LISTA DE VETORES I

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LISTA DE VETORES- I
1. Dizemos que um conjunto W de vetores é ortogonal quando os vetores de W são dois a dois ortogonais. Caso W seja um conjunto ortogonal e todos os vetores possuam módulo igual a 1, dizemos que W é um conjunto ortonormal.
Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto W ={u,v,w} de R3 é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois.
(a) u = (1, 2, 1), v = (1, -1, 1), w = (-1, 1, 2) .(nenhum dos dois).
(b) u = (a, b, c), v = (-b, a, 0), w = (-ac, -bc, a2 + b2). (ortogonal).
(c) u = (2/7, 6/7, 3/7), v = (3/7, 2/7, -6/7), w = (6/7, -3/7, 2/7). (ortonormal)
(d) u = (1, 2, -3), v = (3, 0, 1), w = (1, -5, -2)} (nenhum dos dois)
2.Suponha que u, v e w são vetores tais que: u . v = 2, v . w = −3, u . w = 5,
│u │= 1, │v│ = 2 e │w│ = 7. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
a) <u + v, u + v > (9)
b) <2v − w, 3u + 2w > (-113)
c) < u − v − 2w, 4u + v > (- 40)
Nota: <u, v> é outra forma de representar o produto escalar u . v
3,Calcular o valor de k para que os vetores 
 e v = (k, 1, 2) sejam ortogonais. (1)
4.Encontre u + v, 2u e 3u-2v se 
a) u = (1, 2, -3), v = (0, 1, -2) 
b) u = (4, -2, 1), v = (-1, 2, 6)
5. Sejam u = (4, -1, -2), v = (3, -2, -4), w = (a, -3, b). Encontre a e b de forma que 
a) w = 3u (a=12, b = -6) b) w – u = v. ( a = 7, b = -6)
6. Desenhe os seguintes pontos em IR3:
a) (3, -1, 2) b) (1, 0, 2) c) (0, 0, -4) d) (1, 0, 0) e) (0, -2, 0)
7. Encontre o comprimento de cada um dos vetores a seguir:
a) (1, 2, -3) b) (1, 0 ,3) c) (2, 3, -1)
8. Encontre a distância entre os pares de pontos dados a seguir:
a) (1, -1, 2), (3, 0, 2) b) (1, 1, 0), (2, 3, -1)
9. Dados os vetores u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4), calcular
a)2u . (-v) b) ( u + 3v ) . ( v – 2u ) 
 
10. Sejam os vetores u = (2, a, -1), v = (3, 1, -2) e w = (2a -1, -2, 4). Determinar a de modo que u . v = ( u + v ) . ( v + w ) 
 
11. Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (2, -1, 3), tal que v . u = -42 
 (R: v = (-6, 3, -9) )
 
12. Calcular │u + v │, sabendo que │u │= 4, │v │= 3 e o ângulo entre u e v é de 60°.
13. Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores v = (-3, 1, n ) e k = (0, 0, 1) 
14. Determinar a projeção ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v1 e v2, sendo v1 // u e v2 
u
a) u = (1, 2, -2) e v = (3, -2, 1) 
b) u = (1, 1, 1) e v = (3, 1, -1).
Gabarito 
9. a) -2 b) 21 10. a = 5/8 11. (-6, 3, -9) 12. 
 13. 
14. a) v1 = (-1/3, -2/3, 2/3 ), v2 = ( 10/3, -4/3, 1/3 )
b) v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 0, -2)
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