Matemática Básica

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Apostila de Matemática Básica 
Esta apostila tem por finalidade auxiliar os 
alunos matriculados na disciplina 
“Matemática Básica – Nivelamento” do Curso 
de Licenciatura em Matemática do Campus 
Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos 
os principais conceitos matemáticos em nível 
básico, sendo requisitos necessários para a 
compreensão de conteúdos que serão 
abordados em outras disciplinas do curso. 
Nela, as definições matemáticas aparecem 
de forma clara e objetiva, além de apresentar 
exemplos e vários exercícios para a fixação 
dos conceitos. 
 
Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Aula 1 ............................................................ 2 
Exercícios Aula 1 ......................................... 6 
Links videoaulas : Aula 1................................ 9 
Aula 2 ............................................................ 12 
Exercícios Aula 2 ......................................... 15 
Links videoaulas : Aula 2................................ 18 
Aula 3 ............................................................ 19 
Exercícios Aula 3 ......................................... 27 
Links videoaulas : Aula 3................................ 30 
Aula 4 ............................................................ 33 
Exercícios Aula 4 ......................................... 36 
Links videoaulas : Aula 4............................... 36 
Aula 5 ............................................................ 37 
Exercícios Aula 5 ......................................... 41 
Links videoaulas : Aula 5................................ 43 
Aula 6 .................................................... 44 
Exercícios Aula 6 ................................. 46 
Links videoaulas : Aula 6........................ 49 
Aula 7 .................................................... 50 
Exercícios Aula 7 ................................. 52 
Links videoaulas : Aula 7........................ 54 
Aula 8 ..................................................... 55 
Exercícios Aula 8 ................................. 57 
Links videoaulas : Aula 8......................... 60 
Aula 9 .................................................... 61 
Exercícios Aula 9 .................................. 64 
Links videoaulas : Aula 9........................ 66 
Aula 10 .................................................. 68 
Exercícios Aula 10................................... 69 
Links videoaulas : Aula 10....................... 71 
Aula 11 ................................................... 72 
Exercícios Aula 11 ................................ 74 
Links videoaulas : Aula 11...................... 77 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
AULA 1 
 
 
Conjuntos Numéricos 
1. Conjunto dos Números Naturais 
Os números naturais são usados para 
indicar uma contagem, uma ordem ou um 
código. A sequência dos números naturais 
é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa 
esta sequência de números é denotado por: 
 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, } 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
 Com o passar dos tempos os números 
naturais tornaram-se insuficientes para a 
resolução de todos os problemas 
matemáticos e, na busca de suprir essas 
necessidades, foi criado o conjunto dos 
números inteiros, que é composto pelos 
números naturais (inteiros positivos e o zero) 
e os números inteiros negativos. 
O conjunto dos números naturais é denotado 
por: 
 = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } 
Podemos representar os números inteiros em 
uma reta numérica. Veja: 
 
Módulo, ou valor absoluto de um número 
inteiro 
 Podemos determinar na reta numérica, a 
distância de qualquer ponto em relação à 
origem (representada pelo zero). 
Assim, a distância entre qualquer ponto e a 
origem da reta numérica é chamanda de 
valor absoluto ou módulo de um número 
associado a esse ponto. 
Por exemplo: o valor absoluto do número +4 
é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4). 
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a 
distância do ponto -3 à origem é 3) 
Notação de módulo: |-a| = a 
 
Conjunto dos Números Racionais 
 Os números racionais são todos os 
números que podem ser colocados na forma 
de fração, com o numerador e 
denominador , ou seja, o conjunto 
dos números racionais é a união do 
conjunto dos números inteiros com as 
frações positivas e negativas. 
Pode ser representado por: 
 = {x | x = } 
Exemplos: , , 
 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
 Os números irracionais são decimais 
infinitas não periódicas, ou seja, são números 
que não podem ser escrito na forma de 
fração. 
Exemplos: Os números abaixo têm uma 
representação decimal não periódica com 
infinitas ordens decimais. 
 = 1,41421356 
 = 1,73205080 
 = 3,14155926 
3 
 
Conjunto dos Números Reais 
 O conjunto dos números reais é a união 
entre o conjunto dos números racionais com 
o conjunto dos números irracionais. 
Pode ser representado por: 
 = = {x | x é racional ou irracional} 
Diagrama geral 
 
De onde temos: 
 e 
 
Resumo das notações utilizadas para os 
conjuntos numéricos 
conjunto dos números naturais: 
 
 
conjunto dos números naturais com exceção 
do zero: 
 
conjunto dos números inteiros: 
 
 
conjunto dos números inteiros não nulos: 
 
 
conjunto dos números inteiros não negativos: 
 
 
 
conjunto dos números inteiros positivos: 
 
 
conjunto dos números inteiros não positivos: 
 
conjunto dos números inteiros negativos: 
 
 
conjunto dos números racionais: 
 
 
conjunto dos números racionais não nulos: 
 
 
conjunto dos números racionais não 
negativos: 
 
 
conjunto dos números racionais positivos: 
 
 
 
conjunto dos números racionais não 
positivos: 
 
 
conjunto dos números racionais negativos: 
 
 
conjunto dos números reais: 
 
 
conjunto dos números reais não nulos: 
 
 
conjunto dos números reais não negativos: 
 
 
 
conjunto dos números reais positivos: 
 
 
 
conjunto dos números reais não positivos: 
 
 
 
conjunto dos números reais negativos: 
 
 
Intervalos reais 
São subconjuntos definidos por 
desigualdades. Para observarmos os 
diferentes tipos de intervalos reais, 
consideramos os números reais a e b, tal que 
a < b. 
4 
 
 Intervalo fechado: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo aberto: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à 
direita: 
 ou 
 
 
a b 
 
 Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à 
direita: 
 ou 
 
 
 a 
 
 Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à 
direita: 
 ou 
 
 
 a 
 
 Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à 
direita: 
 ou 
 
 
a 
 
 Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à 
direita: 
 ou 
 
 
a 
 
 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
Estudaremos agora, as quatro operações 
possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a matemática é 
construída a partir dessas operações: adição, 
subtração, multiplicação e divisão. 
 
Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental na 
matemática é a adição. Onde estaoperação 
esta ligada a ideia de juntar, acrescentar 
algo. 
Exemplo: 
 
Propriedades da Adição 
 Fechamento: A adição no conjunto dos 
números naturais é fechada, pois a soma 
de dois números naturais resulta em um 
número natural. 
a + b = c, onde a, b, c 
Exemplo: 19 + 3 = 22 
 
 Associativa: A adição no conjunto dos 
números naturais é associativa, pois na 
adição de três ou mais parcelas de 
números naturais quaisquer, é possível 
5 
 
associar de quaisquer modos, conforme 
ilustrado a seguir. 
(a + b) + c = a + (b + c) 
 
Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1) 
 
 Elemento Neutro: No conjunto dos 
números naturais, existe o elemento 
neutro que é o zero, pois tomando um 
número natural qualquer e somando com 
o elemento neutro (zero), o resultado 
será o próprio número natural. Assim, 
a + 0 = a 
Exemplo: 5 + 0 = 5 
 
 Comutativa: No conjunto dos números 
naturais, a adição é comutativa, pois a 
ordem das parcelas não altera a soma. 
Assim: 
a + b = b + a 
 
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6 
 
Subtração de Números Naturais 
A subtração é o ato ou efeito de subtrair 
algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma 
coisa. O resultado obtido através dessa 
operação e denominado diferença. 
Exemplo: 
 
Diante da operação de subtração, são 
retiradas algumas propriedades. 
 O conjunto não é fechado em relação à 
operação de subtração, pois 4 – 5 não 
pertence a . 
 O conjunto não possui elemento 
neutro, em relação à operação de 
subtração: 
6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6 
Logo: 0 – 6 6 – 0 
 A subtração no conjunto não admite a 
propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 - 
4. 
 A subtração no conjunto não aceita a 
propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 
 10 – (4 -2) 
 
Multiplicação de Números Naturais 
 É a operação que tem por finalidade 
adicionar o primeiro número denominado 
multiplicador ou parcela, tantas vezes 
quantas são as unidades do segundo número 
denominado multiplicador. 
 Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 
quatro vezes: 
 
 O resultado da multiplicação é 
denominado produto e os números dados 
que geram o produto, são chamados fatores. 
Usamos x ou •, para representar a 
multiplicação. 
 
Propriedades da Multiplicação 
 Fechamento: A multiplicação é fechada 
no conjunto dos números naturais , pois 
realizando o produto de dois ou mais 
números naturais, o resultado estará em 
. 
6 
 
 
 Associativa: Na multiplicação, podemos 
associar 3 ou mais fatores de modos 
diferentes. Assim, 
(a b) c = a (b c) 
 
Por exemplo: 
(3 4) 5 = 3 (4 5) = 60 
 
 Elemento Neutro: No conjunto dos 
números naturais existe um elemento 
neutro para a multiplicação que é 1. 
Qualquer que seja o número natural n, 
tem-se que: 1 n = n 1 = n 
 
Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7 
 
 Comutativa: Quando multiplicamos dois 
números naturais quaisquer, a ordem dos 
fatores não altera o produto, Assim, 
a b = b a 
 
Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12 
 
 Distributiva: Multiplicando um número 
natural pela soma de dois números 
naturais, é o mesmo que multiplicar o 
fator, por cada uma das parcelas e a 
seguir adicionar as resultados obtidos. 
Assim, 
a (p + q) = a p + a q 
Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48 
 
Divisão de Números Naturais 
 Dados dois números naturais, às vezes 
necessitamos saber quantas vezes o 
segundo está contido no primeiro. O primeiro 
número que é o maior é denominado 
dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado 
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo 
quociente obteremos o dividendo. 
 
No conjunto dos números naturais, a divisão 
não é fechada, pois nem sempre é possível 
obter um número natural como resultado na 
divisão de outros dois números naturais. 
 
 Por exemplo: 8 3 = 2,66 Logo 2,66 não 
pertence ao conjunto . 
 Relação essencial numa divisão de 
números naturais 
1. Em uma divisão exata de números 
naturais, o divisor deve ser menor que o 
dividendo. 
Por exemplo: 35 : 7 = 5 
 
2. Em uma divisão exata de números 
naturais, o dividendo é produto do divisor 
pelo quociente. 
Por exemplo: 35 = 5 x 7 
 
3. A divisão de um número natural n por 
zero não é possível pois, se 
admitíssemos que o quociente fosse q, 
então poderíamos escrever: 
n 0 = q 
e isso significaria que: n = 0 x q = 0 
o que não é correto! Assim, a divisão de n 
por 0 não tem sentido ou ainda é dita 
impossível. 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 1 
 
 
 
01) Pensei em dois números pares cuja soma 
é 184. Um deles é o dobro do outro mais 
4 unidades. Em que números pensei? 
 
7 
 
02) A diferença entre dois números é 103. 
Quais podem ser esses números? (tente 
encontrar pelo menos 5) 
 
03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se 
vender 484 delas para seu compadre, 
ambos ficarão com a mesma quantidade 
de vacas. Quantas vacas o compadre 
possui? 
 
04) Responda: Quantas unidades há em 43 
dúzias de bananas? Quantos dias há em 
50 meses? (considere um mês com 30 
dias) 
 
05) Em um trem com 8 vagões de 
passageiros, cada vagão tem 28 
poltronas de dois lugares cada uma. 
Além disso, permite-se que, em cada 
vagão, até 20 pessoas possam viajar em 
pé. Qual é a lotação máxima permitida 
nesse trem? 
 
