livro de geometria EAD

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Geometria 
Analítica e 
Álgebra Linear
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Dr. Vinícius de Carvalho Rispoli
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva, Vice-Reitor e 
Pró-Reitor de Administração, Wilson de Matos 
Silva Filho, Pró-Reitor de EAD William Victor Ken-
drick de Matos Silva, Presidente da Mantenedora 
Cláudio Ferdinandi.
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva de Ensino Janes Fidélis Tomelin, 
Diretoria Operacional de Ensino Kátia Coelho, 
Direção de Operações Chrystiano Mincoff, Direção 
de Polos Próprios James Prestes, Direção de 
Desenvolvimento Dayane Almeida, Direção de 
Relacionamento Alessandra Baron, Head de 
Metodologias Ativas Thuinie Daros, Head de 
Produção de Conteúdo Celso Luiz Braga de Souza 
Filho, Gerência de Projetos Especiais Daniel F. 
Hey, Gerência de Produção de Conteúdos Diogo 
Ribeiro Garcia, Supervisão do Núcleo de Produção 
de Materiais Nádila de Almeida Toledo, Projeto 
Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães 
Cripaldi, Fotos Shutterstock.
Coordenador de Conteúdo Fábio Augusto Gentilin e 
Márcia Fernanda Pappa
Designer Educacional Janaína de Souza Pontes e 
Yasminn Talyta Tavares Zagonel
Revisão Textual Érica Ortega e Silvia Gonçalves
Editoração Isabela Belido e Thayla Guimarães 
Cripaldi 
Ilustração Bruno Pardinho, Marta Kakitani e 
Marcelo Goto
Realidade Aumentada Kleber Ribeiro, Leandro 
Naldei e Thiago Surmani
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; AMORIM, Ronni Geraldo Gomes de; FRAGELLI, Ricar-
do Ramos; RISPOLI, Vinícius de Carvalho;
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear. Ronni Geraldo Gomes de 
Amorim; Ricardo Ramos Fragelli; Vinícius de Carvalho Rispoli. 
 Maringá-PR.: Unicesumar, 2018. 
 296 p.
“Graduação - EAD”.
 
