CapLimites de Funções

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Capítulo 3
LIMITES DE FUNÇÕES
VECTORIAIS DE
VARIÁVEL VECTORIAL
Em Análise Real estudam-se funções reais de variável real (f r.v.r) cujo
domínio é um conjunto de números reais e cujo conjunto de chegada é IR.
Generalizemos agora o conceito de função, do seguinte modo:
De…nição 3.1 Seja D um subconjunto de IRn. Designa-se por função vectorial
de variável vectorial (f v.v.v) ou função vectorial de n variáveis reais toda a
aplicação
f : D � IRn �! IRm;
que associa a um vector x;
x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 D;
um vector f(x),
f (x) = (y1; y2; : : : ; ym) 2 IRm:
Exemplos de funções v.v.v. surgem em diversos problemas físicos. Por ex-
emplo, para especi…car a temperatura de uma região R do espaço, de…ne-se
uma função T : R � IR3 �! IR em que T (x; y; z) é a temperatura do ponto de
coordenadas (x; y; z); para descrever a velocidade de um ‡uido numa região R
do espaço, de…ne-se uma função V : R � IR4 �! IR3 em que V (x; y; z; t) dá o
vector velocidade do ‡uido no ponto (x; y; z) e no instante t (Figura 3.1).
Se representarmos (y1; y2; : : : ; ym) por (f1 (x) ; f2 (x) ; : : : ; fm (x)), as funções
f1, f2; : : : ; fm designam-se por funções coordenadas de f .
Notemos que estas funções são reais, de n variáveis reais, isto é,
fi : D � IRn �! IR, i = 1; 2; : : : ;m .
1
Figura 3.1: Fluido em movimento.
De…nição 3.2 Seja f : D � IRn �! IRm. Designa-se por grá…co de f o
conjunto
Gf = f(x1; x2; : : : ; xn; y1; y2; : : : ; ym) : yi = fi (x1; x2; : : : ; xn) ; i = 1; 2; : : : ;mg
Nota 3.1 1. Observe-se que Gf � IRn � IRm
2. Por uma questão de simplicidade de escrita iremos muitas vezes notar as
componentes de funções vectoriais de duas variáveis e de funções vectoriais
de três variáveis, respectivamente, por (x; y) e (x; y; z).
Exemplo 3.1 1.
f : IR2 �! IR
(x; y) 7�! x2 + y2
Há apenas uma função coordenada, f1 (x; y) = x2 + y2.
A Figura 3.2 é uma representação grá…ca da função f . O grá…co de f está
contido em IR3:
2.
g : IR2 �! IR
(x; y) 7�! y
Há apenas uma função coordenada, g1 (x; y) = y.
A Figura 3.3 é uma representação grá…ca da função g. O grá…co de g está
contido em IR3.
3.
h : IR �! IR2
x 7�! (cos 10x; sin 10x)
Neste caso há duas funções coordenadas, h1(x) = cos 10x e h2(x) = sin 10x
.
2
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 2
- 1
0
1
2
x
- 2
- 1
0
1
2y
0
1
2
3
4
z
- 2
- 1
0
1
2
x
- 2
- 1
0
1
2y
Figura 3.2: Representação grá…ca de f(x; y) = x2 + y2
A Figura 3.4 é uma representação grá…ca da função h. O grá…co de h está
contido em IR3.
4.
f : IR2 �! IR3
(x; y) 7�! �x2y; x+ y; yex�
Há três funções coordenadas, f1 (x; y) = x2y, f2 (x; y) = x+y e f3 (x; y) =
yex e Gf � IR5.
3.1 Limite de uma função vectorial
Recordemos a de…nição de limite no contexto das funções reais de variável
real.
Seja f : D � IR �! IR e x0 2 D0 (x0 ponto de acumulação de D). Diz-se
que o limite de f quando x tende para x0 é L, e escreve-se
lim
x�!x0
f (x) = L
se
8" > 0 9� > 0 : 8x 2 D 0 < jx� x0j < � =) jf (x)� Lj < "
Esta de…nição, cuja interpretação geométrica está representada na …gura 3.5,
generaliza-se ao contexto de funções vectoriais de variável vectorial, do seguinte
modo:
3
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
- 1 0
- 5
0
5
1 0
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
Figura 3.3: Representação grá…ca da função g(x; y) = y
De…nição 3.3 Sejam f : D � IRn �! IRm e P0 2 D0.
Diz-se que o limite de f quando P tende para P0 é L, e escreve-se
lim
P�!P0
f (P ) = L
se
8" > 0 9� > 0 : 8P 2 D 0 < kP � P0k < � =) kf (P )� Lk < "
A interpretação geométrica desta de…nição para uma função real de variável
vectorial, com n = 2, está representada na …gura 3.6.
Nota 3.2 1. As duas normas que aparecem na de…nição são distintas. De
facto, kP � P0k representa uma norma em IRn e kf (P )� Lk representa
uma norma em IRm.
2. Tal como já acontece em IR, pelo facto de termos kP � P0k > 0 no conceito
de limite, não é considerado o valor que a função assume em P0, podendo
mesmo não estar de…nida neste ponto. Além disso, o facto de P0 2 D0,
implica que o conjunto dos valores P 2 D tais que 0 < kP � P0k < � seja
não vazio.
3. A noção de limite pode apresentar-se recorrendo ao conceito de bola (…gura
3.7).
Assim,
lim
P�!P0
f (P ) = L
4
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
x
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1y
0
0 . 5
1
1 . 5
2
z
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
x
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1y
Figura 3.4: Representação grá…ca da função h(x) = (cos 10x; sin 10x)
se
8" > 0 9� > 0 : 8P 2 D P 2 B (P0; �) n fP0g =) f (P ) 2 B (L; ")
ou
8" > 0 9� > 0 : 8P 2 D f (B (P0; �) n fP0g) � B (L; ") :
4. Atendendo à equivalência entre normas, em IRn; quaisquer que sejam as
normas utilizadas na de…nição de limite, os conceitos são equivalentes.
Exemplo 3.2 1. Seja a função
f : IR2 �! IR
(x; y) 7�! x
representada gra…camente na …gura 3.8.
1. Mostremos, por de…nição, que
lim
(x;y)�!(0;0)
x = 0 .
