Ferramentas Matemáticas Aplicadas

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Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Aula1
Geogebra
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica para todos os níveis de ensino que reúne Geometria, Álgebra, Planilha de Cálculo, Gráficos, Probabilidade, Estatística e Cálculos Simbólicos em um único pacote 
Vantagem didática
Aulas mais dinâmicas
Nesta aula, mostraremos como instalar e usar o software Geogebra
Ainda, vamos usá-lo para elaboração e compreensão de gráficos
Contextualizando
Exemplos: cálculo de áreas, comprimentos, volumes, cálculo de um limite, entre outros 
O software GeoGebra é capaz de tornar as nossas aulas mais dinâmicas
Gráficos de Funções em 2D no GeoGebra
Neste tema será gravado um vídeo, porém, usando o software Geogebra, para apresentar noções gerais sobre o programa
Funções Exponenciais e Polinomiais
Solução, via software, do exemplo 3 desta aula
Funções Trigonométricas
Solução do exemplo 1 desta aula, via GeoGebra
Modelos Lineares
Solução do exemplo 1, via GeoGebra
Solução do exemplo 2, via GeoGebra
Resolução de Problemas
Solução do exercício 2 desta aula, via GeoGebra
Síntese
 Introdução ao uso do software
Importância e aplicabilidade do GeoGebra
Aplicação do GeoGebra na construção de gráficos de funções
Aula2
Utilizar GeoGebra para resolução de
sistemas de equações lineares
Noções gerais sobre resolução de sistemas de equações lineares no GeoGebra
Sistemas lineares 2x2
Sistemas lineares 3x3
Contextualizando
SL são úteis para todos os campos da Matemática Aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas
Nas Engenharias, na Física, na Biologia, na Química e na Economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares
Exemplo: na Química, sabemos que o Hidrogênio (H_2) reage com o oxigênio (O_2) para produzir água (H20). Mas, quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos?
O Uso do Geogebra na Resolução de Sistemas de Equações Lineares
Neste tema será gravado um vídeo, porém, usando o software GeoGebra, para instalação do applet para interpretar geometricamente a solução de um SL 3x3
Sistemas com Duas Equações e Duas Incógnitas
Sistemas com Três Equações e Três Incógnitas
Solução do exemplo 1 desta aula, via GeoGebra
Sistemas de Equações Lineares com Várias Incógnitas e Várias Equações
Síntese
 Fechamento da aula de Sistemas Lineares
Vimos: interpretação geométrica da solução de um sistema 2x2
 Aplicação de SL na Química
Aula3
Utilizar o Geogebra na resolução de problemas do cálculo I
Resolução de derivadas e integrais
Aplicações do cálculo I
Contextualizando
O cálculo diferencial e integral 1 é de suma importância para todas as engenharias 
Cálculo de velocidade, aceleração, cálculo de variações em geral
Exemplo de aplicação das derivadas:
• Os físicos têm interesse em saber a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo (derivada da potência)
Exemplo de aplicação das integrais:
• Cálculo de áreas, de volumes e de comprimentos
O Uso do Geogebra na Obtenção de Derivadas e Integrais
_ Vídeo gravado usando o software Geogebra para resolver o exemplo 2 (integrais)
Máximos e Mínimos de Funções
Não há vídeo para este tema 
Cálculo de Áreas
Solução do exemplo 1 desta aula via Geogebra
Resolução de Problemas
Solução do exemplo 1 desta aula via Geogebra
Solução do exemplo 2 desta aula via Geogebra
Solução do exemplo 3 desta aula via Geogebra
Síntese
Fechamento da aula de aplicações do cálculo I
Cálculo de derivadas e integrais
Máximos e mínimos de funções
Cálculo de áreas 
Aplicação Prática
Solução da aplicação prática via Geogebra
Aula4
Utilizar o Geogebra na resolução de equações diferenciais
Aplicação mais importante do cálculo
As EDs estão presentes nas mais diversas áreas
As EDs representam a modelagem de algum fenômeno que apresenta uma taxa de variação
Geogebra auxilia na obtenção de campo de direções, de equações de variáveis separáveis e de equações lineares
Contextualizando
A modelagem matemática por Eds possibilita obter informações de algum fenômeno e, até mesmo, fazer predições sobre o comportamento futuro
Exemplo:
• Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade da mola vertical, conforme figura a seguir:
Lei de Hooke: força elástica da mola é
proporcional à distância x
Segunda Lei de Newton
Esse é um exemplo clássico de uma equação diferencial (segunda ordem), o qual descreve o comportamento de uma mola 
Campo de Direções
Vídeo gravado usando o software Geogebra para resolver o exemplo 1 (campo de direções)
Equações de Variáveis Separáveis
Vídeo gravado usando o software Geogebra para resolver o exemplo 1 (equações lineares)
Vídeo gravado usando o software Geogebra para resolver o exemplo 2
(equações lineares)
Equações Lineares 
Solução do exemplo 1 desta aula via Geogebra
Síntese
Aula de equações diferenciais
• Vimos como resolver alguns tipos de equações diferenciais pelo Geogebra
Aplicação Prática
Importante aplicação das EDs no estudo de um fenômeno físico conhecido como sistema massa-mola
Não deixe de fazer o exercício de aplicação prática desta aula, no qual é apresentada outra aplicação interessante das equações diferenciais 
Aula5
Utilizar o Geogebra na resolução de problemas do cálculo numérico
O cálculo numérico é uma importante área, que trata da solução de problemas, principalmente, dos que não possuem soluções analíticas conhecidas ou fáceis de se obterem
Trataremos de 2 temas: interpolação e ajuste de curvas
• Interpolação: dados precisos
• Ajuste de curvas: dados com possíveis erros 
Contextualizando
A interpolação e o ajuste de curvas nos ajudam a resolver diversos problemas
Observe a seguinte tabela, que relaciona calor específico da água e temperatura: 
Suponhamos, agora, que se queira calcular:
• O calor específico da água a 32,5 oC
• A temperatura para o qual o calor específico é 0,99837
Nesse caso, podemos usar a interpolação para encontrar uma função que passe por esses pontos 
Interpolação Polinomial
Vídeo gravado usando o software Geogebra para resolver o exemplo 1 (interpolação polinomial)
Ajuste de Curvas Pelo Método da Regressão Linear
Vídeo gravado usando o software
Geogebra para resolver o exemplo 2 (ajuste de curvas regressão linear). Tempo de vídeo: 5 min
Ajuste de curvas para o caso não linear
Solução do exemplo 1 desta aula (caso
não linear) via Geogebra
Solução do exemplo 3 desta aula (caso
não linear) via Geogebra
Resolução de problemas
Solução do exemplo 1 desta aula
(resolução de problemas) via Geogebra
Solução do exemplo 2 desta aula (resolução de problemas) via Geogebra
Solução do exemplo 3 desta aula (resolução de problemas) via Geogebra
Síntese
Aula de Interpolação e Ajuste de Curvas!
