apostila_matematica_financeira - Copia

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Fatec Sorocaba 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Prof. MSc. Adilson Rocha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATEC 
Faculdade de Tecnologia de Sorocaba 
 
Prof. Adilson 
 
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SUMÁRIO 
1- INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA ......................................................................................... 03 
2- PORCENTAGEM .................................................................................................................................... 07 
3- FLUXO DE CAIXA.. ............................................................................................................................... 11 
4- TAXAS EQUIVALENTES ........................................................................................................................ 11 
5- REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO .............................................................................................................. 14 
6- DESCONTOS ......................................................................................................................................... 18 
7- SÉRIES UNIFORMES .............................................................................................................................. 24 
8- AMORTIZAÇÕES ................................................................................................................................... 28 
9- TOMADA DE DECISÕES E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ....................................................................... 36 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................... 45 
ANEXO – EXERCÍCIOS .............................................................................................................................. 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Emprestar dinheiro sem regras para pagamento, somente em situações de: 
 
 
 
PARENTESCO:- Pai; Mãe; Irmão; Tia 
 
 
 
 
Salvo estas situações e para não perder dinheiro, somente emprestar ou financiar 
com regras claras para o pagamento. 
 
 
 
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1.1 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos 
pagamentos de empréstimos. Lembremo-nos de uma celebre frase: 
“Tempo é Dinheiro” 
Conceito de Moeda e o Sistema Financeiro. 
Uma palavra fundamental nos estudos da matemática financeira é JURO. 
Vamos observar abaixo a figura ilustrativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho Imóvel 
Administração Técnica 
Capital 
Salário Aluguel 
Royalty Lucros 
JUROS 
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1.2 JUROS 
a) O pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo. 
Por exemplo: quando aplicamos certa quantia na poupança estamos nos desprovendo dela pelo período 
de no mínimo um mês, portanto não podemos utilizá-la neste período. Os juros são neste caso os 
pagamentos pelas oportunidades perdidas. Exemplos semelhantes ocorrem em outras aplicações como: 
“Debêntures”, CDB, FIX 30 e FIX 60. Observamos nestas aplicações quanto maior o tempo da 
aplicação maior é o juro, na mesma base mensal (as aplicações no FIX 60 têm taxa de juros mensais 
um pouco superior à taxa de juros do FIX 30). 
b) O pagamento pelo risco do empréstimo de um capital. 
Quanto maior o risco envolvido do empréstimo não ser pago, maiores são os valores das taxas de 
juros. Por exemplo, os juros das aplicações em “ações” são superiores aos juros das aplicações em 
poupança ou mesmo CDB, pois seu risco envolvido é bem superior. 
c) Remuneração de um investimento em uma atividade financeira. 
Toda aplicação financeira é baseada em remuneração e quanto maior o valor investido, maior são os 
valores das taxas de juros a serem pagas em um mesmo tipo de aplicação. Por exemplo: as aplicações 
em CDB têm taxas de juros diferenciadas dependendo do valor aplicado. 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO JURO. 
Na vida quotidiana:- 
a) Nas compras a crédito: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para comprar à vista 
e ela toma um empréstimo na loja e efetua sua compra, nesta operação estão embutidos juros e 
correções (atualmente, no comércio, na faixa de 6% a 8% ao mês). 
b) Nos cheques especiais: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para comprar à vista 
e se utiliza o limite do cheque especial. 
c) Na compra de casa própria: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para 
pagamento à vista e financia o restante em banco (atualmente, se paga juros na faixa de 6% a 10% 
ao ano). 
Na Administração de Empresas:- 
a) Desconto de duplicatas: quando a empresa não dispõe de dinheiro para compra de produtos e 
matérias-primas, ela emite uma nota promissória (duplicata) comprometendo-se a pagar mais tarde (no 
desconta da duplicata). 
b) Compras a prazo: quando a empresa não dispõe de dinheiro para compra à vista (matéria-prima e 
produtos) e efetua a mesma a prazo, neste caso a empresa paga juros às fornecedoras. 
c) Vendas a prazo: quando a empresa vende seus produtos com recebimentos a prazo. 
d) Obtenção de empréstimos: quando a empresa não dispõe de dinheiro para capital de giro ou 
investimentos e toma um empréstimo em entidade financeira (bancos). 
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1.3 CAPITAL E O JURO 
Chamamos de Capital (C) ou Valor Presente (VP) a qualquer valor monetário que uma 
pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo (n). 
Taxa de Juros (i) é o valor do juro numa certa unidade de tempo expresso como uma 
porcentagem do capital. 
Montante (M) ou Valor Futuro (VF) é a soma do Capital com o Juro a qual o tomador de um 
empréstimo pagará ao final do prazo combinado. 
Dessa forma temos as seguintes relações: 
J = VP * i ⇒ i = 
VP
J
 
 VP * i = VF – VP ⇒ i = 
VP
VP - VF
= 
VP
VP
 - 
VP
VF
⇒ i = 1 - 
VP
VF
 
VF = VP + J ⇒ J = VF - VP 
Exemplos: 
Seja um Capital (VP) de $5.000,00 emprestado por um mês à taxa de juros i = 2% a.m. (2% 
ao mês). Qual o Juro (J) e o Montante (VF). 
VP = 5.000 J = VP * i * n ⇒ J = 5000 * 0,02 * 1 ⇒ J = $ 100,00 
i = 2 % a.m. 
n = 1 mês VF = VP + J ⇒ VF = 5000 + 100 ⇒ VF = $ 5.100,00 
J = ? 
VF = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 PORCENTAGEM 
É comum ouvirmos a palavra “por cento”. Por exemplo: O aluguel de casa aumentou cinco por 
cento. 
Para expressão “por cento”, usa-se o símbolo “ % ” em cada cem. Por exemplo: Eu tinha 200 
calculadoras, vendi 3%. Quantas vendi? 
Se vendi 3%, quer dizer que vendi 3 em cada 100. Portanto, vendi 6 calculadoras. 
O cento é uma nova maneira de dizer centésimos. 
Lembre-se: o inteiro em porcentagem é representado por 100. 
Vamos agora transformar da forma percentual para a forma unitária ou decimal. 
Exemplos: 
5% = 0,05 25% = 0,25 
10% = 0,10 95% = 0,95 
200% = 2,00 350% = 3,50 
Assim, basta dividirmos os números expressos em porcentagem por 100. 
Vamos calcular algumas porcentagens? 
a) Quanto vale 25% de 2.000? 
2.000 * (25/100) = 500 
b) Comprei um carro de $ 70.000,00. Pagando à vista tivedesconto de 15%. Qual o valor 
do desconto (D)? 
D = $ 70.000,00 * (15/100) = $ 10.500,00 
 
CRESCIMENTO PERCENTUAL: 
É comum ouvirmos tais frases: 
� Meu dinheiro cresceu 30% em dois meses! 
� Minha casa valorizou 50% em um ano! 
Quando nos deparamos com crescimentos de valores, podemos expressar tal crescimento na 
forma percentual. 
 
 
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Exemplos: 
1. Minha casa valia $ 200.000 mil, hoje passados 11 meses ela está valendo $ 260.000,00. 
Qual foi o ganho percentual no período? 
$ 200.000 $ 260.000 
0 11 meses 0 
Quanto minha casa está valendo a mais em relação ao passado? 
Resposta: $ 260.000 – $ 200.000 = $ 60.000 
Qual foi meu ganho percentual? 
60.000 X 200.000 * X = 60.000 * 100 
200.000 100% X = 6.000.000 / 200.000 = 30 % 
Portanto, minha casa valorizou 30% em 11 meses. 
2. Qual a margem de lucro sobre o preço de custo de um produto fabricado ao custo de $ 
150,00 e vendido a $ 225,00? 
Preço de Venda – Preço de Custo 
$ 225,00 – $ 150,00 = $ 75,00 
Assim, o meu ganho percentual em relação ao preço de custo é: 
150 100% 150 * X = 75 * 100 
 75 X X = 7.500 / 150 = 50% 
Portanto, a margem de lucro é de 50% sobre o preço de custo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS:- 
1. Transforme as porcentagens abaixo para a forma unitária: 
a) 10% = 
b) 3% = 
c) 100% = 
d) 200% = 
e) 5% = 
f) 400% = 
g) 0,5% = 
h) 0,01% = 
2. Transforme da forma unitária para a forma percentual: 
a) 0,03 = 
b) 2,00 = 
c) 0,05 = 
d) 0,50 = 
e) 0,25 = 
f) 0,375 = 
3. Calcule: 
a) 25% de 450 = 
b) 200% de 1500 = 
c) 3% de 600 = 
d) 0,25% de 3.000 = 
e) 30% de 550 = 
 
 
 
 
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4. Resolva as seguintes questões: 
a) Comprei um carro por $ 14.200,00, como paguei à vista, tive um desconto de 6%. Qual 
o valor pago pelo carro? 
 