 1. Geometria Analítica 2. Álgebra . 3. Linear 4. EaD. I. Título.
ISBN: 978-85-459-1194-4
CDD - 22 ed. 512
CIP - NBR 12899 - AACR/2
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação
CEP 87050-900 - Maringá - Paraná
unicesumar.edu.br | 0800 600 6360
Impresso por:
PALAVRA DO REITOR
WILSON DE MATOS SILVA
REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-
mos com princípios éticos e profissionalismo, não 
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão 
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois 
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos 
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo 
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá, 
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de 
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil 
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo 
MEC como uma instituição de excelência, com 
IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os 
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos 
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter pelo menos 
três virtudes: inovação, coragem e compromisso 
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para 
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as 
quais visam reunir o melhor do ensino presencial 
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
BOAS-VINDAS
WILLIAM DE MATOS SILVA
PRÓ-REITOR DE EAD
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento. 
Essa é a característica principal pela qual a 
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é 
importante destacar aqui que não estamos falando 
mais daquele conhecimento estático, repetitivo, 
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global, 
democratizado, transformado pelas tecnologias 
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de 
pessoas, lugares, informações, da educação por 
meio da conectividade via internet, do acesso 
wireless em diferentes lugares e da mobilidade 
dos celulares. 
As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e 
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer 
transformou-se hoje em um dos principais fatores de 
agregação de valor, de superação das desigualdades, 
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar. 
Logo, como agente social, convido você a saber 
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e 
usar a tecnologia que temos e que está disponível. 
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg 
modificou toda uma cultura e forma de conhecer, 
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas, 
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa 
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação 
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato 
com ambientes cativantes, ricos em informações 
e interatividade. É um processo desafiador, que 
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores 
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida 
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que 
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Janes Fidélis Tomelin
DIRETORIA 
EXECUTIVA 
DE ENSINO
Kátia Coelho
DIRETORIA 
OPERACIONAL 
DE ENSINO
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você 
está iniciando um processo de transformação, 
pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, 
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma 
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível 
de desenvolvimento compatível com os desafios 
que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o 
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa-
nhará durante todo este processo, pois conforme 
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na 
transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem 
dialógica e encontram-se integrados à proposta 
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação 
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como 
principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita 
o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação 
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de 
crescimento e construção do conhecimento deve 
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar 
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas 
ao vivo e participe das discussões. Além disso, 
lembre-se que existe uma equipe de professores e 
tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren-
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) aluno(a)!
No decorrer do estudo desta disciplina, você se deparará com um universo 
novo e impressionante. Este novo mundo é repleto de aplicações, as quaisvariam desde itens tecnológicos simples que fazem parte do seu cotidia-
no até grandes projetos científicos. Nesse sentido, para que você perceba 
um pouco do alcance dos conteúdos de Geometria analítica e Álgebra 
Linear, em cada unidade é apresentada pelo menos uma situação na qual 
o conteúdo nela discutido pode ser utilizado. Além disso, devido ao cará-
ter prático do conteúdo abordado nesta disciplina, ela constitui uma das 
bases que o auxiliará na compreensão de temas mais avançados das outras 
disciplinas do curso de Engenharia. Ou seja, os conteúdos e técnicas que 
serão estudados nesta disciplina aparecerão nas demais disciplinas como 
importantes ferramentas.
Nesse arcabouço, os principais temas que serão abordados são os seguintes: 
cálculo com matrizes, determinante e matriz inversa; vetores no plano e no 
espaço tridimensional; geometria analítica no plano: estudo da reta e da 
circunferência; geometria analítica em três dimensões; espaços vetoriais; 
transformações lineares; autovalores e autovetores; diagonalização de ma-
trizes; estudo das cônicas.
Dessa forma, a orientação é que se dedique bastante ao estudo desta disci-
plina, tente assimilar bem todos os conceitos que serão apresentados, pois 