Sendo " > 0, arbitrário, queremos mostrar que
9� > 0 : 8 (x; y) 2 IR2 0 < k(x; y)� (0; 0)k < � =) jx� 0j < " . (3.1)
5
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Figura 3.5: Interpretação geométrica da de…nição de limite em IR
Como
jxj =
p
x2 6
p
x2 + y2 = k(x; y)k
concluímos (3.1) que é veri…cada para � � ".
2. Seja
f : IR2 �! IR
(x; y) 7�! x2p
x2+y2
representada gra…camente na …gura 3.9.
Mostremos, por de…nição, que
lim
(x;y)�!(0;0)
x2p
x2 + y2
= 0 .
Sendo " > 0, arbitrário, queremos mostrar que
9� > 0 : 8 (x; y) 2 IR2� f(0; 0)g ; 0 < k(x; y)k < � =)
����� x2px2 + y2
����� < " .
(3.2)
Considerando que
x2p
x2 + y2
6 x
2 + y2p
x2 + y2
=
p
x2 + y2
concluímos que (3.2) é veri…cada com � = ".
6
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Figura 3.6: Interpretação geométrica do conceito de limite para f : IR2 �! IR
Tal como é conhecido da Análise Real, a caracterização de limite de uma
função v.v.v. pode ser feita recorrendo a sucessões.
O resultado seguinte vai permitir aplicar ao estudo do limite de funções
vectoriais de n variáveis, propriedades, já estudadas, das sucessões em IRn .
Proposição 3.1 Sejam f : D � IRn �! IRm e P0 2 D0.
Então lim
P�!P0
f (P ) = L se e só se para toda a sucessão de elementos de D,
(Ps)s2IN, tal que Ps
IRn�! P0 se tem f (Ps) IR
m
�! L.
Prova. (ilustração geométrica na …gura 3.10)
1. Suponhamos que lim
P�!P0
f (P ) = L e que Ps �! P0 e provemos que
f (Ps) �! L:
Seja " > 0, qualquer. Então
9� > 0 : f(B (P0; �) n fP0g) \D � B (L; ") . (3.3)
Atendendo a que Ps �! P0, então, para este � > 0, podemos concluir que
9s0 2 IN : 8s 2 IN s > s0 =) Ps 2 B (P0; �) : (3.4)
7
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Figura 3.7: Ilustração do conceito de limite.
De (3.3) e (3.4) concluímos que
8" > 0 9s1 = s0 2 IN : 8s 2 IN s > s1 =) f (Ps) 2 B (L; ") ;
o que signi…ca que f (Ps) �! L.
2. Admitamos que lim
P�!P0
f (P ) 6= L, ou seja,
9" > 0 8� > 0 9P 2 D : 0 < kP � P0k < � ^ kf (P )� Lk > ":
Então, se � = 1m
9Pm 2 D : 0 < kPm � P0k < 1
m
^ kf (Pm)� Lk > ":
Construímos, assim, uma sucessão (Pm)m2IN ; de elementos de D; tal que
Pm �! P0
mas lim
m�!1f (Pm) 6= L.
A proposição seguinte permite concluir que o estudo de funções vectoriais de
n variáveis pode reduzir-se ao estudo dos limites das suas funções coordenadas,
isto é, pode reduzir-se ao estudo de limites de funções reais de n variáveis.
8
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Exemplo 3.3 - 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
- 1 0
- 5
0
5
1 0
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
Figura 3.8: Representação grá…ca def(x; y) = x
Proposição 3.2 Sejam f : D � IRn �! IRm e P0 2 D0.
Então lim
P�!P0
f (P ) = L se e só se lim
P�!P0
fi (P ) = Li; i = 1; 2; : : : ;m em que
L = (L1; L2; : : : ; Lm).
Prova.
1. Suponhamos que
lim
P�!P0
f (P ) = L;
isto é, dado " > 0, arbitrário,
9� > 0 : 8P 2 D 0 < kP � P0k < � =) kf (P )� Lk < ":
Queremos provar que
9�i > 0 : 8P 2 D 0 < kP � P0k < �i =) jfi (P )� Lij < " . (3.5)
Como
(f (P )� L) = (f1 (P )� L1; f2 (P )� L2; : : : ; fm (P )� Lm)
e
jfi (P )� Lij 6 kf (P )� Lk
concluímos que (3.5) se veri…ca para �i = �.
9
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
0
2 . 5
5
7 . 5
1 0
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
Figura 3.9: Representação grá…ca de f (x; y) = x
2p
x2+y2
2. Suponhamos agora que
lim
P�!P0
fi (P ) = Li; i = 1; 2; : : : ;m;
ou seja, dado " > 0, arbitrário,
9�i > 0 : 8P 2 D 0 < kP � P0k < �i =) jfi (P )� Lij < "p
m
.
Queremos provar que
9� > 0 : 8P 2 D 0 < kP � P0k < � =) kf (P )� Lk < ":
Utilizando a norma euclidiana tem-se
kf (P )� Lk =
rXm
i=1
(fi (P )� Li)2:
Concluímos assim que para 0 < kP � P0k < �; com � = min f�1; �2; : : : ; �mg,
se tem rXm
i=1
(fi (P )� Li)2 <
sXm
i=1
�
"p
m
�2
=
r
m
"2
m
= ":
A proposição seguinte estabelece propriedades fundamentais respeitantes à
aritmética de limites.
10
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Figura 3.10: Ilustração geométrica da proposição 3.1
Proposição 3.3 Seja P0 2 D0. Então:
1. Se f; g : D � IRn �! IRm, lim
P�!P0
f (P ) = L1 e lim
P�!P0
g (P ) = L2 então
lim
P�!P0
f (P )� g (P ) = L1 � L2:
2. Se f : D � IRn �! IRm, g : D � IRn �! IR , lim
P�!P0
f (P ) = L1 e
lim
P�!P0
g (P ) = L2 então
lim
P�!P0
(gf) (P ) = lim
P�!P0
g (P ) f (P ) = L1L2:
3. Se f : D � IRn �! IRm, g : D � IRn �! IR ,
lim
P�!P0
f (P ) = L1 e lim
P�!P0
g (P ) = L2 6= 0 então
existe uma vizinhança V de P0 tal que g é não nula em D \ (V n fP0g) e
lim
P�!P0
f
g
(P ) = lim
P�!P0
f (P )
g (P )
=
L1
L2
:
Prova. A demonstração é consequência imediata da Proposição sobre arit-
mética de sucessões (Proposição 2.4) e da Proposição que caracteriza limite em
termos de sucessões (Proposição 3.1).