 
 
b) Em uma sala de aula existiam no início do ano 75 alunos, na metade do ano desistiram 
20% dos alunos e no final do ano, do restante, foram reprovados 15%. Quantos alunos 
foram aprovados? 
 
 
 
c) Qual a margem de lucro sobre o preço de custo, obtida por uma empresa ao vender um 
produto de preço de custo $ 49,50 por $ 69,30? 
 
 
 
5. Determine o crescimento ou decréscimo percentual entre os valores: 
a) 150 120 = 
b) 300 200 = 
c) 150 1.030 = 
d) 165 168 = 
 
6. Calcular a variação do dólar comercial venda para o período abaixo: 
US$ em 01/11/2004 = 0,8450 
US$ em 01/11/2005 = 0,9630 
 
 
 
 
 
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3 FLUXO DE CAIXA 
 
A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste de uma escala horizontal onde são 
marcados os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima as entradas e com 
setas para baixo as saídas de caixa. A unidade de tempo - mês, semestre, ano - deve coincidir com o 
período de capitalização de juros considerado. Esquematicamente, pode ser representado da forma 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convenções:- 
 
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O 
ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). 
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de dinheiro, e as 
setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro. 
 
VP = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por Valor Presente ou 
Valor Atual (ou hoje); 
VF = quantia existente ou equivalente num instante futuro em relação ao inicial e conhecida 
por Valor Futuro (ou montante); 
 i = taxa de juros por período de capitalização; 
 n= número de períodos de capitalização; 
EXERCÍCIOS:- 
1. Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de $ 3.949,80. Calcular 
a taxa de juros simples em bases mensais desta operação. 
 
 
 
2. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais de $ 100,00. O primeiro 
pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 
4,4% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular o montante pago. 
 
 
 
3. Qual a taxa de juros simples mensal de uma aplicação de R$ 6.600,00 que produz um montante 
de $ 7.385,81 em 7 meses? 
 
 
 
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4 TAXAS EQUIVALENTES 
Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital C, durante o mesmo intervalo 
de tempo, produzem o mesmo montante. 
4.1 JUROS SIMPLES 
 
 Duas taxas são equivalentes a juros simples quando ambas aplicadas sobre o mesmo capital 
durante o mesmo prazo produzem o mesmo juro e montante. 
 
Exemplos: 
 
 1. Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 10 % a.t.? 
 
i t = 10 % a.t. 
i a = 4 . i t ⇒ i a = 4 . 10 % ⇒ i a = 40 % a.a. 
 
 2. Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2 % a.m.? 
 
i m = 2 % a.m. 
i a = 12 . i m ⇒ i a = 12 . 2 % ⇒ i a = 24 % a.a. 
 
Desta forma, observando os exemplos acima, podemos concluir que, no regime de juros simples, as 
taxas equivalentes obedecem a seguinte relação: 
 
i a = 12 . i m = 6 . i b = 4 i t = 3 i q = 2 i s = 360 i d 
 
Esta última relação justifica o fato de as taxas serem proporcionais aos respectivos prazos. 
 
Exemplos: 
 
1. Encontre a taxa trimestral equivalente as seguintes taxas de juros simples: 
 
a) i m = 1,9 % a.m. b) i b = 5,5 % a.b. c) i q = 14,6 % a.q. d) i s = 20 % a.s. 
 
Solução: 
 
a) 4 . i t = 12 . i m ⇒ i t = 
4
.12 mi ⇒ i t = 
4
%9,1.12
⇒ i t = 
4
%8,22
⇒ i t = 5,7 % a.t. 
b) 4 . i t = 6 . i b ⇒ i t = 
4
.6 bi ⇒ i t = 
4
%5,5.6
 ⇒ i t = 
4
%33
 ⇒ i t = 8,25 % a.t. 
c) 4 . i t = 3 . i q ⇒ i t = 
4
.3 qi
 ⇒ i t = 
4
%6,14.3
 ⇒ i t = 
4
%8,43
 ⇒ i t = 10,95 % a.t. 
d) 4 . i t = 2 . i s ⇒ i t = 
4
.2 si ⇒ i t = 
4
%20.2
 ⇒ i t = 
4
%40
 ⇒ i t = 10 % a.t. 
 
 
 
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2. Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros simples pelo prazo de 5 anos a uma taxa de 
juros de 12 % a.s.. Quais são os juros e o montante obtidos nesta aplicação? 
 
VP = 1.000 
n = 5 anos 
i = 12 % a.s. 
J = ? 
VF = ? 
 
Solução: 
 O primeiro passo a ajustar a taxa e o prazo na mesma unidade. 
 
i a = 2 . i s ⇒ i a = 2 . 12 % ⇒ i a = 24 % a.a. 
 
 
O Segundo passo é descrever o fluxo de caixa. VF = ? 
 
 J = ? 
 0______________________________ 
 n = 5 anos 
 i a = 24 % a.a. 
 
 VP = 1.000 
 
Agora basta aplicar a fórmula para determinar o juros. 
 
J = VP * i * n ⇒ J = 1000 * 0,24 * 5 ⇒ J = $ 1.200,00 
 
Assim teremos o valor do montante. 
 
VF = VP + J ⇒ VF = 1000 + 1200 ⇒ VF = $ 2.200,00 
Ou 
VF = VP * ( 1 + i . n ) ⇒ VF = 1000 . (1 + 0,24 * 5) = 
VF = 1000 * ( 1 + 1,2 ) ⇒ VF = 1000 . 2,2 ⇒ VF = $ 2.200,00 
 
EXERCÍCIOS:- 
 
1. Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05 %a.m.. 
 
2. Calcular o rendimento de $ 23.000,00 aplicado por 14 dias à taxa simples de 2,5 % a.m.. 
 
3. Em 7 meses $ 18.000,00 renderam $ 4.000,00 de juros. Qual é a taxa simples anual ganha? 
 
4. Um capital de $ 5.000,00 rendeu $ 1.200,00 em 180 dias. Qual éa taxa simples anual 
ganha? 
 
5. Um capital aplicado por 4 meses e 18 dias a juros simples de 12 % a.m. transformou-se em 
R$ 23.000,00. Calcular os juros ganhos na aplicação. 
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4.2 JUROS COMPOSTOS 
 
Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando ambas aplicadas sobre o mesmo capital 
durante o mesmo prazo produzem o mesmo montante. 
 
Exemplos: 
 
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 10 % a.t.? 
 
VF = VP * ( 1 + i a ) 
na ⇒ 
VP
VF
 = ( 1 + i a ) 
n a 
 ( 1 + i a ) 
n a = ( 1 + i t ) 
n t 
VF = VP * ( 1 + i t ) 
nt ⇒ 
VP
VF
 = ( 1 + i t ) 
n t 
 
( 1 + i a ) 
1 = ( 1 + 0,10 ) 4 ⇒ 1 + i a = 1,10 
4 ⇒ i a = 1,4641 – 1 ⇒ i a = 0,4641 ∴ i a = 46,41 % a.a. 
 
Desta forma, observando os exemplos acima, podemos concluir que, no regime de juros 
simples, as taxas equivalentes obedecem a seguinte relação: 
 
( 1 + i a ) 
na = ( 1 + i s ) 
ns = ( 1 + i t ) 
nt = ( 1 + i m ) 
nm = ( 1 + id ) 
nd 
 
EXERCÍCIOS:- 
 
1. Calcular a taxa efetiva mensal, equivalente à taxa de 30 % a.a.. Verificar a equivalência. 
 
2. Uma aplicação de $ 4.500,00 em CDB é resgatada por $ 4.860,00 no prazo de 2 meses. 
Calcular a taxa de juros efetiva anual ganha na aplicação. 
 
3. Um banco cobra juros de 20 % a.a.. Quanto cobrará em 150 dias? 
 
4. Em 120 dias uma aplicação rendeu uma taxa efetiva de 124 %. Calcular as taxas efetivas 
mensal e anual, equivalentes a esse rendimento. 
 
