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________________________________________________________________________________ Fatec Sorocaba Apostila MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. MSc. Adilson Rocha FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 2 SUMÁRIO 1- INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA ......................................................................................... 03 2- PORCENTAGEM .................................................................................................................................... 07 3- FLUXO DE CAIXA.. ............................................................................................................................... 11 4- TAXAS EQUIVALENTES ........................................................................................................................ 11 5- REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO .............................................................................................................. 14 6- DESCONTOS ......................................................................................................................................... 18 7- SÉRIES UNIFORMES .............................................................................................................................. 24 8- AMORTIZAÇÕES ................................................................................................................................... 28 9- TOMADA DE DECISÕES E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ....................................................................... 36 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................... 45 ANEXO – EXERCÍCIOS .............................................................................................................................. 46 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 3 1 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA Emprestar dinheiro sem regras para pagamento, somente em situações de: PARENTESCO:- Pai; Mãe; Irmão; Tia Salvo estas situações e para não perder dinheiro, somente emprestar ou financiar com regras claras para o pagamento. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 4 1.1 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Lembremo-nos de uma celebre frase: “Tempo é Dinheiro” Conceito de Moeda e o Sistema Financeiro. Uma palavra fundamental nos estudos da matemática financeira é JURO. Vamos observar abaixo a figura ilustrativa. Trabalho Imóvel Administração Técnica Capital Salário Aluguel Royalty Lucros JUROS FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 5 1.2 JUROS a) O pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo. Por exemplo: quando aplicamos certa quantia na poupança estamos nos desprovendo dela pelo período de no mínimo um mês, portanto não podemos utilizá-la neste período. Os juros são neste caso os pagamentos pelas oportunidades perdidas. Exemplos semelhantes ocorrem em outras aplicações como: “Debêntures”, CDB, FIX 30 e FIX 60. Observamos nestas aplicações quanto maior o tempo da aplicação maior é o juro, na mesma base mensal (as aplicações no FIX 60 têm taxa de juros mensais um pouco superior à taxa de juros do FIX 30). b) O pagamento pelo risco do empréstimo de um capital. Quanto maior o risco envolvido do empréstimo não ser pago, maiores são os valores das taxas de juros. Por exemplo, os juros das aplicações em “ações” são superiores aos juros das aplicações em poupança ou mesmo CDB, pois seu risco envolvido é bem superior. c) Remuneração de um investimento em uma atividade financeira. Toda aplicação financeira é baseada em remuneração e quanto maior o valor investido, maior são os valores das taxas de juros a serem pagas em um mesmo tipo de aplicação. Por exemplo: as aplicações em CDB têm taxas de juros diferenciadas dependendo do valor aplicado. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO JURO. Na vida quotidiana:- a) Nas compras a crédito: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para comprar à vista e ela toma um empréstimo na loja e efetua sua compra, nesta operação estão embutidos juros e correções (atualmente, no comércio, na faixa de 6% a 8% ao mês). b) Nos cheques especiais: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para comprar à vista e se utiliza o limite do cheque especial. c) Na compra de casa própria: quando uma pessoa não dispõe de dinheiro suficiente para pagamento à vista e financia o restante em banco (atualmente, se paga juros na faixa de 6% a 10% ao ano). Na Administração de Empresas:- a) Desconto de duplicatas: quando a empresa não dispõe de dinheiro para compra de produtos e matérias-primas, ela emite uma nota promissória (duplicata) comprometendo-se a pagar mais tarde (no desconta da duplicata). b) Compras a prazo: quando a empresa não dispõe de dinheiro para compra à vista (matéria-prima e produtos) e efetua a mesma a prazo, neste caso a empresa paga juros às fornecedoras. c) Vendas a prazo: quando a empresa vende seus produtos com recebimentos a prazo. d) Obtenção de empréstimos: quando a empresa não dispõe de dinheiro para capital de giro ou investimentos e toma um empréstimo em entidade financeira (bancos). FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 6 1.3 CAPITAL E O JURO Chamamos de Capital (C) ou Valor Presente (VP) a qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo (n). Taxa de Juros (i) é o valor do juro numa certa unidade de tempo expresso como uma porcentagem do capital. Montante (M) ou Valor Futuro (VF) é a soma do Capital com o Juro a qual o tomador de um empréstimo pagará ao final do prazo combinado. Dessa forma temos as seguintes relações: J = VP * i ⇒ i = VP J VP * i = VF – VP ⇒ i = VP VP - VF = VP VP - VP VF ⇒ i = 1 - VP VF VF = VP + J ⇒ J = VF - VP Exemplos: Seja um Capital (VP) de $5.000,00 emprestado por um mês à taxa de juros i = 2% a.m. (2% ao mês). Qual o Juro (J) e o Montante (VF). VP = 5.000 J = VP * i * n ⇒ J = 5000 * 0,02 * 1 ⇒ J = $ 100,00 i = 2 % a.m. n = 1 mês VF = VP + J ⇒ VF = 5000 + 100 ⇒ VF = $ 5.100,00 J = ? VF = ? FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 7 2 PORCENTAGEM É comum ouvirmos a palavra “por cento”. Por exemplo: O aluguel de casa aumentou cinco por cento. Para expressão “por cento”, usa-se o símbolo “ % ” em cada cem. Por exemplo: Eu tinha 200 calculadoras, vendi 3%. Quantas vendi? Se vendi 3%, quer dizer que vendi 3 em cada 100. Portanto, vendi 6 calculadoras. O cento é uma nova maneira de dizer centésimos. Lembre-se: o inteiro em porcentagem é representado por 100. Vamos agora transformar da forma percentual para a forma unitária ou decimal. Exemplos: 5% = 0,05 25% = 0,25 10% = 0,10 95% = 0,95 200% = 2,00 350% = 3,50 Assim, basta dividirmos os números expressos em porcentagem por 100. Vamos calcular algumas porcentagens? a) Quanto vale 25% de 2.000? 2.000 * (25/100) = 500 b) Comprei um carro de $ 70.000,00. Pagando à vista tivedesconto de 15%. Qual o valor do desconto (D)? D = $ 70.000,00 * (15/100) = $ 10.500,00 CRESCIMENTO PERCENTUAL: É comum ouvirmos tais frases: � Meu dinheiro cresceu 30% em dois meses! � Minha casa valorizou 50% em um ano! Quando nos deparamos com crescimentos de valores, podemos expressar tal crescimento na forma percentual. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 8 Exemplos: 1. Minha casa valia $ 200.000 mil, hoje passados 11 meses ela está valendo $ 260.000,00. Qual foi o ganho percentual no período? $ 200.000 $ 260.000 0 11 meses 0 Quanto minha casa está valendo a mais em relação ao passado? Resposta: $ 260.000 – $ 200.000 = $ 60.000 Qual foi meu ganho percentual? 