11
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Provemos apenas que se
lim
P�!P0
g (P ) = L2;
com L2 6= 0, então existe uma vizinhança V de P0 tal que g é não nula em
D \ (V n fP0g).
Com efeito,
8" > 0 9� > 0 : P 2 D ^ 0 < kP � P0k < � =) jg (P )� L2j < ";
ou seja,
8" > 0 9� > 0 : P 2 D \ (B (P0; �) n fP0g) =) g (P ) 2 ]L2 � "; L2 + "[
Se considerarmos " tal que L2� " > 0, no caso de L2 > 0, ou L2 + " < 0, no
caso de L2 < 0, conclui-se imediatamente o resultado pretendido.
Outro resultado utilizado no cálculo de limites é o seguinte:
Proposição 3.4 Sejam D � IRn, i = 1; 2; : : : ; n e P0 =
�
x01; x
0
2; : : : ; x
0
n
� 2 D0.
Considerem-se as funções �i : D
P=(x1;x2;:::;xn)
�!7�! IRxi
Então lim
P�!P0
�i (P ) = x
0
i .
Prova. Seja " > 0, arbitrário.
Temos que ��xi � x0i �� � kP � P0k .
Logo,
9 � = " : 8P 2 D 0 < kP � P0k < � =)
���i (P )� x0i �� < ":
Exemplo 3.4 1. Seja
f : IR2 �! IR
(x; y) 7�! x2 + y2 + 2
representada gra…camente na …gura 3.11.
Considerando que f é a soma das três funções,
(x; y) 7�! x2, (x; y) 7�! y2, (x; y) 7�! 2 ,
e que o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o
produto dos limites, e atendendo à proposição anterior, temos:
lim
(x;y)�!(0;1)
x2 + y2 + 2 =
�
lim
(x;y)�!(0;1)
x
�2
+
�
lim
(x;y)�!(0;1)
y
�2
+ lim
(x;y)�!(0;1)
2
= 02 + 12 + 2 = 3:
12
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 2
- 1
0
1
2
x
- 2
- 1
0
1
2y
2
3
4
5
6
z
- 2
- 1
0
1
2
x
- 2
- 1
0
1
2y
Figura 3.11: Representação grá…ca de f(x; y) = x2 + y2 + 2
2. Seja
f : IR �! IR2
x 7�! �x2; ex�
Tem-se
lim
x�!1
f (x) = lim
x�!1
�
x2; ex
�
=
�
lim
x�!1
x2; lim
x�!1
ex
�
= (1; e) :
Proposição 3.5 Sejam f : D � IRn �! IRm e P0 2 D0.
1. Se lim
P�!P0
f (P ) = L então para todo o conjunto A tal que P0 2 (A \D)0,
tem-se
lim
P�!P0
P2A\D
f (P ) = L:
2. Se existe V , vizinhança de P0, tal que lim
P�!P0
P2V \D
f (P ) = L, então
lim
P�!P0
f (P ) = L:
Prova.
1. Seja " > 0 qualquer.
Sabemos que
9� > 0 : 8P 2 D 0 < kP � P0k < � =) kf (P )� Lk < ".
13
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Queremos provar que
9�1 > 0 : 8P 2 (A \D) 0 < kP � P0k < �1 =)
fjA\D (P )� L
 < ".
É imediato que esta proposição é verdadeira para �1 = �, uma vez que
A \D é um subconjunto de D.
2. Seja " > 0; qualquer.
Por hipótese,
9� > 0 : 8P 2 V \D; 0 < kP � P0k < � =) kf (P )� Lk < ".
Queremos provar que
9�1 > 0 : 8P 2 D; 0 < kP � P0k < �1 =) kf (P )� Lk < ".
Se V é vizinhança de P0,
9 r > 0 : B (P0; r) � V .
Considerando �1 = min f�; rg, temos que se
P 2 D e 0 < kP � P0k < �1
então
kf (P )� Lk < ".
O resultado anterior pode ser utilizado para provar a não existência de limite.
Com efeito, se tivermos dois conjuntos A e B, tais que
lim
P�!P0
P2A\D
f (P ) 6= lim
P�!P0
P2B\D
f (P )
concluímos que não existe lim
P�!P0
f (P ). O mesmo podemos concluir se não
existir um daqueles limites.
Exemplo 3.5 1. Seja
f : IR2n f(0; 0)g �! IR
(x; y) 7�! x+2y3x�y
,
Consideremos os conjuntos
A = f(x; 0) : x 2 IRn f0gg e B = f(0; y) : y 2 IRn f0gg .
14
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Veri…camos que
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2A
x+ 2y
3x� y = limx�!0
x
3x
= lim
x�!0
1
3
=
1
3
;
e
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2B
x+ 2y
3x� y = limy�!0
2y
�y = limy�!0�2 = �2.
Como
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2A
x+ 2y
3x� y 6= lim(x;y)�!(0;0)
(x;y)2B
x+ 2y
3x� y ,
podemos a…rmar que
lim
(x;y)�!(0;0)
x+ 2y
3x� y não existe.
O limite desta função também poderia ser estudado através de conjuntos
do tipo
Am = f(x; y) 2 IRn (0; 0) : y = m xg :
Neste caso, teríamos
lim
(x;y)�!(0;0)
y=m x
x+ 2y
3x� y = limx�!0
x+ 2mx
3x� 2mx = limx�!0
x (1 + 2m)
x (3� 2m) =
1 + 2m
3� 2m:
Como este limite depende dem, concluímos que não existe limite da função
no ponto (0; 0).
2. Seja
f : IR2n f(0; 0)g �! IR
(x; y) 7�! x4
y4+(y�x)2
.
Considerando
A = f(x; y) 2 IRn (0; 0) : y = xg ;
temos
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2Am
x4
y4 + (y � x)2 = limx�!0
x4
x4 + (x� x)2 = limx�!0
x4
x4 + 0
= 1:
Se
B =
�
(x; y) 2 IRn (0; 0) : y = x2	 ;
15
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
vem
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2B
x4
y4 + (y � x)2 = limx�!0
x4
x8 + (x2 � x)2 = limx�!0
x2
x6 + x2 � 2x+ 1 = 0:
Como
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2A
f (x; y) 6= lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2B
f (x; y)
concluímos que não existe limite de f em (0; 0).