5. Determinar as seguintes equivalências entre taxas efetivas: 
a) taxa bimestral equivalente à taxa semestral de 35 %. 
b) taxa semestral equivalente à taxa mensal de 5 %. 
c) taxa diária equivalente à taxa trimestral de 90 %. 
d) taxa anual equivalente à taxa diária de 0,5 %. 
e) taxa bimestral equivalente à taxa 35 % em 45 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante 
poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Temos o regime 
de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta (ou juros 
compostos). 
5.1 JUROS SIMPLES 
Quando são aplicados juros simples, apenas o principal rende juros, isto é, os juros são 
diretamente proporcionais ao capital empregado (crescimento linear ao longo do tempo - PA). 
J = VP * i * n 
VF = VP + J ⇒ VF = VP + VP * i * n ⇒ VF = VP * ( 1 + i * n ) 
J = juros 
i = taxa de juros 
VP = principal ou capital na data de hoje 
n = número de períodos 
VF = saldo devedor ou valor Futuro 
EXEMPLO: 
 O consumidor comprou um produto por $ 100,00, a ser pago no final do quinto mês, a uma taxa de 
juros simples de 5 % a.m. Qual é a evolução do valor devido ao longo deste cinco meses? 
SOLUÇÃO: 
Mês Total devido a 5% a.m. 
0 100,00 
1 100,00 + 0,05 x 100,00 = 105,00 
2 105,00 + 0,05 x 100,00 = 110,00 
3 110,00 + 0,05 x 100,00 = 115,00 
4 115,00 + 0,05 x 100,00 = 120,00 
5 120,00 + 0,05 x 100,00 = 125,00 
EXERCÍCIOS:- 
1. Qual o capital que produz $ 18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: 
a) 60 dias; b) 90 dias; c) 6 meses; d) 2 anos 
 
2. Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de $ 3.949,80. Calcular a 
taxa de juros simples em bases mensais desta operação. 
 
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3.Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais de $ 100,00. O primeiro 
pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao 
mês a taxa linear de juros, pede-se calcular o montante pago. 
 
4. Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m..Obtenha o montante para 
os seguintes prazos. 
a) 2 meses; b) 3 meses; c) 5 meses; d) 10 meses. 
 
5. Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 12% a.a., durante 3 anos. Obtenha 
os juros e o montante. 
 
6. Qual capital que rende juros simples de $ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m.? 
Numa aplicação de $ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi $ 
4.800,00. Determine o prazo de aplicação. 
 
7. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? 
 
5.2 JUROS COMPOSTOS 
Quando são aplicados juros compostos, após cada período de capitalização, os juros são 
incorporados ao principal e passam a render juros também (crescimento exponencial ao longo do 
tempo - PG). 
 No primeiro período: 
VF1 = VP * ( 1 + i )
1 
 No segundo período: 
VF2 = VP * ( 1 + i )
1 * ( 1 + i )1 ⇒ VF2 = VP * ( 1 + i )
2 
 No terceiro período: 
VF3 = VP * ( 1 + i )
1 * ( 1 + i )1 * ( 1 + i )1 ⇒ VF3 = VP * ( 1 + i )
3 
 Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, temos a expressão geral: 
 VF = VP * ( 1 + i ) n 
 Daí temos que: 
J = VF – VP ⇒ J = VP * ( 1 + i ) n – VP ⇒ J = VP . [ ( 1 + i ) n – 1 ] 
 J = juros 
 i = taxa de juros 
 n = número de períodos 
VP = principal ou capital na data de hoje 
VF = saldo devedor ou valor futuro 
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EXEMPLO: 
 O consumidor comprou um produto por R$ 100,00, a ser pago no final do quinto mês, a uma taxa 
de juros compostos de 5 % a.m. Qual é a evolução do valor devido ao longo deste cinco meses? 
 SOLUÇÃO: 
 Mês Total devido a 5% a.m. 
0 100,00 
1 100,00 + 0,05 x 100,00 = 105,00 
2 105,00 + 0,05 x 105,00 = 110,25 
3 110,25 + 0,05 x 110,25 = 115,76 
4 115,76 + 0,05 x 115,76 = 121,54 
5 121,54 + 0,05 x 121,54 = 127,63 
EXERCÍCIOS:- 
1. Calcular o montante (VF) de uma aplicação financeira de $ 80.000,00, admitindo-se os 
seguintes prazos e taxas: 
a) i = 5,5 % ao mês e n = 2 anos. 
b) i = 9 % ao bimestre e n = 1 ano e 8 meses. 
c) i = 12 % ao ano n = 108 meses. 
 
2. Qual a taxa de juros mensal de uma aplicação de R$ 6.600,00 que produz um montante de $ 
7.385,81 em 7 meses? 
 
3. A juros compostos de 20 % a.m., qual o montante de R$ 3.500,00 em 8 meses? 
 
4. Qual o capital a ser aplicado para que em 6 anos à taxa de juros compostos de 15 % a.a., o 
valor de resgate seja $ 14.000,00? 
 
5. Uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais R$ 
2.500,00 e, dois meses depois desse último depósito, realiza um retirada de R$ 1.300,00. Qual 
será o saldo da poupança ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos 
ganha é de 15 % a.m.? 
 
6. Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5 %a.m., produz um montante de R$ 
3.500,00 após um ano? 
 
7. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um 
montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros? 
 
 
 
 
 
 
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18 
6 DESCONTOS 
A operação de liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma 
recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido 
como a diferença entre o valor nominal (valor futuro – VF) de um título e o seu valor descontado 
(valor presente – VP) apurado n períodos antes de seu vencimento. 
Por outro lado, valor descontado (valor presente – VP) de um título é o seu valor atual na data 
do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 
DESCONTO (D) = VALOR NOMINAL (VF) – VALOR DESCONTADO (VP) 
VALOR DESCONTADO (VP) = VALOR NOMINAL (VF) – DESCONTO (D) 
As operações de desconto podem ser realizadastanto sob o regime de juros simples como no 
de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, 
restringindo-se o desconto composto para operações de longo prazo. 
Tanto no regime linear como no exponencial ainda são identificados dois tipos de desconto: 
desconto “por dentro” (ou racional) e; desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial). 
6.1 DESCONTO SIMPLES 
Desconto Racional ou “por dentro” – D 
 O desconto racional incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples. 
Então: 
Da definição de desconto, tem-se: 
 
1111 D = VF – VP VP = VF – D 
 
 D = valor do desconto racional (pago) 
VF = valor nominal futuro do capital (deixo) 
VP = valor descontado racional (levo) 
 
Sabendo que VF = VP * (1 + i . n ) 
 
Temos: VP = 
)n . i 1 (
VF
+
 
Substituindo na equação 1111, temos: D = VF – 
)n . i 1 (
VF
+
 
Assim obtemos a seguinte fórmula para calcular o desconto racional ou “por dentro”: 
 
D = VF * 
( )




+ i.n 1
1
 - 1 
 
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19 
E como já foi apresentada acima, a fórmula para calcular o valor descontado (VP) é: 
 
 
VP = 
)n . i 1 (
VF
+
 
EXEMPLO: 
Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 
3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular 
o desconto racional e o valor descontado racional desta operação. 
 
Resolução: 
 
VF = 4.000,00 
n = 3 meses 
i = 42 % a.a. = 3,5 % a.m. 
D = ? 
VP = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = VF * 
( )




+ i.n 1
1
 - 1 ⇒ D = 4000 * 
( )




+ 3 . 0,035 1
1
 - 1 ⇒ D = 4000 * 0,09502 ⇒ D = $ 380,09 
 
VP = 
)n . i 1 (
VF
+
 ⇒ VP = 
( )3 . 0,035 1
4000
+
 ⇒ VP = 
10500,1
4000
 ⇒ VP = $ 3.619,91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VF = 4.000 
VPr 
0 
9 
n = 12 meses i = 42% a.a. 
i = 3,5% a.m. 
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20 
Desconto Bancário, Comercial ou “por fora” – D 
Esse tipo de desconto difere do desconto racional por incidir sobre o valor nominal do título 
(apura juros sobre o montante). 
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em 
operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. 
Então: 
 D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” 
 1111 D = VF . i . n VF = valor nominal futuro do capital 
 i = taxa de juros 
 n = prazo do desconto (no de períodos antes do vencimento) 
 
 
Da definição de desconto, tem-se: 
 
 D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” (pago) 
 2222 VP = VF – D VF = valor nominal futuro do capital (deixo) 
 VP = valor descontado “por fora” (levo) 
 
Substituindo 1111 em 2222, temos: 
VP = VF – VF * i * n ⇒ VP = VF * ( 1 – i * n ) 
 
EXEMPLO: 
Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 
3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular 
o desconto comercial e o valor descontado comercial desta operação. 
Resolução: 
 
VF = 4.000,00 
n = 3 meses 
i = 42 % a.a. = 2,97 % a.m. 
D = ? 
VP = ? 
 