06) Compare e escreva igualdades aplicando 
a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição (ou à 
subtração): 
a) 6.(10 + 5) = 
b) 4.(8 – 7 ) = 
c) 5.(a + 8) = 
d) 3.4 + 3. 7 = 
 
07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas 
completas de picolés e 8 picolés avulsos. 
Cada caixa completa contém uma dúzia 
de picolés. 
a) Quantos picolés ele vendeu nessa 
semana? 
b) Se sua cota semanal de vendas é de 
80 caixas completas, quantos picolés 
faltam para ele atingi-la? 
 
08) Marcos pensou em um número e, em 
seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi 
exata e o quociente foi 15. Em qual 
número ele pensou? 
 
09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é 
7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo. 
 
10) Uma loja de produtos de limpeza possui 
em seu estoque 130 caixas de 
detergente. Cada caixa contém duas 
dúzias de frascos. Um cliente fez uma 
encomenda de 1200 frascos. Quantas 
caixas restaram no estoque dessa loja? 
 
11) Célia e Maria colecionam papéis de carta. 
Célia tem o triplo da quantidade de 
papéis de Maria. As duas juntas possuem 
244 papéis de carta. Quanto tem cada 
uma? 
 
12) Três amigos brincavam de adivinhar 
quantas figurinhas havia na coleção de 
Anne. Seus palpites foram 294, 363 e 
356. Um deles errou por 33 figurinhas, 
outro errou por 36 e outro por 29, 
quantas figurinhas Anne tem? 
a) 323 b) 261 c) 352 d) 327 
e) 341 
 
13) A professora Daniela deseja presentear 
os 22 alunos da sua classe com lápis e 
canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32 
canetas. Sabendo que nenhum aluno 
ficou sem receber presentes e que todos 
os presentes foram distribuídos, o que 
podemos afirmar com certeza? 
(a) Algum aluno ficou sem lápis. 
(b) Todos os alunos receberam pelo 
menos duas canetas. 
(c) Algum aluno recebeu mais de três 
itens. 
(d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis. 
(e) todos receberam o mesmo número 
de itens. 
 
14) Uma cidade ainda não tem iluminação 
elétrica, portanto, nas casas usam-se 
velas à noite. Na casa da Joana, usa-se 
uma vela por noite, sem queimá-la 
totalmente, e com quatro desses tocos 
de velas, Joana fabrica uma nova vela. 
Durante quantas noites Joana poderá 
iluminarsua casa dispondo de 39 velas? 
 (a) 10 (b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50 
15) Responda: 
a) Qual é o menor número natural? 
b) Existe o maior número natural? 
c) Quantos números naturais existem? É 
possível responder? 
 
16) Responda: 
a) Existe o menor número inteiro? 
8 
 
b) Quais os números naturais entre -3 e 5? 
c) Quais os números inteiros entre -5 e 5? 
 
17) Pedro pensou em um número inteiro. 
Multiplicou o valor absoluto por 10 e 
obteve 250. Em que número Pedro 
pensou? 
 
18) O antecessor de -100 é: 
a) 99 
b) 101 
c) -99 
 
19) Complete usando ou um número: 
a) -20 ___ ; b) 67 ___ ; c) -22 ___ 
 
20) O que ocorre com os módulos de dois 
números opostos ou simétricos? 
 
21) Responda: 
a) Qual é o valor de –(-35)? 
b) Qual é o oposto do oposto de -86? 
 
22) Qual é o valor destas expressões? 
a) |+27| + |+35| = 
b) |-81| + |-35| = 
c) |-13| - |-15| = 
d) |-21| - |+35| = 
 
23) As letras m e n representam números 
inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então: 
a) Qual é o valor de m? E o valor de n? 
b) Qual é o valor da expressão m – n? 
 
24) Responda: 
a) Que número está mais distante da 
origem: -900 ou -1000? 
b) Que número está mais próximo da 
origem: -60 ou 200? Qual deles é o 
maior? 
 
25) Calcule: 
a) (+12) + (-8) = 
b) (-25) + (-3) = 
c) (+ 34) – (-56) = 
d) (-320) – (-320) = 
e) (+2) . (-3) = 
f) (-4) . (-3) = 
 
26) As letras a, b, x e y represntam números 
naturais. 
a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o 
valor de 2.(x.y)? 
b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o 
valor de 7.(a + b)? 
c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é 
o valor de 6.(x – y)? 
 
27) O produto de dois números é 40. 
a) Multiplicando-se um dos fatores por 3, 
qual será o novo produto? 
b) Multiplicando-se os dois fatores por 3, 
qual será o novo produto? 
c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o 
outro por 5, qual será o novo produto? 
28) A soma de dois números é 80. 
Multiplicando-se cada um desses 
números por 6, qual será a nova soma? 
29) Considere que as letras a e b 
representam números naturais e que a + 
b = 45 Responda: 
a) Qual é o valor de (a + b) + 100? 
b) Qual é o valor de (a + b) - 100? 
 
30) Quatro números naturais são 
consecutivos. Um deles é 99. Nessa 
situação podemos afirmar que a soma 
desses números: 
a) Pode ser maior que 400. 
b) É sempre maior que 400 
c) É sempre menor que 400. 
d) Nenhuma das anteriores é verdadeira. 
 