Se A; B � Df e se
lim
(x;y)�!(x0;y0)
(x;y)2A
f (x; y) = lim
(x;y)�!(x0;y0)
(x;y)2B
f (x; y) = L
nada podemos concluir sobre a existência de limite de f quando (x; y) tende
para (x0; y0). Neste caso podemos ”suspeitar”que o limite existe e que será L.
Para o provar, podemos recorrer à de…nição de limite.
Exemplo 3.6 Calculemos o limite da função
f (x; y) =
(
xy2
x2+y2 se (x; y) 6= (0; 0)
0 se (x; y) = (0; 0)
no ponto (0; 0). (…gura 3.12)
Considerando os conjuntos
Am = f(x; y) 2 IRn (0; 0) : y = m xg ;
temos
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2Am
xy2
x2 + y2
= lim
x�!0
m2x3
x2 +m2x2
= lim
x�!0
m2x
1 +m2
=
0
1 +m2
= 0:
Tomando
Bk =
�
(x; y) 2 IRn (0; 0) : y = kx2	 ;
temos
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2Bk
xy2
x2 + y2
= lim
x�!0
k2x5
x2 (1 + k2x2)
= lim
x�!0
k2x3
1 + k2x2
=
0
1
= 0:Como ambos os limites calculados são coincidentes, provavelmente o seu
valor comum, zero, será o lim
(x;y)�!(0;0)
f (x; y) :
16
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
- 5
- 2 . 5
0
2 . 5
5
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0- 50
51 0
y
Figura 3.12: Representação grá…ca de f (x; y) = xy
2
x2+y2
Recorrendo à de…nição, vamos veri…car se, para " > 0, arbitrário, se veri…ca
9� > 0 : 8 (x; y) 2 IR2; 0 < k(x; y)k < � =)
���� xy2x2 + y2 � 0
���� < " . (3.6)
Ora, como
���� xy2x2 + y2
���� = jxj jyj2x2 + y2 �
p
x2 + y2
�p
x2 + y2
�2
x2 + y2
=
p
x2 + y2;
basta considerar � = " para que se veri…que (3.6).
Em conclusão,
lim
(x;y)�!(0;0)
f (x; y) = 0:
A proposição seguinte estabelece condições para que possamos concluir sobre
a existência de limite de uma função num ponto, recorrendo a subconjuntos do
domínio da função.
Proposição 3.6 Sejam D � IRn com D = D1 [D2 e P0 2 D01 \D02: Consid-
eremos f : D �! IRm. Se
lim
P�!P0
fjD1 (P ) = lim
P�!P0
fjD2 (P ) = L
então
lim
P�!P0
f (P ) = L:
17
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Prova. Seja " > 0, qualquer. Pretendemos provar que
9� > 0 : 8P 2 D; 0 < kP � P0k < � =) kf (P )� Lk < ".
Se
lim
P�!P0
fjD1 (P ) = L
então
9�1 > 0 : 8P 2 D1; 0 < kP � P0k < �1 =) kf (P )� Lk < ",
e se
lim
P�!P0
fjD2 (P ) = L
então
9�2 > 0 : 8P 2 D2; 0 < kP � P0k < �2 =) kf (P )� Lk < ".
Consideremos � = min f�1,�2g e P 2 D. Se P 2 D1 e 0 < kP � P0k < �
então também 0 < kP � P0k < �1 e, consequentemente, kf (P )� Lk < "; se
P 2 D2 e 0 < kP � P0k < � então 0 < kP � P0k < �2 e, consequentemente,
kf (P )� Lk < ".
Nota 3.3 A proposição anterior pode generalizar-se ao caso em que D é a
reunião de um número …nito de conjuntos.
Exemplo 3.7 Consideremos a função g : IR2 �! IR de…nida por
g (x; y) =
8<: x
2 ; x2 + y2 < 2y
x+ y ; x2 + y2 = 2y
y2 ; x2 + y2 > 2y
Estudemos a existência de limite de g (x; y) quando (x; y) tende para (0; 0),
para (1; 1) e para (0; 1).
Comecemos por dividir o domínio da função, D = IR2, em três regiões:
D1 =
�
(x; y) 2 IR2 : x2 + y2 < 2y	 ;
D2 =
�
(x; y) 2 IR2 : x2 + y2 = 2y	 ;
D3 =
�
(x; y) 2 IR2 : x2 + y2 > 2y	 :
� (0; 0) é ponto de acumulação de D1, D2 e D3 e D = D1 [D2 [D3.
Além disso,
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2D1
g (x; y) = lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2D1
x2 = 0 ,
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2D2
g (x; y) = lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2D2
x+ y = 0 ,
lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2D3
g (x; y) = lim
(x;y)�!(0;0)
(x;y)2D3
y2 = 0 .
18
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Logo, pela proposição 3.1.6, concluímos que
lim
(x;y)�!(0;0)
g (x; y) = 0:
� (1; 1) é ponto de acumulação de D1, D2 e D3: Além disso
lim
(x;y)�!(1;1)
(x;y)2D1
g (x; y) = lim
(x;y)�!(1;1)
(x;y)2D1
x2 = 1 ,
lim
(x;y)�!(1;1)
(x;y)2D2
g (x; y) = lim
(x;y)�!(1;1)
(x;y)2D2
x+ y = 2 ,
lim
(x;y)�!(1;1)
(x;y)2D3
g (x; y) = lim
(x;y)�!(1;1)
(x;y)2D3
y2 = 1 .
Pela proposição 3.1.5 (parte 1) concluímos que
lim
(x;y)�!(0;0)
g (x; y) não existe.
� (0; 1) é ponto de acumulação de D1 mas não de D2[ D3.
Como D1 é vizinhança de (0; 1) e
lim
(x;y)�!(0;1)
(x;y)2D1
g (x; y) = lim
(x;y)�!(0;1)
(x;y)2D1
x2 = 0;
pela proposição 3.1.5 (parte 2) concluímos que
lim
(x;y)�!(0;1)
g (x; y) = 0:
A proposição seguinte dá-nos uma condição necessária para a existência de
limite de uma função num ponto, sendo, portanto, útil, na demonstração da não
existência de certos limites.
Proposição 3.7 Sejam f : D � IRn �! IRm e P0 2 D0.
