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Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 DATA DO RELATÓRIO: 11/06/2018 TÍTULO DO EXPERIMENTO: Oscilações Simples, Amortecidas e Forçadas DATA DO(S) EXPERIMENTO(S): 21/05/2018 TURMA E GRUPO: T07G2 EQUIPE: Adriano de Jesus Miranda Caio Filipe Barroso Chamusca Joseph Teles Santos Lilian Lee Moreira de Castro Rafael Melo Lourenço PROFESSOR: Rogério Machado LOCAL: Sala 14 DFI/CCET/UFS – São Cristóvão 1.Objetivos 1.1. Geral: Compreender o movimento de um sistema massa-mola em equilíbrio, com oscilações amortecidas e com oscilações amortecidas-forçadas. 1.2. Específicos: 1.2.1. Obter a constante elástica da mola “kH” através da Lei de Hooke. 1.2.2. Determinar a constante elástica da mola “kS” e a frequência natural de oscilação “𝜔0”, ao deslocarmos o objeto de massa que passa a exibir um movimento oscilatório. 1.2.3. Encontrar a frequência natural de oscilação, o coeficiente de amortecimento “γ” e a constante elástica da mola “kA”, quando ao deslocarmos o objeto de massa que passa a exibir um movimento oscilatório, porém, na presença de uma força de resistência, a qual amortece o seu movimento oscilatório. Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 2.Metodologia 2.1. Materiais utilizados Figura 1. Visão geral do aparato experimental Legenda: 1-Mola 2-Suporte para celular 3-Câmera filmadora 4-Régua graduada 5-Balança 6-Massas aferidas 7-Trena 8-Porta-peso 9-Suportes 2.2. Aparato experimental A mola teve uma de suas extremidades, na posição vertical, presa ao suporte feito de uma barra de acrílico, e a outra extremidade foi deixada livre para colocar as massas. A régua graduada em milímetros foi colocada ao lado da mola, possibilitando a medida das respectivas distorções sofridas pela mola para cada massa. A câmera filmadora foi colocada no suporte em frente ao suporte da mola e a régua graduada, de maneira a permitir a filmagem do movimento da mola e comparar suas posições aos pontos da régua. 2.3. Metodologia de obtenção dos dados Na primeira etapa do experimento, foram adicionadas massas ao porta-peso de forma crescente, de modo que para cada uma foi verificada a deformação(cm) na mola, com o auxílio da trena, em relação ao seu ponto de relaxamento. Na segunda etapa, fixamos duas massas de 50g no porta-peso. Considerando como posição inicial a situação de equilíbrio, foi distendida a mola até uma posição definida de forma aleatória. Com a mola ainda nessa posição de distensão, a mesma foi solta e filmado o seu movimento oscilatório pelo tempo mínimo de 1 minuto. Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 No software Tracker, definimos para o vídeo um sistema de eixos coordenados, com o auxílio da régua graduada, também foi definido um intervalo de espaço e tomando um ponto de massa, obteve- se por meio do programa à variação da distância de distensão com o tempo. Da mesma maneira que a etapa anterior, tomamos três massas de 10g, porém desta vez, em um porta-peso com um disco, totalizando uma massa de 163g, a qual faz com que a oscilação da mola amorteça com o tempo. Usando a mesma metodologia da segunda etapa, obteve-se a variação da distância de distensão em relação ao ponto de equilíbrio assim como o tempo associado. 2.4. Metodologia para a análise de dados Na primeira etapa do experimento foram coletadas 6 medidas diferentes de massa colocadas na extremidade da mola, que permaneceu estática, que provocaram 6 diferentes distorções na mola, que foram medidas com o auxílio de uma régua graduada em milímetros, e suas respectivas incertezas. Posteriormente os dados foram colocados no software SciDavis, e foi feito o ajuste linear(função da forma y = Ax + B para os valores das massa m(eixo y) em função das distorções Δx(eixo x), e a partir da eq.: 𝑚𝑔 = 𝑘𝐻·𝛥𝑥 (1) Sendo y = m e x = Δx, de y = Ax + B onde A = kH/g, e a partir do valor encontrado de A, encontramos o valor da constante de Hooke(kH)(constante elástica da mola): kH = A·g (2) Na segunda etapa do experimento foi escolhida uma massa que foi colocada na