sandramuller-capitulo1 sinais e sistemas

Prévia do material em texto

Aula 1
Sinais e Sistemas 
Introdução a Sinais
Profª Sandra Mara Torres Müller
Aula 1
� O que é um sinal?
� Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações 
sobre a natureza de um fenômeno físico.
� O que é um sistema?
� Entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma 
função, produzindo assim, novos sinais.
Aula 1
Exemplos de Sistema: Sistema Digital de 
Reconhecimento de Voz
� Filtragem: elimina ruídos e concentra o sinal na faixa de frequência 
desejada;
� Amostragem: converte o sinal da mensagem em uma sequência de 
números, representado a amplitude do sinal a cada instante de 
tempo;
� Quantização: representa cada número amostrado dentro de um 
número finito de níveis de amplitude discreta;
� Codificação: código binário, por exemplo.
Aula 1
Exemplos de Sistema: Sistemas de Controle
� O objeto a ser controlado é chamado planta 
� Piloto automático de avião, veículo de transporte coletivo, motores de 
automóveis,refinarias de petróleo, fábricas de papel, usinas elétricas, robôs.
� Um sistema é robusto se tem boa regulação, apesar de perturbações 
externas, levando ao uso de realimentação
Aula 1
Exemplos de Sistema: Sensoreamento
Remoto
� Processo de adquirir informações sobre um objeto de 
interesse sem estar em contato físico com ele
� Estudo de superfície planetária
� Sensores de radar para informações das propriedades físicas da 
superfície
� Sensores infravermelho para propriedade térmicas da superfície
� Sensores visíveis e próximos do infravermelho para informação 
da composição química
� Sensores de raio-X para informações sobre materiais radioativos
Aula 1
Processamento de Sinal Analógico x Digital
� Analógico: resistores, capacitores, indutores, amplificadores 
transistorizados e diodos.
� Digital: somadores, multiplicadores, memória
� Apesar que a abordagem analógica trabalhe em tempo real, a digital 
possui:
� Flexibilidade de trabalhar com várias finalidades;
� Repetitividade.
� Os sistemas são mistos por natureza.
Aula 2
Classificação de Sinais
� Considerações:
� Sinais unidimensionais, ou seja, para cada valor de t há um 
único valor de f(t);
� Os sinais podem ser de valor real ou complexo mas o tempo 
sempre é real.
� Pode-se identificar 5 tipos de sinais:
� Sinais de tempo contínuo e tempo discreto
� Sinais pares e ímpares
� Sinais periódicos e não-periódicos
� Sinais determinísticos e sinais aleatórios
� Sinais de energia e de potência
Aula 2
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo 
Discreto
� Um sinal de tempo discreto x[n] é definido somente em instantes 
isolados de tempo e pode ser derivado de um sinal de tempo 
contínuo fazendo amostragem deste a uma taxa uniforme 
� Um sinal x(t) é um sinal de 
tempo contínuo se ele for 
definido para todo tempo t
Aula 2
Sinais Pares e Ímpares
� Par: x(-t) = x(t), para todo t (Eq. 1.2)
� Simétricos ao eixo vertical.
� Ímpar: x(-t) = -x(t), para todo t (Eq. 1.3)
� Antissimétricos ao eixo do tempo.
Aula 2
Aula 2
Sinais Pares e Ímpares
� O conjugado de um sinal de valor complexo, x(t) = a(t)+jb(t), é
definido por x*(t) = a(t)-jb(t).
� Diz-se que um sinal é conjugado simétrico se x(-t) = x*(t), ou 
seja,
� Um sinal complexo é conjugado simétrico se sua parte real for par e 
sua parte imaginária for ímpar.
� Uma observação similar se aplica a um sinal de tempo discreto
Aula 2
Aula 2
Sinais Periódicos e Não-Periódicos
� Um sinal é periódico se satisfaz a condição x(t) = x(t+T), onde T é uma constante 
positiva.
� Se esta condição valer para T=T0, então vale para T=2T0, 3T0, ..., onde T0 é o 
período fundamental de x(t).
� Assim, a frequência fundamental será f=1/T (Hz) e a frequência angular será dada 
por ω=2pi/T (rad/s).
� Já o sinal não-periódico não satisfaz a condição acima.
Aula 2
Sinais Periódicos e Não-Periódicos
Aula 2
Sinais Periódicos e Não-Periódicos
� Para sinais discretos temos que a condição de periodicidade é dada 
por: x[n] = x[n+N], para todos os números inteiros de n.
� O menor valor inteiro de N para o qual a equação acima é satisfeita é
chamado de período fundamental, cuja frequência angular, medida em 
RADIANOS, é dada por: Ω=2pi/N.
Aula 2
Sinais Periódicos e Não-Periódicos
Aula 2
Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios
� Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma 
incerteza com respeito a seu valor em qualquer instante. Podem ser 
modelados por uma função.