Se existe lim
P�!P0
f (P ) então existem M > 0 e uma vizinhança V de P0, tais
que
kf (P )k 6M , para todo o P 2 D \ V n fP0g :
Prova. Suponhamos que lim
P�!P0
f (P ) = L. Então,
8" > 0 9� > 0 : 8P 2 D; 0 < kP � P0k < � =) kf (P )� Lk < ".
Considerando " …xo, por exemplo " = 1, temos que
9�1 > 0 : 8P 2 D; 0 < kP � P0k < �1 =) kf (P )� Lk < 1.
19
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Mas
kf (P )k � kLk 6 jkf (P )k � kLkj 6 kf (P )� Lk .
Logo,
P 2 D ^ 0 < kP � P0k < �1 =) kf (P )k � kLk < 1,
ou ainda,
P 2 D ^ 0 < kP � P0k < �1 =) kf (P )k < 1 + kLk .
Concluímos então que existemM = 1+kLk > 0 e V = B (P0; �1), vizinhança
de P0, tais que
kf (P )k 6M , 8P 2 D \ V n fP0g .
Exemplo 3.8 Consideremos a função
f : IR2n f(0; 0)g �! IR
(x; y) 7�! 1x2+y2
,
e estudemos a existência do limite de f no ponto (0; 0). (…gura 3.13)
- 1 0
- 5
0
5
1 0x
- 1 0 - 5 0 5 1 0
y
0
0 . 0 2
0 . 0 4
0 . 0 6
0 . 0 8
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0x
- 1 0 - 5 0 5 1 0
y
Figura 3.13: Representação grá…ca de f(x; y) = 1x2+y2
Mostremos que, qualquer que seja a vizinhança W de (0; 0), a função não é
limitada, ou seja,
8M > 0 8W 2 V(0;0) 9P 2 IR2 \W n f(0; 0)g : kf (P )k > M: (3.7)
20
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
Ora, se W é vizinhança de (0; 0), então
9r > 0 : B ((0; 0) ; r) �W .
Por outro lado,
kf (P )k > M () 1
x2 + y2
> M ()
p
x2 + y2 <
1p
M
() kPk < 1p
M
.
Portanto, o ponto P tal que P 2 B ((0; 0) ; �) com � = min
n
r; 1p
M
o
; veri…ca
(3.7).
Logo,
lim
(x;y)�!(0;0)
1
x2 + y2
não existe.
A proposição seguinte é também útil no cálculo de certos limites.
Proposição 3.8 Sejam f; g : D � IRn �! IRm, P0 2 D0 e V uma vizinhança
de P0. Seja ainda lim
P�!P0
g (P ) = 0. As seguintes propriedades são válidas:
1. Se kf (P )k 6 kg (P )k para todo P 2 V \D� fP0g então
lim
P�!P0
f (P ) = 0:
2. Se f é limitada em V \D n fP0g então
lim
P�!P0
(f j g) (P ) = 0:
Prova.
1. Seja " > 0, qualquer. Pretende-se provar que
9� > 0 : 8P 2 D; 0 < kP � P0k < � =) kf (P )k < ". (3.8)
Por hipótese,
9�1 > 0 : 8P 2 D; 0 < kP � P0k < �1 =) kg (P )k < "
e
kf (P )k 6 kg (P )k para todo P 2 V \D� fP0g .
Se V uma vizinhança de P0 então
9�2 > 0 : B (P0; �2) � V
e � = min f�1,�2g veri…ca (3.8).
21
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
2. Seja M > 0.
Sabe-se que existe V , vizinhança de P0, tal que
P 2 V \D n fP0g =) kf (P )k < M .
Tem-se sucessivamente,
j(f j g) (P )j =
= j(f (P ) j g (P ))j 6
6 kf (P )k kg (P )k <
< M kg (P )k =
= kMg (P )k :
Como
lim
P�!P0
M:g (P ) = M lim
P�!P0
g (P ) = M:0 = 0,
concluí-se, usando o ponto 1., que
lim
P�!P0
(f j g) (P ) = 0:
Exemplo 3.9 Seja
f : IR2n f(x; y) : y = 2g �! IR
(x; y) 7�!
�
x+ (y � 2)2
�
cos x+1y�2
.
representada gra…camente na …gura 3.14.
Estudemos a existência de limite da função f no ponto (0; 2).
Ora, (0; 2) é ponto de acumulação do domínio de f , Df , e
jf (x; y)j =
����hx+ (y � 2)2i cos x+ 1y � 2
���� 6 ���x+ (y � 2)2��� ; 8 (x; y) 2 Df .
Além disso,
lim
(x;y)�!(0;2)
gjDf (x; y) = 0
onde g (x; y) = x+ (y � 2)2. Logo,
lim
(x;y)�!(0;2)
�
x+ (y � 2)2
�
cos
x+ 1
y � 2 = 0:
Notemos que não se deve confundir
lim
P�!P0
f(P );
22
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0y
0
5 0
1 0 0
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x0
5 0
1 0 0
z
Figura 3.14: Representação grá…ca de f(x; y) =
�
x+ (y � 2)2
�
cos x+1y�2
isto é,
lim
(x1;x2;:::;xn)�!(x01;x02;:::;x0n)
f (x1; x2; : : : ; xn)
com os limites iterados ou sucessivos
lim
x1�!x01
lim
x2�!x02
: : : lim
xn�!x0n
f (x1; x2; : : : ; xn) :
De facto, no primeiro caso tem-se que xi �! x0i , i = 1; 2; : : : ; n ”em
simultâneo”, ou seja, poder-se-ia escrever aquele limite sob a forma
lim
xi�!x0i
i=1;2;:::;n
f (x1; x2; : : : ; xn) :
No segundo caso, xi �! x0i , i = 1; 2; : : : ; n ”sequencialmente”, uma variável
após outra, havendo n! limites do tipo iterado.
Exemplo 3.10 1. Seja
f : IR2n f(0; 0)g
(x;y)
�!7�! IRx2�y2
x2+y2
representadagra…camente na …gura 3.15.
Tem-se que
lim
y�!0
lim
x�!0
x2 � y2
x2 + y2
= lim
y�!0
�y2
y2
= �1
23
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
Figura 3.15: Representação grá…ca de f(x; y) = x
2�y2
x2+y2
e
lim
x�!0
lim
y�!0
x2 � y2
x2 + y2
= lim
x�!0
x2
x2
= 1:
O lim
(x;y)�!(0;0)
f (x; y) não existe.
