1a Lista de Exercícios Linear 2

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
1
a
Lista de Exercícios de Álgebra Linear II - 2018/02
Cursos: Engenharia de Computação / Engenharia de Controle e Automação / Engenharia Naval
ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS.
1) Fazer um esboço dos seguintes conjuntos e verificar se:
(a) S = {(x, y); y = −x} é subespaço de R2;
(b) S = {(x, y);x ≥ 0} é subespaço de R2;
(c) S = {(x, y, z);x = z2} é subespaço de R3;
2) Verificar se:
(a) W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4;x+ y = 0 e z − t = 0} é subespaço de R4;
(b) S =
{(
a b
b c
)
; a, b, c ∈ R
}
é subespaço de M(2, 2);
(c) W =
{(
a b
c d
)
; a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1
}
é subespaço de M(2, 2);
(d) W = {p(t) ∈ P2; p(1) = 0} é subespaço de P2;
(e) W = {p(t) ∈ P2; p′(0) = 1} é subespaço de P2.
3) Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
(a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
(b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combinação linear de u e v?
(c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação linear de u e v.
4) Consideremos no espaço P2 = {at2 + bt + c; a, b, c ∈ R} os vetores p1(t) = t2 − 2t + 1, p2(t) = t + 2 e
p3(t) = 2t
2 − t.
(a) Escrever o vetor p(t) = 5t2 − 5t+ 7 como combinação linear de p1, p2 e p3.
(b) Escrever o vetor p(t) = 5t2 − 5t+ 7 como combinação linear de p1 e p2.
(c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor at2 + bt+ c seja uma combinação linear de p2
e p3.
(d) É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3?
5) (a) Verificar se o vetor u =
(
2
3
, 1,−1, 2
)
pertence ao subespaço S de R4 definido por
S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)].
(b) Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por
W =
{(
2a a+ b
a a− b
)
; a, b ∈ R
}
.
Verificar se as matrizes
(
0 −2
0 1
)
e
(
0 2
3 1
)
pertencem a W .
6) (a) Mostrar que os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1) geram o R2.
(b) Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3.
(c) Mostrar que os polinômios 1 − t3, (1 − t)2, 1 − t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau menor do
que ou igual a 3.
1
7) (a) Sendo v1 = (1, 2) ∈ R2, determinar v2 ∈ R2 tal que {v1, v2} seja base de R2.
(b) Para que valores de k o conjunto β = {(1, k), (k, 4)} é base de R2?
8) Seja B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3.
(a) Mostrar que B não é base de R3.
(b) Determinar uma base de R3 que possua dois elementos de B.
9) Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) W = {p(t) ∈ P4; p(1) = p′(1) = p′′(1) = 0} subespaço de P4.
(b) W = {X ∈M(2, 2);Xt = −X} subespaço de M(2, 2).
(c) S =
[( −1
1
)
,
(
2
−2
)
,
(
1
−1
)]
subespaço de M(2, 1).
(d) S = G
(
1, cos(2x), cos2(x)
)
subespaço de F([0, 2pi],R).
10) Seja V o espaço das matrizes 2× 2 sobre R, e seja W o subespaço gerado pelas matrizes(
1 −5
−4 2
)
,
(
1 1
−1 5
)
,
(
2 −4
−5 7
)
e
(
1 −7
−5 1
)
.
Encontre uma base, e a dimensão de W .
11) Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 =
(1, 0, 0, 0).
(a) Exiba uma base para V = [v1, v2, v3, v4]. Qual é a dimensão de V ?
(b) [v1, v2, v3, v4] = R4? Por quê?
12) Seja U o subespaço de R3, gerado por (1, 0, 0) e W o subespaço de R3, gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre
que R3 = U ⊕ V .
13) Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x+y = 0 e z− t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x−y− z+ t = 0} subespaços
de R4.
(a) Determine W1 ∩W2. Exiba uma base para W1 ∩W2.
(b) Determine W1 +W2. Esta soma é direta? Justifique.
(c) Verificar se W1 +W2 = R4.
14) Sejam W1 =
{(
a b
c d
)
; a = d e b = c
}
e W2 =
{(
a b
c d
)
; a = c e b = d
}
subespaços de M(2, 2).
(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.
(b) Determine W1 +W2. É soma direta? W1 +W2 =M(2, 2)?
15) (a) Dado o subespaço V1 = {(x, y, z) ∈ R3|x+ 2y + z = 0} ache um subespaço V2 tal que R3 = V1 ⊕ V2.
(b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R3 tais que V1 + V2 = R3. A soma é direta?
16) Seja C([−a, a]) = {f : [−a, a]→ R; f é contínua em [−a, a]}. Considere os seguintes subespaços de C([−a, a]):
U = {f ∈ C([−a, a]); f(−x) = f(x),∀x ∈ [−a, a]}
e
V = {f ∈ C([−a, a]); f(−x) = −f(x),∀x ∈ [−a, a]}.