 
 
 
 
 
 
D = VF * i * n ⇒ D = 4000 * 0,035 * 3 ⇒ D = $ 420,00 
 
VP = VF * ( 1 – i * n ) ⇒ VP = 4000 * ( 1 – 0,035 * 3 ) ⇒ VP = $ 3.580,00 
VF = 4.000 
VP 
0 
9 
n =12 meses i = 42% a.a. 
i = 3,5% a.m. 
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21 
6.2 DESCONTO COMPOSTO 
Desconto Composto Racional ou “por dentro” – D 
É o desconto utilizado para longo prazo. As relações são estabelecidas conforme o regime de 
juros compostos. 
Assim como: VF = VP * ( 1 + i ) n 
 
Temos: 1111 VP = 
( )n i 1
VF
+
 
 
 
VP = valor descontado racional do capital na data da operação 
VF = valor nominal futuro do capital 
 i = taxa de juros (ou taxa de desconto) 
 n = prazo do desconto (no de períodos antes do vencimento) 
 
Da definição de desconto, tem-se: 
 
 D = valor do desconto racional (pago) 
 2222 Dr = VF – VPr VF = valor nominal futuro do capital (deixo) 
 VP = valor descontado racional (levo) 
 
Substituindo 1111 em 2222, temos: 
 
D = VF – 
( )n i 1
VF
+
 ⇒ D = VF . 
( ) 




+ n i 1
1
 - 1 
 
EXEMPLO: 
Seja um título de valor nominal de R$ 50.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 
3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 4,5% a.m. à taxa de desconto racional, pede-se calcular o 
desconto racional e o valor descontado racional desta operação. 
Resolução: 
 
VF = 50.000,00 
 n = 3 meses 
 i = 4,5 % a.m. 
 D = ? 
VP = ? 
 
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VF = 50.000 
 0 
 
 
 
 
 
D = VF * 
( ) 




+ n i 1
1
 - 1 ⇒ D = 50000 * 
( ) 




+ 3 0,045 1
1
 - 1 ⇒ D = 50000 * 0,12370 ⇒ D = $ 6.185,17 
 
 
VP = 
( )n i 1
VF
+
 ⇒ VP = 
( )3 0,045 1
50000
+
 ⇒ VP = 
14117,1
50000
 ⇒ VP = $ 43.814,83 
 
Desconto Composto Bancário, Comercial ou “por fora” – D 
É um desconto raramente utilizado no Brasil. Caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa 
de desconto sobre o valor nominal do título. 
Da definição de desconto, tem-se: 
 D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” 
 1111 VP = VF – D VF = valor nominal futuro do capital 
 VP = valor descontado “por fora” do capital na data da operação 
Como: 
 D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” (pago) 
 2222 D = VF . i VF = valor nominal futuro do capital (deixo) 
 i = taxa de juros 
Substituindo 1 em 2, temos: 
 
 VP = VF – VF * i 
 
Assim para o 1o período, temos: 
 
 VP = VF * ( 1 – i ) 1 
 
Para o 2º período, temos: 
 
 VP = VF * ( 1 – i ) 1 * ( 1 – i ) 1 ⇒ VP = VF * ( 1 – i ) 2 
 
VP 
 
9 
n = 12 meses 
i = 4,5% a.m. 
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23 
Generalizando para o n-ésimo período, temos a fórmula para obter o valor descontado comercial ou 
“por fora”: 
 
 VP = VF * ( 1 – i ) n 
 
E como temos: 
 D = VF – VP ⇒ D = VF – VF. ( 1 – i ) 
n 
 
A fórmula para calcular o desconto comercial ou “por fora” é: 
 
 D = VF * [ 1 – ( 1 – i ) n ] 
 
EXEMPLO: 
 
 Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto 
composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. 
Pede-se determinar o valor descontado e o desconto. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
VP = VF * ( 1 – i ) n ⇒ VP = 35.000 * ( 1 – 0,05 )3 ⇒ VP = 35.000 * 0,85738 ⇒ VP = $ 30.008,12 
 
D = VF * [ 1 - ( 1 – i ) n ] ⇒ D = 35.000 * [ 1 – ( 1 – 0,05 )3 ⇒D = 35.000 * 0,14263 ⇒D = $ 4.991,87 
 
EXERCÍCIOS:- 
1. Utilizando o desconto composto “por dentro”, determine o valor descontado e o valor do desconto. 
a) Dívida de R$ 40.000,00, quitada 4 meses antes do vencimento com taxa de 3,5 % a.m. 
b) Um título de R$ 50.000,00, descontado 5 meses antes do vencimento com taxa de 4,5 % a.m. 
2. Utilizando o desconto composto “por fora”, determine o valor descontado e o valor do desconto. 
a) Dívida de $ 40.000,00, quitada 4 meses antes do vencimento com taxa de 3,5 % a.m. 
b) Um título de $ 50.000,00, descontado 5 meses antes do vencimento com taxa de 4,5 % a.m. 
3. Utilizando o desconto simples “por fora”, determine o valor descontadoe o valor do desconto. 
a) Título de R$ 44.000,00, descontado 4 meses antes do vencimento com taxa de 33,6 % a.a. 
b) Título de R$ 78.600,00, descontado 1 mês antes do vencimento com taxa de 30 % a.a. 
c) Título de R$ 280.000,00, descontado 2 meses antes do vencimento com taxa de 36 % a.a. 
4. Um título de valor nominal de R$ 41.000,00 é descontado comercialmente 4 meses antes de ser 
pago. A taxa de desconto adotada atinge 2,5 % ao mês. Calcular o valor descontado e o valor do 
desconto. (utilizar desconto composto comercial) 
 
VF = 35.000 
VP 
0 9 
n = 12 meses 
i = 5,0% a.m. 
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24 
7 SÉRIES UNIFORMES 
É toda série de valores iguais que acontecem em intervalos regulares de tempo (dia, mês, ano 
etc.). A série uniforme pode ser postecipada ou antecipada. Será postecipada quando o 1º pagamento 
ocorrer na data UM. Será antecipada quando o 1º pagamento ocorrer na data ZERO. 
7.1 VALOR PRESENTE DA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA g end 
Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme postecipada, seu VP será dado por: 
 
 
O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: 
 
 PV 
 
 0 1 2 3 n 
 
 ............ 
 PMT PMT PMT PMT 
 
 
7.2 VALOR PRESENTE DA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA g begin 
 
Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme antecipada, seu VP será dado por: 
 
 
 
O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: 
 
 PV 
 
 0 1 2 3 n – 1 n 
 
 ............ 
 PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 
 






+
−+
=⇒
⇒





+
++
+
+
+
=
+
++
+
+
+
=
n
n
nn
ii
i
PMTVP
iii
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
VP
)1.(
1)1(
.
)1(
1
......
)1(
1
)1(
1
.
)1(
......
)1()1( 22






+
−+
=⇒
⇒





+
−+
+=
+
++
+
+
+
+
+
+=
−
−
−
−
1
1
1
132
)1.(
1)1(
)1.(
1)1(
.
)1(
.......
)1()1()1(
n
n
n
n
n
ii
i
PMTVP
ii
i
PMTPMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
PMTVP
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25 
Observações:- 
* as calculadoras financeiras estão programadas para resolver qualquer um desses 
modelos de fluxo de caixa; 
 
* no caso da série postecipada apertar as teclas g end ; 
 
* no caso de série antecipada apertar as teclas g begin ; 
 
* as variáveis desses modelos são VP, PMT, n e i informando três dessas variáveis a 
calculadora irá determinar o valor da quarta variável; 
 
* observe no fluxo de caixa que VP e PMT têm sinais contrários. 
 
EXERCÍCIOS:- 
1. Um amigo empresta ao outro R$ 3.600,00 para ser liquidado em 24 prestações mensais iguais. 
Sabendo-se que a taxa cobrada é de 5 % a.m. e que a primeira vence um mês após a data do 
empréstimo, calcular o valor das prestações mensais. 
2. Uma geladeira foi anunciada por R$ 1.500,00 à vista ou em 6 prestações iguais com entrada. 
Sabendo-se que a taxa de juros é igual a 7,93 % a.m., calcular o valor das prestações. 
3. Eduardo está interessado em comprar uma moto cujo preço à vista é R$ 8.000,00. Se Eduardo der 
uma entrada de R$ 1.000,00 e pagar o restante em 24 meses, qual será o valor da prestação se a taxa 
for de 5 % a.m.? 
4. Um comerciante quer vender um eletrodoméstico, cujo preço à vista é de R$ 1.000,00, em três 
prestações iguais, sendo a primeira paga no ato. Determine o valor de cada parcela, sabendo que o 
comerciante embute uma taxa de 11,5 % a.m. nas vendas a prazo. 
5. Qual o preço à vista de um artigo que é financiado em cinco pagamentos mensais iguais de R$ 
400,00 cada sem entrada, sendo que o custo do financiamento está sob uma taxa de 11 % a.m.? 
6. Um item cujo preço à vista é R$ 500,00 pode ser adquirido com 30 % de entrada e o restante em 
cinco parcelas mensais iguais. A primeira parcela é paga um mês após a compra. Determine o valor de 
cada parcela se a taxa do financiamento é de 6 % a.m.. 
7. Um comerciante vende um artigo em quatro prestações mensais iguais; a primeira delas no ato da 
compra. O valor de cada prestação é R$ 200,00. Sabendo que o comerciante embute nas vendas a 
prazo uma taxa de 9 % a.m., determine o preço à vista do artigo. 
8. Uma loja vende automóveis cujo preço à vista é de R$ 50.000,00, em quatro prestações mensais 
iguais, com entrada. O custo do financiamento é de 2 % a.m.. Determine o valor das prestações. 
 