31) Nesta figura, as letras x, y e z 
representam números naturais. Podemos 
afirmar que: 
 
 
 y 402 x 1000 z 
 
a) x, y e z são escritos com 4 algarismos. 
b) y< x < 1000 
c) x < y < z 
d) x + y + 402 = z 
 
32) Luis tem uma coleção de bolinhas de 
gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas 
novas de seu primo e ficou com 150. 
9 
 
Desse modo, podemos afirmar que, antes 
de ganhar esse presente de seu primo, 
Luís tinha: 
a) 124 bolinhas 
b) 125 bolinhas 
c) 174 bolinhas 
 
33) As letras a e b representam números 
naturais e a+b=500. Então, podemos 
afirmar que (a + b) 20 é igual a: 
a) 5000 20; b) 25; c) 2500; d) 250 
 
34) Represente cada conjunto escrevendo 
seus elementos entre chaves. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
35) Represente geometricamente: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
36) Escreva o intervalo correspondente a 
cada representação geométrica: 
a) 
 
 -3 4 
 
b) 
 
 10 
 
c) 
 
 2 11 
 
d) 
 
 -15 0 
 
e) 
 
 -23 -5 
 
 
 
Gabarito: 
1) 60 e 124 
2) 176 e 73; 183 e 80, etc 
3) 426 vacas 
4) 516; 1500 dias 
5) 608 pessoas 
6) – 
7) 788; 172 
8) 120 
9) 817 
10) 80 caixas 
11) Célia: 183 e Maria:61 
12) 327 
13) c 
14) 48 
15) a) 0; b) não; c) infinitos; não 
16) a) não; b) 0,1,2,3,4,5; c) -5,-4,...,5 
17) -25 ou 25 
18) -99 
19) a) ; b) ; c) 
20) são iguais 
21) a) 35; b) -86; 
22) a) 62; b) 116; c) -2; d) -14 
23) a) 49;66 b) -17 
24) a) -1000 e b) -60;200 
25) a) 4; b) -28; c) 90; d) 0; e) -6; d) 12 
26) a) 60; b) 70; c) 300 
27) a) 120; b) 360; c) 400 
28) 480 
29) a)145; b) 
30) a 
31) b 
32) c 
33) b 
34) –; 35) – 
36)a) [3,4], b) ]- ,10]; c) ]2,11]; d) ]-15, 
0[;e) [-23, -5[; 
 
Links videoaulas: aula 1 
Videoaula 1 – Conjuntos Numéricos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/conjuntos-numericos 
10 
 
 
Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/conjuntos-numericos-1 
 
Videoaula 3 – Adição Básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-basica 
 
Videoaula 4 – Adição nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-nivel-2-video-1 
Videoaula 5 – Soma nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-2-video-21 
 
Videoaula 6 – Soma nível 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-31 
 
Videoaula 7 – Soma nível 4 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/soma-nivel-41 
 
Videoaula 8 – Somando números negativos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-negativos 
 
Videoaula 9 – subtração, método alternativo 
mental 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-metodo-alternativo-mental 
 
Videoaula 10 – subtração Básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-basica 
 
Videoaula 11 – subtração nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-2 
 
Videoaula 12 – subtração nível 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-31 
 
Videoaula 13 – subtração nível 4 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtracao-nivel-41 
 
Videoaula 14 – Método de multiplicação por 
grades 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/metodo-de-multiplicacao-por-grades1 
 
Videoaula 15 – Multiplicação Básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-basica1 
 
Videoaula 16 – Multiplicação nível 2 - 
tabuadas 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-2-tabuadas 
 
Videoaula 17 – Multiplicação nível 3 – 
tabuadas 10, 11 e 12 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-3-tabuadas-do-10-
11-e-121 
 
Videoaula 18 – Multiplicação nível 4 – dois 
dígitos vezes um digito 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-4-dois-digitos-vezes-
um-digito1 
 
Videoaula 19 – Multiplicação nível 5 – dois 
dígitos vezes dois dígitos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-5-dois-digitos-vezes-
dois-digitos1 
 
Videoaula 20 – Multiplicação nível 6 – 
múltiplos dígitos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-6-multiplos-digitos1 
 
Videoaula 21 – Multiplicação nível 7 – mais 
exemplos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-7-mais-exemplos1 
 
Videoaula 22 – multiplicação (porque 
negativo vezes negativo da positivo) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/por-que-negativo-vezes-negativo-da-
positivo 
 
Videoaula 23 – divisão básica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-basica1 
 
Videoaula 24 – divisão entre números 
racionais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-de-numeros-racionais 
 
 Videoaula 25 – divisão nível 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-21 
 
Videoaula 26– divisão nível 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-31 
 
11 
 
Videoaula 27 – divisão nível 4 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-nivel-41 
 
Videoaula 28 – divisão parcial de quociente 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisao-parcial-de-quociente 
 
Videoaula 29 – propriedade inversa da 
adição 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-inversa-da-adicao 
 
Videoaula 30 – propriedade inversa da 
multiplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-inversa-da-multiplicacao 
 
Videoaula 31 – propriedade do 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-numero-1 
 
Videoaula 32 – propriedade do 1 – segundo 
exemplo 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-numero-1-segundo-
exemplo 
 
Videoaula 33 – propriedade associativa da 
adição 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-associativa-da-adicao 
 
Videoaula 34 – propriedade associativa da 
multiplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-associativa-da-
multiplicacao 
 
Videoaula 35 – propriedade comutativa da 
adição 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-comutativa-da-adicao 
 
Videoaula 36 – propriedade comutativa da 
multiplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-comutativa-da-
multiplicacao 
 
Videoaula 37 – a propriedade distributiva 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/a-propriedade-distributiva 
 
Videoaula 38 – propriedade distributiva – 
exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-distributiva-exemplo-1 
 
Videoaula 39 – propriedade do zero 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedade-do-zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Aula 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Para calcular corretamente qualquer 
expressão numérica, é necessário obedecer 
algumas prioridades. Então, devemos ter em 
mente que devemos fazer os cálculos na 
seguinte ordem: 
1. parênteses( ), colchetes [ ] e chaves{ } 
 
2. potência e raiz 
 
3. multiplicação e divisão 
 
4. soma e subtração 
 
Obs.: 
i) Sinais nas operações de multiplicação e 
divisão de números reais: 
x + - 
+ + - 
- - + 
 
ii) Na soma e subtração entre números reais 
prevalece o sinal do maior. 
 