� Tempo contínuo:
� Tempo discreto:
Aula 2
Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios
� Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incerteza antes de 
sua ocorrência real.
� Um sinal aleatório pertence a um grupo de sinais onde cada sinal 
é diferente do outro e tem sua probabilidade de ocorrência.
� O conjunto de sinais aleatórios é chamado de processo aleatório
� Exemplos: ruído gerado em um amplificador de áudio, sinal de EEG.
Aula 2
Sinais de Energia e Sinais de Potência:
Definições
� Como p(t) = v2(t)/R ou p(t) = Ri2(t), se R=1Ω então a potência instantânea 
é dada por: p(t) = x2(t). Portanto, a energia total do sinal de tempo 
contínuo x(t) será:
� E a potência média é definida como:
� Para um sinal periódico a potência média será:
� A raiz quadrática de P é o valor quadrático médio ou RMS do sinal x(t).
Aula 2
Sinais de Energia e Sinais de Potência:
Definições
� Para o caso discreto temos
� Para um sinal periódico com período fundamental N
Aula 2
Sinais de Energia e Sinais de Potência
� Um sinal é sinal de energia se, e somente se, a energia total do sinal 
satisfaz: 0< E <∞.
� Um sinal é sinal de potência se, e somente se, 0< P <∞.
� Um sinal de energia tem potência média zero e um sinal de potência 
tem energia infinita.
� Os sinais periódicos e aleatórios são geralmente sinais de potência, 
enquanto sinais determinísticos e não-periódicos são sinais de energia.
Aula 2
Sinais de Energia e Sinais de Potência
Aula 3
Operações Básicas em Sinais
� Envolve uma combinação de algumas operações 
básicas
� Operações executadas nas variáveis dependentes, variável x(t);
� Operações executadas nas variáveis independentes, variável t.
Aula 3
Operações Executadas nas Variáveis 
Dependentes
� Mudança na escala de amplitude
� Caso contínuo: y(t) = cx(t), onde c é o fator de mudança de escala. 
Exemplo: amplificador, resistor.
� Caso discreto: y[n] = cx[n].
� Adição
� Caso contínuo: considere x1(t) e x2(t) como um par de sinais de tempo 
contínuo. A soma será y(t) = x1(t)+x2(t). 
Exemplo: misturador de áudio
� Caso discreto: y[n] = y1[n]+y2[n]
Aula 3
Operações Executadas nas Variáveis 
Dependentes
� Multiplicação
�Caso contínuo: y(t) = x1(t)x2(t). 
Exemplo: sinal de rádio AM, onde x1(t) é o sinal de rádio e x2(t) é a portadora.
�Caso discreto: y[n] = y1[n]y2[n].
� Diferenciação
�Caso contínuo, x(t): 
Exemplo: indutor
Aula 3
Operações Executadas nas Variáveis 
Dependentes
� Integração
� Caso contínuo, x(t):
Exemplo: capacitor
Aula 3
Operações Executadas na Variável 
Independente
� Mudança de escala de tempo
� Caso contínuo: y(t) = x(at)
� Se a >1, y(t) é uma versão comprimida de x(t)
� Se a <1, y(t) é uma versão expandida de x(t)
� Caso discreto: y[n] = x[kn], k >0 e inteiro
� Se k >1, alguns valores do sinal de tempo discreto y[n] são perdidos
Aula 3
Operações Executadas nas Variável 
Independente
� Reflexão
� Caso contínuo: y(t) = x(-t) é o sinal refletido do sinal x(t) em relação 
ao eixo de amplitude
� Sinal par: um sinal par é o mesmo que sua versão refletida
� Sinal ímpar: um sinal ímpar é o negativo da sua versão refletida
� Caso discreto: similar
Aula3
Operações Executadas nas Variável 
Independente
Aula 3
Operações Executadas nas Variável 
Independente
Aula 3
Operações Executadas nas Variável 
Independente
� Deslocamento no tempo
� Caso contínuo: x(t) deslocado no tempo é definido por y(t) = x(t-t0) onde t0 é o 
deslocamento.
� Se t0 >0, x(t) é deslocado para a direita.
� Se t0 <0, x(t) é deslocado para a esquerda.
