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Teoria da Comunicação Prof. Andrei Piccinini Legg Aula 04 Análise e Transmissão de Sinais Mostrou-se que através da série de Fourier é possível se representar qualquer sinal periódico ou qualquer sinal de duração To. Mostrou-se também que através da série de Fourier é possível se determinar o espectro de amplitude e fase de qualquer sinal periódico que respeite a condição de existência de Dirichlet. Agora vamos estender essa análise espectral para a classe dos sinais não periódicos. Aplicando-se o conceito de Limite, pode-se mostrar que um sinal não periódico pode ser expresso por uma soma (integral) contínua de exponenciais eternas ejωot. Considere o sinal mostrado na figura abaixo Para se representar esse sinal através de uma soma de exponenciais eternas, vamos criar (a partir de g(t)) um novo sinal gTo(t). Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Assuma To grande o suficiente para que não haja superposição de sinais. Sabe-se que um sinal periódico, gTo(t), pode ser representado por uma série exponencial de Fourier. Se fizermos To→∞, o sinal original, g(t), só se repetirá após um intervalo de tempo tendendo a infinito. Logo, Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Assim, a série de Fourier que representa gTo(t) também representa g(t) quando To→∞. A série exponencial de Fourier para gTo(t) é dada por em que e Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Observe que integrar gTo(t) sobre o intervalo (- To/2, To/2) é o mesmo que integrar g(t) sobre o intervalo (-∞, ∞). Portanto, a Equação (3.2a) pode ser expressa por Se definirmos uma nova variável G(ω), que é uma função contínua em ω De (3.3) e (3.2c) obtém-se Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Antes de continuarmos nossa análise, vamos refletir um pouco sobre o quê a Equação (3.4) está nos dizendo. Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Observe a figura abaixo Aumente o valor de To. O que acontece com o espectro de amplitude? Ou seja, o que ocorre com os coeficiente Dn em relação a ω? Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Explicação: Conforme o valor de To aumenta, o valor da amplitude de Dn diminui proporcionalmente a 1/To e o espectro se torna mais denso na mesma proporção do aumento de To. Ou seja, se To dobra de valor, a amplitude de Dn cai pela metade e o número de componentes na frequência dobra. Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier A análise anterior pode ser entendida para To→∞. O resultado disso é um espectro extremamente denso com componentes espectrais espaçadas entre si por um valor infinitesimal (≈0) e cada uma dessas componentes com amplitudes de valor infinitesimal (≈0). Obs.: Quando To→∞, têm-se “nada de alguma coisa em tudo, mas ainda se tem alguma coisa”. Retomando nossa análise, substituindo-se a Equação (3.4) em (3.1), obtém-se Conforme To→∞, ω ο torna-se infinitesimal (ω ο →0). Já que ω ο →0, então vamos passar a chamar ω ο de ∆ω. Para essa nova notação a Eq. (3.2b) torna-se Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier e a Eq. (3.5) pode ser reescrita como Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier A Equação (3.6a) mostra que gTo(t) pode ser expressa como uma soma de exponenciais eternas com frequências (série de Fourier) No limite To→∞. ∆ω →0 e, consequentemente gTo(t)→ g(t) Portanto, Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier O lado direito da Equação (3.6b) pode ser visto como a área sob a função G(ω) ejωt, conforme mostra a figura abaixo A série de Fourier torna-se uma integral de Fourier no limite de To→∞. Portanto, Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier A integral do lado direito da Equação (3.7) é chamada de Integral de Fourier. Representação de um Sinal Não Periódico através da Transformada de Fourier Na análise de sinais temos as seguintes denominações: G(ω) é chamada de transformada direta de Fourier; g(t) é chamada de transformada inversa de Fourier; Transformada Direta e Inversa de Fourier Recapitulando: G(ω) é chamada de transformada direta de Fourier; g(t) é chamada de transformada inversa de Fourier; Transformada Direta e Inversa de Fourier Podemos escrever G(ω) da seguinte forma |G(ω)| é a amplitude (magnitude) de G(ω); θg(ω) é fase de G(ω); Propriedades de G(ω) Propriedade de Simetria (Complexo Conjugado) De (3.8 a), tem-se que Como g(t) é um sinal real, conclui-se que G(ω) e G(-ω) são complexos conjugados, isto é Propriedades de G(ω) Condições de Existência da Transformada de Fourier A existência da transformada de Fourier é assegurada para qualquer g(t) que satisfaça as condições de Dirichlet. A primeira delas é Prova (Exercício para casa) Dica: basta lembrar que | e-jωt|=1. A segunda é Condições de Existência da Transformada de Fourier “A existência física de um sinal é uma condição suficiente para assegurar a existência de sua transformada de Fourier” Condições de Existência da Transformada de Fourier A transformada de Fourier é linear Se então Prova: Exercício para casa. Dica: Comece a prova a partir da Equação (3.8a). Exercício: Encontre a transformada de Fourier de e-atu(t). Solução Solução Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27
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