60.000 X 200.000 * X = 60.000 * 100 200.000 100% X = 6.000.000 / 200.000 = 30 % Portanto, minha casa valorizou 30% em 11 meses. 2. Qual a margem de lucro sobre o preço de custo de um produto fabricado ao custo de $ 150,00 e vendido a $ 225,00? Preço de Venda – Preço de Custo $ 225,00 – $ 150,00 = $ 75,00 Assim, o meu ganho percentual em relação ao preço de custo é: 150 100% 150 * X = 75 * 100 75 X X = 7.500 / 150 = 50% Portanto, a margem de lucro é de 50% sobre o preço de custo. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 9 EXERCÍCIOS:- 1. Transforme as porcentagens abaixo para a forma unitária: a) 10% = b) 3% = c) 100% = d) 200% = e) 5% = f) 400% = g) 0,5% = h) 0,01% = 2. Transforme da forma unitária para a forma percentual: a) 0,03 = b) 2,00 = c) 0,05 = d) 0,50 = e) 0,25 = f) 0,375 = 3. Calcule: a) 25% de 450 = b) 200% de 1500 = c) 3% de 600 = d) 0,25% de 3.000 = e) 30% de 550 = FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 10 4. Resolva as seguintes questões: a) Comprei um carro por $ 14.200,00, como paguei à vista, tive um desconto de 6%. Qual o valor pago pelo carro? b) Em uma sala de aula existiam no início do ano 75 alunos, na metade do ano desistiram 20% dos alunos e no final do ano, do restante, foram reprovados 15%. Quantos alunos foram aprovados? c) Qual a margem de lucro sobre o preço de custo, obtida por uma empresa ao vender um produto de preço de custo $ 49,50 por $ 69,30? 5. Determine o crescimento ou decréscimo percentual entre os valores: a) 150 120 = b) 300 200 = c) 150 1.030 = d) 165 168 = 6. Calcular a variação do dólar comercial venda para o período abaixo: US$ em 01/11/2004 = 0,8450 US$ em 01/11/2005 = 0,9630 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 11 3 FLUXO DE CAIXA A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste de uma escala horizontal onde são marcados os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima as entradas e com setas para baixo as saídas de caixa. A unidade de tempo - mês, semestre, ano - deve coincidir com o período de capitalização de juros considerado. Esquematicamente, pode ser representado da forma seguinte: Convenções:- A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro. VP = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por Valor Presente ou Valor Atual (ou hoje); VF = quantia existente ou equivalente num instante futuro em relação ao inicial e conhecida por Valor Futuro (ou montante); i = taxa de juros por período de capitalização; n= número de períodos de capitalização; EXERCÍCIOS:- 1. Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de $ 3.949,80. Calcular a taxa de juros simples em bases mensais desta operação. 2. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais de $ 100,00. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular o montante pago. 3. Qual a taxa de juros simples mensal de uma aplicação de R$ 6.600,00 que produz um montante de $ 7.385,81 em 7 meses? FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 12 4 TAXAS EQUIVALENTES Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital C, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante. 4.1 JUROS SIMPLES Duas taxas são equivalentes a juros simples quando ambas aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo prazo produzem o mesmo juro e montante. Exemplos: 1. Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 10 % a.t.? i t = 10 % a.t. i a = 4 . i t ⇒ i a = 4 . 10 % ⇒ i a = 40 % a.a. 2. Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2 % a.m.? i m = 2 % a.m. i a = 12 . i m ⇒ i a = 12 . 2 % ⇒ i a = 24 % a.a. Desta forma, observando os exemplos acima, podemos concluir que, no regime de juros simples, as taxas equivalentes obedecem a seguinte relação: i a = 12 . i m = 6 . i b = 4 i t = 3 i q = 2 i s = 360 i d Esta última relação justifica o fato de as taxas serem proporcionais aos respectivos prazos. Exemplos: 1. Encontre a taxa trimestral equivalente as seguintes taxas de juros simples: a) i m = 1,9 % a.m. b) i b = 5,5 % a.b. c) i q = 14,6 % a.q. d) i s = 20 % a.s. Solução: a) 4 . i t = 12 . i m ⇒ i t = 4 .12 mi ⇒ i t = 4 %9,1.12 ⇒ i t = 4 %8,22 ⇒ i t = 5,7 % a.t. b) 4 . i t = 6 . i b ⇒ i t = 4 .6 bi ⇒ i t = 4 %5,5.6 ⇒ i t = 4 %33 ⇒ i t = 8,25 % a.t. c) 4 . i t = 3 . i q ⇒ i t = 4 .3 qi ⇒ i t = 4 %6,14.3 ⇒ i t = 4 %8,43 ⇒ i t = 10,95 % a.t. d) 4 . i t = 2 . i s ⇒ i t = 4 .2 si ⇒ i t = 4 %20.2 ⇒ i t = 4 %40 ⇒ i t = 10 % a.t. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 13 2. Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros simples pelo prazo de 5 anos a uma taxa de juros de 12 % a.s.. Quais são os juros e o montante obtidos nesta aplicação? VP = 1.000 n = 5 anos i = 12 % a.s. J = ? VF = ? Solução: O primeiro passo a ajustar a taxa e o prazo na mesma unidade. i a = 2 . i s ⇒ i a = 2 . 12 % ⇒ i a = 24 % a.a. O Segundo passo é descrever o fluxo de caixa. VF = ? J = ? 0______________________________ n = 5 anos i a = 24 % a.a. VP = 1.000 Agora basta aplicar a fórmula para determinar o juros. J = VP * i * n ⇒ J = 1000 * 0,24 * 5 ⇒ J = $ 1.200,00 Assim teremos o valor do montante. VF = VP + J ⇒ VF = 1000 + 1200 ⇒ VF = $ 2.200,00 Ou VF = VP * ( 1 + i . n ) ⇒ VF = 1000 . (1 + 0,24 * 5) = VF = 1000 * ( 1 + 1,2 ) ⇒ VF = 1000 . 2,2 ⇒ VF = $ 2.200,00 EXERCÍCIOS:- 1. Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05 %a.m.. 2. Calcular o rendimento de $ 23.000,00 aplicado por 14 dias à taxa simples de 2,5 % a.m.. 3. Em 7 meses $ 18.000,00 renderam $ 4.000,00 de juros. Qual é a taxa simples anual ganha? 4. Um capital de $ 5.000,00 rendeu $ 1.200,00 em 180 dias. Qual éa taxa simples anual ganha? 5. Um capital aplicado por 4 meses e 18 dias a juros simples de 12 % a.m. transformou-se em R$ 23.000,00. Calcular os juros ganhos na aplicação. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 14 4.2 JUROS COMPOSTOS Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando ambas aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo prazo produzem o mesmo montante. Exemplos: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 10 % a.t.? VF = VP * ( 1 + i a ) na ⇒ VP VF = ( 1 + i a ) n a ( 1 + i a ) n a = ( 1 + i t ) n t VF = VP * ( 1 + i t ) nt ⇒ VP VF = ( 1 + i t ) n t ( 1 + i a ) 1 = ( 1 + 0,10 ) 4 ⇒ 1 + i a = 1,10 4 ⇒ i a = 1,4641 – 1 ⇒ i a = 0,4641 ∴ i a = 46,41 % a.a. Desta forma, observando os exemplos acima, podemos concluir que, no regime de juros simples, as taxas equivalentes obedecem a seguinte relação: ( 1 + i a ) na = ( 1 + i s ) ns = ( 1 + i t ) nt = ( 1 + i m ) nm = ( 1 + id ) nd EXERCÍCIOS:- 1. Calcular a taxa efetiva mensal, equivalente à taxa de 30 % a.a.. Verificar a equivalência. 2. Uma aplicação de $ 4.500,00 em CDB é resgatada por $ 4.860,00 no prazo de 2 meses. Calcular a taxa de juros efetiva anual ganha na aplicação. 3. Um banco cobra juros de 20 % a.a.. Quanto cobrará em 150 dias? 4. Em 120 dias uma aplicação rendeu uma taxa efetiva de 124 %. Calcular as taxas efetivas mensal e anual, equivalentes a esse rendimento. 5. Determinar as seguintes equivalências entre taxas efetivas: a) taxa bimestral equivalente à taxa semestral de 35 %. b) taxa semestral equivalente à taxa mensal de 5 %. c) taxa diária equivalente à taxa trimestral de 90 %. d) taxa anual equivalente à taxa diária de 0,5 %. e) taxa bimestral equivalente à taxa 35 % em 45 dias. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 15 5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Temos o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta (ou juros compostos). 