Interpolação polinomial e ajuste de curvas para os casos lineares e não lineares
Aula6
Integração numérica
• Soma de Riemann
• Regra dos Trapézios
• Regra de 1/3 de Simpson
Existem funções nas quais é impossível obter a sua primitiva, isto é, a sua integral indefinida
 Exemplo: f(x)=e^(-x^2)
 Problemas encontrados: cálculo de áreas, volumes
As técnicas do cálculo numérico que tratam desse tipo de problema podem nos ajudar a encontrar valores aproximados
Exemplos de aplicações das integrais: cálculo de áreas, de volumes e comprimentos
Soma de Riemann 
Regra dos Trapézios
Regra de 1/3 de Simpson
Neste caso, o Geogebra não possui um comando específico para aplicar esta técnica, logo, devemos instalar um applet que está em: www.geogebra.org/material/show/id/39935
Comparação Entre os Métodos
Todos os métodos reproduzem boas aproximações
A Soma de Riemann é a mais fácil de se calcular manualmente
Síntese
Existem outra inúmeras aplicações para o Geogebra
A importância do Geogebra na facilitação dos cálculos em sala de aula
Aulas mais dinâmicas
EXERCICIOS COMPLEMENTARES
 1. Quais são as raízes reais da função 𝑦 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥− 1? 
Resposta: 
Função[2x^3+3x^2-2x-1,-20,20] 
Raiz[f(x)] 
x1=-1,89 
x2=-0,36 
x3=0,74 
2. Se 𝑅(𝑥) = −3𝑥2 + 37𝑥 − 10 é a função que fornece receita diária em função do preço de venda x de um determinado produto, determine qual deve ser o preço desse produto de modo que a receita seja máxima. 
Resposta: x=6,17 
Função[-3x^2+37x-10,0,15] 
Máximo[g(x), 0, 15] 
3. Resolva o seguinte sistema linear 
3x+4y=26
2x-6y=0
Resposta: x=6, y= 2. 
A = {{3, 4, 26}, {2, -6, 0}}. 
MatrizEscalonada[A]. 
4. Resolva o sistema linear 
x+3y=11
10x+4y=8
Resposta: x=-0,77, y= 3,92. 
B = {{1, 3, 11}, {10, 4, 8}}. 
MatrizEscalonada[B]. 
5. Resolva o sistema linear 
x+3y=11
10x+4y=8
Resposta: x=-0.77, y= 3,92. 
B = {{1, 3, 11}, {10, 4, 8}}. 
MatrizEscalonada[B]. 
6. Resolva o sistema: 
x+2y+3z=6
2x-3y+2z=14
3x+y-z=-2
Resposta: x=1, y= -2, z=3. 
A = {{1, 2, 3, 6}, {2, -3, 2, 14}, {3, 1, -1, -2}}. 
MatrizEscalonada[A]. 
7. Obtenha, por meio do Geogebra, a derivada primeira da função 𝑓(𝑥)=4𝑥3−5𝑥2+19𝑥+12. 
Resolução: 
Inicialmente, na janela “Entrada”, digite “f(x)=4x^3-5x^2+19x+12” e aperte “Enter”. 
Em seguida, na janela “Entrada”, digite “Df=Derivada[f(x)]” e aperte “Enter”. 
Para melhor visualização do gráfico, na opção “EixoX : EixoY”, escolha a proporção “1 : 50”. 
8. Obtenha, por meio do Geogebra, a derivada segunda da função 𝑓(𝑥)=4𝑥3−5𝑥2+19𝑥+12. 
Resolução: 
Inicialmente, na janela “Entrada”, digite “f(x)=4x^3-5x^2+19x+12” e aperte “Enter”. 
Em seguida, na janela “Entrada”, digite “Df=Derivada[f(x),2]” e aperte “Enter”. 
Para melhor visualização do gráfico, na opção “EixoX : EixoY”, escolha a proporção “1 : 50”. 
9. Determine, caso exista, os extremos da função 𝑓(𝑥)=3𝑥3−2𝑥2+7𝑥+12. 
Resposta: Indefinido 
f(x) = 3x³ - 2x² + 7x + 12 
Extremo[f] 
10. Determine, caso exista, os extremos da função 𝑓(𝑥)=2𝑥2+7𝑥+12. 
Resposta: 5,88 
f(x) = 2x² + 7x + 12. 
Extremo[f]