essas atitudes farão a diferença no decorrer da sua graduação. Além disso, 
aproveite bastante, pois os conteúdos apresentados serão demasiadamente 
interessantes. Tenha um bom estudo e, porque não, uma boa diversão.
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim
Possui Pós-doutorado pela International Centre of Condensed Matter Physics of University 
of Brasilia (2012), Doutorado em Física pela Universidade de Brasília (2009), Mestrado em 
Física pela Universidade de Brasília (2006), Graduação em Física pela Universidade de Brasília 
(2003) e Graduação em Matemática pela Universidade Católica de Brasília (1999). Atualmente 
é Professor Adjunto da Universidade de Brasília.
Para mais informações, acesse: <http://lattes.cnpq.br/4086384842130773>.
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Possui Doutorado em Ciências Mecânicas (2010) pela Universidade de Brasília (UnB), onde 
também fez Mestrado (2003) e Graduação (2000) em Engenharia Mecânica. Professor Adjun-
to da UnB dos cursos de Engenharia da Faculdade UnB Gama e do Mestrado em Design do 
Departamento de Design Industrial, onde orienta trabalhos na área de Design Educacional. 
Desenvolve pesquisas em Sistemas Tutores Inteligentes e Adaptativos, técnicas, métodos e 
tecnologias para Educação. Por meio de suas pesquisas, recebeu onze prêmios nacionais de 
Instituições como MEC, MCT, CAPES, ABED, ABMES e Santander Universidades.
Para mais informações, acesse: <http://lattes.cnpq.br/6119310102978688>.
Dr. Vinícius de Carvalho Rispoli
Possui Doutorado (2014) em Engenharia de Sistemas Eletrônicos e Automação pela Universi-
dade de Brasília, com período sanduíche na University of Michigan (EUA). Graduação (2005) 
e Mestrado (2007) em Matemática pela Universidade de Brasília. Tem experiência na área de 
Matemática Aplicada, com ênfase em Equações Diferenciais, Métodos Numéricos e Otimiza-
ção. Atua na área da Engenharia Biomédica/Matemática Aplicada e é Professor Adjunto II de 
Matemática Aplicada na Faculdade UnB Gama, Universidade de Brasília.
Para mais informações, acesse: <http://lattes.cnpq.br/1386396456867682>.
Matrizes
13
Determinante, 
Matriz Inversa e 
Sistemas Lineares
37
Fundamentos 
de Geometria 
Analítica no R2 
69
Vetores no Plano 
e no Espaço
Retas e Planos do R3
101
137
Espaços e 
Subespaços 
Vetoriais
163
Transformações 
Lineares
Diagonalização 
de Matrizes
229
As Cônicas
257
199
74 Distância entre dois pontos
108 Vetor no R3
145 Reta no R3 
187 As cores primárias podem ser vista como 
uma base do espaço vetorial das cores
218 Rotação do quadrado
260 Elipse
266 Hipérbole
Utilize o aplicativo 
Unicesumar Experience 
para visualizar a 
Realidade Aumentada.
272 A parábola
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Ronni Amorim
Dr. Ricardo Fragelli
Dr. Vinícius Rispoli
• Definir matriz e identificar os critérios de igualdade matricial.
• Reconhecer os principais tipos de matrizes: matriz quadra-
da; matriz diagonal, matriz identidade, matriz linha; matriz 
coluna; matriz triangular superior; matriz triangular inferior.
• Estudar as operações de adição, subtração, multiplicação 
e transposição de matrizes, identificando as propriedades 
relativas a cada operação.
Definição de Matriz
Classificação das Matrizes
Cálculo Matricial
Matrizes
Definição de Matriz
Prezado(a) aluno(a)! Nesta unidade, você estuda-
rá o conceito de matriz e aprenderá os principais 
tipos de matrizes. Conforme veremos, o cálculo 
matricial é fundamental ao desenvolvimento de 
diversas áreas do conhecimento, tendo aplicações 
em física, engenharia, economia etc. Além disso, os 
conceitos que serão desenvolvidos nesta unidade 
servirão como base para a discussão dos outros 
conteúdos que abordaremos ao longo da disciplina.
Como exemplo da importância da matriz em 
nosso dia a dia, consideraremos uma pequena 
aplicação na prática desportiva.
Praticar atividades físicas regularmente traz 
grandes benefícios para a nossa saúde. Felizmente, 
frequentar uma academia tem se tornado uma 
“febre”. Tornou-se uma moda a busca por saúde, 
corpo definido e qualidade de vida.
Nesse sentido, suponha que você tenha aderido 
a um novo programa de treinamento físico, o qual 
deve ser realizado durante a semana. Nesse treina-
mento, você deve praticar entre uma e duas horas 
de atividade diária. Dentre as atividades, o seu per-
sonal trainning recomendou as seguintes: spinning, 
natação, treinamento funcional e corrida na esteira.
15UNIDADE I
O gasto calórico médio devido à prática de 1h de cada uma das atividades enumeradas 
segue esboçado na Tabela 1 a seguir.
Tabela 1 - Gasto calórico por atividade
Atividade Corrida a 12 km/h Spinning Treinamento Funcional Natação
Gasto calórico em 1h 750 cal 600 cal 1000 cal 600 cal
Fonte: os autores.
Você está seguindo rigorosamente o programa de treinamento proposto e pratica 
diariamente um conjunto de atividades. O tempo diário gasto por você em cada 
atividade na primeira semana está descrito na Tabela 2.
Tabela 2 - Tempo diário gasto em cada atividade
Dia Corrida a 12 km/h Spinning Treinamento 
Funcional
Natação
segunda-feira 0 0,5h 0 0,5h
terça-feira 1h 0 0 0
quarta-feira 0 0,5h 0,5h 0,5h
quinta-feira 0,5h 0 0,5h 0
sexta-feira 0,5h 0,5h 0,5h 0,5h
Fonte: os autores.
Podemos sumarizar as informações contidas nas Tabelas 1 e 2 utilizando as matrizes. 
Além disso, conhecendo as operações do cálculo matricial, podemos calcular de 
forma prática o seu gasto calórico diário decorrente da prática das atividades físicas 
elencadas. Para isso, antes estudaremos um pouco sobre as matrizes.
De uma forma simples, podemos dizer que uma matriz consiste em uma tabela 
retangular de elementos dispostos em linhas e colunas. Organizar elementos no for-
mato de matriz pode repercutir na facilitação de cálculos e na tomada de decisões, 
conforme notaremos em alguns exemplos.
Representamos uma matriz com m linhas e n colunas da seguinte forma 
(ANTON; RORRES, 2012)
A
a a a
a a a
a a a
am n
n
n
m m mn
ij m× ×












= = ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
…
…
� � �
…
nn ,
em que 1 i m< < e 1 j n< < .
16 Matrizes
Lemos Am n× como sendo a matriz A, m por n, ou seja, matriz A com m linhas e n co-
lunas. Note que o primeiro subíndice (m) é referente ao número de linhas da matriz, 
enquanto o segundo índice (n) refere-se ao número de colunas. Dizemos que m n× 
é a ordem da matriz A.
Quando representamos o elemento da matriz como aij, estamos nos referindoao elemento que ocupa a i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz. Por exemplo, um 
elemento a24ocupa a segunda linha e a quarta coluna da matriz. Como você deve ter 
notado, os índices i e j são uma espécie de endereço dos elementos numa dada matriz.
Considere como exemplo a seguinte matriz
B =
1 3 2
5 2 7
3 0 1
.
−
−
−










A ordem da matriz B é 3 3× pois ela possui 3 linhas e 3 colunas. Em particular, b13 = 2 
e b32 = 0. Você saberia identificar o elemento b21 da matriz acima? Se você respondeu 
que b21 = 5, a sua resposta está correta!
Conforme foi mencionado antes, as matrizes são bastante úteis na representação 
de dados em uma forma mais compacta. Por exemplo, considere uma situação na 
qual o engenheiro mede o diâmetro e a massa de três esferas constituídas de materiais 
distintos. Esse engenheiro colocou os valores encontrados na tabela a seguir:
Tabela 3 - Massa e diâmetro das esferas
Massa (kg) Diâmetro (cm)
Esfera 1 0,3 20
Esfera 2 0,5 27
Esfera 3 0,4 24
Fonte: os autores.
Perceba que as informações contidas na Tabela 1 podem ser colocadas na matriz C 
apresentada a seguir
C =
0,3 20
0,5 27
0, 4 24
.










Conforme você pode notar, a ordem da matriz C é 3 2× , pois ela possui 3 linhas e 2 
colunas e, em particular, c21 = 0,5.
17UNIDADE I
Outros exemplos que podem ser considerados são as matrizes correspondentes às 
Tabelas 1 e 2. No caso da Tabela 1, temos uma matriz de apenas uma linha dada por
A =












750
600
1000
600
.
Enquanto a Tabela 2 pode ser representada pela matriz B X�5 4 dada por
B =
















.
Igualdade de Matrizes
Dizemos que duas matrizes são iguais quando elas possuem a mesma ordem e seus 
elementos correspondentes são iguais. Por exemplo, as matrizes A am n ij m n× ×=[ ] é 
igual a B br s ij r s× ×=[ ] se m r= , n s= e a bij ij= para todo i j, .
Para você compreender melhor o conceito de igualdade matricial, façamos o 
exercício a seguir.
Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais.
A
x
=
2
9 12−






B
y
=
2 2
9 3
.
−
−






Resolução: de acordo com o que aprendemos, para que as matrizes sejam iguais, 
primeiramente elas devem ter a mesma ordem, e essa exigência é satisfeita, pois am-
bas são de ordem 2 2× . Em segundo lugar, seus elementos correspondentes devem 
ser iguais; isso nos leva a concluir que x = 2− e 3 =12y , ou seja, x = 2− e y = 4 .
Agora que você já sabe como representar uma matriz, estudaremos algumas 
matrizes especiais.
1 EXEMPLO
18 Matrizes
As matrizes podem ser classificadas de acordo 
com algumas características que apresentam. A 
seguir você estudará os principais tipos de matrizes 
(FRANCO, 2016).
A) Matriz Quadrada
Uma matriz é quadrada quando o número de li-
nhas é igual ao número de colunas, isto é, Am n× é 
quadrada quando m n= .
Alguns exemplos de matrizes quadradas são
B A=
1 3 2
5 2 7
3 0 1
=
5 1
2 1
−
−
−










−





Note que a matriz B é de ordem 3 3× e a matriz A é 
de ordem 2 2× . Podemos dizer simplesmente que as 
matrizes A e B são de ordem 3 e 2, respectivamente.
Classificação 
das Matrizes
19UNIDADE I
B) Matriz Nula
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero. Como exemplo, 
as matrizes A e B abaixo são nulas.
B A=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
=
0 0
0 0
















C) Matriz Linha e Matriz Coluna
Outros tipos de matrizes especiais são as matrizes linha e coluna. A matriz linha 
é aquela que possui apenas uma linha (A n1× ). Como exemplos de matrizes linhas, 
considere as matrizes abaixo
A B= (1 1 4) = ( 2 3)− −
Já a matriz coluna é aquela que possui apenas uma coluna (Am×1). Você pode visualizar 
exemplos de matrizes colunas a seguir
1
1
4
2
0
3
5
−










−
−












As matrizes colunas serão importantes na representação de vetores, conforme você 
perceberá na continuidade do nosso curso.
D) Matriz Diagonal
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que aij = 0 para todo i j= , ou seja, 
os únicos elementos diferentes de zero são aqueles que se encontram na diagonal da 
matriz. A seguir você pode visualizar dois exemplos de matrizes diagonais.
A B=
1 0 0
0 2 0
0 0 5
=
5 0
0 3
−
















