Análise Infinitesimal I - Funções e Relações

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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 4
39. De entre as correspondeˆncias seguintes assinale as que sa˜o func¸o˜es, func¸o˜es injectivas, func¸o˜es sobre-
jectivas e func¸o˜es bijectivas. Quando for poss´ıvel, indique para cada func¸a˜o uma inversa a` esquerda,
uma inversa a` direita ou a inversa .
(a) f : ZZ→ IN, f(x) = x2 + 1
(b) g : IN→ Q, g(x) = 1/x
(c) h : ZZ× IN→ Q, h(z, n) = z/(n+ 1)
(d) f : {1, 2, 3} → {p, q, r}, G(f) = {(1, q), (2, r), (3, p)}
(e) g : IN→ IN, g(x) = 2x;
(f) h : R→ R, definida por
h(x) =
{
x+ 2 se x ≥ 5
−x se x < 5
40. Seja f : R→ R definida por f(x) = x2 − 1. Determine
f({−1, 0, 1, 6}, f−1{−1}, f([−2, 1]), f−1([0, 4[), f−1(f([−2, 1])), f(f−1([−2, 1])).
41. Seja f uma aplicac¸a˜o de X em Y . Se A e B sa˜o subconjuntos de X e C e D sa˜o subconjuntos de Y ,
mostre que:
(a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) (f) f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪ f−1(D)
(b) f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B) (g) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D)
(c) f(A)− f(B) ⊂ f(A−B) (h) f−1(C −D) = f−1(C)− f−1(D)
(d) A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B) (i) C ⊂ D ⇒ f−1(C) ⊂ f−1(D)
(e)f(∅) = ∅ (j) f−1(∅) = ∅
42. A regra f(m,n) = 2m3n define uma func¸a˜o de N× N em N.
(a) Mostre que f e´ injectiva.
(b) Sera´ f uma aplicac¸a˜o sobrejectiva? Justifique.
(c) Mostre que g(m,n) = 2m4n define uma func¸a˜o de N× N em N que na˜o e´ injectiva.
43. ∗ Seja f : N × N → N definida por f(1, n) = 2n − 1 e f(m + 1, n) = 2m(2n − 1). Prove que f e´ uma
bijecc¸a˜o.
44. Demonstre que a composic¸a˜o de duas func¸o˜es injectivas (sobrejectivas, bijectivas) e´ uma func¸a˜o injec-
tiva (sobrejectiva, bijectiva).
45. Sejam f : X → Y e g : Y → Z aplicac¸o˜es.
(a) Prove que se g ◦ f for injectiva enta˜o f e´ injectiva.
(b) Prove que se g ◦ f for sobrejectiva enta˜o g e´ tambe´m sobrejectiva.
(c) Apresente um exemplo onde g ◦ f seja injectiva mas g na˜o o seja.
(d) Determine um exemplo onde g ◦ f seja sobrejectiva mas f na˜o o seja.
46. (a) Determine, se poss´ıvel, uma extensa˜o sobrejectiva para a func¸a˜o f : Z× Z → R
(x, y) 7→ xy.
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(b) Determine, se poss´ıvel, uma extensa˜o bijectiva para a func¸a˜o f : Z → Q
x 7→ 23x.
47. ∗ Seja A uma parte de um conjunto U . Chama-se func¸a˜o caracter´ıstica de A a` func¸a˜o
χA : U → R, definida por
χA(x) =
{
1 se x ∈ A
0 se x ∈ U \A
Mostre que :
(a) χA∩B = χAχB
(b) χA∪B = χA + χB − χA∩B
(c) χA\B = χA − χA∩B.
48. Desafio 2:
Seja F(X;Y ) o conjunto das func¸o˜es de X em Y . Dados os conjuntos X,Y, Z, estabelec¸a uma bijecc¸a˜o
entre os conjuntos F(X × Y ;Z) e F(X;F(Y ;Z)).
Relac¸o˜es bina´rias
49. Indique quais das seguintes relac¸o˜es sa˜o gra´ficos de func¸o˜es, indicando nesse caso o seu domı´nio.
(a) {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 3)}; (b) {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (4, 3)};
(c) {(x, y) ∈ R× R; x2 + y = 1}; (d) {(x, y) ∈ R× R; x+ y2 = 1}.
50. Teste a reflexividade, simetria, anti-simetria e transitividade da relac¸a˜o ρ em X, quando:
(a) X = N, xρy se x+ y for um nu´mero par;
(b) X = N, xρy se xy for um nu´mero ı´mpar;
(c) X = N, xρy se x = y2;
(d) X = N× N, (x, y)ρ(x′, y′) se x+ y′ = x′ + y;
(e) X conjunto das linhas do plano e xρy se x for paralela a y ou x coincidir com y;
(f) X = {1, 2, 3} e ρ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (1, 3)}.
51. Seja ≡ a relac¸a˜o definida em em Z por
∀x, y ∈ Z, x ≡ y se x− y e´ divis´ıvel por 3.
Mostre que se trata de uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
52. Em R2 considere a seguinte relac¸a˜o :
∀(x, y), (w, z) ∈ R2, (x, y)ρ(w, z) se x = w.
(a) Verifique que ρ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(b) Determine a classe de equivaleˆncia [(2, 5)] e represente-a graficamente.
53. Seja f : X → Y uma func¸a˜o.
(a) Prove que ρ, definida em X por aρb se f(a) = f(b), e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(ρ diz-se a equivaleˆncia nu´cleo de f .)
(b) Para X = Y = Z e f(x) = 3x2 determine a classe de equivaleˆncia do elemento 4 pela relac¸a˜o de
equivaleˆncia nu´cleo de f .
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