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* Prof. Jorge * Logaritmos Carlos Eduardo Caruaru, 2013. Prof. Jorge * Prof. Jorge * Logaritmo como expoente O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log2 8 = 3 * Prof. Jorge * Definição Suponhamos dois números reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo; x é o logaritmo; * Prof. Jorge * Exemplos Calcular log4 8. log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23 ⇒ 22x = 23 ⇒ x = 3/2 * Prof. Jorge * Exemplos Calcular log1/3 √9. 5 log1/3 √9 = x 5 ⇒ 1 3 x = √9 5 ⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ 3–x = 32/5 ⇒ –x = 2/5 ⇒ x = –2/5 * Prof. Jorge * Condição de existência do logaritmo Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: loga b = x ⇔ b > 0 a > 0 a ≠ 1 * Prof. Jorge * Condição de existência Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos. log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível * Prof. Jorge * Consequências da definição Prof. Jorge * Prof. Jorge * Conseqüências da definição Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga 1 = 0 loga a = 1 loga ak = k porque a0 = 1 porque a1 = a porque ak = ak * Prof. Jorge * Exemplos log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1 log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0 log3 39 = 9 log10 10–3 = –3 * Prof. Jorge * Conseqüências da definição Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: * Prof. Jorge * Exemplos log5 3 5 = 3 1 + log2 6 2 = 21.2 log2 6 = 2.6 = 12 1 – log15 3 15 = log15 3 151 15 = 15 3 = 5 * Prof. Jorge * Sistema de logaritmos Prof. Jorge * Prof. Jorge * Sistema de logaritmos Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10) * Prof. Jorge * Exemplos log 1000 = log10 1000 = 3 log 0,01 = log10 10–2 = –2 log 1 = log10 1 = 0 log 100 = log10 100 = 2 * Prof. Jorge * Sistema de logaritmos O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828. O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x → logaritmo natural de x (base e) * Prof. Jorge * Exemplos Ln e = loge e = 1 Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3 Ln e3 = loge e3 = 3 * Prof. Jorge * Observação Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a colog2 8 = – log2 8 = –3 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2 * Prof. Jorge * Mudança de base Prof. Jorge * Prof. Jorge * Fórmula de mudança de base De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. logk a logk b Logb a = * Prof. Jorge * Exemplos Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6. loge 6 loge 2 log2 6 = Ln 6 Ln 2 = 1,792 0,693 = = 2,586 * Prof. Jorge * Exemplos Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3. log 3 log 2 log2 3 = 0,48 0,30 = 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. = 1,6 Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3. * Prof. Jorge * Generalizando Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: loga a loga b logb a = 1 loga b logb a = * Prof. Jorge * Propriedades dos logaritmos Prof. Jorge * Prof. Jorge * Logaritmo do produto De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga (x.y) = loga x + loga y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida. * Prof. Jorge * Exemplos A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000. log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13 log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301 * Prof. Jorge * Logaritmo do quociente De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga = loga x – loga y x y * Prof. Jorge * Exemplos A partir de log 2 = 0,301 obter log 5. log 5 = log 10 2 = log 10 – log 2 = 1 – 0,301 ⇒ log 5 = 0,699 * Prof. Jorge * pH pH = -log[H+] pOH = -log[OH] pH+pOH = 14 * Prof. Jorge * Exercícios 1- Qual o pH de uma solução de concentração hidrogeniônica igual a 10–5 ? * Prof. Jorge * Exercícios 2- Qual o pH de uma solução de HCl 0,01 M que está totalmente ionizada? HCl H+ + Cl 10-2M 10-2M 10-2M * Prof. Jorge * Exercícios 3-Qual o pH de uma solução de HCN 0,02 molar que está 0,5% ionizada? HCN H+ + CN- 0,02 M ------ 100% X M ------ 0,5% X = 10-4M * Prof. Jorge * 4- Qual o pH de uma solução de H2SO4 0,000005 molar? H2SO4 2H+ + SO4- 5.10-6M 2x5.10-6M 5.10-6M 10-5M [H+] = 10-5M pH = -log[H+] pH = -log10-5 pH = 5 Exercícios * Prof. Jorge * 5- Ao tomar água, um indivíduo diluiu seu suco gástrico (solução contendo ácido clorídrico), de pH = 2, de 50 mL para 500 mL. O pH da solução resultante, logo após a ingestão de água, é igual a? Exercícios * Prof. Jorge * 5- Resposta. pH = 2 – log[H+] = 2 (– 1) log[H+] = – 2 [H+] = 10–2 mol/L Fazendo a diluição do suco gástrico: M . V = M’ . V‘ 10–2 · 50 =M’ . 500 M’ = 10–3 mol/L è concentração molar do H+ pH = – log[H+] pH = – log10–3 pH = 3 Exercícios * Prof. Jorge * Obrigado!
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