo. 
 
Logo d = 1ou d = 3. 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta: 
Sejam d = (a + c, b) = (a, b) e d’ = (a,b). 
 
Então d| (a + c), d|b, d’| a e d’|b. 
 
Como b|c, então d|c. Assim como d|a + c, segue que d|(a+ c − c), ou seja, d|a. 
 
Se d|a e d|b, então d ≤ d’. 
 
Como d’|b e d|c, então d’|c. Assim, d’|(a + c)e d’|b. Então d’ ≤ d. 
 
Logo d =d’. 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
Resposta 
Sejam d = (a.b) e d’ = (a, bc). Assim d| a,d |b.d’|a e d’|bc. 
 
Além disso, d|bc (propriedade 7). Assim, d ≤ d’. 
 
Como d’| a, então d’|ab (propriedade 7) ⇒ ab = d’q 
 
Como (a.c) =1, então existem 𝛼 e 𝛽 inteiros tais que 1= a ∙ α + b.𝛽 . 
 
Multiplicando por b, temos b = abα + bc.𝛽 
 
Como d’|bc, então bc = d’k, com k inteiro. Assim b = d’q α + d’k 𝛽 =d’(q𝛼 + k 𝛽 ). 
 
Então d’|b, o que implica d’ ≤ d. 
 
Logo d = d’.