 Exemplos: 
a) 15 + (-4) 3 – 10 = 
=15 – 12 – 10 = 
=-7 
 
b) 5² + – [ 20 : (-4) + 3] = 
=25 + 3 – [(-5) + 3] = 
=25 + 3 – [-2] = 
=25 + 3 + 2 = 
=30 
 
c) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 
=2 + {3 – [1 + 1] +8} = 
=2 + {3 – 2 + 8} = 
=2 + 9 = 
=11 
 
d) 36 + 2{25 + [18 – (5 – 2)3]} = 
=36 + 2{25 + [18 – (3)3]} = 
=36 +2{25 + [18 – 9]} = 
=36 +2{25 + 9} = 
=36 + 2 34 = 
=36 + 68 = 
=104 
 
e) [(5² - 6 2²)3 + (13 – 7)² : 3] :5 = 
=[(25 – 6 4)3 + 6² : 3] :5 = 
=[(25 – 24)3 + 36 :3] :5 = 
=[1 3 + 12] :5 = 
=[3 + 12] : 5 = 
=15 : 5 = 3 
 
 
Introdução à aritmética dos Números 
 
Números Primos 
Chamamos de número primo qualquer 
número natural n>1 que tenha apenas dois 
divisores diferentes: 1 e ele próprio. 
Os números que têm mais de dois 
divisores são chamados de números 
compostos. 
Exemplos: 
a) 23 é um número primo. Seus únicos 
divisores são: 1 e 23. 
b) 42 é um número composto. Além de ser 
divisível por 1 e 42, é também divisível por 2, 
3, 6, 7, 14 e 21. 
 
Reconhecendo números primos 
Crivo de Eratóstenes 
O Crivo de Eratóstenes foi um dos primeiros 
métodos conhecidos para se encontrar 
números primos, que consiste em organizar 
os números inteiros positivos a partir do 
número 2, em ordem crescente, numa tabela 
composta por números de 2 a n, e remover 
os múltiplos de cada primo determinado. 
13 
 
Logo, aparecerão nessa sequência números 
que não serão múltiplos dos anteriores e, 
portanto, não serão removidos da tabela. 
Estes números serão os números primos 
procurados. 
Inicialmente, colocamos na tabela, uma 
sequência de inteiros positivos numerados de 
2 a 100 conforme segue: 
 
Aplica-se o conceito de número primo para o 
inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número 
2 é um número primo, marca-se na tabela 
todos os números que sejam múltiplos de 2; 
 O primeiro número da sequência que 
aparecer sem estar marcado será um 
número primo, que neste caso, é o número 3. 
Em seguida, marca-se todos os números que 
sejam múltiplos de 3; 
 O próximo número que aparecer sem estar 
marcado, que neste caso, é o número 5, será 
o nosso terceiro número primo da sequência 
numérica da tabela. 
Seguindo este raciocínio um número finito de 
vezes, é possível ao final determinar todos os 
números primos p compreendidos entre 2 e 
100 da tabela acima. 
Obs: é possível ainda, criar uma sequência 
de números primos acima de 100 a partir do 
crivo de Eratóstenes. 
Além disso, para saber se um número é 
primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo: 
1º) Dado um número natural n, calcule . 
Se a raiz for exata, significa que temos um 
número quadrado perfeito e, portanto 
composto. Se a raiz quadrada não for exata, 
pegue somente a parte inteira do número 
obtido. 
2º) Divida n por todos os naturais maiores do 
que 1 até chegar ao número obtido a partir 
do calculo da raiz quadrada de n. 
3º) Se n não for divisível por nenhum dos 
números da sequência iniciada em 2 e 
terminada no maior número inteiro menor do 
que , dizemos que este número n é primo. 
Caso exista algum divisor nessa sequência, 
então n será composto. 
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo. 
1º) 
2º) Seja 34 o maior natural menor do que 
 
3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34 
temos que 3 é um divisor de 1167. 
Portanto,1167 não é um número primo, pois 
389 x 3 = 1167 
 
Decomposição em fatores primos 
 Um número composto pode ser 
decomposto em fatores primos. sendo 
utilizado o método das divisões sucessivas. 
 Exemplo: 
 
14 
 
 
630 = 2 x x 5 x 7 
Números primos entre si 
 Dois números são denominados primos 
entre si, quando o único divisor comum entre 
os dois é o número 1. 
 Exemplo: Determine os divisores comuns 
de 15 e 16 
D(15) = {1, 3, 5, 15} 
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} 
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é 
1. 
Máximo divisor comum (m.d.c) 
O máximo divisor comum de dois ou mais 
números, na forma fatorada, é o maior divisor 
comum entre eles. 
 Cálculo do m.d.c. 
 Um dos modos de calcular o m.d.c de 
dois ou mais números consiste em utilizar 
a decomposição desses números em 
fatores primos. 
1º) Decompor os números em fatores primos; 
2º) Realizar o produto dos fatores primos 
comuns (os fatores primos comuns são 
considerados com o menor expoente). 
 