5.1 JUROS SIMPLES Quando são aplicados juros simples, apenas o principal rende juros, isto é, os juros são diretamente proporcionais ao capital empregado (crescimento linear ao longo do tempo - PA). J = VP * i * n VF = VP + J ⇒ VF = VP + VP * i * n ⇒ VF = VP * ( 1 + i * n ) J = juros i = taxa de juros VP = principal ou capital na data de hoje n = número de períodos VF = saldo devedor ou valor Futuro EXEMPLO: O consumidor comprou um produto por $ 100,00, a ser pago no final do quinto mês, a uma taxa de juros simples de 5 % a.m. Qual é a evolução do valor devido ao longo deste cinco meses? SOLUÇÃO: Mês Total devido a 5% a.m. 0 100,00 1 100,00 + 0,05 x 100,00 = 105,00 2 105,00 + 0,05 x 100,00 = 110,00 3 110,00 + 0,05 x 100,00 = 115,00 4 115,00 + 0,05 x 100,00 = 120,00 5 120,00 + 0,05 x 100,00 = 125,00 EXERCÍCIOS:- 1. Qual o capital que produz $ 18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: a) 60 dias; b) 90 dias; c) 6 meses; d) 2 anos 2. Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de $ 3.949,80. Calcular a taxa de juros simples em bases mensais desta operação. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 16 3.Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais de $ 100,00. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular o montante pago. 4. Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m..Obtenha o montante para os seguintes prazos. a) 2 meses; b) 3 meses; c) 5 meses; d) 10 meses. 5. Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 12% a.a., durante 3 anos. Obtenha os juros e o montante. 6. Qual capital que rende juros simples de $ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m.? Numa aplicação de $ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi $ 4.800,00. Determine o prazo de aplicação. 7. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? 5.2 JUROS COMPOSTOS Quando são aplicados juros compostos, após cada período de capitalização, os juros são incorporados ao principal e passam a render juros também (crescimento exponencial ao longo do tempo - PG). No primeiro período: VF1 = VP * ( 1 + i ) 1 No segundo período: VF2 = VP * ( 1 + i ) 1 * ( 1 + i )1 ⇒ VF2 = VP * ( 1 + i ) 2 No terceiro período: VF3 = VP * ( 1 + i ) 1 * ( 1 + i )1 * ( 1 + i )1 ⇒ VF3 = VP * ( 1 + i ) 3 Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, temos a expressão geral: VF = VP * ( 1 + i ) n Daí temos que: J = VF – VP ⇒ J = VP * ( 1 + i ) n – VP ⇒ J = VP . [ ( 1 + i ) n – 1 ] J = juros i = taxa de juros n = número de períodos VP = principal ou capital na data de hoje VF = saldo devedor ou valor futuro FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 17 EXEMPLO: O consumidor comprou um produto por R$ 100,00, a ser pago no final do quinto mês, a uma taxa de juros compostos de 5 % a.m. Qual é a evolução do valor devido ao longo deste cinco meses? SOLUÇÃO: Mês Total devido a 5% a.m. 0 100,00 1 100,00 + 0,05 x 100,00 = 105,00 2 105,00 + 0,05 x 105,00 = 110,25 3 110,25 + 0,05 x 110,25 = 115,76 4 115,76 + 0,05 x 115,76 = 121,54 5 121,54 + 0,05 x 121,54 = 127,63 EXERCÍCIOS:- 1. Calcular o montante (VF) de uma aplicação financeira de $ 80.000,00, admitindo-se os seguintes prazos e taxas: a) i = 5,5 % ao mês e n = 2 anos. b) i = 9 % ao bimestre e n = 1 ano e 8 meses. c) i = 12 % ao ano n = 108 meses. 2. Qual a taxa de juros mensal de uma aplicação de R$ 6.600,00 que produz um montante de $ 7.385,81 em 7 meses? 3. A juros compostos de 20 % a.m., qual o montante de R$ 3.500,00 em 8 meses? 4. Qual o capital a ser aplicado para que em 6 anos à taxa de juros compostos de 15 % a.a., o valor de resgate seja $ 14.000,00? 5. Uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais R$ 2.500,00 e, dois meses depois desse último depósito, realiza um retirada de R$ 1.300,00. Qual será o saldo da poupança ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos ganha é de 15 % a.m.? 6. Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5 %a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? 7. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros? FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 18 6 DESCONTOS A operação de liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal (valor futuro – VF) de um título e o seu valor descontado (valor presente – VP) apurado n períodos antes de seu vencimento. Por outro lado, valor descontado (valor presente – VP) de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: DESCONTO (D) = VALOR NOMINAL (VF) – VALOR DESCONTADO (VP) VALOR DESCONTADO (VP) = VALOR NOMINAL (VF) – DESCONTO (D) As operações de desconto podem ser realizadastanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para operações de longo prazo. Tanto no regime linear como no exponencial ainda são identificados dois tipos de desconto: desconto “por dentro” (ou racional) e; desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial). 6.1 DESCONTO SIMPLES Desconto Racional ou “por dentro” – D O desconto racional incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples. Então: Da definição de desconto, tem-se: 1111 D = VF – VP VP = VF – D D = valor do desconto racional (pago) VF = valor nominal futuro do capital (deixo) VP = valor descontado racional (levo) Sabendo que VF = VP * (1 + i . n ) Temos: VP = )n . i 1 ( VF + Substituindo na equação 1111, temos: D = VF – )n . i 1 ( VF + Assim obtemos a seguinte fórmula para calcular o desconto racional ou “por dentro”: D = VF * ( ) + i.n 1 1 - 1 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 19 E como já foi apresentada acima, a fórmula para calcular o valor descontado (VP) é: VP = )n . i 1 ( VF + EXEMPLO: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto racional e o valor descontado racional desta operação. Resolução: VF = 4.000,00 n = 3 meses i = 42 % a.a. = 3,5 % a.m. D = ? VP = ? D = VF * ( ) + i.n 1 1 - 1 ⇒ D = 4000 * ( ) + 3 . 0,035 1 1 - 1 ⇒ D = 4000 * 0,09502 ⇒ D = $ 380,09 VP = )n . i 1 ( VF + ⇒ VP = ( )3 . 0,035 1 4000 + ⇒ VP = 10500,1 4000 ⇒ VP = $ 3.619,91 VF = 4.000 VPr 0 9 n = 12 meses i = 42% a.a. i = 3,5% a.m. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 20 Desconto Bancário, Comercial ou “por fora” – D Esse tipo de desconto difere do desconto racional por incidir sobre o valor nominal do título (apura juros sobre o montante). A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. Então: D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” 1111 D = VF . i . n VF = valor nominal futuro do capital i = taxa de juros n = prazo do desconto (no de períodos antes do vencimento) Da definição de desconto, tem-se: D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” (pago) 2222 VP = VF – D VF = valor nominal futuro do capital (deixo) VP = valor descontado “por fora” (levo) Substituindo 1111 em 2222, temos: VP = VF – VF * i * n ⇒ VP = VF * ( 1 – i * n ) EXEMPLO: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado comercial desta operação. Resolução: VF = 4.000,00 n = 3 meses i = 42 % a.a. = 2,97 % a.m. D = ? VP = ? D = VF * i * n ⇒ D = 4000 * 0,035 * 3 ⇒ D = $ 420,00 VP = VF * ( 1 – i * n ) ⇒ VP = 4000 * ( 1 – 0,035 * 3 ) ⇒ VP = $ 3.580,00 VF = 4.000 VP 0 9 n =12 meses i = 42% a.a. i = 3,5% a.m. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 21 6.2 DESCONTO COMPOSTO Desconto Composto Racional ou “por dentro” – D É o desconto utilizado para longo prazo. As relações são estabelecidas conforme o regime de juros compostos. Assim como: VF = VP * ( 1 + i ) n Temos: 1111 VP = ( )n i 1 VF + VP = valor descontado racional do capital na data da operação VF = valor nominal futuro do capital i = taxa de juros (ou taxa de desconto) n = prazo do desconto (no de períodos antes do vencimento) Da definição de desconto, tem-se: D = valor do desconto racional (pago) 2222 Dr = VF – VPr VF = valor nominal futuro do capital (deixo) VP = valor descontado racional (levo) Substituindo 1111 em 2222, temos: D = VF – ( )n i 1 VF + ⇒ D = VF . ( ) + n i 1 1 - 1 EXEMPLO: Seja um título de valor nominal de R$ 50.