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CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1 Questa˜o 1 (1 ponto). Desenvolva e decida se a desigualdade abaixo e´ verdadeira ou falsa. − (−3 8 ÷ −5 7 ) ≥ 9 8 · ( −5 6 ) Soluc¸a˜o: Vamos desenvolver os dois lados da desigualdade para descobrir se ela e´ verdadeira − (−3 8 ÷ −5 7 ) ≥ 9 8 · ( −5 6 ) − (−3 8 × −7 5 ) ≥ 3 8 · ( −5 2 ) −21 40 ≥ −15 16 −21× 16 ≥ −15× 40 21× 16 ≤ 15× 40 Logo a desigualdade e´ verdadeira. Questa˜o 2 (2 pontos). Efetue as operac¸o˜es existentes na expressa˜o seguinte e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irredut´ıvel. ( 25 15 − 7 42 ) ÷ 16 12 + 3 16 1 textbfSoluc¸a˜o: ( 25 15 − 7 42 ) ÷ 16 12 + 3 16 = ( 5 3 − 1 6 ) × 12 16 + 3 16 = ( 10 6 − 1 6 ) × 12 16 + 3 16 = 9 6 × 12 16 + 3 16 = 9 1 × 1 8 + 3 16 = 9 8 + 3 16 = 18 16 + 3 16 = 21 16 Questa˜o 3 (2 pontos). Decida se cada um dos argumentos abaixo e´ ou na˜o va´lido e justifique sua resposta: a) Premissas:Se o do´lar cai os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado interna- cional; Se os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional, caem as nossas exportac¸o˜es; Em 2012 o do´lar na˜o caiu. Conclusa˜o: Nossas exportac¸o˜es na˜o ca´ıram em 2012. Soluc¸a˜o: O argumento na˜o e´ va´lido. As premissas nos permitem concluir que se o do´lar cair as exportac¸o˜es tambe´m caira˜o, mas as premissas na˜o nos fornecem as rec´ıprocas das implicac¸o˜es, na˜o sendo poss´ıvel concluir que se o do´lar na˜o cai as exportac¸o˜es tambe´m na˜o caem. Podemos ter do´lar subindo e exportac¸o˜es caindo sem violar nenhuma das premissas. b) Premissas:Se as vendas da empresa ABC ca´ırem, a empresa se endividara´ com empre´s- timos ou demitira´ empregados; A diretoria da ABC na˜o permitira´ que a empresa 2 contraia d´ıvidas com empre´stimos. Conclusa˜o: Se a empresa ABC na˜o demitir, e´ porque suas vendas na˜o ca´ıram. Soluc¸a˜o: O argumento e´ va´lido. Se as vendas cairem a primeira premissa nos garante que havera´ d´ıvidas ou demisso˜es. Contudo a segunda premissa nos garante que na˜o havera´ d´ıvidas. Logo, se as vendas cairem, necessariamente havera´ demisso˜es. O que equivale a dizer que se a empresa na˜o demitir e´ porque as vendas na˜o ca´ıram (forma contrapositiva da proposic¸a˜o anterior). Questa˜o 4 (2 pontos). As ac¸o˜es da companhia ABC subiram 40% ao longo da segunda feira e cairam 20% na terc¸a feira. a) Apo´s estes movimentos, qual foi o percentual de aumento do valor da ac¸a˜o em relac¸a˜o ao seu valor anterior a` alta de segunda-feira? b) Qual deve ser a variac¸a˜o percentual na quarta feira para que a ac¸a˜o volte a ter o valor que tinha antes da alta da segunda (isto e´, ela deve cair ou subir quantos porcento)? Soluc¸a˜o: a) Vamos chamar de V o valor inicial da ac¸a˜o. Apo´s a alta da segunda ela passa a valer 1, 4V e, apo´s a queda da terc¸a, passa a 0, 8× 1, 4V = 1, 12V . Logo apo´s esta movimentac¸a˜o ela passou a valer 12% a mais que seu valor inicial. b) Para que o valor volte ao valor inicial, temos que multiplicar 1, 12V por x tal que x× 1, 12V = V . Logo, x = 1/1, 12 que e´ aproximadamente 0,9. Multiplicar o valor por 0,9 equivale a uma queda da ac¸a˜o em 10%. Logo, e´ preciso que a ac¸a˜o caia aproximadamente 10% para voltar a seu valor original. Questa˜o 5 (3 pontos). Simplifique as expresso˜es a seguir, considerando que em cada item, todos os denominadores sa˜o na˜o-nulos e a e b sa˜o reais positivos: 3 a) x4 + y4 − 2x2y2 x2 + 2xy + y2 + 2xy b) (a2b4)1/2 (27b3a6)1/3 c) 2a1/2 b2/3 × b a−2/3 Soluc¸a˜o: a) x4 + y4 − 2x2y2 x2 + 2xy + y2 + 2xy = (x2 − y2)2 (x+ y)2 + 2xy = [(x− y)(x+ y)]2 (x+ y)2 + 2xy = = (x− y)2 + 2xy = x2 + y2 − 2xy + 2xy = x2 + y2 b) (a2b4)1/2 (27b3a6)1/3 = ab2 3ba2 = b 3a c) 2a1/2 b2/3 × b a−2/3 = 2a1/2+2/3 × b1−2/3 = 2a7/6b1/3 = 2 6 √ a7 3 √ b 4
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