Exemplo: 
Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90: 
 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 36 = 
 90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 = 
O m.d.c é o produto dos fatores primos 
comuns com menor expoente (neste caso, os 
expoentes são iguais nos dois números, 
então, basta pegar o fator primo de qualquer 
um dos números) . Portanto, m.d.c (84,90) = 
2 x 3 = 6 
O m.d.c de dois ou mais números, quando 
fatorados, é o produto dos fatores comuns a 
eles, cada um elevado ao menor expoente. 
 Calculo dom.d.c pelo processo das 
divisões sucessivas. 
Neste processo efetuamos sucessivas 
divisões utilizando o algoritmo da divisão, até 
chegar a uma divisão exata. O último resto 
não nulo das sucessivas divisões será o 
m.d.c. procurado. 
Exemplo: Calcule m.d.c (48,30) 
1. Dividimos o número maior pelo número 
menor; 
48 30 = 1 (com resto 18) 
2. Realize uma nova divisão entre o divisor 
30 com o resto 18 obtido. 
Repita este processo até que o resto seja 
zero. 
 Assim: 
dividendo = quociente x divisor + resto 
48 = 1 x 30 + 18 
30 = 1 x 18 + 12 
18 = 1 x 12 + 6 
12 = 2 x 6 + 0 
 
3. O último resto não nulo obtido a partir das 
sucessivas divisões feitas acima 
corresponde ao número 6. Portanto, 
m.d.c (48,30) = 6 
 
 
Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais 
números naturais é o menor dos múltiplos 
comuns a eles, diferentes de zero. 
Ou ainda: 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais 
números escritos na forma fatorada, é o 
produto dos fatores comuns e não comuns 
desses números. Os fatores comuns são 
considerados com o maior expoente. 
 
15 
 
 
Cálculo do m.m.c 
Para calcular o m.m.c de dois ou mais 
números podemos usar: 
 Decomposição simultânea em fatores 
primos. 
 
 Exemplo: 
Calcular o m.m.c entre 18,25 e 30. 
 
m.m.c (18,25,30) = = 
 = 450 
 
 Decompondo cada número 
separadamente. 
1º) decompor em fatores primos cada 
número; 
2º) multiplicar os fatores primos comuns e 
não comuns e, entre os fatores comuns, 
escolher aquele que apresenta maior 
expoente. 
Exemplo: 
 
 
18 = 2 x 32 
30 = 2 x 3 x 5 
25 = 52 
 
Então, mmc (18,25,30) = 2 x 32 x 52= 450 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 2 
 
 
01) Três crianças com idades acima de um 
ano estão brincando em um pátio. Sabe-se 
que o produto das idades delas é igual a 105. 
Qual é a idade da mais velha? Justifique sua 
resposta. 
 
02) Dentre os números abaixo, existe um que 
é o resultado da multiplicação do número 
quatro com certo número primo. Qual é este 
número? 
a) 252 b) 84 c) 200 d) 204 e) 124 
 
03) O professor de Matemática disse que 
tinha uma certa quantidade de dinheiro que 
era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que 
essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela 
não for nula, qual é o seu menor valor? 
 
04) Em uma mercearia o proprietário deseja 
estocar 72 garrafas de água, 48 de suco e 36 
de mel em caixas com o maior número 
possível de garrafas, sem misturá-las e sem 
que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a 
quantidade de garrafas por caixa? 
 
05) Pense em um número natural e em seu 
dobro. Diga qual é o mmc dos dois e dê um 
exemplo. 
 
06) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) 
cada uma das seguintes afirmações: 
a) Todos os números pares são múltiplos de 
dois. 
b) Qualquer número é divisor de si próprio. 
c) Todos os múltiplos de três são números 
ímpares. 
d) O número um é múltiplo de todos os 
números naturais. 
e) O conjunto dos múltiplos de sete, é um 
conjunto infinito. 
f) Um é divisor de qualquer número 
g) Qualquer número é múltiplo de si próprio 
 
16 
 
07) Paulo está doente. O médico receitou-lhe 
um comprimido de 6 em 6 horas e uma 
colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai 
deu-lhe um comprimido e uma colher de 
xarope à zero hora (meia noite). Qual é o 
primeiro horário em que Paulo voltará a 
tomar comprimido e xarope ao mesmo 
tempo? 
 
08) Uma escada tem 30 degraus. Rubinho 
está subindo essa escada de 3 em 3 degraus 
e Felício de 2 em 2 degraus. Responda: 
a) Algum deles vai pisar no 15º degrau? 
b) Algum deles vai pisar no 23º degrau? 
c) Algum deles vai pisar no 18º degrau? 
d) Em quais degraus os dois irão pisar 
juntos? 
 
09) Daniel escreveu a lista, em ordem 
crescente, de todos os números inteiros de 1 
a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o 
algarismo 7. Os três primeiro números da 
lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui 
essa lista? 
a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32 
 
10) De que forma explícita podemos escrever 
o conjunto de todos os múltiplos de um 
número natural n? 
 
11) Quantos elementos possui e como é 
escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 
0? 
 
12) Para obter os divisores de um número 
natural a, basta saber quais os elementos 
que, multiplicados entre si, têm por resultado 
o número a. Com base nessa afirmação, 
obtenha o conjunto de divisores de cada um 
dos números: 13, 18, 25, 32 e 60. 
 
13) Conhecendo um método para identificar 
os números primos, verifique quais dos 
seguintes números são primos: 
a) 49; b) 37; c) 12; d) 11 
 
14) Qual é o menor número primo com dois 
algarismos? 
 
15) Qual é o menor número primo com dois 
algarismos diferentes? 
 
16) Exiba todos os números primos 
existentes entre 10 e 20? 
 