extremidade da mola, e essa a partir de uma posição diferente da posição de equilíbrio foi esticada e colocada a oscilar junto com massa. E o movimento de oscilação foi filmado por um tempo de aproximadamente 1 min. Em seguida o vídeo foi exportado para o software Tracker, onde foi possível avaliar o movimento da massa na extremidade da mola em função de uma escala e medida sua posição em cada instante. Os dados da posição e do tempo foram exportados para o software SciDavis, onde foi feito o ajuste não linear dos pontos da posição x em função do tempo t para a equação abaixo: 𝑥(𝑡) = 𝐴·𝑐𝑜𝑠 (√ 𝑘𝑆 𝑚 · 𝑡 + 𝜑) + 𝑥0 (3) A partir de valores iniciais aproximados de A(amplitude), kS(constante elástica), φ(fase inicial), x0(posição de equilíbrio quando a mola se encontra relaxada) os parâmetros foram ajustados um de cada vez, primeiro o φ, depois x0, depois A, e por último o kS. O valor da massa m foi mantido constante e não foi ajustado. Os valores para as incertezas da posição x e do tempo t foram desprezadas dos dados utilizados no ajuste para o a segunda parte do experimento. Na terceira etapa do experimento foi colocado além de uma massa fixa escolhida, um disco de formato circular junto a massa aumentando assim a resistência do ar sofrida pelo conjunto em movimento massa-mola e a partir de uma posição diferente da posição de equilíbrio foi esticada e colocada a oscilar junto com massa. E o movimento de oscilação foi filmado por um tempo de aproximadamente 1 min. Em seguida o vídeo foi exportado para o software Tracker, onde foi possível avaliar o movimento da massa na extremidade da mola em função de uma escala e medida sua posição em cada instante. Os dados da posição e do tempo foram exportados para o software SciDavis, onde foi feito o ajuste não linear dos pontos da posição x em função do tempo t para a equação abaixo: 𝑥(𝑡) = 𝐵·𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 (√ 𝑘𝐴 𝑚 − 𝛾2 · 𝑡 + 𝜑) + 𝑥0 (4) A partir de valores iniciais aproximados de B(amplitude), γ(coeficiente de amortecimento da mola), kA(constante elástica), φ(fase inicial), x0(posição de equilíbrio quando a mola se encontra relaxada) os parâmetros foram ajustados um de cada vez, primeiro o φ, depois x0, depois A, e por último o kA. O valor da massa m foi mantido constante e não foi ajustado. Os valores para as incertezas da posição x e do tempo t foram desprezadas dos dados utilizados no ajuste para o a terceira parte do experimento. Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 3.Resultados e Discussão 3.1. Sistema massa-mola em equilíbrio A Lei de Hooke relaciona a elasticidade de corpos a partir da observação da deformação gerada ao ser aplicada uma força sobre eles. Dessa forma, ao colocarmos um objeto de massa “m” em uma das extremidades de uma mola de constante elástica “k”, orientada ao longo da direção do campo gravitacional, observamos que a mesma sofre uma deformação x. No equilíbrio, obtém-se que o valor dessa deformação é dado pela relação: 𝑚𝑔 = 𝑘𝐻·𝛥𝑥 (5) Para a determinação da elástica da mola (kH) através da Lei de Hooke procedemos a análise da tabela 1 abaixo: Tabela 1. Deslocamento Δx(cm) versus massa m(g) m(kg) σm(kg) Δx(m) σΔx(m) 0.0180.001 -0.1890 0.0007 0.028 0.001 -0.2080 0.0007 0.038 0.001 -0.2290 0.0007 0.048 0.001 -0.2520 0.0007 0.058 0.001 -0.2700 0.0007 0.068 0.001 -0.2940 0.0007 O gráfico apresentado na Figura 1 mostra o comportamento dos dados experimentais informados na Tabela 1, sendo utilizados parâmetros mostrados na tabela 2. Tabela 2. Parâmetros adotados para cálculos do experimento 2 Parâmetros Medida Medida(SI) Σ σ(SI) mp(g) 8,0 0,0080 0,1 0,0001 mc(g) 163,0 0,1630 0,1 0,0001 g(m/s²) 9,782 9,782 0,001 0,001 d(g) 10 0,010 0,5 0,0005 c(g) 50 0,050 0,5 0,0005 σx(cm) 0,05 0,0005 - - Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 Figura 1. Comportamento massa versus deslocamento. Aplicando o modelo a ser ajustado obtemos os valores apresentados na Figura 2 abaixo: Figura 2. Dados experimentais com suas incertezas e o respectivo ajuste via regressão linear A*x+B, onde A é kH/g e x é Δx. Pelo ajuste apresentado na Figura 2 temos a constante elástica da mola kH dado pelo produto da inclinação A do gráfico e do valor da gravidade local, adotado como g = (9,782 ± 0,001) m/s²: k = A·g (6) kH = (4,627 ± 0,066) N/kg Esse valor de k = kH será usado como k teórico para base de comparação para os valores de constante da mola encontrados nos ajustes de oscilação simples e amortecido. Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 3.2 Oscilações Simples Na segunda etapa do experimento foi analisado o que ocorre quando um corpo de massa m pendurado numa mola vertical sob a ação do campo gravitacional posto a oscilar, como mostra a figura abaixo: Figura 3. Comportamento massa versus deslocamento. Por meio da segunda Lei de Newton, conseguiu-se a descrição matemática para o movimento oscilatório, quando considerado que sobre o objeto de massa atuam apenas as forças gravitacionais e elásticas. Desta maneira, é possível expressar a posição da mola em relação ao tempo, como segue abaixo: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡 + 𝜑) + 𝑥0 (7) Onde a frequência angular natural do sistema é dada por: 𝜔0 = √ 𝑘 𝑚 (8) Com o auxílio do software Tracker, obteve-se o registro do tempo, em relação à posição, quando determinado um eixo coordenado. Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 Tabela 3. Posição x(cm) versus massa m(g) t (s) x (m) t (s) x (m) t (s) x (m) 0,000 0,026 0,999 0,086 1,999 0,152 0,032 0,048 1,032 0,115 2,032 0,181 0,065 0,075 1,065 0,147 2,065 0,209 0,099 0,106 1,099 0,178 2,099 0,235 0,132 0,139 1,132 0,207 2,132 0,256 0,165 0,172 1,165 0,235 2,165 0,273 0,199 0,204 1,199 0,258 2,199 0,284 0,232 0,233 1,232 0,275 2,232 0,290 0,265 0,258 1,265 0,287 2,265 0,288 0,299 0,278 1,299 0,294 2,299 0,279 0,332 0,290 1,332 0,292 2,332 0,264 0,365 0,297 1,365 0,284 2,365 0,245 0,399 0,296 1,399 0,269 2,399 0,221 0,432 0,288 1,432 0,249 2,432 0,194 0,465 0,274 1,465 0,225 2,465 0,166 0,499 0,254 1,499 0,198 2,499 0,137 0,532 0,229 1,532 0,168 2,532 0,110 0,565 0,200 1,565 0,137 2,565 0,085 0,599 0,168 1,599 0,108 2,599 0,066 0,632 0,135 1,632 0,081 2,632 0,051 0,665 0,104 1,665 0,061 2,665 0,042 0,699 0,075 1,699 0,045 2,699 0,039 0,732 0,051 1,732 0,034 2,732 0,040 0,765 0,037 1,765 0,030 2,765 0,048 0,799 0,024 1,799 0,031 2,799 0,061 0,832 0,019 1,832 0,039 2,832 0,080 0,865 0,020 1,865 0,052 2,865 0,102 0,899 0,028 1,899 0,071 2,899 0,102 0,932 0,042 1,932 0,095 2,932 0,157 0,965 0,061 1,965 0,122 2,965 0,157 É possível por meio dos dados mostrados na tabela 3 obter o gráfico de pontos da posição x da mola em função do tempo mostrado na figura 4, e em seguida foi feito o ajuste para os dados obtendo a curva mostrada na figura 5. Foi encontrado no ajuste para a eq. (3) obtemos kS = (4,704 ± 0,016) N/m, comparando com o valor de kH da primeira parte do experimento, encontramos um erro: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = | 𝑘𝑆 − 𝑘𝐻 𝑘𝐻 | = | 4,704 − 4,627 4,627 | = 0,017 = 1,7% A partir do ajuste, é possivel encontrar a frequência natural de oscilação ω0 dade pela eq., obtenhe-se: ω0 = √ 4,704 0,108 = 6,600 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 Figura 4. Comportamento posição versus tempo. Figura 5. Ajuste posição versus tempo oscilação simples. 3.3 Oscilações Amortecidas Na terceira etapa do experimento, analisamos o que ocorre quando temos um corpo de massa m junto com um disco de massa mc, que aumenta a resistência do ar devido a ação do aumento da área de contato(área do disco), pendurado numa mola vertical sob a ação do campo gravitacional, diminuindo de forma mais rápida a amplitude do movimento de oscilação. Desta maneira, é possível expressar a posição da mola em relação ao tempo, como segue abaixo: 𝑥(𝑡) = 𝐵𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + 𝜑) + 𝑥0 (9) Onde a frequência angular natural do sistema é dada por: ω = √𝜔02 − 𝛾2 (10) Com o auxílio do software Tracker, obtivemos o registro do tempo, em relação à posição, quando determinado um eixo coordenado. Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 Tabela 4. Posição x(cm) versus massa m(g) t (s) x (m) t (s) x (m) t (s) x (m) t (s) x (m) 0,000 0,1271 14,000 -0,0068 28,000 -0,0106 42,000 0,0017 0,500 -0,0758 14,500 -0,0147 28,500 0,0089 42,500 -0,0067 1,000 0,0120 15,000 0,0227 29,000 -0,0104 43,000 -0,0007 1,500 0,0531 15,500 -0,0277 29,500 0,0024 43,500 -0,0013 2,000 -0,0930 16,000 0,0192 30,000 -0,0016 44,000 -0,0057 2,500 0,0909 16,500 -0,0066 30,500 -0,0079 44,500 0,0017 3,000 -0,0759 17,000 -0,0068 31,000 0,0060 45,000 -0,0042 3,500 0,0118 17,500 0,0180 31,500 -0,0108 45,500 0,0004 4,000 0,0305 18,000 -0,0218 32,000 0,0029 46,000 -0,0011 4,500 -0,0683 18,500 0,0224 32,500 -0,0053 46,500 -0,0036 5,000 0,0671 19,000 -0,0097 33,000 -0,0054 47,000 0,0019 5,500 -0,0544 19,500 -0,0021 33,500 0,0029 47,500 -0,0051 6,000 0,0176 20,000 0,0123 34,000 -0,0110 48,000 0,0018 6,500 0,0149 20,500 -0,0178 34,500 0,0029 48,500 -0,0012 7,000 -0,0489 21,000 0,0152 35,000 -0,0067 49,000 -0,0049 7,500 0,0519 21,500 -0,0086 35,500 -0,0064 49,500 0,0005 8,000 -0,0446 22,000 -0,0002 36,000 -0,0009 50,000 -0,0041 8,500 0,0171 22,500 0,0064 36,500 -0,0118 50,500 -0,0005 9,000 0,0028 23,000 -0,0150 37,000 0,0016 51,000 -0,0021 9,500 -0,0351 23,500 0,0154 37,500 -0,0092 51,500 -0,0011 10,000 0,0425 24,000 -0,0104 38,000 -0,0051 52,000 0,0016 10,500 -0,0378 24,500 0,0016 38,500 -0,0008 52,500 -0,0024 11,000 0,0262 25,000 0,0042 39,000 -0,0095 53,000 -0,0004 11,500 0,0010 25,500 -0,0114 39,500 0,0010 53,500 -0,0009 12,000 -0,0206 26,000 0,0097 40,000 -0,0073 54,000 -0,0022 12,500 0,0318 26,500 -0,0118 40,500 -0,0038 54,500 -0,0009 13,000 -0,0331 27,000 0,0041 41,000 -0,0027 55,000 -0,0009 13,500 0,0237 27,500 -0,0017 41,500 -0,0080 55,500 0,0006 É possível por meio dos dados mostrados na tabela 4 obter o gráfico de pontos da posição x da mola em função do tempo mostrado na figura 6, e em seguida foi feito o ajuste para os dados obtendo a curva mostrada na figura 7. Foi encontrado no ajuste para a eq. (4) obtemos kA = (4,821 ± 0,001) N/m, comparando com o valor de kH da primeira parte do experimento, encontramosum erro: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = | 𝑘𝑆 − 𝑘𝐻 𝑘𝐻 | = | 4,821 − 4,627 4,627 | = 0,042 = 4,2% A partir do ajuste, é possível encontrar a frequência natural de oscilação ω0 dada pela eq., obtêm-se ω0 = √ 4,821 0,193 = 4,998 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Ainda segundo o mesmo ajuste foi possível encontrar o valor de γ: 𝛾 = 0,149 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 Figura 6. Comportamento massa versus deslocamento. Figura 7. Ajuste posição versus tempo oscilação simples. Universidade Federal de Sergipe – Departamento de Física – Laboratório de Física C – 2018.1 4. Conclusões Com base nos aspectos observados, pode-se concluir que na terceira etapa do experimento, não foi possível inferir valores com aproximação razoável para x0 com base na equação mostrada abaixo: 𝑥0 = 𝑚𝑔 𝑘 Este fato decorreu pois nessa etapa do a equação que descreve a posição em função do tempo possui o parâmetro γ, que é o coeficiente de amortecimento da mola, que faz com que a curva tenha o aspecto observado na figura 7, em a posição oscila em torno do eixo, na posição zero, e tem a amplitude diminuindo de forma exponencial a medida que o tempo t aumenta. Além disso foi possível concluir como o efeito do aumento de resistência, nesse caso a resistência do ar, provocou uma maior velocidade na perda de energia cinética do sistema massa- mola, como aconteceu na etapa do experimento relativa a oscilação amortecida, e que na menor ação de forças dissipativas de atrito, como na etapa do experimento relativa a oscilação simples, o sistema se comporta mais próximo ao esperado teoricamente segundo a um movimento harmônico simples dado pela eq. (7). No que diz respeito a etapa inicial do experimento pode-se observar que se mostrou como a melhor maneira para se determinar o valor de k(constante elástica da mola), quando comparado as etapas 2 e 3 do experimento.
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