Mostre que
C([−a, a]) = U ⊕ V.
2
PRODUTO INTERNO. ESPAÇOS EUCLIDIANOS.
17) (a) Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em R3. Verificar se 〈u, v〉 = 3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2 define um
produto interno em R3.
(b) Sejam A,B ∈M(2, 2). Defina
〈A,B〉 = det(A) det(B).
Verificar se 〈A,B〉 define um produto interno em M(2, 2).
(c) Sejam f, g ∈ P2. Defina
〈f, g〉 =
∫ 1
−1
f(t)g(t)dt.
Verificar se 〈f, g〉 define um produto interno em P2.
18) Para cada u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em R2 defina
〈u, v〉 = [ x1 y1 ] [ 1 11 2
] [
x2
y2
]
.
(a) Mostrar que 〈u, v〉 define um produto interno em R2.
(b) Calcular a norma do vetor (1, 3).
(c) Calcular um vetor unitário a partir de (1, 3).
(d) Calcular um vetor ortogonal a (1, 3).
19) Seja o espaço vetorial V =M(2, 2) munido com o produto interno usual
〈A,B〉 = Tr(Bt · A); A,B ∈ V.
Sejam A =
(
1 1
m− 1 1
)
e B =
( −1 m
m2 1−m
)
matrizes em V . Determinar m ∈ R de modo que A e B
sejam ortogonais, com respeito a este produto interno.
20) Considere o espaço vetorial P2 munido com o produto interno:
〈p, q〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2, ∀ p, q ∈ P2
em que p(t) = a0 + a1t+ a2t
2
e q(t) = b0 + b1t+ b2t
2
.
(a) Determine todos os polinômios s(t) = at2+ bt+ c ∈ P2 que são ortogonais ao polinômio r(t) = 12(t+1)
com relação ao produto interno dado.
(b) Dados os polinômios p1(t) = t
2 − 2t + 3 e p2(t) = 3t − 4 determine 〈p1, p2〉, ‖p1‖, ‖p2‖ e o ângulo θ
formado entre p1 e p2.
21) Considere o espaço vetorial real
C0
([
0,
pi
2
])
=
{
f :
[
0,
pi
2
]
→ R; f é contínua em
[
0,
pi
2
]}
munido com o produto interno
〈f, g〉 =
∫ pi
2
0
f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0
([
0,
pi
2
])
.
Dadas as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t, determine o ângulo θ formado entre f e g.
3
22) (a) Considere o espaço vetorial real C0([0, pi]) = {f : [0, pi] → R; f é contínua} munido com o produto
interno:
〈f, g〉 =
∫ pi
0
f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0([0, pi]).
A distância d = d(f, g) entre as funções f, g ∈ C0([0, pi]) é definida por
d(f, g) = ‖f − g‖.
Calcular a distância entre as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t.
(b) Considere o espaço vetorial real M(2, 3) com produto interno usual
〈A,B〉 = Tr(Bt · A).
Dadas as matrizes A =
(
1 0 2
−1 2 1
)
e B =
(
1 −2 1
1 0 3
)
, determine 〈A,B〉, ‖A‖, ‖B‖, cos θ, onde
θ é o ângulo formado entre as matrizes A e B e d(A,B) = ‖B−A‖ (distância entre as matrizes A e B).
23) Seja V um espaço vetorial real munido com um produto interno 〈 , 〉. Demonstre que se v e w são vetores
quaisquer de V , então valem as relações:
(a) 〈v, w〉 = 1
4
[‖v + w‖2 − ‖v − w‖2] (identidade polar);
(b) ‖v‖2 + ‖w‖2 = 1
2
[‖v + w‖2 + ‖v − w‖2] (lei do paralelogramo).
24) (a) Seja β = {(1, 2), (2, 1)}. Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β de R2 em
relação ao produto interno usual.
(b) Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do subespaço vetorial W =
{(x, y, z); y − 2z = 0} de R3.
25) Seja V = {(x, y, z) ∈ R3;x− y + z = 0} um subespaço de R3.
(a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para V .
(b) Determine V ⊥.
26) Seja P3 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a 3. Sejam f, g ∈ P3(R). Defina o
produto interno em P3 por
〈f, g〉 =
∫ 1
−1
f(t)g(t)dt.
Considere W o subespaço de P3(R) gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1− t. Determine:
(a) uma base ortogonal para W .
(b) o complemento ortogonal de W e sua respectivabase. Esta base é ortogonal? Caso não seja, exiba uma
base ortogonal para W⊥.
27) Sejam V o espaço das matrizes triangulares superiores e
S =
{(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 1
)}
.
(a) Encontre S⊥.
(b) Encontre uma base ortogonal para S e S⊥.
4
28) Sejam A e B matrizes de M(2, 2). Defina o produto interno em M(2, 2):
〈A,B〉 = Tr(Bt · A).