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 4,5% a.m. à taxa de desconto racional, pede-se calcular o desconto racional e o valor descontado racional desta operação. Resolução: VF = 50.000,00 n = 3 meses i = 4,5 % a.m. D = ? VP = ? FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 22 VF = 50.000 0 D = VF * ( ) + n i 1 1 - 1 ⇒ D = 50000 * ( ) + 3 0,045 1 1 - 1 ⇒ D = 50000 * 0,12370 ⇒ D = $ 6.185,17 VP = ( )n i 1 VF + ⇒ VP = ( )3 0,045 1 50000 + ⇒ VP = 14117,1 50000 ⇒ VP = $ 43.814,83 Desconto Composto Bancário, Comercial ou “por fora” – D É um desconto raramente utilizado no Brasil. Caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título. Da definição de desconto, tem-se: D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” 1111 VP = VF – D VF = valor nominal futuro do capital VP = valor descontado “por fora” do capital na data da operação Como: D = valor do desconto bancário, comercial ou “por fora” (pago) 2222 D = VF . i VF = valor nominal futuro do capital (deixo) i = taxa de juros Substituindo 1 em 2, temos: VP = VF – VF * i Assim para o 1o período, temos: VP = VF * ( 1 – i ) 1 Para o 2º período, temos: VP = VF * ( 1 – i ) 1 * ( 1 – i ) 1 ⇒ VP = VF * ( 1 – i ) 2 VP 9 n = 12 meses i = 4,5% a.m. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 23 Generalizando para o n-ésimo período, temos a fórmula para obter o valor descontado comercial ou “por fora”: VP = VF * ( 1 – i ) n E como temos: D = VF – VP ⇒ D = VF – VF. ( 1 – i ) n A fórmula para calcular o desconto comercial ou “por fora” é: D = VF * [ 1 – ( 1 – i ) n ] EXEMPLO: Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor descontado e o desconto. Resolução: VP = VF * ( 1 – i ) n ⇒ VP = 35.000 * ( 1 – 0,05 )3 ⇒ VP = 35.000 * 0,85738 ⇒ VP = $ 30.008,12 D = VF * [ 1 - ( 1 – i ) n ] ⇒ D = 35.000 * [ 1 – ( 1 – 0,05 )3 ⇒D = 35.000 * 0,14263 ⇒D = $ 4.991,87 EXERCÍCIOS:- 1. Utilizando o desconto composto “por dentro”, determine o valor descontado e o valor do desconto. a) Dívida de R$ 40.000,00, quitada 4 meses antes do vencimento com taxa de 3,5 % a.m. b) Um título de R$ 50.000,00, descontado 5 meses antes do vencimento com taxa de 4,5 % a.m. 2. Utilizando o desconto composto “por fora”, determine o valor descontado e o valor do desconto. a) Dívida de $ 40.000,00, quitada 4 meses antes do vencimento com taxa de 3,5 % a.m. b) Um título de $ 50.000,00, descontado 5 meses antes do vencimento com taxa de 4,5 % a.m. 3. Utilizando o desconto simples “por fora”, determine o valor descontadoe o valor do desconto. a) Título de R$ 44.000,00, descontado 4 meses antes do vencimento com taxa de 33,6 % a.a. b) Título de R$ 78.600,00, descontado 1 mês antes do vencimento com taxa de 30 % a.a. c) Título de R$ 280.000,00, descontado 2 meses antes do vencimento com taxa de 36 % a.a. 4. Um título de valor nominal de R$ 41.000,00 é descontado comercialmente 4 meses antes de ser pago. A taxa de desconto adotada atinge 2,5 % ao mês. Calcular o valor descontado e o valor do desconto. (utilizar desconto composto comercial) VF = 35.000 VP 0 9 n = 12 meses i = 5,0% a.m. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 24 7 SÉRIES UNIFORMES É toda série de valores iguais que acontecem em intervalos regulares de tempo (dia, mês, ano etc.). A série uniforme pode ser postecipada ou antecipada. Será postecipada quando o 1º pagamento ocorrer na data UM. Será antecipada quando o 1º pagamento ocorrer na data ZERO. 7.1 VALOR PRESENTE DA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA g end Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme postecipada, seu VP será dado por: O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: PV 0 1 2 3 n ............ PMT PMT PMT PMT 7.2 VALOR PRESENTE DA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA g begin Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme antecipada, seu VP será dado por: O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: PV 0 1 2 3 n – 1 n ............ PMT PMT PMT PMT PMT + −+ =⇒ ⇒ + ++ + + + = + ++ + + + = n n nn ii i PMTVP iii PMT i PMT i PMT i PMT VP )1.( 1)1( . )1( 1 ...... )1( 1 )1( 1 . )1( ...... )1()1( 22 + −+ =⇒ ⇒ + −+ += + ++ + + + + + += − − − − 1 1 1 132 )1.( 1)1( )1.( 1)1( . )1( ....... )1()1()1( n n n n n ii i PMTVP ii i PMTPMT i PMT i PMT i PMT i PMT PMTVP FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 25 Observações:- * as calculadoras financeiras estão programadas para resolver qualquer um desses modelos de fluxo de caixa; * no caso da série postecipada apertar as teclas g end ; * no caso de série antecipada apertar as teclas g begin ; * as variáveis desses modelos são VP, PMT, n e i informando três dessas variáveis a calculadora irá determinar o valor da quarta variável; * observe no fluxo de caixa que VP e PMT têm sinais contrários. EXERCÍCIOS:- 1. Um amigo empresta ao outro R$ 3.600,00 para ser liquidado em 24 prestações mensais iguais. Sabendo-se que a taxa cobrada é de 5 % a.m. e que a primeira vence um mês após a data do empréstimo, calcular o valor das prestações mensais. 2. Uma geladeira foi anunciada por R$ 1.500,00 à vista ou em 6 prestações iguais com entrada. Sabendo-se que a taxa de juros é igual a 7,93 % a.m., calcular o valor das prestações. 3. Eduardo está interessado em comprar uma moto cujo preço à vista é R$ 8.000,00. Se Eduardo der uma entrada de R$ 1.000,00 e pagar o restante em 24 meses, qual será o valor da prestação se a taxa for de 5 % a.m.? 4. Um comerciante quer vender um eletrodoméstico, cujo preço à vista é de R$ 1.000,00, em três prestações iguais, sendo a primeira paga no ato. Determine o valor de cada parcela, sabendo que o comerciante embute uma taxa de 11,5 % a.m. nas vendas a prazo. 5. Qual o preço à vista de um artigo que é financiado em cinco pagamentos mensais iguais de R$ 400,00 cada sem entrada, sendo que o custo do financiamento está sob uma taxa de 11 % a.m.? 6. Um item cujo preço à vista é R$ 500,00 pode ser adquirido com 30 % de entrada e o restante em cinco parcelas mensais iguais. A primeira parcela é paga um mês após a compra. Determine o valor de cada parcela se a taxa do financiamento é de 6 % a.m.. 7. Um comerciante vende um artigo em quatro prestações mensais iguais; a primeira delas no ato da compra. O valor de cada prestação é R$ 200,00. Sabendo que o comerciante embute nas vendas a prazo uma taxa de 9 % a.m., determine o preço à vista do artigo. 8. Uma loja vende automóveis cujo preço à vista é de R$ 50.000,00, em quatro prestações mensais iguais, com entrada. O custo do financiamento é de 2 % a.m.. Determine o valor das prestações. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 26 7.3 VALOR FUTURO DA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA g end Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme antecipada, seu VF será dado por: O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: VF 0 1 2 3 n ............ PMT PMT PMT PMT 7.4 VALOR FUTURO DA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA g begin Chamando de PMT cada um dos valores da série uniforme antecipada, seu VF será dado por: O fluxo de caixa associado a essa fórmula é: VF 0 1 2 3 n – 1 n ............ PMT PMT PMT PMT PMT Observações:- * as calculadoras financeiras estão programadas para resolver qualquer um desses modelos de fluxo de caixa; * o valor futuro da série uniforme antecipada costuma ser calculado na data n, data essa que corresponde à data imediatamente à data do último valor da série uniforme; * no caso da série postecipada apertar as teclas g end ; * no caso de série antecipada apertar as teclas g begin ; * as variáveis desses modelos são VF, PMT, n e i informando três dessas variáveis a calculadora irá determinar o valor da quarta variável; * observe no fluxo de caixa que VF e PMT têm sinais contrários. i i PMTVF PMTiPMTiPMTiPMTiPMTVF n nnn 1)1( . )1.