 
 
 
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7.3 VALOR FUTURO DA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA g end 
Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme antecipada, seu VF será dado por: 
 
O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: 
 
 VF 
 
 0 1 2 3 n 
 
 ............ 
 PMT PMT PMT PMT 
 
 
7.4 VALOR FUTURO DA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA g begin 
 
Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme antecipada, seu VF será dado por: 
 
O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: 
 VF 
 
 0 1 2 3 n – 1 n 
 
 ............ 
 PMT PMT PMT PMT PMT 
 
Observações:- 
* as calculadoras financeiras estão programadas para resolver qualquer um desses 
modelos de fluxo de caixa; 
 
* o valor futuro da série uniforme antecipada costuma ser calculado na data n, data essa 
que corresponde à data imediatamente à data do último valor da série uniforme; 
 
* no caso da série postecipada apertar as teclas g end ; 
 
* no caso de série antecipada apertar as teclas g begin ; 
 
* as variáveis desses modelos são VF, PMT, n e i informando três dessas variáveis a 
calculadora irá determinar o valor da quarta variável; 
 
* observe no fluxo de caixa que VF e PMT têm sinais contrários. 
i
i
PMTVF
PMTiPMTiPMTiPMTiPMTVF
n
nnn
1)1(
.
)1.(.......)1.()1.()1.( 321
−+
=⇒
⇒+++++++++= −−−
[ ]
i
ii
PMTVF
iPMTiPMTiPMTiPMTVF
n
nnn
1)1().1(
.
)1.(........)1.()1.()1.( 21
−++
=⇒
⇒++++++++= −−
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EXERCÍCIOS:- 
1. Uma pessoa aplicou R$ 50,00 por mês em uma caderneta de poupança programada, sabendo que a 
taxa mensal foi de 1,5 % a.m. e que ele realizou o primeiro depósito um mês depois, quanto ele 
resgatou ao final de 24 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um indivíduo aplicou no dia 05/03 uma determinada quantia. Com uma taxa de 2 % a.m., no dia no 
dia 04/10, sabendo que as aplicações foram iguais, resgatou um total de R$ 8.550,00. Qual foi o valor 
de cada aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
8 AMORTIZAÇÕES 
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que 
são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do 
reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de 
ambos: 
Principal: é o valor objeto do contrato de empréstimo, aquele valor que será negociado, do qual 
necessita o financiado para o objetivo pretendido; 
Juros: é o valor pago pelo uso do capital de outrem, de acordo com a taxa firmada na operação; 
Saldo devedor: é o valor resultante da subtração entre o principal e a(s) parcela(s) de amortizações já 
honradas;Prestação: é o valor devido a cada período contratado; 
Amortização: é o valor efetivamente pago em cada parcela ou prestação, descontada a importância 
paga a título de juros naquele período. 
Portanto, temos: 
Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor! 
Os principais sistemas de amortização são: 
a) Sistema de Pagamento Único – SPU 
Conceito: um único pagamento no final. 
b) Sistema de Pagamentos Variáveis – SPV 
 Conceito: vários pagamentos diferenciados. 
c) Sistema Americano – SA 
 Conceito: pagamento do juro mês a mês e saldo devedor no final 
d) Sistema de Amortização Constante – SAC 
 Conceito: a amortização é igual em cada período. 
e) Sistema Price – PRICE 
 Conceito: os pagamentos são iguais em todos os períodos. 
f) Sistema de Amortização Misto – SAM 
 Conceito: os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e PRICE 
 
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Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento será a soma do valor amortizado com os 
juros do saldo devedor, isto é: 
Pagamento = Amortização + Juros 
Nas nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago 
ao final de 5 meses à taxa mensal de 4 %. 
Na seqüência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e 
com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a 
mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados: 
 
Sistema de Amortização 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 300.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 0 
Totais 300.000,00 
 
a) Sistema de Pagamento Único – SPU 
 
Conceito: O devedor paga o Montante = Capital + Juros compostos da dívida, em um único pagamento 
ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula: 
 
M = P . ( 1+i ) n 
Uso comum: Letras de câmbio. Títulos descontados em bancos. Certificados a prazo fixo com renda 
final. 
Sistema de Pagamento Único 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 312.000,00 
2 12.480,00 324.480,00 
3 12.979,20 337.459,20 
4 13.498,37 350.957,57 
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0 
Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87 
 
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30 
b) Sistema de Pagamentos Variáveis – SPV 
 
Conceito: O devedor paga periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo 
com a combinado inicialmente, sendo que os juros do saldo devedor são pagos sempre ao final de cada 
período. 
 
Uso comum: Cartões de crédito. 
 
Combinado: Foi acertado que o devedor pagará a dívida da forma: 
* No final do 1º mês: R$ 30.000,00 + juros 
* No final do 2º mês: R$ 45.000,00 + juros 
* No final do 3º mês: R$ 60.000,00 + juros 
* No final do 4º mês: R$ 75.000,00 + juros 
* No final do 5º mês: R$ 90.000,00 + juros 
 
Sistema de Pagamentos Variáveis 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00 
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00 
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00 
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00 
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0 
Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00 
 
c) Sistema Americano – SA 
Conceito: O devedor paga o principal em um único pagamento no final, e no final de cada período 
realiza o pagamento dos juros do saldo devedor. 
 
Sistema Americano 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento 
Saldo devedor 
 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
2 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
3 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
4 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00 
 
 
 
 
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d) Sistema de Amortização Constante – SAC 
Conceito: O devedor paga o principal em 5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre 
constantes e iguais. 
 
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 
 
 
Obs.: Quando envolver carência An = 
n
 ) i 1 ( . P 1 - c+
 
 
EXERCÍCIOS:- 
 
1. Um imóvel está sendo negociado por R$ 350.000,00 Considerando taxa efetiva de 2,5% a.m., e 
n=10, monte a planilha conforme o Sistema Americano e outra planilha conforme o SAC. 
 
Sistema Americano 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento 
 
Saldo devedor 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 
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Sistema de Amortização Constante (SAC) 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento 
 
Saldo devedor 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 
 
2. Um empréstimo de $200.000,00 contratado a juros efetivos de 10% a.m será pago em três 
prestações mensais com carência de três meses. Construir a planilha de amortização conforme a 
SAC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) Sistema Price (Sistema Francês) - PRICE 
 
Conceito: Todas as prestações (pagamentos) são iguais. 
 
Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. 
 
Cálculo: A prestação R é calculado pela fórmula de Séries Uniformes. 
 
 
 
( )
( ) i . i 1
1 - i 1
VP
 R
n
n
+
+
= 
 
 
Carência: Quando existir carência, e os juros forem capitalizados e incorporados ao principal, a 
prestação R será calculada pela fórmula: 
 
 
 
( )
( )
( ) i . i 1
1 - i 1
 i 1 . VP
 R
n
n
1 - c
+
+
+
= 
 
 
Exemplos: 
 
1. Em um financiamento de R$ 300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%, 
temos: 
 
 
Sistema Price (ou Sistema Francês) 
N Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 
 
 
 
 
 
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34 
2. Em um financiamento de R$ 200.000,00 que será pago em 4 meses à taxa mensal de 10 %, com 
carência de 3 meses, onde os juros são incorporados ao principal temos: 
 
Sistema Price (Sistema Francês) 
N Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 200.000,00 
1 0 0 0 220.000,00 
2 0 0 0 242.000,00 
3 24.200,00 52.143,82 76.343,82 189.856,18 
4 18.985,62 57.358,20 76.343,82 132.497,98 
5 13.249,80 63.094,02 76.343,82 69.403,96 
6 6.940,40 69.403,96 76.343,82 0 
Totais 63.375,82 242.000,00 305.375,28 
 