2. Mesmo que os limites iterados sejam iguais nada se pode concluir sobre a
existência de limite da função, tal como acontece no exemplo seguinte:
f : IR2n f(0; 0)g �! IR
(x; y) 7�! xyx2+y2
Tem-se que
lim
x�!0
lim
y�!0
f (x; y) = lim
y�!0
lim
x�!0
f (x; y) = 0
mas
lim
(x;y)�!(0;0)
f (x; y) não existe .
3. Dada a função
f (x; y) =
�
y sin 1x se x 6= 0
0 se x = 0
mostremos que embora não exista um dos limites iterados, existe contudo
lim
(x;y)�!(0;0)
f (x; y) :
24
3.1. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VECTORIAL
De facto,
lim
x�!0
lim
y�!0
y sin
1
x
= lim
x�!0
0: sin
1
x
= lim
x�!0
0 = 0
e
lim
y�!0
lim
x�!0
y sin
1
x
não existe, pois a função seno não tem limite no in…nito.
No entanto,
lim
(x;y)�!(0;0)
f (x; y) = 0;
pois a função f é o produto de uma função limitada por uma função que
tende para zero.
25
3.2. EXERCÍCIOS
3.2 Exercícios
1. Descreva, analítica e geometricamente, o domínio das seguintes funções:
(a) f (x; y) = xyy�2x (b) f (x; y) =
p
x+1p
1�x2�y2
(c) f (x; y) =
q
x
x�y (d) f (x; y; z) =
p
4� x2 � y2 � z2
(e) f (x; y) =
q
x2+y2+2x
x2+y2�2x (f) f (x; y) = ln
��
16� x2 � y2� �x2 + y2 � 4��
(g) f (x; y) = ln
�
4� x2 � y2�+ xy2�4x (h) f (x; y; z) =pln (x2 + y2 � 2z2)
(i) f (x; y) =
(
sin(x4+y6)
x4+y6 se x > 0
y +
p
1� x se x � 0
(j) f (x; y) = x
3
3 + arcsin (y + 3)
(k) f (t) =
�
t2;
p
t+ 1; 14�t2
�
(l) f (x; y) =
�
ln (x� y) ; xy
p
x2 � y; 3x+2yp
9�x2�y2
�
2. Para cada uma das seguintes funções, faça a correspondência entre a ex-
pressão designatória, a representação grá…ca e o mapa topográ-
…co. Apresente razões para a sua escolha:
Expressões Designatórias
(a) f (x; y) = 2x+ 3y (b) f (x; y) = jxj+ jyj
(c) f (x; y) = xy (d) f (x; y) = e
1
x2+y2
(e) f (x; y) = yx (f) f (x; y) =
�
x2 � y2�2
(g) f (x; y) = (x� y)2 (h) f (x; y) = cos (y)
(i) f (x; y) = sin (jxj+ jyj) (j) f (x; y) = y6x3+y6
(k) f (x; y) = log
�
1 + x2
�
; x � 0 (l) f (x; y) = cos (x) sin (y)
26
3.2. EXERCÍCIOS
Representações Grá…cas
0246810x-2-1012y01234z0246810x
A
-10-50510x-10-50510y0100200300400z-10-50510x-10-50510y
B
-2-1012x-2-1012y-1012z-2-1012x
C
-4-2024x-4-2024y02.557.510z-4-2024x-4-2024y
D
-10-50510x-10-50510y-5-2.502.55z-10-50510x-10-50510y
E
-4-2024x-4-2024y-20020z-4-2024x-4-2024y
F
-10-50510x-10-50510y1.021.041.061.08z-10-50510x-10-50510y
G
-10-50510x-10-50510y025005000750010000z-10-50510x-10-50510y
H
-4-2024x-4-2024y-20020z-4-2024x
I
-10-50510x-10-50510y-0.500.5z-10-50510x-10-50510y
J
-4-2024x-4-2024y-1-0.500.51z-4-2024x
K
-4-2024x-4-2024y-1-0.500.51z-4-2024x
L
27
3.2. EXERCÍCIOS
Mapas Topográ…cos
-10-50510-10-50510
I
-10-50510-10-50510
II
0246810-2-1012
III
-2-1012-2-1012
IV
-4-2024-4-2024
V
-10-50510-10-50510
VI
-4-2024-4-2024
VII
-4-2024-4-2024
VIII
-10-50510-10-50510
IX
-10-50510-10-50510
X
-4-2024-4-2024
XI
-4-2024-4-2024
XII
28
3.2. EXERCÍCIOS
Notas:
- As representações grá…cas apresentadas foram feitas com recurso ao pro-
grama Mathematica.
- As curvas de nível representadas correspondem a uma sequência de valores
de z com espaçamentos iguais. Os grá…cos são representados com um
sombreado, em que as regiões de maior valor de z são mais claras.
3. Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio, identi…que
as curvas de nível e faça um esboço da superfície que corresponde ao
grá…co da função:
(a) f (x; y) = 1� x� y (b) f (x; y) = y � 1
(c) f (x; y) = 1� x2 (d) f (x; y) = x2 + 9y2
(e) f (x; y) =
p
x2 + y2 (f) f (x; y) = �
p
x2 + y2 � 1
(g) f (x; y) =
p
1� x2 (h) f (x; y) =
p
36� 9x2 � 4y2
(i) f (x; y) = 2� 4x2 � 2y2
4. Para cada uma das seguintes funções, faça a correspondência entre a ex-
pressão designatória e a respectiva representação grá…ca:
(a) f (x; y) = �e�x2�y2
(b) f (x; y) = 1x2+y2
(c) f (x; y) = jxj jyj
(d) f (x; y) = x+ 2y + 3
(e) f (x; y) = cos y
(f) f (x; y) = �y2
29
3.2. EXERCÍCIOS
- 2
0
2
x
- 2 0 2y
0
2
4
6
8
z
- 2
0
2
x0
2
4
6
8
z
I
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0y
- 2 0
0
2 0
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0y
II
- 1 0- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
- 1 0 0
- 7 5
- 5 0
- 2 5
0
z
- 1 0 0
- 7 5
- 5 0
- 2 5
0
z
III
- 5
- 2 . 5
0
2 . 5
5
x
- 5
- 2 . 5
0
2 . 5
5
y
- 1
- 0 . 7 5
- 0 . 5
- 0 . 2 5
0
z
- 1
- 0 . 7 5
- 0 . 5
- 0 . 2 5
0
z
IV
- 5- 2 . 502 . 5
5
x
- 5
- 2 . 5
0
2 . 5
5y
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
z
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
z
V
- 5- 2 . 502 . 5
5
x
- 5
- 2 . 5
0
2 . 5
5y
0
1 0
2 0
3 0
z
0
1 0
2 0
3 0
z
VI
30
3.2. EXERCÍCIOS
5. Uma placa …na de metal ocupa uma região D do plano xOy. A placa foi
aquecida e, em cada ponto (x; y), a temperatura T é dada por
T (x; y) =
100
1 + x2 + y2
:
(a) Identi…que e esboce as linhas isotérmicas da placa, ou seja, as linhas
ao longo das quais a temperatura permanece constante.