As matrizes A e B dadas acima são diagonais.
20 Matrizes
E) Matriz Identidade
A matriz identidade é uma matriz diagonal na qual os elementos não-nulos são 
iguais a 1. Se uma matriz A é diagonal, temos aij = 0 se i j= e aij =1 se i j= . Repre-
sentaremos a matriz identidade de ordem n n× simplesmente por In. São exemplos 
de matrizes identidades as indicadas abaixo:
I I3 2=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 0
0 1
















A matriz I2 é a matriz identidade de ordem 3 e a matriz I3 é a matriz identidade de ordem 2.
F) Matriz Triangular Superior
Uma matriz A é denominada triangular superior se aij = 0 se i j> . Isto é, na matriz 
triangular superior, temos que os elementos abaixo da diagonal são todos nulos. 
Alguns exemplos de matrizes triangulares superiores seguem abaixo:
3 1 4
0 2 7
0 0 6
3 5
0 9
3 1 4 5
0 2 7 3
0 0 3 6
0 0 0 4
−









−





−
−












G) Matriz Triangular Inferior
Uma matriz A é denominada triangular inferior se aij = 0 se i j< . Isto é, na matriz 
triangular inferior, temos que os elementos acima da diagonal são todos nulos. Alguns 
exemplos de matrizes triangulares inferiores seguem abaixo:
3 0 0
3 3 0
1 5 6
2 0
3 1
3 0 0 0
0 2 0 0
4 9 3 0
1 2 4
−
















−









pi



Agora que você já sabe o que é uma matriz e conhece também os principais tipos de 
matrizes, o nosso próximo passo será estudar as operações envolvendo as matrizes.
A partir deste momento, estudaremos as principais operações matriciais. O nosso enfo-
que será nas operações de adição, multiplicação, multiplicação por escalar e transposição.
Preste muita atenção, pois as operações que estudaremos acompanharão você 
durante todo o nosso curso.
21UNIDADE I
Nesta seção, você aprenderá as principais opera-
ções envolvendo as matrizes, quais sejam: a adição 
e subtração; amultiplicação de um escalar por 
uma matriz; a multiplicação entre matrizes e a 
transposição de matrizes.
Adição de Matrizes
Você sabe em quais condições podemos somar 
duas matrizes? A única condição exigida para que 
duas matrizes sejam adicionadas é que ambas pos-
suam a mesma ordem. Ou seja, dadas a matriz 
Am n× e a matriz Br s× , A e B podem ser adiciona-
das se, e somente se, m r= e n s= . Você obtém 
o resultado da soma, adicionando os elementos 
correspondentes de cada matriz.
Dessa forma, se temos A aij= ( ) e B bij= ( ), en-
tão a matriz C cij= ( ) obtida pela soma C A B= + 
possui os elementos dados por c a bij ij ij= + .
Cálculo Matricial
22 Matrizes
Como exemplo, calculemos a soma das matrizes A e B dadas a seguir:
A B=
3 0 1
2 5 7
1 1 3
= .
5 3 2
3 9 11
13 7 8
−
−










−
−
−










Resolução: temos que
A B+
+ + + −
− + + + −
+ − + + −










−
=
3 5 0 3 1 ( 2)
2 3 5 9 7 ( 11)
1 13 1 7 3 ( 8)
=
8 3 11
1 14 4
14 6 5
−
−










Propriedades da Adição de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem. Em relação à adição matricial, as se-
guintes propriedades são satisfeitas:
1. Comutatividade: A B B A+ += .
2. Associatividade: A B C A B C+ + + +( ) = ( ) .
3. Elemento Neutro: 0 = 0+ +A A , onde 0 é a matriz nula.
4. Elemento Oposto: existe a matriz ( )−A tal que A A+ −( ) = 0.
Verifique você mesmo as propriedades da adição para as matrizes A e B abaixo.
A B=
3 0 1
2 5 7
1 1 3
=
5 3 2
3 9 11
13 7 8
.−
−










−
−
−










Agora vai um desafio para você!
Dada a matriz
A=
1 5 3
4 2 0
3 4 9
−
− −










Desafio você a encontrar a matriz B , tal que quando somada com a matriz A origine 
a matriz nula.
2 EXEMPLO
1 DESAFIO
23UNIDADE I
Multiplicação por escalar
Outra importante operação no cálculo matricial é a multiplicação de uma matriz 
por um número real, o qual denominaremos escalar (denominaremos por escalar 
qualquer número real).
Para realizar a multiplicação de um número real por uma matriz, basta multiplicar 
cada elemento da matriz por tal número (HOLT, 2016). Considere então uma matriz 
A aij= ( ) e um escalar α. Denotaremos o produto αA B= , onde B bij= ( ) e b aij ij=α .
Você perceberá o quanto é fácil realizar essa operação com a resolução do exemplo a seguir.
Seja a matriz
A=
3
2
1
0
5
1
−
−