17) Decompondo o número 192 em fatores 
primos encontramos: 
a) três fatores 2 
b) cinco fatores 2 
c) seis fatores 2 
d) dois fatores 3 
e) um fator 3 
 
18) Usando a decomposição em fatores 
primos calcule: 
a) mdc ( 28, 70 ) 
b) mmc ( 49, 15 ) 
c) mmc ( 32, 56 ) 
d) mmc ( 48, 72 ) 
e) mmc ( 28, 70 ) 
f) mmc ( 12, 14, 16 ) 
g) mdc ( 60, 46 ) 
h) mdc ( 64, 80, 52 ) 
 
19) Indique, dentre estas opções, aquela que 
apresenta todas as informações corretas: 
a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9; 
b) 2, 3 e 7 são divisores de 7; 
c) 2,3 e 6 são divisores de 12; 
d) 12 é múltiplo de 24 e 39. 
 
20) Determine apenas o sinal de cada 
produto: 
a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3) 
b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5) 
c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125) 
 
21) Qual é o quociente da divisão de -204 
pelo oposto de -12? 
22) Observe este produto: (+14).(-65) = -910 
a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)? 
b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)? 
 
 
23) Calcule mentalmente e anote o resultado: 
a) (-18) (+6) = 
b) (-35) (-5) = 
c) (+70) (+7) = 
d) (-49) (+7) = 
 
24) Decomponha -60 em um produto de dois 
números inteiros. Apresente no mínimo três 
respostas diferentes. 
 
25) O produto de dois números inteiros é 
900. Um deles é -25, qual é o outro? 
 
26) Calcule o quociente do oposto do oposto 
de -768 por -16. 
 
17 
 
27) A letra n representa um número inteiro. 
Descubra o valor de n nesta igualdade: n + 
(- 25) = - 8 
 
28) O dobro de um número inteiro é igual a 
-150. Descubra que número é esse. 
 
29) Resolva as expressões numéricas: 
 
a) (12 + 37) 5 = 
b) 5 + 2 4 – 9 : 3 = 
c) 507 – (123 : 3) = 
d) [100 + (6² - 23) 7] = 
e) 80 – 5(57 – 18) : (9 + 4)7 = 
f) {[ + (50 : 5) – (- 3)] + 45} = 
g) 91 + 5823 : 647 = 
h) 6(10000 + 100 + 1) – 6(3 7 13 
37) = 
i) [(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 = 
j) 25 + {3³ : 9 + [3² 5 – 3(2³ - 5)]} 
k) (-2)³ + (-3)² - 25 = 
l) 24 6 + {[89 – 30 7] (5 + 8) 6}= 
m) [30 (9 – 6)] + [30 : (9 + 6)]= 
n) 5(8 + 15 – 7 + 23 +3) = 
o) {20 + [12 + 3(6 – 2) – 8] 7} = 
p) 3(5 +3) – [(12 + 4²) : 2] = 
 
30) Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é 
diferente de zero. De acordo com essas 
informações, responda. 
a) Qual o resto da divisão de 100 por 9? 
b) 100 é múltiplo de 9? 
c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e 
após 100? 
 
31) Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero 
termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo 
número de páginas em cada dia. Quantas 
páginas lerei por dia? 
 
32) Uma quitanda recebeu uma remessa de 
25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10 
dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos 
cada uma podem ser formadas com essa 
quantidade? 
 
 
33) Ao final de um dia de trabalho de três 
garçons, um deles contou 24 reais de 
gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro 
recebeu 39 reais. Comoeles sempre 
dividem a gorjeta por igual, quantos reais 
cada um recebeu nesse dia? 
 
34) Resova: 
 
a) 2 + 3 x 5 : 4 – 3 = 
b) 30 . 2 + 5 – (12 : 3) + 5 . 4 = 
c) 4.(5 + 4 . 4) – 2.(8 – 3) . 12 : 4 = 
 
 
35) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso). 
a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4. 
b) ( ) 200 é múltiplo de 8. 
c) ( ) 169 = 13 x 13. 
d) ( )12 x 12 = 144. 
 
35) Resolva as expressões numéricas: 
 
a) (125 + 85) · 16 = 
b) 621 − (50 ÷ 5) = 
c) 5 + 3 · 2 − 6 ÷ 2 = 
d) (3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5) − 24 ÷ 3 ÷ 4 = 
e) (10 + 5) · 2 − (5 + 5) ÷ 2 = 
f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 = 
g) 2 · {[20 · (3 + 4) − 5 · (1 + 3)] − 3} = 
h) 1000 − [(2 · 4 − 6) + (2 + 6 · 4)] = 
i) [6+(9÷3)·(2+2+42)·170·(40÷8−3)]÷1−2 = 
j) 24 · 6 + {[89 − 30 · 7] · (5 + 8) · 6} = 
k) 2 · [−3 + (5 − 6)] = 
l) [−(−3) − 5 − (+1)] · [10 ÷ (−5)] = 
m) 60 + 2 · {[4 · (6 + 2) − 10] + 12} = 
n) [(4 + 16 · 2) · 5 − 10] · 100 = 
o) {10 + [5 · (4 + 2 · 5) − 8] · 2} − 100 = 
p) 80 − 5 · (28 − 6 · 4) + 6 − 3 · 4 = 
q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) = 
r) (10 · 6 + 12 · 4 + 5 · 8) − 40 = 
s) [6 · (3 · 4−2 · 5)−4]+3 · (4−2)−(10÷2) = 
t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} = 
u) [30 · (9 − 6)] + [30 ÷ (9 + 6)] = 
v) 58 − [20 − (3 · 4 − 2) ÷ 5] = 
w) 40 + 2 · [20 − (6 + 4 · 7) ÷ 2] = 
 
36) Escreva a expressão numérica associada 
às operações indicadas: 
a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o 
resultado por 2. 
b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por 
2. 
c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença 
por 3. 
d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5. 
 