(.......)1.()1.()1.( 321 −+ =⇒ ⇒+++++++++= −−− [ ] i ii PMTVF iPMTiPMTiPMTiPMTVF n nnn 1)1().1( . )1.(........)1.()1.()1.( 21 −++ =⇒ ⇒++++++++= −− FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 27 EXERCÍCIOS:- 1. Uma pessoa aplicou R$ 50,00 por mês em uma caderneta de poupança programada, sabendo que a taxa mensal foi de 1,5 % a.m. e que ele realizou o primeiro depósito um mês depois, quanto ele resgatou ao final de 24 meses? 2. Um indivíduo aplicou no dia 05/03 uma determinada quantia. Com uma taxa de 2 % a.m., no dia no dia 04/10, sabendo que as aplicações foram iguais, resgatou um total de R$ 8.550,00. Qual foi o valor de cada aplicação? FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 28 8 AMORTIZAÇÕES Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos: Principal: é o valor objeto do contrato de empréstimo, aquele valor que será negociado, do qual necessita o financiado para o objetivo pretendido; Juros: é o valor pago pelo uso do capital de outrem, de acordo com a taxa firmada na operação; Saldo devedor: é o valor resultante da subtração entre o principal e a(s) parcela(s) de amortizações já honradas;Prestação: é o valor devido a cada período contratado; Amortização: é o valor efetivamente pago em cada parcela ou prestação, descontada a importância paga a título de juros naquele período. Portanto, temos: Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor! Os principais sistemas de amortização são: a) Sistema de Pagamento Único – SPU Conceito: um único pagamento no final. b) Sistema de Pagamentos Variáveis – SPV Conceito: vários pagamentos diferenciados. c) Sistema Americano – SA Conceito: pagamento do juro mês a mês e saldo devedor no final d) Sistema de Amortização Constante – SAC Conceito: a amortização é igual em cada período. e) Sistema Price – PRICE Conceito: os pagamentos são iguais em todos os períodos. f) Sistema de Amortização Misto – SAM Conceito: os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e PRICE FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 29 Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento será a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é: Pagamento = Amortização + Juros Nas nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4 %. Na seqüência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados: Sistema de Amortização n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 300.000,00 1 2 3 4 5 0 Totais 300.000,00 a) Sistema de Pagamento Único – SPU Conceito: O devedor paga o Montante = Capital + Juros compostos da dívida, em um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula: M = P . ( 1+i ) n Uso comum: Letras de câmbio. Títulos descontados em bancos. Certificados a prazo fixo com renda final. Sistema de Pagamento Único n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 312.000,00 2 12.480,00 324.480,00 3 12.979,20 337.459,20 4 13.498,37 350.957,57 5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0 Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 30 b) Sistema de Pagamentos Variáveis – SPV Conceito: O devedor paga periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinado inicialmente, sendo que os juros do saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Uso comum: Cartões de crédito. Combinado: Foi acertado que o devedor pagará a dívida da forma: * No final do 1º mês: R$ 30.000,00 + juros * No final do 2º mês: R$ 45.000,00 + juros * No final do 3º mês: R$ 60.000,00 + juros * No final do 4º mês: R$ 75.000,00 + juros * No final do 5º mês: R$ 90.000,00 + juros Sistema de Pagamentos Variáveis n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00 2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00 3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00 4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00 5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0 Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00 c) Sistema Americano – SA Conceito: O devedor paga o principal em um único pagamento no final, e no final de cada período realiza o pagamento dos juros do saldo devedor. Sistema Americano n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 12.000,00 300.000,00 2 12.000,00 12.000,00 300.000,00 3 12.000,00 12.000,00 300.000,00 4 12.000,00 12.000,00 300.000,00 5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 31 d) Sistema de Amortização Constante – SAC Conceito: O devedor paga o principal em 5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação Sistema de Amortização Constante (SAC) n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 Obs.: Quando envolver carência An = n ) i 1 ( . P 1 - c+ EXERCÍCIOS:- 1. Um imóvel está sendo negociado por R$ 350.000,00 Considerando taxa efetiva de 2,5% a.m., e n=10, monte a planilha conforme o Sistema Americano e outra planilha conforme o SAC. Sistema Americano n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 32 Sistema de Amortização Constante (SAC) n Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. Um empréstimo de $200.000,00 contratado a juros efetivos de 10% a.m será pago em três prestações mensais com carência de três meses. Construir a planilha de amortização conforme a SAC. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 33 e) Sistema Price (Sistema Francês) - PRICE Conceito: Todas as prestações (pagamentos) são iguais. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. Cálculo: A prestação R é calculado pela fórmula de Séries Uniformes. ( ) ( ) i . i 1 1 - i 1 VP R n n + + = Carência: Quando existir carência, e os juros forem capitalizados e incorporados ao principal, a prestação R será calculada pela fórmula: ( ) ( ) ( ) i . i 1 1 - i 1 i 1 . VP R n n 1 - c + + + = Exemplos: 1. Em um financiamento de R$ 300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%, temos: Sistema Price (ou Sistema Francês) N Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 34 2. Em um financiamento de R$ 200.000,00 que será pago em 4 meses à taxa mensal de 10 %, com carência de 3 meses, onde os juros são incorporados ao principal temos: Sistema Price (Sistema Francês) N Juros Amortização do Saldo devedor Pagamento Saldo devedor 0 0 0 0 200.000,00 1 0 0 0 220.000,00 2 0 0 0 242.000,00 3 24.200,00 52.143,82 76.343,82 189.856,18 4 18.985,62 57.358,20 76.343,82 132.497,98 5 13.249,80 63.094,02 76.343,82 69.403,96 6 6.940,40 69.403,96 76.343,82 0 Totais 63.375,82 242.000,00 305.375,28 EXERCÍCIOS:- 1. Montar a planilha para um empréstimo de R$100.000,00 que será pago pela Tabela Price em 8 meses à taxa de 72 % a.a. com capitalização mensal.FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 35 2. Idem acima, considerando 5 meses de carência. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 36 9. TOMADA DE DECISÕES E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Todos nós, agentes econômicos, tomamos diariamente decisões de gasto. A maioria delas de pequeno porte, tais como um lanche ou produtos de higiene pessoal. Nossas escolhas, dentro desta realidade diária, estão ligadas à simpatia ou preferência por uma determinada marca, local de compra ou pelo preço a ser pago pelo produto desejado. Levando em consideração estes referenciais, buscamos a melhor decisão de compra. Entretanto, os indivíduos também se colocam diante de decisões de gasto de maior porte, como a compra de uma casa ou de um carro, ou mesmo, para uma pessoa de baixa renda, a compra de uma televisão, que pode ser vista como um gasto elevado. Nestes casos, é necessário uma análise muito mais cuidadosa. Devemos observar o prazo de pagamento, o valor das mensalidades e a taxa de juros embutida na compra a prazo. Aliás, precisamos até julgar se uma compra a prazo não pode se tornar um problema, caso venhamos a perder nosso emprego. Enfim, nossa decisão de compra deve estar baseada em um grande número de informações. Só assim teremos maior tranqüilidade para realizarmos tal gasto. Da mesma forma que os indivíduos, também as empresas necessita gastar o seu dinheiro. Elas fazem isso em dois tipos básicos de gasto: as despesas para a manutenção dos trabalhos da empresa (gastos de custeio) e as despesas para o aumento ou reposição da capacidade de produção (gastos de investimento). Tanto o primeiro quanto o segundo são extremamente importantes para que a empresa alcance o seu objetivo maior, a obtenção de lucros. Também como no caso dos indivíduos, os gastos de custeio tem, normalmente, um perfil de curto prazo. Ou seja, são os gastos com investimento, aqueles que acabam por atrair uma maior atenção dos empresários, pois exigem maiores montantes de recursos no curto prazo (investimento inicial) e têm um tempo de maturação (retorno do investimento), mais longo. Evidentemente, gastar muito dinheiro hoje (às vezes uma parte dele tomada emprestado junto aos bancos comerciais), ter de esperar um prazo para receber o retorno (digamos 3 ou 4 anos) e mais que isso, sem nenhuma garantia de que tudo o que foi planejado irá ocorrer, não é nada simples. Tomar uma decisão destas exige algum apoio. É para isso que foram desenvolvidos vários métodos de tomadas de decisões de investimentos. O empresário, primeiramente deve formar suas expectativas quanto ao futuro. Para isso, basta utilizar seu conhecimento sobre realidade nacional vigente (indicadores macroeconômicos) e observar atentamente as tendências que o mercado, em que está inserido, apresenta para seu produto (indicadores microeconômicos). Desta forma, munido destas preciosas impressões sobre o futuro, ele deve lançar mão dos diversos métodos existentes para a tomada de decisão de investimento. 9.1 AÇÕES PARA A TOMADA DE DECISÃO DE INVESTIMENTO Como vimos em nosso texto introdutório existem alguns passos para chegarmos a uma decisão final quanto à realização ou não de um investimento. Verifiquemos mais atentamente quais são eles: 1° Passo: Identificar a Oportunidade de Investimento: A equipe envolvida na gerência da empresa deve estar atenta ao mercado e as condições macroeconômicas, buscando novas oportunidades de investimento. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 37 2° Passo: Estimar e Avaliar os Fluxos de Caixa: Cada projeto terá uma possibilidade de receita e uma possibilidade de despesa. Em outras palavras, normalmente quando compramos um novo equipamento, ou montamos uma nova fábrica, teremos novas entradas de dinheiro, entretanto, provavelmente teremos novas saídas de dinheiro (pagamentos dos funcionários, compra de mais matéria prima, etc.). No caso de novos projetos, é bom lembrar que o que nos interessas, na maioria dos métodos, é o fluxo líquido de recursos. Em outros termos, subtraindo das novas receitas os novos gastos, o fluxo líquido é o que resta. Este montante recebe o nome de fluxo de caixa líquido. É ele que verdadeiramente nos interessa. A partir do momento em que temos nas mãos o fluxo de caixa líquido de um projeto, devemos avaliá-lo levando-se em consideração nossos critérios de retorno para a empresa. Isto será feito utilizando os métodos que veremos a seguir. 3° Passo: Selecionar o(s) Projeto(s) Adequado(s): Uma vez de posse dos dados obtidos através dos métodos de decisão, e detendo-se os melhore prognósticos em relação ao futuro (macro e microeconômicos), só resta a tomada de decisão quanto a qual ou quais projetos implementar. 9.2 MÉTODOS DE TOMADA DE DECISÃO DE INVESTIMENTO 9.2.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL "O valor presente líquido ou NPV (Net Present Value) é uma técnica de avaliação de projetos que determina o resultado líquido de um investimento trazendo todos os fluxos de caixa a valor presente por uma taxa de desconto" (Brealey & Myers, 1991 in Sassatani, Sousa e Luporini, 1997, p.155). Fórmula do Valor Presente Líquido: Onde: NPV = Valor Presente Líquido k = Taxa Mínima de Atratividade CFt = Fluxo de Caixa t = Período ( )∑= + = n 0t t t k1 CF NPV FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 38 Observando melhor esta equação é simples observar que o fluxo de caixa inicial (t=o), é o investimento inicial ou desembolso, portanto deverá figurar na equação, com valor negativo, pois representa uma saída de recursos. Os demais itens da série (t = 1, 2, 3,...,n ) são os demais fluxos de caixa, nos posteriores períodos do projeto. Cada um dos fluxos (mesmo as saídas), não deve ser tomado como valor que representa recurso real. De fato, são apenas valores nominais. Cada um de nós pode investir1 seu dinheiro em determinadas opções financeiras, por exemplo, a caderneta de poupança. O retorno que pode ser obtido na caderneta é de 0,5% ao mês. Portanto, qualquer projeto que me venha a ser apresentado, deverá render mais do que isso para ser atrativo do ponto de vista financeiro. Da mesma forma, as empresas também possuem Taxas Mínimas de Atratividade, que são seus parâmetros mínimos de retorno. Para que se possa verificar se o projeto dá, ou não, um retorno acima do valor mínimo que poderá ser obtido de qualquer modo basta que descontemos cada parcela do fluxo de caixa pela taxa mínima garantida. Em outras palavras, para que eu saiba quanto dinheiro eu poderei ganhar, além do que me é garantido em outra aplicação, basta que eu divida cada fluxo de caixa periódico (CFt), pelo fator de desconto [ (1+k)t ]. Assim, k é a minha Taxa Mínima de Atratividade. Portanto, NPV representa a soma total do que será ganho, além do retorno normal esperado pela aplicação da Taxa Mínima de Atratividade (k). Assim, quando uma empresa estabelece que sua Taxa Mínima de Atratividade é de 5% ao mês, qualquer projeto deverá render, minimamente, mais do isso. O que é facilmente verificável através dos resultados obtidos com a aplicação da fórmula do valor presente líquido, que poderão ser os seguintes: NPV = 0 - Retorno do investimento, igual à Taxa Mínima de Atratividade - Projeto Rejeitado. NPV < 0 - Retorno do investimento, menor que a Taxa Mínima de Atratividade - Projeto Rejeitado. NPV > 0 - Retorno do investimento, maior que a Taxa Mínima de Atratividade - Projeto Aprovado. Vejamos um exemplo de aplicação deste método de decisão: Exemplo: A empresaDescanse em Paz LTDA, especializada na fabricação de caixões de luxo, está pretendendo ampliar a sua linha de produção e após promover uma pesquisa no mercado fornecedor de equipamentos, observou duas possibilidades de investimento, levando-se em consideração uma Taxa Mínima de Atratividade de 15% ao ano: a) Investimento inicial de R$ 40.000,00, com uma expectativa de receita líquida anual de R$ 17.000,00, pelo prazo máximo de 5 anos; b) Investimento inicial de R$ 27.000,00, com uma expectativa de receita líquida anual de R$ 12.000,00, pelo mesmo prazo. Resposta: Alternativa a: 1 Entendendo-se, aqui, investimento de uma forma menos rigorosa que nos termos econômicos, onde ele significa apenas o aumento líquido de capacidade produtiva. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 39 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16.986,64NPV8.452,009.719,80 11.177,7612.854,4414.782,6040.000 2,0113 17.000 1,7490 17.000 1,5208 17.000 1,3225 17.000 1,15 17.000 40.000 0,151 17.000 0,151 17.000 0,151 17.000 0,151 17.000 0,151 17.000 40.000NPV k1 CF NPV a 54321a n 0t t t a =⇒++ ++++−=+++++−= = + + + + + + + + + +−=⇒ + =∑ = Alternativa b: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13.225,86NPV5.966,126.861,04 7.890,199.073,7210.434,7827.000 2,0113 12.000 1,7490 12.000 1,5208 12.000 1,3225 12.000 1,15 12.000 27.000 0,151 12.000 0,151 12.000 0,151 12.000 0,151 12.000 0,151 12.000 27.000NPV k1 CF NPV b 54321b n 0t t t b =⇒++ ++++−=+++++−= = + + + + + + + + + +−=⇒ + =∑ = Observação:- Para calcular o NPV, dos exemplos acima, utilizamos os seguintes comandos da HP 12C:- a) f FIN REG 40000 CHS g CF0 17000 g CF1 5 g Nj 15 i f NPV b) f FIN REG 27000 CHS g CF0 12000 g CF1 5 g Nj 15 i f NPV Pelos critérios de escolha do método do Valor Presente, podemos observar que os dois projetos apresentaram NPV > 0, o que significa que ambos são interessantes para a empresa, e podem ser aceitos. Entretanto, estamos diante de dois projetos mutuamente excludentes, ou seja, só podemos optar por realizar um deles. Neste caso, devemos optar pelo projeto que possuir o maior NPV, ou seja, a alternativa a. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 40 PRÓS E CONTRAS DO MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL Segundo Dugdale (1991), citado em Sassatani, Sousa e Luporini, (1997), os pontos fortes e fracos deste método são: Fortes: * Leva em consideração o valor do dinheiro no tempo; * É fácil interpretar seu resultado; * O cálculo é mais simples que o da taxa interna de retorno; * Segue o princípio da adição de investimentos; * Sua teoria é consistente. Fracos: * É difícil analisar um resultado somente pelo seu número absoluto; * Não é um método indicado para seleção de projetos mutuamente exclusivos; * Não permite nenhuma conclusão a respeito da maturidade do projeto; * Na comparação entre alternativas, não considera as diferenças de escala; * Supõe-se que o investidor conheça uma taxa mínima de atratividade para todo o horizonte do projeto. A crítica mais séria que se pode fazer a essa técnica é a inconveniência para seleção de investimentos mutuamente exclusivos, pois não considera as diferenças de magnitude dos investimentos (Dugdale, 1991). A regra de decisão do NPV é muito clara: investir nos projetos com NPV positivos. Como são exclusivos, a regra diz para adotar aquele com maior NPV, visto que agrega maior valor ao investidor ou à empresa. Supondo-se duas alternativas, projeto Alpha e projeto Beta, com seus respectivos fluxos de caixa e com taxa de desconto 15%: PERÍODO ALPHA BETA 0 -1.000 -100.000 1 800 44.500 2 800 44.500 3 800 44.500 NPV 826,58 1.603,52 Pela regra de decisão do NPV, o projeto Beta seria escolhido, pois é o que possui maior valor presente líquido e agrega mais valor à empresa. Porém sua rentabilidade é menor que o projeto Alpha. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 41 A questão que alguns estudiosos colocam é a seguinte: na prática, você investiria num projeto 100 vezes maior, cujo resultado é apenas o dobro da outra alternativa?". (Sassatani, Sousa e Luporini, 1997, p.155). Entretanto, mesmo com seus problemas, "... o método do Valor Presente Líquido é um dos mais utilizados e aceitos pelos executivos e analistas na avaliação de investimentos" (Sassatani, Sousa e Luporini, 1997, p.155). EXERCÍCIOS:- 1) Uma pessoa tem as seguintes alternativas para um investimento de R$ 800.000,00: a) Receber o retorno de R$ 1.000.000,00 no fim de 2 anos; b) Receber dois pagamentos anuais no valor de R$ 475.000,00 cada; c) Receber quatro pagamentos semestrais de R$ 230.000,00 cada. Calcular a melhor alternativa, sabendo que a taxa mínima de atratividade é de 12% a.a. 2) Uma empresa de participação dispõe de R$ 150.000,00, e conta com duas oportunidades para investir além de deixar seus recursos aplicados em debêntures2. As debêntures estão rendendo 10% ao mês e a empresa considera esta sua taxa mínima de atratividade. As duas oportunidades de investimento são lotes disponíveis de diversos títulos bancários que deverão apresentar um rendimento médio da seguinte forma: Corretora A: Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 R$ 150.000,00 R$ 73.000,00 R$ 73.000,00 R$ 73.000,00 Corretora B: Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 R$ 150.000,00 R$ 52.000,00 R$ 52.000,00 R$ 52.000,00 3) Um investidor tem diante de si duas propostas de investimento. Na primeira, deve investir R$ 70.000,00 no ato, para receber R$ 14.000,00 anualmente nos próximos 10 anos. Na segunda, deve investir no ato R$ 98.000,00 para obter R$ 21.000,00 anualmente durante 10 anos. Qual seria a proposta escolhida, sabendo que a taxa mínima de atratividade é de 12% a.a.? 2 Títulos privados passíveis ou não de conversão em ações. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 42 9.2.2 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR ( INTERNAL RATE OF RETURN – IRR) Trata-se de um dos mais conhecidos e utilizados métodos de tomada de decisão de investimento. Pesquisa realizada no início da década de noventa3, trabalhando com uma amostra significativa de empresas, detectou que 49,6 % desta amostra trabalha com a Taxa Interna de Retorno como seu primeiro critério de rentabilidade. A equação utilizada para a obtenção da TIR é a mesma do VPL. De fato, enquanto no valor presente líquido estamos atualizando uma série de valores estimados de receita, utilizando uma determinada Taxa Mínima de Atratividade (que na fórmula chamamos de k e arbitrada por nós), na TIR, o que buscamos é descobrir uma determinada taxa (k) que desconte os fluxos esperados de forma que sua soma se iguale ao valor investido inicialmente. Em outras palavras, estamos buscando uma taxa de equilíbrio, a partir da qual, todas as demais taxas nos renderão sempre acima do investimento inicial. Assim, ao contrário do VPL, onde se partindo de um fluxo dado, arbitramos uma taxa mínima de atratividade, buscando um valor absoluto, na TIR, partindo da mesma condição, buscamos a taxa que se igualará ao valor do investimento inicial. Exemplo: Baseando-se no quadro que segue, vejamos como proceder no cálculo da Taxa Interna de Retorno. Períodos Alternativa * Investimento Inicial (0) - 50.000,00** 1 15.000,00 2 16.000,003 16.000,00 4 15.000,00 5 15.500,00 * Valores em R$; ** O Investimento Inicial é negativo posto que é um gasto e não uma receita. Aplicando-se a fórmula do VPL temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16,63%k k1 15.500 k1 15.000 k1 16.000 k1 16.000 k1 15.000 50.0000 k1 CF NPV 54321 n 0t t t =⇒ ⇒ + + + + + + + + + +−=⇒ + =∑ = Como k > 0, o projeto será aprovado. 3 SAUL, NESTOR. Análise de Investimentos; Critérios de Decisão e Avaliação de Desempenho nas Maiores Empresas do Brasil. 1ª Ed. Porto Alegre, Ed. Ortiz S/A, 1993. p.43-78. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 43 Observação:- Para calcular a TIR (ou IRR), do exemplo acima, utilizamos os seguintes comandos da HP 12C:- f FIN REG 50000 CHS g CF0 15000 g CF1 16000 g CF1 16000 g CF1 15000 g CF1 15500 g CF1 f IRR Através da resolução do exemplo podemos observar melhor alguns elementos importantes. Primeiramente, o Valor Presente Líquido do projeto é suposto nulo. Portanto, o objetivo em termos matemáticos se torna encontrar uma taxa (k) que consiga igualar a somatória do valor das parcelas de receita ao investimento inicial, como já foi dito anteriormente. Também fica claro pelo exemplo anterior, o grau de complexidade do cálculo da TIR. Para obtermos um k de um projeto que tenha 5 períodos, teremos de lidar com uma equação de 5° grau. Se tivermos um número de períodos igual a 10, estaremos falando de uma equação de 10° grau e assim sucessivamente. Foi esta dificuldade que impediu o uso mais freqüente da Taxa Interna de Retorno até meados da década de 70. Com o advento e a disseminação dos computadores como instrumentos comuns de trabalho, tal empecilho desapareceu. Para efetuarmos o cálculo da TIR sem o uso de calculadora financeira ou computador, o único método razoável é por tentativa e erro. Prós e Contras do Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) Segundo Dugdale (1991), citado em Sassatani, Sousa e Luporini, (1997), os pontos fortes deste método são as seguintes: Fortes: * Resultado final (taxa de retorno) tem um significado melhor do que o número absoluto do VPL; * É fácil comparar alternativas de projetos através dos retornos; * A possibilidade de erro é menor ao trabalhar com uma taxa gerada por um fluxo do que estimar um custo de oportunidade para se determinar o VPL. Por outro lado, há posições críticas ao método da Taxa Interna de Retorno. Na opinião de Brealey & Myers (1991), também citados em Sassatani, Sousa e Luporini, (1997), os pontos fracos da TIR são: Fracos: * Múltiplas TIR: quando um fluxo de caixa altera de sinal mais de uma vez, pode produzir mais de uma taxa interna de retorno. O problema é que quando existem várias TIR's pode ocorrer que nenhuma tenha um sentido econômico. A regra usual é aceitar projetos cuja TIR for superior ao custo de capital (k). Observe que neste caso, a regra não é válida para toda curva. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 44 Supondo um custo de oportunidade k existem diversas TIR's maiores que o custo que geram VPL negativo. O exemplo a seguir ilustra a situação: Ano Fluxo 0 -1.600 1 13.000 2 -14.000 Para o fluxo mencionado há duas taxas de retorno: uma de 27,79% e outra de 584,71%. Para um custo de oportunidade de 15% (inferior a TIR) não seria sensato adotar o projeto, pois o VPL é negativo. Se o custo de oportunidade se situar entre as duas TIR's, o VPL será positivo; * Seleção de projetos mutuamente exclusivos: quando se deve escolher um único projeto entre diversas alternativas, o método da TIR pode selecionar aquele com maior potencial de retorno, porém com menor ganho (VPL). Muitos autores atribuem este fato quando há diferenças de escala (investimento inicial) entre os projetos. Isto não é necessariamente verdade, conforme observado no exemplo do fluxo anterior. Existem projetos cujos resultados são diferentes para o critério do VPL e da TIR, mesmo com investimentos iniciais iguais; * Hipótese do reinvestimento a TIR: quando se apura a TIR de um fluxo de significa que todos os valores do fluxo de caixa são reinvestidos a esta taxa (Dugdale, 1991 e Copeland, 1988). Isto não ocorre na verdade, pois os recursos gerados pelo investimento inicial podem ser reaplicados a uma taxa completamente diferente da TIR. EXERCÍCIOS:- 1. Calcule as Taxas Internas de Retorno para os projetos com os seguintes fluxos de caixa Projeto A Projeto B Projeto C Investimento Inicial - 15.000 - 25.000 - 5.000 Período 1 2.000 15.000 3.000 Período 2 8.000 10.000 1.000 Período 3 20.000 5.000 2.000 Período 4 5.000 1.000 1.000 2. Uma empresa que produz suco de laranja, está preste a investir R$ 7.000.000,00 na construção de uma nova unidade produtiva. Há dois projetos possíveis, cujos fluxos de caixa estão apresentados abaixo. Qual deles é mais adequado economicamente (utilize o cálculo da TIR)? Projeto A Projeto B Investimento Inicial - 7.000.000 - 7.000.000 Período 1 3.500.000 0 Período 2 2.500.000 1.500.000 Período 3 2.500.000 2.500.000 Período 4 500.000 6.000.000 FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 45 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2008. BRUNI, A. L. & FAMÁ, R. Matemática financeira: com HP 12c e Excel – 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2004. CESAR, B. Matemática financeira: teoria e 700 questões – 5ªed. Rio de Janeiro: Impetus, 2004. FEIJÓ, R. Matemática financeira com conceitos econômicos. São Paulo: Saraiva, 2009. GITMAN, L. Princípios de administração financeira. 7ªed. São Paulo: Harbra, 1997. RANGEL, A. de S.; SANTOS, J. C. de S. & BUENO, R. DE L. da S. Matemática dos mercados financeiros: à vista e a termo. São Paulo: Atlas, 2003. SAMANEZ, C. P. Engenharia econômica. São Paulo: Pearson, 2009. SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos – 3ª ed. São Paulo: Pearson, 2004. FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 46 ANEXO EXERCÍCIOS I – PORCENTAGEM 1. Transforme as porcentagens abaixo para a forma unitária: a. 10 % = b. 3 % = c. 200 % = d. 0,5 % = e. 0,01 % = 2. Transforme da forma unitária para a forma percentual: a. 0,03 = b. 2,00 = c. 0,50 = d. 0,25 = e. 0,375 = 3. Calcule: a. 25 % de 450 = b. 200 % de 1.500 = c. 3 % de 600 = d. 0,25 % de 3.000 = e. 30 % de 550 = 4. Resolva: a. O preço de uma ação subiu de $ 23,20 para $ 28,30. Qual a variação percentual? b. O preço de uma ação caiu de $ 58,50 para $ 53,25. Qual a variação percentual? FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 47 c. Para negociar um produto, você gastou $ 112.000,00 de mão-de-obra, $ 72.000,00 de matéria- prima, $ 35.412,00 de despesas gerais e $ 34.420,00 de marketing. Quanto representa percentualmente cada item? II – JUROS SIMPLES 5. Qual o montante produzindo por um capital de $ 2.000,00, aplicado a taxa de juros simples de 24 % ao mês, pelo prazo de 6 meses? 6. Que capital deve ser aplicado à taxa de 15 % ao mês para que no final de 128 dias produza um montante de $ 5.000,00? 7. Qual a taxa mensal de juros simples que faz um principal de $ 1.000,00 se transformar num montante de $ 1.500,00 daqui a 20 meses? 8. Em quantos meses um capital dobra, a juros simples de 2 % aomês? III – DESCONTO SIMPLES 9. Qual o valor do desconto “por fora” de um título de $ 1.000,00 com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5 % ao mês? 10. Qual o valor do desconto comercial de um título de $ 50.000,00, com vencimento para 60 dias, à taxa de 5 % ao mês? IV – JUROS COMPOSTOS 11. Qual o capital que aplicado à taxa composta de 2 % ao mês, durante um semestre, gera um montante igual a $ 225.232,40? 12. Determinar o tempo necessário para o capital de $ 20.000,00 gerar um montante de $ 28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5 % ao mês. 13. A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar $ 40.000,00 para obtermos montante igual a $ 56.197,12 ao fim de um trimestre? 14. Em que prazo um empréstimo de $ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de $ 110.624,80, se a taxa de juros compostos cobrada for de 15 % ao mês? V – DESCONTO COMPOSTO 15. Um título no valor de $ 20.000,00 foi descontado 3 meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto comercial composto aplicada foi de 10 % ao mês. Qual o valor recebido? 16. Um título de valor nominal de $ 70.000,00 é descontado comercialmente 3 meses antes de ser pago. A taxa de desconto adotada é 4,5 % ao mês. Calcular valor descontado e o valor do desconto (desconto composto). FATEC Faculdade de Tecnologia de Sorocaba Prof. Adilson 48 VI – SÉRIES UNIFORMES 17. Um empréstimo será pago em 8 prestações mensais de $ 60.000,00. Se a taxa de juros composta for de 15 % ao mês, qual será o valor desse empréstimo? 18. Uma geladeira está anunciada por $ 1.500,00 à vista ou em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira paga 30 dias após o dia da compra (postecipada). Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 15% ao mês. 19. Um carro está anunciado por $ 10.000,00 à vista ou em 10 prestações mensais iguais e consecutivas, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada). Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5 % ao mês. 20. Para adquirir um televisor, a loja exige de entrada $ 381,22 mais 5 prestações mensais iguais de $ 381,22. Considerando-se uma taxa de juros de 14 % ao mês, qual o valor à vista do televisor?
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