Lista 1 2016 - Funções

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UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos
Ana´lise Real - Primeira Lista de Exerc´ıcios - Rio, 14/04/2016
1. Seja f(x) =
1
x2
para x ∈ R \ {0}.
(a) Determine a imagem direta f(E) para E = {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 2}.
(b) Determine a imagem inversa f−1(G) para G = {x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 4}.
2. Prove que se f e´ uma func¸a˜o injetiva de A em B, enta˜o f−1 = {(b, a)|(a, b) ∈ f} e´ uma func¸a˜o.
Depois, prove que f−1 tambe´m e´ injetiva.
3. Sejam f e g func¸o˜es e suponha que
g ◦ f(x) = x, ∀ x ∈ D(f).
Mostre que f e´ injetiva e que R(f) ⊂ D(g) e R(g) ⊃ D(f).
Observac¸a˜o: D(f) representa o conjunto domı´nio da func¸a˜o f e R(f) representa o conjunto imagem
da func¸a˜o f .
4. Seja f : A→ B. Mostre que f(E) = ∅ se, e somente se, E ∩ A = ∅.
5. Seja f uma func¸a˜o de A em B.
(a) Mostre que se f e´ injetiva, enta˜o f(A \D) = f(A) \ f(D), ∀ D ⊆ A.
(b) Fornec¸a um exemplo no qual na˜o vale a igualdade no item anterior.
6. Seja A um conjunto finito. Prove que a func¸a˜o f : A→ A e´ injetiva se, e somente se, for sobrejetiva.
7. Mostre que se f : A→ B e G, H sa˜o subconjuntos de B, enta˜o
f−1(G ∪H) = f−1(G) ∪ f−1(H) e f−1(G ∩H) = f−1(G) ∩ f−1(H).
8. Formule matematicamente e demonstre o seguinte fato (conhecido como o “princ´ıpio das gavetas”
ou como “princ´ıpio da casa dos pombos”). Se m < n, m,n ∈ N, enta˜o, de qualquer modo como se
guardem n objetos em m gavetas, havera´ sempre uma gaveta, pelo menos, que contera´ mais de um
objeto.
9. Fornec¸a um exemplo de uma bijec¸a˜o entre N = {1, 2, 3, ...} e o conjunto {3, 9, 19, 33, 51, 73, ...}.
10. Dizemos que dois conjuntos A e B teˆm a mesma cardinalidade se existe uma bijec¸a˜o de A em B.
Mostre que a relac¸a˜o entre dois conjuntos dada por “ ter a mesma cardinalidade que ” e´ uma relac¸a˜o
de equivaleˆncia, ou seja, mostre que essa relac¸a˜o tem a s propriedades reflexiva, sime´trica e transitiva.
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11. Sejam f : A→ B e g : B → C func¸o˜es.
(a) Mostre que se g ◦ f e´ injetiva, enta˜o f e´ injetiva.
(b) Mostre que se g ◦ f e´ sobrejetiva, enta˜o g e´ sobrejetiva.
12. Prove que
(a) n < 2n, para todo n ∈ N.
(b) 2n− 3 ≤ 2n−2, para todo n ≥ 5, n ∈ N.
(c)
1√
1
+
1√
2
+ ...
1√
n
>
√
n, para todo n ≥ 2, n ∈ N.
13. Dada f : A→ B, prove que
(a) se X e´ finito e f e´ injetiva, enta˜o, Y e´ infinito.
(b) se Y e´ infinito e f e´ sobrejetiva, enta˜o X e´ infinito.”
14. Prove que um conjunto S e´ enumera´vel se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de S em um conjunto T
que e´ enumera´vel.
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