(b) Uma formiga, localizada no ponto (1; 4), anda sobre a placa de modo
que a temperatura ao longo da sua trajectória permanece constante.
Qual é a trajectória tomada pela formiga e qual é a temperatura ao
longo da trajectória?
6. Se V (x; y) representa a voltagem num ponto (x; y), então as curvas de
nível de V são chamadas curvas equipotenciais. Ao longo de tais curvas a
voltagem permanece constante. Sendo
V (x; y) =
8p
16 + x2 + y2
;
esboce as curvas equipotenciais nas quais V = 2:0 e V = 0:5.
7. Considere a função f : D � IR2 �! IR de…nida por
f (x; y) =
ln
p
xy + 1
x2 � y2 :
(a) Represente, analítica e geometricamente, o conjunto D.
(b) Considere a sucessão Pn =
�
(�1)n �2� 1n� ; (�1)n ��2 + 1n��n2IN :
Determine o interior, o fecho, o derivado e a fronteira do conjunto
D [ fPn; n 2 INg.
8.. Considere a função f : D � IR2 �! IR de…nida por
f (x; y) =
ln
��y + x2 + 2�py � sinx
tanx
(a) Represente, analítica e geometricamente, o conjunto D.
(b) Considere a sucessão de termo geral
Pn =
( �
�; �
2+2
n
�
se n ímpar
(�; 100) se n par
:
i. Diga se (Pn)n2IN é convergente e limitada. Justi…que.
ii. Determine o interior, o fecho, o derivado e a fronteira do conjunto
D [ fPn; n 2 INg :
31
3.2. EXERCÍCIOS
9. Seja f a função real de…nida por:
f (x; y) =
ln
�
1� y29 � x
2
4
�p
1� y2
y2 + (y � x2 + 1)2 :
(a) Determine o domínio D de f e represente-o geometricamente .
(b) Seja A = D [ ���1 + 6n ; 0� ; n 2 IN	 :
Indique o interior, o fecho, o derivado e a fronteira de A.
10. Seja f a função real de…nida por:
f (x; y) =
ln
�
y2 � yx�p4� x2 � y2
(y � 1)2 + (x+ 1)2 :
(a) Determine o domínio D de f e represente-o geometricamente.
(b) Seja A = D [ ��0; 3� 2n� ; n 2 IN	 :
Indique o interior, o fecho, o derivado e a fronteira de A .
11. Prove, usando a de…nição, que:
(a) lim
(x;y)�!(x0;y0)
x = x0: (b) lim
(x;y)�!(1;3)
2x+ 3y = 11:
(c) lim
(x;y)�!(0;0)x4y4
x4+y2 = 0: (d) lim(x;y)�!(1;1)
xy
x+y =
1
2 :
12. Seja f a função de…nida por
f (x; y) =
�
(x+ y) sin 1x sin
1
y se x 6= 0 ^ y 6= 0
0 se x = 0 _ y = 0 .
Mostre, por de…nição, que f é contínua no ponto (0; 0).
13. Para cada uma das seguintes funções, indique o seu domínio e estude a
existência de limite nos pontos indicados:
(a) x
2
x2+y2 em P0 = (1; 2) (b) ln
�
sin x
2 + (yz)
2
3
�
em P0 =
�
�
2 ;
p
2
2 ;
1
2
�
(c) 2xy
(x+y)2
em P0 = (1;�1) (d) x
4�4y4
2x2+4y2 em P0 = (0; 0)
(e) xy�2x�y+2(x�1)(y2�4y+4) em P0 = (1; 3)
14. Para cada uma das seguintes funções, indique o seu domínio e estude a
existência de limite no ponto P0 = (0; 0):
(a)
�
x2 + 2y2
�
sin 1xy (b)
x3+2xy+3y2p
x2+y2
(c) x
2y
(x2+y2)
p
1�x2�y2 (d)
x3y7+x sin yp
x2+y2
32
3.2. EXERCÍCIOS
15. Calcule os seguintes limites, depois de escrever cada função como com-
posição de duas:
(a) lim
(x;y)�!(0;0)
ln(1�x2�y2)
x2+y2 (b) lim(x;y)�!(0;0)
x2+y2p
x2+y2+1�1 (c) lim(x;y)�!(2;0)
sin(xy)
xy
16. Para cada uma das seguintes funções, indique o seu domínio e estude a
existência de limite nos pontos indicados:
(a) x
2
x2+y2 em P0 = (0; 0) (b)
xy(x2�y2)
x4+y4 em P0 = (0; 0)
(c) 2xy�2y
(x�1)2+y2 em P0 = (1; 0) (d)
xy(x�y)
x2+y4 em P0 = (0; 0)
(e) 3x
3y
x6+y2 em P0 = (0; 0) (f)
(x�1)yz
(x�1)3+y3+z3 em P0 = (1; 0; 0)
17. Considere a função f : D � IR2 �! IR de…nida por
f(x; y) =
(y � x) ln (x+ 1)q
y2 + (y � x)2
:
(a) Determine D, domínio de f .
(b) Considere a função g : IR2 �! IR de…nida por
g(x; y) =
(
f(x; y) ; (x; y) 2 D ^ x 6= y2
sin(�4 xy)
�
4 xy
+ � ; (x; y) 2 D ^ x = y2 ;
com � 2 IR:
i. Determine � de forma a que lim
(x;y)�!(0;0)
g(x; y) não exista;
ii. Determine � de forma a que lim
(x;y)�!(1;1)
g(x; y) exista.
18. Considere a função f : D � IR2 �! IR de…nida por
f(x; y) = ln
�
x ln
�
y � x2�� :
(a) Determine D, domínio de f .