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base{(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 1
)
,
(
1 1
1 1
)}
.
PROVAS ANTERIORES.
29) Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras (V ) ou falsas (F ). Justifique sua resposta.
a) O conjunto W = {X ∈M2×2(R);X2 = I} é subespaço vetorial deM2×2(R).
b) O conjunto dos polinômios de grau igual a 2 é subespaço vetorial de P3(R).
c) Seja B uma matriz fixa em M2×2(R). A matriz identidade I2×2 pertence ao subespaço W = {X ∈
M2×2(R);XB −BX = 0}.
d) Se V1 e V2 são subespaços de V tais que V1 + V2 = V1 ∩ V2, então V1 = V2 = {0}.
e) O gráfico da função f , definido por
Gr(f) = {(x, y); y = f(x) = |x|},
é subespaço vetorial de R2.
30) Considere o subespaçoW de R4, munido com produto interno usual, gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 =
(0, 0, 1, 1) e v3 = (−2, 2, 1, 1). A respeito de W assinale a única alternativa correta. Justifique sua resposta.
a) W tem dimensão 3;
b) W⊥ tem dimensão 1;
c) {v1, v2, v3} é uma base ortogonal de W ;
d) {(1, 1, 0, 0), (0, 0,−1, 1)} é uma base ortonormal de W⊥;
e) nenhuma das anteriores está correta.
31) Seja V =M(2, 2) o espaço vetorial real das matrizes 2× 2.
a) Mostre que H =
{(
a b
c d
)
∈ V ; a− b = 0, c+ d = 0
}
é subespaço vetorial de V .
b) Seja S =
{(
a b
c d
)
∈ V ; a+ b+ c− d = 0
}
subespaço de V . Mostre que H + S = V . Esta soma é
direta? Justifique.
32) Considere o subespaço W de R3 gerado pelos vetores v1 = (2, 1, 3), v2 = (3,−1, 4) e v3 = (2, 6, 4).
a) O vetor v = (3, 4, 5) pertence a W? Justifique.
b) Exiba uma base para W . Qual é a dimensão de W?
c) [v1, v2, v3] = R3? Por quê?
33) Seja C∞(R) o espaço vetorial das funções que possuem derivadas de todas as ordens contínuas. Prove que
{1, ex, e2x} é um conjunto linearmente independente em C∞(R). (Sugestão: faça uma combinação linear nula
dessas funcões, derive duas vezes essa combinação para criar um sistema linear 3 × 3 com os coeficientes da
combinação inicialmente feita).
34) Nos itens a seguir considere o produto interno em R2 como produto usual.
a) Dado v1 =
(
1√
5
,
2√
5
)
∈ R2, determine v2 ∈ R2 a fim de que {v1, v2} seja base ortonormal de R2.
b) Para que valores de k ∈ R o conjunto β = {(1, k), (k, 4)} é base ortogonal de R2?
5
35) Seja C([a, b]) o conjunto das funções contínuas f : [a, b] ⊂ R→ R.
a) Prove que a função 〈·, ·〉 definida por
〈f(t), g(t)〉 =
∫ b
a
f(t)g(t)dt
define um produto interno em C([a, b]), quaisquer que sejam f, g ∈ C([a, b]).
b) Prove, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(t)g(t)dt
∣∣∣∣∣ ≤
(∫ b
a
(f(t))2dt
) 1
2
(∫ b
a
(g(t))2dt
) 1
2
.
c) Calcule o ângulo formado entre as funções f(t) = 1 e g(t) = t, com relação ao produto interno dado no
item a), assumindo que no intervalo de integração se tenha a = 0 e b = 1.
36) Considere o espaço vetorial real U = {p(x) ∈ P3; p(−1) = p(1) = 0} com produto interno
〈p, q〉 =
∫ 1
−1
p′(x)q′(x)dx, ∀ p, q ∈ U.
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S = [1− x2] em U com relação ao produto
interno 〈·, ·〉 definido acima.
37) Suponha que P2 esteja munido com o produto interno 〈p, q〉 =
∫ 1
−1
p(x)q(x)dx com p, q ∈ P2. Aplique o
processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a base canônica S = {1, x, x2} de P2 em
uma base ortonormal. (Os polinômios da base obtida são chamados os três primeiros polinômios de Legendre
normalizados).
38) Seja V =Mn×n(R) o espaço das matrizes de ordem n, munido com produto interno
〈X,Y 〉 = Tr(Y tX), ∀ X,Y ∈ V.
Mostre que, para toda matriz ortogonal A ∈ V (i.e, At = A−1) e todo X,Y ∈ V , vale que:
a) 〈AX,AY 〉 = 〈X,Y 〉;
b) ‖AX‖ = ‖X‖;
c) o ângulo formado entre AX e AY é igual ao ângulo formado entre X e Y ;
d) d(AX,AY ) = d(X,Y ), em que d é a função distância;
e) ‖A‖ = √n.
6