EXERCÍCIOS:- 
 
1. Montar a planilha para um empréstimo de R$100.000,00 que será pago pela Tabela Price em 8 
meses à taxa de 72 % a.a. com capitalização mensal.FATEC 
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35 
2. Idem acima, considerando 5 meses de carência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36 
9. TOMADA DE DECISÕES E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
Todos nós, agentes econômicos, tomamos diariamente decisões de gasto. A maioria delas de 
pequeno porte, tais como um lanche ou produtos de higiene pessoal. Nossas escolhas, dentro desta 
realidade diária, estão ligadas à simpatia ou preferência por uma determinada marca, local de compra 
ou pelo preço a ser pago pelo produto desejado. Levando em consideração estes referenciais, buscamos 
a melhor decisão de compra. 
Entretanto, os indivíduos também se colocam diante de decisões de gasto de maior porte, como 
a compra de uma casa ou de um carro, ou mesmo, para uma pessoa de baixa renda, a compra de uma 
televisão, que pode ser vista como um gasto elevado. Nestes casos, é necessário uma análise muito 
mais cuidadosa. Devemos observar o prazo de pagamento, o valor das mensalidades e a taxa de juros 
embutida na compra a prazo. Aliás, precisamos até julgar se uma compra a prazo não pode se tornar 
um problema, caso venhamos a perder nosso emprego. Enfim, nossa decisão de compra deve estar 
baseada em um grande número de informações. Só assim teremos maior tranqüilidade para realizarmos 
tal gasto. 
Da mesma forma que os indivíduos, também as empresas necessita gastar o seu dinheiro. Elas 
fazem isso em dois tipos básicos de gasto: as despesas para a manutenção dos trabalhos da empresa 
(gastos de custeio) e as despesas para o aumento ou reposição da capacidade de produção (gastos de 
investimento). Tanto o primeiro quanto o segundo são extremamente importantes para que a empresa 
alcance o seu objetivo maior, a obtenção de lucros. 
Também como no caso dos indivíduos, os gastos de custeio tem, normalmente, um perfil de 
curto prazo. Ou seja, são os gastos com investimento, aqueles que acabam por atrair uma maior 
atenção dos empresários, pois exigem maiores montantes de recursos no curto prazo (investimento 
inicial) e têm um tempo de maturação (retorno do investimento), mais longo. Evidentemente, gastar 
muito dinheiro hoje (às vezes uma parte dele tomada emprestado junto aos bancos comerciais), ter de 
esperar um prazo para receber o retorno (digamos 3 ou 4 anos) e mais que isso, sem nenhuma garantia 
de que tudo o que foi planejado irá ocorrer, não é nada simples. 
Tomar uma decisão destas exige algum apoio. É para isso que foram desenvolvidos vários 
métodos de tomadas de decisões de investimentos. O empresário, primeiramente deve formar suas 
expectativas quanto ao futuro. Para isso, basta utilizar seu conhecimento sobre realidade nacional 
vigente (indicadores macroeconômicos) e observar atentamente as tendências que o mercado, em que 
está inserido, apresenta para seu produto (indicadores microeconômicos). Desta forma, munido destas 
preciosas impressões sobre o futuro, ele deve lançar mão dos diversos métodos existentes para a 
tomada de decisão de investimento. 
9.1 AÇÕES PARA A TOMADA DE DECISÃO DE INVESTIMENTO 
Como vimos em nosso texto introdutório existem alguns passos para chegarmos a uma decisão 
final quanto à realização ou não de um investimento. Verifiquemos mais atentamente quais são eles: 
1° Passo: Identificar a Oportunidade de Investimento: 
A equipe envolvida na gerência da empresa deve estar atenta ao mercado e as condições 
macroeconômicas, buscando novas oportunidades de investimento. 
 
 
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37 
2° Passo: Estimar e Avaliar os Fluxos de Caixa: 
Cada projeto terá uma possibilidade de receita e uma possibilidade de despesa. Em outras 
palavras, normalmente quando compramos um novo equipamento, ou montamos uma nova fábrica, 
teremos novas entradas de dinheiro, entretanto, provavelmente teremos novas saídas de dinheiro 
(pagamentos dos funcionários, compra de mais matéria prima, etc.). 
No caso de novos projetos, é bom lembrar que o que nos interessas, na maioria dos métodos, é 
o fluxo líquido de recursos. Em outros termos, subtraindo das novas receitas os novos gastos, o fluxo 
líquido é o que resta. Este montante recebe o nome de fluxo de caixa líquido. É ele que 
verdadeiramente nos interessa. 
A partir do momento em que temos nas mãos o fluxo de caixa líquido de um projeto, devemos 
avaliá-lo levando-se em consideração nossos critérios de retorno para a empresa. Isto será feito 
utilizando os métodos que veremos a seguir. 
3° Passo: Selecionar o(s) Projeto(s) Adequado(s): 
Uma vez de posse dos dados obtidos através dos métodos de decisão, e detendo-se os melhore 
prognósticos em relação ao futuro (macro e microeconômicos), só resta a tomada de decisão quanto a 
qual ou quais projetos implementar. 
9.2 MÉTODOS DE TOMADA DE DECISÃO DE INVESTIMENTO 
9.2.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL 
"O valor presente líquido ou NPV (Net Present Value) é uma técnica de avaliação de projetos 
que determina o resultado líquido de um investimento trazendo todos os fluxos de caixa a valor 
presente por uma taxa de desconto" (Brealey & Myers, 1991 in Sassatani, Sousa e Luporini, 1997, 
p.155). 
Fórmula do Valor Presente Líquido: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
NPV = Valor Presente Líquido 
k = Taxa Mínima de Atratividade 
CFt = Fluxo de Caixa 
t = Período 
 
( )∑= +
=
n
0t
t
t
k1
CF
NPV
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38 
Observando melhor esta equação é simples observar que o fluxo de caixa inicial (t=o), é o 
investimento inicial ou desembolso, portanto deverá figurar na equação, com valor negativo, pois 
representa uma saída de recursos. Os demais itens da série (t = 1, 2, 3,...,n ) são os demais fluxos de 
caixa, nos posteriores períodos do projeto. 
Cada um dos fluxos (mesmo as saídas), não deve ser tomado como valor que representa recurso 
real. De fato, são apenas valores nominais. Cada um de nós pode investir1 seu dinheiro em 
determinadas opções financeiras, por exemplo, a caderneta de poupança. O retorno que pode ser obtido 
na caderneta é de 0,5% ao mês. Portanto, qualquer projeto que me venha a ser apresentado, deverá 
render mais do que isso para ser atrativo do ponto de vista financeiro. Da mesma forma, as empresas 
também possuem Taxas Mínimas de Atratividade, que são seus parâmetros mínimos de retorno. 
Para que se possa verificar se o projeto dá, ou não, um retorno acima do valor mínimo que 
poderá ser obtido de qualquer modo basta que descontemos cada parcela do fluxo de caixa pela taxa 
mínima garantida. Em outras palavras, para que eu saiba quanto dinheiro eu poderei ganhar, além do 
que me é garantido em outra aplicação, basta que eu divida cada fluxo de caixa periódico (CFt), pelo 
fator de desconto [ (1+k)t ]. Assim, k é a minha Taxa Mínima de Atratividade. 
 Portanto, NPV representa a soma total do que será ganho, além do retorno normal esperado 
pela aplicação da Taxa Mínima de Atratividade (k). Assim, quando uma empresa estabelece que sua 
Taxa Mínima de Atratividade é de 5% ao mês, qualquer projeto deverá render, minimamente, mais do 
isso. O que é facilmente verificável através dos resultados obtidos com a aplicação da fórmula do valor 
presente líquido, que poderão ser os seguintes: 
NPV = 0 - Retorno do investimento, igual à Taxa Mínima de Atratividade - Projeto Rejeitado. 
NPV < 0 - Retorno do investimento, menor que a Taxa Mínima de Atratividade - Projeto Rejeitado. 
NPV > 0 - Retorno do investimento, maior que a Taxa Mínima de Atratividade - Projeto Aprovado. 
Vejamos um exemplo de aplicação deste método de decisão: 
Exemplo: 
A empresaDescanse em Paz LTDA, especializada na fabricação de caixões de luxo, está 
pretendendo ampliar a sua linha de produção e após promover uma pesquisa no mercado fornecedor de 
equipamentos, observou duas possibilidades de investimento, levando-se em consideração uma Taxa 
Mínima de Atratividade de 15% ao ano: 
a) Investimento inicial de R$ 40.000,00, com uma expectativa de receita líquida anual de R$ 
17.000,00, pelo prazo máximo de 5 anos; 
b) Investimento inicial de R$ 27.000,00, com uma expectativa de receita líquida anual de R$ 
12.000,00, pelo mesmo prazo. 
Resposta: 
Alternativa a: 
 
1 Entendendo-se, aqui, investimento de uma forma menos rigorosa que nos termos econômicos, onde ele significa apenas o 
aumento líquido de capacidade produtiva. 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
16.986,64NPV8.452,009.719,80
11.177,7612.854,4414.782,6040.000
2,0113
17.000
1,7490
17.000
1,5208
17.000
1,3225
17.000
1,15
17.000
40.000
0,151
17.000
0,151
17.000
0,151
17.000
0,151
17.000
0,151
17.000
40.000NPV
k1
CF
NPV
a
54321a
n
0t
t
t
a
=⇒++
++++−=+++++−=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−=⇒
+
=∑
=
 
 
Alternativa b: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
13.225,86NPV5.966,126.861,04
7.890,199.073,7210.434,7827.000
2,0113
12.000
1,7490
12.000
1,5208
12.000
1,3225
12.000
1,15
12.000
27.000
0,151
12.000
0,151
12.000
0,151
12.000
0,151
12.000
0,151
12.000
27.000NPV
k1
CF
NPV
b
54321b
n
0t
t
t
b
=⇒++
++++−=+++++−=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−=⇒
+
=∑
=
 
 Observação:- 
Para calcular o NPV, dos exemplos acima, utilizamos os seguintes comandos da HP 12C:- 
a) f FIN REG 40000 CHS g CF0 
 17000 g CF1 
 5 g Nj 
 15 i 
 f NPV 
 
b) f FIN REG 27000 CHS g CF0 
 12000 g CF1 
 5 g Nj 
 15 i 
 f NPV 
Pelos critérios de escolha do método do Valor Presente, podemos observar que os dois projetos 
apresentaram NPV > 0, o que significa que ambos são interessantes para a empresa, e podem ser 
aceitos. Entretanto, estamos diante de dois projetos mutuamente excludentes, ou seja, só podemos 
optar por realizar um deles. Neste caso, devemos optar pelo projeto que possuir o maior NPV, ou seja, 
a alternativa a. 
 