Aula 3
Operações Executadas nas Variável 
Independente
� Deslocamento no tempo
� Caso discreto: x[n] deslocado será y[n] = x[n-m], onde m é inteiro positivo ou 
negativo
Aula 3
Regra de Precedência para Deslocamento no 
Tempo e Mudança de Escala
� Suponha que y(t) seja derivado de x(t) através de uma combinação 
de deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo, isto é, 
y(t) = x(at-b). Portanto, esta relação satisfaz as condições:
y(0)=x(-b) e y(b/a)=x(0)
� Para obtermos y(t) a partir de x(t) as operações de deslocamento no 
tempo e mudança de escala de tempo devem ser executadas na 
ordem correta:
1. Operação de deslocamento no tempo (variável independente), gerando 
v(t) = x(t-b), e depois
2. Operação de mudança de escala (variável dependente), substituindo t por 
at: y(t) = v(at)=x(at-b)
Aula 3
Aula 3
Regra de Precedência para Deslocamento no 
Tempo e Mudança de Escala
Aula 3
Regra de Precedência para Deslocamento no 
Tempo e Mudança de Escala
Aula 4
Sinais Elementares
� Servem como blocos de construção para sinais mais complexos e 
modelam sinais físicos que ocorrem na natureza
� Sinais exponenciais;
� Sinais senoidais;
� Sinal senoidal exponencialmente amortecido;
� Função degrau;
� Função impulso;
� Função rampa.
Aula 4
Sinais Exponenciais
� Caso contínuo: x(t) = Beat, B e a são reais e B é a amplitude
� Se a <0: exponencialmente decrescente
� Se a >0: exponencialmente crescente
Exemplos: (a) a =-6, B =5, (b) a =5, B =1
Aula 4
Sinais Exponenciais
� Caso contínuo, exemplo físico:
Que gera a equação diferencial:
Cuja solução é:
Aula 4
Sinais Exponenciais
� Caso discreto: x[n] = Brn, onde r é definido como: r=eα
� Se 0< r <1: exponencial decrescente
� Se r >1: exponencial crescente
� Se r <0: um sinal exponencial de tempo discreto som sinais + e – alternando-se
� É possível que um sinal exponencial tenha valor complexo quando B, a 
ou α tenham valores complexos. Exemplos: ejωt, ejΩn
Aula 4
Sinais Senoidais
� Caso contínuo: x(t) = Acos(ωt+φ)
Aula 4
Sinais Senoidais
� Caso contínuo
� Um sinal senoidal é periódico, pois:
� Para a geração de um sinal senoidal temos o indutor e capacitor em 
paralelo, onde ω0 é a frequência natural de oscilação angular
Aula 4
Sinais Senoidais
� Caso discreto: x[n] = Acos(Ωn+φ)
� O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras, x[n] = 
x[n+N], onde N é o período. Então, x[n+N] = Acos(Ωn+ ΩN+φ)
� Para que a condição de periodicidade seja satisfeita tem-se que: ΩN=2pim 
ou Ω=2pim/N (radianos/ciclo), m, N inteiros
� Nem todos os sistemas senoidais de tempo discreto com valores arbitrários 
de Ω são periódicos. Ω deve ser um múltiplo na forma de razão de 2pi. 
Exemplo: A=1, φ=0 e N=12
Aula 4
Aula 4
Aula 4
Sinais Senoidais
Aula 4
Relação entre Sinais Senoidais e Sinais 
Exponenciais Complexos
� Caso contínuo:
Aula 4
Relação entre Sinais Senoidais e Sinais 
Exponenciais Complexos
� Caso discreto:
Aula 4
Sinal Senoidal Exponencialmente 
Amortecido
� Resultante da multiplicação de um sinal senoidal por uma exponencial 
decrescente de valor real:
Aula 4
Sinal Senoidal Exponencialmente 
Amortecido
� Exemplo físico: resposta natural RLC
Aula 4
Sinal Senoidal Exponencialmente 
Amortecido
� Para o caso discreto temos que
� Para que o sinal decresça com o tempo: 0< |r| <1
Aula 5
Função degrau
� Caso discreto:
� Caso contínuo: 
Aula 5
Função degrau
� A função degrau é um sinal simples de aplicar, como uma fonte DC 
aplicada em t = 0 fechando-se uma chave.
� Como sinal de teste, um degrau é útil para revelar a rapidez com que o 
sistema responde a uma mudança abrupta no sinal de entrada.
� Uma observação similar se aplica a u[n] no contexto discreto.
� A função degrau também é usada de base para construção de outros 
sinais.
Aula 5
Função degrau
Aula 5
Função degrau
Aula 5
Função Impulso
� Caso discreto:
� Caso contínuo:
� δ(t) é conhecido como delta de Dirac
� δ(t) é a derivada do degrau u(t), e então, u(t) é a integral do impulso
Aula 5
Função Impulso
� Caso contínuo:
� δ(t) é uma função par, ou seja, δ(-t)= δ(t)
� Para que um impulso matemático tenha significado matemático ele 
tem de aparecer como um fator no integrando de uma integral com 
relação ao tempo. Isso leva à propriedade de peneiramento do 
impulso unitário
Aula 5
Função Impulso
� Caso contínuo:
� Outra propriedade do impulso é a mudança de escala de tempo
Aula 5
Função Rampa
� Caso contínuo:
� δ(t) é a derivada de u(t). Pelo mesmo raciocínio, a integral de u(t) é
uma função rampa de inclinação unitária
� Em termos mecânicos, uma rampa pode ser visualizada como um 
sistema que tenha como entrada o deslocamento angular de um eixo
com rotação constante. Assim, a velocidade angular do eixo é a 
função degrau, que integrada no tempo é o deslocamento angular
Aula 5
Função Rampa
� Caso contínuo:
� Como sinal de teste, a função rampa possibilita avaliar como um 
sistema de tempo contínuo reagiria a um sinal que crescesse 
linearmente.