.
Calcule −2A .
Resolução: para realizar esse cálculo, basta multiplicar os elementos de A por −2. 
Fazendo isso, encontramos:
−
−
− −
−
−
− −










−
−
−


2 =
2 3
2 2
2 1
0
2 5
2 1
=
6
4
2
0
10
2
A
.
( ).( )
.
.
( ).( )








Multiplicação de Matrizes
A multiplicação entre matrizes será a operação que você mais utilizará no decorrer 
dessa disciplina. Apesar de sua definição formal não ser tão intuitiva, realizar o cálculo, 
conforme você notará, não é tão difícil assim.
Antes de estudarmos a definição do produto matricial, é importante que você conheça 
algumas observações importantes. A primeira delas é que a ordem em que as matrizes 
são multiplicadas é importante, ou seja, caso você troque a ordem das matrizes, em geral, 
o resultado do produto será diferente. A essa observação, denominamos não-comutati-
vidade. A segunda observação é que, conforme você notará na definição do produto, ele 
só é possível de ser realizado quando a matriz da esquerda tiver o número de colunas 
igual ao número de linhas da matriz da direita. E mais, a matriz obtida no produto possui 
o número de linhas da matriz da esquerda e o número de colunas da matriz da direita.
3 EXEMPLO
24 Matrizes
Observe, então, a definição de tal produto.
DEFINIÇÃO 1
O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira é igual ao 
número de linhas da segunda, A aij m k= ( ) × e B bij k n= ( ) × é definido pela matriz 
C AB c ji m n= = ( ) × , calculado da seguinte forma
c a b a b a bij i j i j ik kj
l
k
= =1 1 2 2
=1
+ + + ∑…
 
Observando a definição, percebemos que na multiplicação matricial, o elemento ij 
da matriz resultante do produto AB é obtido da soma dos produtos dos elementos 
i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B.
Você pode observar como isso é feito a partir do exemplo a seguir.
Sejam as matrizes
= −
−










3
2
1
0
5
1
B=










5
3
3
3
1
0
-2
-4
-1
.
calcule o produto C BA= .
Antes de calcularmos o produto BA, precisamos verificar se ele é definido. Para esse 
fim, basta verificar se o número de colunas de B é igual ao número de linhas de A. 
Como B possui 3 colunas e A possui 3 linhas, o produto em questão é definido. Agora, 
podemos efetuar o cálculo.
C BA= = −
−










3
2
1
0
5
1










5
3
3
3
1
0
-2
-4
-1
C BA= =










7
3
8
17
9
1
.
4 EXEMPLO
25UNIDADE I
Observe que no resultado, por exemplo, c12 5 0 3 5 2 1= + + −( ) −( ). . . foi obtido pela 
soma dos produtos dos elementos da primeira linha de B pela segunda coluna de A. É in-
teressante observar que o produto AB não é definido. Você saberia explicar o porquê?
Apresentamos a seguir as propriedades do produto matricial válidas para matrizes 
quadradas. Para isso, sejam A, B e C três matrizes quadradas n n× (ordem n), e In 
uma número real e A a matriz identidade de ordem n. Temos então (LIMA, 2016):
1. Associatividade: A BC AB C( ) = ( )
2. Elemento neutro: AI I A An n= =
3. Distributividade: A B C AB AC( ) =+ +
4. α α α( ) = ( ) = ( )AB A B A B
5. Em geral, AB BA= .
Nas propriedades acima, note que a matriz identidade desempenha o papel de ele-
mento neutro do produto matricial.
Embora comentamos que as propriedades acima sejam válidas para matrizes 
quadradas, podemos generalizá-las para matrizes de qualquer ordem, desde que as 
matrizes tenham tamanho adequado.
Demonstraremos as duas primeiras propriedades. As outras demonstrações são 
análogas e podem ser encontradas nas referências bibliográficas.
Demonstração da Propriedade 1.
Sejam A aij= ( ), B bij= ( ) e C cij= ( ). Denominemos D AB= , sendo D dij= ( ). 
Assim,
d b cij k
n
ik kj= =1∑
Dessa forma, temos que
A BC AD a d a b c
l
n
il lj
l
n
il
k
n
lk kj( ) = = =
=1 =1 =1
∑ ∑ ∑