 
 
 
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40 
PRÓS E CONTRAS DO MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL 
Segundo Dugdale (1991), citado em Sassatani, Sousa e Luporini, (1997), os pontos fortes e 
fracos deste método são: 
 Fortes: 
 * Leva em consideração o valor do dinheiro no tempo; 
 * É fácil interpretar seu resultado; 
 * O cálculo é mais simples que o da taxa interna de retorno; 
 * Segue o princípio da adição de investimentos; 
 * Sua teoria é consistente. 
 Fracos: 
 * É difícil analisar um resultado somente pelo seu número absoluto; 
 * Não é um método indicado para seleção de projetos mutuamente exclusivos; 
 * Não permite nenhuma conclusão a respeito da maturidade do projeto; 
 * Na comparação entre alternativas, não considera as diferenças de escala; 
* Supõe-se que o investidor conheça uma taxa mínima de atratividade para todo o horizonte do 
projeto. 
 A crítica mais séria que se pode fazer a essa técnica é a inconveniência para seleção de 
investimentos mutuamente exclusivos, pois não considera as diferenças de magnitude dos 
investimentos (Dugdale, 1991). A regra de decisão do NPV é muito clara: investir nos projetos com 
NPV positivos. Como são exclusivos, a regra diz para adotar aquele com maior NPV, visto que agrega 
maior valor ao investidor ou à empresa. 
Supondo-se duas alternativas, projeto Alpha e projeto Beta, com seus respectivos fluxos de 
caixa e com taxa de desconto 15%: 
 
PERÍODO ALPHA BETA 
0 -1.000 -100.000 
1 800 44.500 
2 800 44.500 
3 800 44.500 
NPV 826,58 1.603,52 
 
Pela regra de decisão do NPV, o projeto Beta seria escolhido, pois é o que possui maior valor 
presente líquido e agrega mais valor à empresa. Porém sua rentabilidade é menor que o projeto Alpha. 
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41 
A questão que alguns estudiosos colocam é a seguinte: na prática, você investiria num projeto 
100 vezes maior, cujo resultado é apenas o dobro da outra alternativa?". (Sassatani, Sousa e Luporini, 
1997, p.155). 
Entretanto, mesmo com seus problemas, "... o método do Valor Presente Líquido é um dos 
mais utilizados e aceitos pelos executivos e analistas na avaliação de investimentos" (Sassatani, Sousa 
e Luporini, 1997, p.155). 
 
 
EXERCÍCIOS:- 
1) Uma pessoa tem as seguintes alternativas para um investimento de R$ 800.000,00: 
a) Receber o retorno de R$ 1.000.000,00 no fim de 2 anos; 
b) Receber dois pagamentos anuais no valor de R$ 475.000,00 cada; 
c) Receber quatro pagamentos semestrais de R$ 230.000,00 cada. 
Calcular a melhor alternativa, sabendo que a taxa mínima de atratividade é de 12% a.a. 
 
2) Uma empresa de participação dispõe de R$ 150.000,00, e conta com duas oportunidades para 
investir além de deixar seus recursos aplicados em debêntures2. As debêntures estão rendendo 10% ao 
mês e a empresa considera esta sua taxa mínima de atratividade. As duas oportunidades de 
investimento são lotes disponíveis de diversos títulos bancários que deverão apresentar um rendimento 
médio da seguinte forma: 
Corretora A: 
 
Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 
R$ 150.000,00 R$ 73.000,00 R$ 73.000,00 R$ 73.000,00 
 
Corretora B: 
 
Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 
R$ 150.000,00 R$ 52.000,00 R$ 52.000,00 R$ 52.000,00 
 
3) Um investidor tem diante de si duas propostas de investimento. Na primeira, deve investir R$ 
70.000,00 no ato, para receber R$ 14.000,00 anualmente nos próximos 10 anos. Na segunda, deve 
investir no ato R$ 98.000,00 para obter R$ 21.000,00 anualmente durante 10 anos. Qual seria a 
proposta escolhida, sabendo que a taxa mínima de atratividade é de 12% a.a.? 
 
 
 
 
 
 
2 Títulos privados passíveis ou não de conversão em ações. 
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42 
9.2.2 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR ( INTERNAL RATE OF RETURN – IRR) 
Trata-se de um dos mais conhecidos e utilizados métodos de tomada de decisão de 
investimento. Pesquisa realizada no início da década de noventa3, trabalhando com uma amostra 
significativa de empresas, detectou que 49,6 % desta amostra trabalha com a Taxa Interna de 
Retorno como seu primeiro critério de rentabilidade. 
A equação utilizada para a obtenção da TIR é a mesma do VPL. De fato, enquanto no valor 
presente líquido estamos atualizando uma série de valores estimados de receita, utilizando uma 
determinada Taxa Mínima de Atratividade (que na fórmula chamamos de k e arbitrada por nós), na 
TIR, o que buscamos é descobrir uma determinada taxa (k) que desconte os fluxos esperados de forma 
que sua soma se iguale ao valor investido inicialmente. Em outras palavras, estamos buscando uma 
taxa de equilíbrio, a partir da qual, todas as demais taxas nos renderão sempre acima do investimento 
inicial. 
Assim, ao contrário do VPL, onde se partindo de um fluxo dado, arbitramos uma taxa mínima 
de atratividade, buscando um valor absoluto, na TIR, partindo da mesma condição, buscamos a taxa 
que se igualará ao valor do investimento inicial. 
 
Exemplo: 
Baseando-se no quadro que segue, vejamos como proceder no cálculo da Taxa Interna de 
Retorno. 
 
Períodos Alternativa * 
Investimento Inicial (0) - 50.000,00** 
1 15.000,00 
2 16.000,003 16.000,00 
4 15.000,00 
5 15.500,00 
* Valores em R$; 
** O Investimento Inicial é negativo posto que é um gasto e não uma receita. 
 
Aplicando-se a fórmula do VPL temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
16,63%k
k1
15.500
k1
15.000
k1
16.000
k1
16.000
k1
15.000
50.0000
k1
CF
NPV
54321
n
0t
t
t
=⇒
⇒
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−=⇒
+
=∑
=
 
 
Como k > 0, o projeto será aprovado. 
 
 
 
 
 
3 SAUL, NESTOR. Análise de Investimentos; Critérios de Decisão e Avaliação de Desempenho nas Maiores 
Empresas do Brasil. 1ª Ed. Porto Alegre, Ed. Ortiz S/A, 1993. p.43-78. 
 
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Observação:- 
Para calcular a TIR (ou IRR), do exemplo acima, utilizamos os seguintes comandos da HP 
12C:- 
 f FIN REG 50000 CHS g CF0 
 15000 g CF1 
 16000 g CF1 
 16000 g CF1 
 15000 g CF1 
 15500 g CF1 
 f IRR 
 
Através da resolução do exemplo podemos observar melhor alguns elementos importantes. 
Primeiramente, o Valor Presente Líquido do projeto é suposto nulo. Portanto, o objetivo em termos 
matemáticos se torna encontrar uma taxa (k) que consiga igualar a somatória do valor das parcelas de 
receita ao investimento inicial, como já foi dito anteriormente. Também fica claro pelo exemplo 
anterior, o grau de complexidade do cálculo da TIR. 
Para obtermos um k de um projeto que tenha 5 períodos, teremos de lidar com uma equação de 
5° grau. Se tivermos um número de períodos igual a 10, estaremos falando de uma equação de 10° 
grau e assim sucessivamente. Foi esta dificuldade que impediu o uso mais freqüente da Taxa Interna 
de Retorno até meados da década de 70. Com o advento e a disseminação dos computadores como 
instrumentos comuns de trabalho, tal empecilho desapareceu. Para efetuarmos o cálculo da TIR sem o 
uso de calculadora financeira ou computador, o único método razoável é por tentativa e erro. 
 