(b) Sendo
X = D [
�
(
1
n
;
1
n
); n 2 IN
�
indique int (X) ; X e fr(X):
33
3.2. EXERCÍCIOS
(c) Considere a função g : IR2 �! IR de…nida por
g(x; y) =
8><>:
f(x; y) ; (x; y) 2 D
(x�1) cos(�2 x+y�1)p
(x�1)2+(y�1)2 ; (x; y) =2 D ^ x 6= y
4 x = y
:
Determine lim
(x;y)�!(1;3)
g(x; y) e lim
(x;y)�!(1;1)
g(x; y):
19. Seja f a função real de…nida por
f (x; y) =
ln jyj
p
4� x2 � y2
x2 + (y � 1)2 :
(a) Determine o domínio D de f e represente-o geometricamente.
(b) Determine os conjuntos fr (D) e D0.
20. Seja
F (x; y) = 2e
x+y
+
xy ln[1� xy]4
x2 + y2
+
cos[�2 � x2y2]
[x4 + y4]
1
2
:
(a) Indique o domínio da função e estude a existência de limite no ponto
(0; 0):
(b) Seja G de…nida por
G(x; y) =
�
F (x; y); se(x; y) 6= (0; 0)
2; se(x; y) = (0; 0)
e seja
Pn = (�1 + 2nsen 1
2n
; e�n
2
cos
1
n
)
n2N :
Analise a convergência das sucessões,
(Pn)n2N e (G(Pn))n2N ;
justi…cando a sua resposta.
21. .Faça um esboço do grá…co da função
8<:
�x2 � y2 + e+ 1; se x2 + y2 � 1
e; se 1 < x2 + y2 � 4
�2 + e+
p
x2 + y2 ; x2 + y2 > 4
:
34
3.2. EXERCÍCIOS
22. Esboce o grá…co da função
f(x; y) =
8><>:
e
� 1
x2+y2�r21 ; x2 + y2 > r21
r21 � x2 � y2 ; r22 � x2 + y2 < r21
r21 � r22 ; x2 + y2 � r22:
em que r1; r2 2 :IR:
23. .Seja f : D � IRn ! IRm e P0 um ponto de acumulação de D.
(a) Utilizando formalismo matemático de…na lim
P!P0
F (P ) = L:
(b) Usando a alínea a) estude a existência de limite da função
f(x; y) =
xy2 cos( 1xy )
x2 + y2
no ponto (0; 0):
24. Seja
F (x; y) =
(x� 1)y ln[1� (x� 1)y]
(x� 1)2 + y2 +
cos[�2 � (x� 1)2y2]
[(x� 1)4 + y4] 12 + e
x�1+y
:
(a) Indique o domínio da função e estude a existência de limite no ponto
(1; 0):
(b) Seja G de…nida por
G(x; y) =
�
F (x; y); se(x; y) 6= (1; 0)
1; se(x; y) = (1; 0)
e seja
Pn = (n
2sen2
1
n
; e�n
2
cos
1
n
)
n2N :
Analise a convergência das sucessões
(Pn)n2N e (G(Pn))n2N ;
justi…cando a sua resposta.
25. Faça um esboço do grá…co da função
8<: e
1
x2+y2 ; se x2 + y2 � 1
e; se 1 < x2 + y2 � 4
�x2 � y2 + 4 + e; x2 + y2 > 4
35
3.2. EXERCÍCIOS
26. .Seja
F (x; y) = 2e
x+y
+
xy ln[1� xy]4
x2 + y2
+
cos[�2 � x2y2]
[x4 + y4]
1
2
:
(a) Indique o domínio da função e estude a existência de limite no ponto
(0; 0):
(b) Seja G de…nida por
G(x; y) =
�
F (x; y); se(x; y) 6= (0; 0)
2; se(x; y) = (0; 0)
e seja
Pn = (�1 + (2n)sen 1
2n
; e�n
2
cos
1
n
):
Análise a convergência das sucessões (Pn)n2N e (G(Pn))n2N ; justi-
…cando a sua resposta.
27. (a) Seja k 2 IR; k 6= 0: Indique o domínio D da função
F (x; y) =
(x� 1)y ln[1� (x� 1)y]
(x� 1)2 + y2 +
sen[(x� 1)2y2 ]
[(x� 1)4 + y4] 12 + ke
x�1+y
:
e estude a existência de limite no ponto (1; 0):
(b) Seja G de…nida por
G(x; y) =
�
F (x; y); se (x; y) 2 D
k; se (x; y) = (1; 0)
e seja
Pn = (n
2sen2
1
n
; e�n
2
cos
1
n
)
n2N :
Analise a convergência das sucessões (Pn)n2N e (G(Pn))n2N ; justi-
…cando a sua resposta.
28. Indique o valor lógico das a…rmações seguintes, justi…cando a sua resposta:
(a) Sejam Ai, i 2 IN; conjuntos abertos. Então \
i2N
fr(Ai) - em que
fr(Ai) representa a fronteira de Ai- é um conjunto fechado.
(b) A sucessão (P
n
)=((1+ 1n )
n; sen
2n
n2 ;
lnn
n ) é limitada mas não é conver-
gente.
29. (a) Seja f : D � IR2 ! IR , de…nida por
f(x; y) =
(x� �)(y � �)
(x� �)2 + (y � �)2
em que (�; �) 6= (0; 0):Analise a existência de limite da função em
(�; �).
36
3.2. EXERCÍCIOS
(b) Estude o
lim
(x;y)!(�;�)
(x� �)3 � (y � �)3
(x� �)2 + (y � �)2(1 + sen2(x+ k))
em que (�; �) 6= (0; 0) e k 2 IR:
30. Prove,utilizando a de…nição, que lim
(x;y)!(0;0)
f(x; y) = 0;em que
f(x; y) =
(
x4y4
x4+y2 sen
1
xsen
1
y ; x 6= 0; y 6= 0
0; x = 0 _ y = 0:
31. Seja
f(x; y) =
y2 ln(1� xy)
(x2 + y2)
+
cos(�2 � 2xy)
(x2 + y2)
1
2
:
(a) Indique o domínio da função e estude a existência de limite no ponto
(0; 0):
(b) .Seja g de…nida por�
g(x; y) = f(x; y); se(x; y) 6= (0; 0)
0; se(x; y) = (0; 0)
e seja
Pn = (
1
n
cosn; e�nnsen
1
n
):
Analise a convergência das sucessões (Pn)n2N e (g(Pn))n2N :
37