A BC a b c a b c
l
n
k
n
il lk kj
k
n
l
n
il lk kj( ) = = .
=1 =1 =1 =1
∑∑ ∑ ∑






Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
26 Matrizes
Denominando F AB= , F fij= ( ) onde f a bij k
n
ik kj= =1∑
chegamos a
A BC f c FC AB C
k
n
ik kj( ) = = = ( )
=1
,∑
como queríamos demonstrar.
Dada a matriz
A=
2 3
1 1
,
−





desafio você a encontrar uma matriz B tal que AB I= 2.
Agora já estamos emcondições de retornar ao problema introdutório da unidade. 
Vamos encontrar o seu gasto calórico diário devido às atividades físicas por meio 
da multiplicação matricial. Para esse fim, multiplicaremos as matrizes B e A que 
representam os dados contidos nas Tabelas 1 e 2,
BA =




























750
600
1000
600
.
BA =
















600
750
875
1100
1475
.
Esse último resultado esboça o seu gasto calórico diário no decorrer da semana. 
Ou seja, você gastou 600 calorias na segunda-feira, 750 calorias na terça-feira, 875 
calorias na quarta-feira, 1100 calorias na quinta-feira e 1475 calorias na sexta-feira.
Como você percebeu, o estudo das matrizes pode nos ajudar em atividades sim-
ples do cotidiano. No decorrer da disciplina, você perceberá que tarefas muito mais 
complexas serão facilitadas mediante o cálculo matricial.
2 DESAFIO
27UNIDADE I
Matriz Transposta
A matriz transposta é um ingrediente fundamental do cálculo matricial, conforme 
você poderá constatar no decorrer do curso. Por exemplo, a transposição matricial é 
utilizada na definição da matriz inversa, como também no cálculo do produto escalar. 
Determinar a matriz transposta é muito simples, basta trocar as linhas de uma matriz 
por suas colunas, ou seja, quem é linha passa a ser coluna e vice-versa. Dessa forma, 
se uma matriz A tem ordem m n× , a sua transposta tem ordem n m× . Façamos então 
uma definição mais formal.
DEFINIÇÃO 2
A transposta de uma matriz A aij m n= ( ) × é definida pela matriz A B b
t
ij n m= = ( ) × obtida 
trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, b aij ji= .
Você poderá entender melhor essa operação por meio do exemplo a seguir.
Seja a matriz
A =
−
− −






3 0 2
2 5 1
.
Determine a sua transposta.
Resolução: para determinarmos a transposta de A basta trocarmos as linhas com as 
colunas. Assim, obtemos neste caso
At =
−
− −










3 2
0 5
2 1
.
Determine a transposta da matriz coluna
v = −
−










3
2
1
.
Em seguida, calcule o produto v vt .
Resolução: a transposta da matriz coluna é uma matriz linha dada por
vt = − −( )3 2 1 .
5.1 EXEMPLO
5.2 EXEMPLO
28 Matrizes
O produto
v vt = − −( ) −
−










= + + =3 2 1
3
2
1
9 4 1 14.
Perceba que o resultado do produto v vt é um número real positivo.
Propriedades da Transposição de Matrizes
Algumas propriedades da transposição matricial são elencadas a seguir (ANTON; 
RORRES, 2012):
1. ( ) =A At t
2. ( ) =AB B At t t
3. I It =
Terminamos o conteúdo dessa unidade. Agora é a sua vez de colocá-lo em prática. 
Para esse fim, responda as Atividades de Estudo a seguir.
Aluno(a), antes de realizar cálculos envolvendo matrizes lembre-se sempre que só é 
possível adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes que tiverem a mesma ordem, 
ou seja, as matrizes que serão somadas ou subtraídas devem ter o mesmo número 
de linhas e colunas. A multiplicação de matrizes, porém, só é definida quando o 
número de colunas da primeira matriz (matriz da esquerda) é igual ao número de 
linhas da segunda matriz (matriz da esquerda). Além disso, o resultado do produto 
será uma matriz com o mesmo número de linhas da primeira e o mesmo número 
de colunas da segunda.
29
1. A matriz A aij= ( ) de ordem 2X3 tal que 𝑎𝑖𝑗=2𝑖−3𝑗 é dada por:
(Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.)
a) �
1 3 0
4 1 2
−
−






b) − − −
− −






1 4 7
1 2 5
c) − −
− − −






1 1 2
7 5 4
d) 0 1 1
1 2 0
−
−






e) − − −
− −






7 4 1
5 2 1
2. Dadas as matrizes
A e
y
x
=
−
+






3 1
8 22
 
B =
−





15 1
8 38
.
Os valores de x e y tais que a matriz A seja igual à matriz B são:
a) y = 5 e x = ±6 .
b) y = 3 e x = 7 .
c) y = 4 e x = ±6 .
d) y = ±3 e x = 6 .
e) y =1 e x = 2 .
30
3. Dadas as matrizes
A B= 