Prós e Contras do Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) 
Segundo Dugdale (1991), citado em Sassatani, Sousa e Luporini, (1997), os pontos fortes deste 
método são as seguintes: 
 Fortes: 
* Resultado final (taxa de retorno) tem um significado melhor do que o número absoluto do 
VPL; 
 * É fácil comparar alternativas de projetos através dos retornos; 
* A possibilidade de erro é menor ao trabalhar com uma taxa gerada por um fluxo do que 
estimar um custo de oportunidade para se determinar o VPL. 
Por outro lado, há posições críticas ao método da Taxa Interna de Retorno. Na opinião de 
Brealey & Myers (1991), também citados em Sassatani, Sousa e Luporini, (1997), os pontos fracos da 
TIR são: 
 Fracos: 
* Múltiplas TIR: quando um fluxo de caixa altera de sinal mais de uma vez, pode produzir mais 
de uma taxa interna de retorno. O problema é que quando existem várias TIR's pode ocorrer 
que nenhuma tenha um sentido econômico. A regra usual é aceitar projetos cuja TIR for 
superior ao custo de capital (k). Observe que neste caso, a regra não é válida para toda curva. 
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Supondo um custo de oportunidade k existem diversas TIR's maiores que o custo que geram 
VPL negativo. O exemplo a seguir ilustra a situação: 
 
Ano Fluxo 
0 -1.600 
1 13.000 
2 -14.000 
 
Para o fluxo mencionado há duas taxas de retorno: uma de 27,79% e outra de 584,71%. Para 
um custo de oportunidade de 15% (inferior a TIR) não seria sensato adotar o projeto, pois o VPL é 
negativo. Se o custo de oportunidade se situar entre as duas TIR's, o VPL será positivo; 
* Seleção de projetos mutuamente exclusivos: quando se deve escolher um único projeto entre 
diversas alternativas, o método da TIR pode selecionar aquele com maior potencial de retorno, porém 
com menor ganho (VPL). Muitos autores atribuem este fato quando há diferenças de escala 
(investimento inicial) entre os projetos. Isto não é necessariamente verdade, conforme observado no 
exemplo do fluxo anterior. Existem projetos cujos resultados são diferentes para o critério do VPL e da 
TIR, mesmo com investimentos iniciais iguais; 
* Hipótese do reinvestimento a TIR: quando se apura a TIR de um fluxo de significa que todos 
os valores do fluxo de caixa são reinvestidos a esta taxa (Dugdale, 1991 e Copeland, 1988). Isto não 
ocorre na verdade, pois os recursos gerados pelo investimento inicial podem ser reaplicados a uma taxa 
completamente diferente da TIR. 
 
EXERCÍCIOS:- 
 
1. Calcule as Taxas Internas de Retorno para os projetos com os seguintes fluxos de caixa 
 
 Projeto A Projeto B Projeto C 
Investimento Inicial - 15.000 - 25.000 - 5.000 
Período 1 2.000 15.000 3.000 
Período 2 8.000 10.000 1.000 
Período 3 20.000 5.000 2.000 
Período 4 5.000 1.000 1.000 
 
2. Uma empresa que produz suco de laranja, está preste a investir R$ 7.000.000,00 na construção de 
uma nova unidade produtiva. Há dois projetos possíveis, cujos fluxos de caixa estão apresentados 
abaixo. Qual deles é mais adequado economicamente (utilize o cálculo da TIR)? 
 
 Projeto A Projeto B 
Investimento Inicial - 7.000.000 - 7.000.000 
Período 1 3.500.000 0 
Período 2 2.500.000 1.500.000 
Período 3 2.500.000 2.500.000 
Período 4 500.000 6.000.000 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2008. 
BRUNI, A. L. & FAMÁ, R. Matemática financeira: com HP 12c e Excel – 3ª ed. São Paulo: Atlas, 
2004. 
CESAR, B. Matemática financeira: teoria e 700 questões – 5ªed. Rio de Janeiro: Impetus, 2004. 
FEIJÓ, R. Matemática financeira com conceitos econômicos. São Paulo: Saraiva, 2009. 
GITMAN, L. Princípios de administração financeira. 7ªed. São Paulo: Harbra, 1997. 
RANGEL, A. de S.; SANTOS, J. C. de S. & BUENO, R. DE L. da S. Matemática dos mercados 
financeiros: à vista e a termo. São Paulo: Atlas, 2003. 
SAMANEZ, C. P. Engenharia econômica. São Paulo: Pearson, 2009. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos – 3ª ed. São Paulo: 
Pearson, 2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO 
EXERCÍCIOS 
I – PORCENTAGEM 
1. Transforme as porcentagens abaixo para a forma unitária: 
a. 10 % = 
b. 3 % = 
c. 200 % = 
d. 0,5 % = 
e. 0,01 % = 
 
2. Transforme da forma unitária para a forma percentual: 
a. 0,03 = 
b. 2,00 = 
c. 0,50 = 
d. 0,25 = 
e. 0,375 = 
 
3. Calcule: 
a. 25 % de 450 = 
b. 200 % de 1.500 = 
c. 3 % de 600 = 
d. 0,25 % de 3.000 = 
e. 30 % de 550 = 
 
4. Resolva: 
a. O preço de uma ação subiu de $ 23,20 para $ 28,30. Qual a variação percentual? 
b. O preço de uma ação caiu de $ 58,50 para $ 53,25. Qual a variação percentual? 
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c. Para negociar um produto, você gastou $ 112.000,00 de mão-de-obra, $ 72.000,00 de matéria-
prima, $ 35.412,00 de despesas gerais e $ 34.420,00 de marketing. Quanto representa 
percentualmente cada item? 
 
II – JUROS SIMPLES 
5. Qual o montante produzindo por um capital de $ 2.000,00, aplicado a taxa de juros simples de 24 
% ao mês, pelo prazo de 6 meses? 
6. Que capital deve ser aplicado à taxa de 15 % ao mês para que no final de 128 dias produza um 
montante de $ 5.000,00? 
7. Qual a taxa mensal de juros simples que faz um principal de $ 1.000,00 se transformar num 
montante de $ 1.500,00 daqui a 20 meses? 
8. Em quantos meses um capital dobra, a juros simples de 2 % aomês? 
 
III – DESCONTO SIMPLES 
9. Qual o valor do desconto “por fora” de um título de $ 1.000,00 com vencimento para 90 dias, à 
taxa de 2,5 % ao mês? 
10. Qual o valor do desconto comercial de um título de $ 50.000,00, com vencimento para 60 dias, à 
taxa de 5 % ao mês? 
 
IV – JUROS COMPOSTOS 
11. Qual o capital que aplicado à taxa composta de 2 % ao mês, durante um semestre, gera um 
montante igual a $ 225.232,40? 
12. Determinar o tempo necessário para o capital de $ 20.000,00 gerar um montante de $ 28.142,00 
quando aplicado à taxa composta de 5 % ao mês. 
13. A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar $ 40.000,00 para obtermos montante igual 
a $ 56.197,12 ao fim de um trimestre? 
14. Em que prazo um empréstimo de $ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento 
de $ 110.624,80, se a taxa de juros compostos cobrada for de 15 % ao mês? 
 
V – DESCONTO COMPOSTO 
15. Um título no valor de $ 20.000,00 foi descontado 3 meses antes do seu vencimento. A taxa de 
desconto comercial composto aplicada foi de 10 % ao mês. Qual o valor recebido? 
16. Um título de valor nominal de $ 70.000,00 é descontado comercialmente 3 meses antes de ser 
pago. A taxa de desconto adotada é 4,5 % ao mês. Calcular valor descontado e o valor do 
desconto (desconto composto). 
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VI – SÉRIES UNIFORMES 
17. Um empréstimo será pago em 8 prestações mensais de $ 60.000,00. Se a taxa de juros composta 
for de 15 % ao mês, qual será o valor desse empréstimo? 
18. Uma geladeira está anunciada por $ 1.500,00 à vista ou em 5 prestações mensais iguais, sendo a 
primeira paga 30 dias após o dia da compra (postecipada). Calcular o valor das prestações, 
sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 15% ao mês. 
19. Um carro está anunciado por $ 10.000,00 à vista ou em 10 prestações mensais iguais e 
consecutivas, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada). Calcular o valor das 
prestações, sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5 % ao mês. 
20. Para adquirir um televisor, a loja exige de entrada $ 381,22 mais 5 prestações mensais iguais 
de $ 381,22. Considerando-se uma taxa de juros de 14 % ao mês, qual o valor à vista do televisor?