� Caso discreto:
Aula 6
Sistema Vistos como Interconexões de 
Operações
� Um sistema pode ser visto com uma interconexão de 
operações que transforma um sinal de entrada em um sinal 
de saída diferente da entrada.
� Suponha que o operador global H denote a ação de um 
sistema, então
Aula 6
Aula 6
Sistema Vistos como Interconexões de 
Operações
Aula 6
Propriedades dos Sistemas
� Descrevem as características do operador H que 
representam o sistema:
� Estabilidade;
� Memória;
� Causalidade;
� Invertibilidade;
� Invariância no tempo;
� Linearidade.
Aula 6
Estabilidade
� Um sistema é BIBO estável (entrada limitada-saída limitada) se, e 
somente se, toda entrada limitada resulta em saída limitada. Ou seja, a 
saída do sistema não diverge se a entrada não divergir.
� O operador H é BIBO estável se o sinal de saída y(t) satisfizer
Sempre que a entrada satisfizer
onde My e Mx são números positivos finitos
� Para um sistema discreto a análise é semelhante
� Sempre se busca um sistema estável
Aula 6
Aula 6
Estabilidade
Aula 6
Estabilidade
Aula 6
Memória
� Um sistema possui memória se sua saída depender de valores passados 
do sinal de entrada. Sistema sem memória é o caso contrário.
� A extensão temporal de valores passados, define quão longe a memória 
do sistema se estende no passado.
� Exemplos:
� Um resistor é sem memória, pois i(t) = v(t)/R
� O indutor tem memória, pois i(t) = 1/L∫t
-infv(t)dt. Essa memória se 
estende no passado infinito
� O sistema y[n] = 1/3(x[n]+x[n-1]+x[n-2]) tem memória
� O sistema y[n] = x2[n] é sem memória
Aula 6
Memória
Aula 6
Causalidade
� Um sistema é causal se o valor atual do sinal de saída 
depender somente dos valores presentes e/ou passados do 
sinal de entrada.
� Em contrapartida, o sinal de saída de um sistema não-causal 
depende dos valores futuros da entrada. Exemplos:
� Média móvel 1: y[n] = 1/3(x[n]+x[n-1]+x[n-2]) é causal
� Média móvel 2: y[n] = 1/3(x[n+1]+x[n]+x[n-1]) é não causal
Aula 6
Memória
Aula 6
Invertibilidade
� Um sistema é invertível se a entradado sistema puder ser recuperada a 
partir da saída do sistema.
� Para que a igualdade seja verdadeira, temos que:
� H-1 é o operador inverso e o sistema associado a este operador é
chamado de sistema inverso. H-1 não é o recíproco e é difícil de achar.
� O problema da invertibilidade pode acontecer em sistemas de 
telecomunicação, onde um equalizador é utilizado para compensar as 
distorções do canal, funcionando como o inverso deste.
Aula 6
Invertibilidade
Aula 6
Invertibilidade
Aula 6
Invariância no Tempo
� Um sistema é invariante no tempo se um retardo ou avanço de tempo no sinal de 
entrada levar a um deslocamento de tempo idêntico na saída
� Supondo y(t) = H{x(t)} e que x(t) seja deslocado de t0, resultando em x(t-t0) ou 
x(t-t0) = St0{x(t)}. Considere que yi(t) é a saída para x(t-t0), ou seja:
� Agora suponha que yo(t) é a saída original do sistema deslocada de t0 segundos
� O sistema será invariante no tempo se yi(t) = yo(t), ou seja, se HSt0 = St0H. 
Assim, os dois operadores devem permutar-se entre si para todo t0. O mesmo 
serve para o caso discreto.
Aula 6
Aula 6
Propriedades dos Sistemas –
Invariância no Tempo
Aula 6
Linearidade
� Diz-se que um sistema é linear se satisfizer o princípio da superposição. 
Supondo a entrada ponderada:
Onde xi é um conjunto de sinais de entrada e ai são os fatores de ponderação 
correspondentes. Então:
�Se o sistema for linear, a saída y(t) pode ser expressa como:
Onde e então
�Ou seja, a operação de adição deve comutar-se com a operação H do 
sistema.
Aula 6
Linearidade
Aula 6
Linearidade
Aula 6
Linearidade
Aula 6
Linearidade