 =
−





5 2
3 4
3 2
5 1
e
 
C =
−





1 0
2 3
.
O resultado da expressão AB Ct−3 é:
a) 
− −





28 29
14 11
b) 
28 29
14 11− −






c) 14 11
28 29− −






d) − −





14 11
28 29
e) 28 14
29 11
−
−






4. Denominamos de comutador das matrizes A e B a operação [ , ]=A B AB BA− . 
Dizemos que as matrizes A e B comutam quando [ , ]= 0A B . Considere as matrizes
1 2
1 0 0 1= =
0 1 1 0
S e S      −   
Calcule[ , ]1 2S S . As matrizes S1 e S2 comutam?
31
Álgebra Linear com aplicações
Autores: Howard Anton e Chris Rorres
Editora: Bookman
Sinopse: esta obra traz o conteúdo básico de álgebra linear para estudantes de 
ciências exatas e engenharia. O conteúdo é permeado de interessantes aplicações.
Comentário: a leitura dos capítulo 1 e 2 desta obra é recomendada.
LIVRO
32
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2012.
FRANCO, N. M. B. Álgebra Linear. 1. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2016.
HOLT, J. Álgebra Linear com Aplicações. 1. ed. São Paulo: Editora LTC, 2016.
LIMA, E. L. Álgebra Linear. 9. ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.
33
1. Para construir a matriz A, observe a sua ordem para saber os valores que i e j podem assumir; os quais são i = 1,2 e j = 1,2,3. Dessa forma, os elementos da matriz são construídos de acordo com a lei de formação 
dada aij = 2i - 3j . Temos então: a11=2-3=-1, a12=2-6=-4,a13=2-9=-7, a21=4-3=1, a22=4-6=-2, e a23=4-9=-5. Assim, a 
matriz A é dada por
A = -1 -4 -71 -2 -5
A alternativa correta é a B.
2. Para resolver essa questão, basta igualar os elementos correspondentes das matrizes A e B. Fazendo isso, 
encontramos 3y = 15 e x2 + 2 = 38, o que nos fornece y = 5 e y = 6. A alternativa correta é a letra A.
3. Iniciamos a resolução desta questão pelo cálculo do produto AB, o que nos fornece
AB = 25 -829 -2
Na sequência calculamos Ct e multiplicamos o resultado por 3, o que leva a
Ct =
−





3 6
0 9
.
Realizando a subtração AB Ct−3 , obtemos
AB Ct− =
−
−





3
28 14
29 11
.
Portanto, a alternativa correta é a letra E.
4. Resolvemos esta questão fazendo separadamente os produtos S S1 2 e S S2 1 e depois subtraímos os resul-
tados. Temos então:
S S1 2
0 1
1 0
=
−






 e 
S S1 2
0 1
1 0
=
−





Dessa forma, chegamos a
S S1 2
0 2
2 0
, .[ ] =
−






Como S S1 2 0,[ ] ≠ , ou seja, S S S1 2 2 1as matrizes dadas não comutam.
A seguir, apresentamos as respostas dos desafios.
34
Desafio 1. A resposta do desafio decorre da propriedade 4 da adição de matrizes. Ou seja, a matriz que 
somada à matriz A leva à matriz nula é a matriz −A. Dessa forma, basta multiplicarmos cada elemento de 
A por −1, obtendo assim o resultado
− =
− − −
−
−










A
1 5 3
4 2 0
3 4 9
.
Desafio 2. Esse desafio corresponde ao conteúdo que veremos na próxima unidade. Na oportunidade, 
resolveremos tal problema.
35
36
	Matrizes
	Determinante,
Matriz Inversa e
Sistemas LinearesFundamentos de
Geometria Analítica no R2 
	Vetores no Plano
e no Espaço
	Retas e Planos do R3
	Espaços e Subespaços
 Vetoriais
	Transformações Lineares
	Diagonalização
de Matrizes
	As Cônicas
	Figura 3 - Distância entre dois pontos
	Figura 3 - Vetor no R3 
	Figura 2 - Reta no 
	Figura 1: As cores primárias podem ser vista como uma base do espaço vetorial das cores.
	Figura 2 - Rotação do quadrado
	Figura 2 - Elipse
	Figura 3 - Hipérbole
	Figura 5 - A parábola