 
37) Apresente uma expressão numérica que 
resolva o problema a seguir: 
18 
 
O Álbum de figurinhas de Giuliano contém 10 
folhas com espaço para 6 figurinhas, 12 
folhas para 4 figurinhas e 5 folhas para 8 
figurinhas. Se Giuliano já colou 40 figurinhas, 
quantas ainda faltam para completar o 
álbum? 
 
38) Numa divisão, o quociente é 12, o divisor 
vale 15 e o resto, o maior possível. 
a) Qual o resto? 
b) Qual o dividendo? 
39) Carlos dividiu 1000 por 12 e encontrou 
resto diferente de zero. De acordo com essa 
informação, responda. 
a) 1000 é múltiplo de 12? 
b) Qual é o resto da divisão de 1000 por 12? 
c) Qual o primeiro múltiplo de 12 após 1000? 
 
 
 
Links de videoaulas – aula 2: 
Videoaula 01 –introdução a ordem das 
operações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/introducao-a-ordem-das-operacoes 
 
Videoaula 02 –ordem das operações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordem-das-operacoes 
 
Videoaula 03 –ordem das operações 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordem-das-operacoes-1 
 
Videoaula 04 – exemplo mais complexo 
sobre a ordem das operações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-mais-complexo-sobre-ordem-
das-operacoes 
 
 
Videoaula 05 – números primos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/numeros-primos 
 
Videoaula 06 – o Teorema Fundamental da 
Aritmética 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/o-teorema-fundamental-da-aritmetica 
 
Videoaula 07 – reconhecendo números 
primos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/reconhecendo-numeros-primos 
 
Videoaula 08 – encontrando os divisores de 
um número 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontrando-os-divisores-de-um-
numero 
 
Videoaula 09 – divisores comuns - exercícios 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/divisores-comuns-exercicios 
 
Videoaula 10 – máximo divisor comum (mdc) 
www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/
maximo-divisor-comum-mdc 
 
Videoaula 11 – encontrando denominadores 
comuns 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/encontrando-denominadores-comuns 
 
Videoaula 12 – mínimo múltiplo comum 
(mmc) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/minimo-multiplo-comum1 
 
Videoaula 13 – testes de divisibilidade por 2, 
3, 4, 5,6,9 e 10 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/testes-de-divisibilidade-para-2-3-4-5-6-
9-10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
 
Representações Decimais 
Frações Decimais 
São frações em que o denominador é uma 
potência de 10. 
Exemplos: 
Toda fração decimal pode ser escrita na 
forma decimal (escrita numérica com 
vírgula) 
Para uma melhor compreensão vamos ver 
como funciona o nosso sistema de 
numeração. 
O sistema de numeração decimal é 
posicional, isto é, o valor do algarismo 
depende da posição que ele ocupa no 
numeral conforme segue. 
 .... Unidades de Milhar centena 
dezena Unidade .... 
 
Cada posição da esquerda para a direita 
corresponde a um grupo 10 vezes menor que 
o anterior. 
 Por exemplo: Numeral descrito com 
potências positivas de 10: 
 
Se prosseguirmos com o mesmo padrão, 
criando ordens à direita da unidade, teremos: 
 .... Unidades , Décimos Centésimos 
Milésimos .... 
 
Assim: 
 
 Registramos a décima parte da unidade 
como 0,1, que é a forma decimal de . 
 
 
 
 
 A centésima parte da unidade 
corresponde a 0,01: 
 
 
 
 
 A milésima parte da unidade corresponde 
a 0,001: 
 
 
 
 
Assim, se continuarmos uma casa a direita 
da casa das unidades, ela deve representar 
uma quantidade 10 vezes menor, ou seja, 
representar o “décimo”. 
 
Por exemplo: usamos as décimas partes da 
unidade, , que são 
potências negativas de 10, para representar 
as frações. 
 
Exemplo: 
 
Transformando uma fração decimal na 
forma decimal finita 
Coloca-se uma vírgula para 
separar a parte inteira da parte 
fracionária 
20 
 
 
 
A representação decimal de um número 
racional consiste em escrever o numerador e 
separar à direita da vírgula, tantas casas 
quantos são os zeros do denominador. 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
OBS: Quando a quantidade de algarismos do 
numerador não é suficiente para colocar a 
vírgula, acrescentamos zero à esquerda do 
número. 
Exemplos: 
a) 
b) 
 
Fique atento.... 
A fração pode ser escrita na forma mais 
simples, como: , onde 1 representa 
a parte inteira e 27 representa a parte 
decimal. 
 
Esta notação subentende que a fração 
pode se decomposta na seguinte forma: 
 
 
Transformando um número na forma 
decimal finita em uma fração decimal 
 
Para obter um número racional a partir de 
sua representação decimal basta escrever 
uma fração em que: 
• O numerador é o número decimal sem a 
vírgula. 
• O denominador é o número 1 seguido de 
tantos zeros quantos forem os algarismos do 
número decimal depois da vírgula. 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
OBS: O número de casas depois da vírgula é 
igual ao número de zeros do denominador. 
 
Propriedades: 
Zeros após o último algarismo 
significativo: Um número decimal não se 
altera quando se acrescenta ou se retira um 
ou mais zeros à direita do último algarismo 
não nulo de sua parte decimal. 
Exemplos: 
a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 
 
b) 1,002 = 1,0020 = 1,00200 
Multiplicação por uma potência de 10: 
Para multiplicar um número decimal por 10, 
por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula 
para a direita uma, duas, ou três casas 
decimais. 
Exemplos: 
a) 7,4 x 10 = 74 
 
b) 7,4 x 100 = 740 
 
c) 7,4 x 1000 = 7400 
 
Divisão por uma potência de 10: Para 
dividir um número decimal por 10, 100, 1000, 
21 
 
 
etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda 
uma, duas, três, ....casas decimais. 
Exemplos: 
a) 247,5 10 = 24,75 
 
b) 247,5 100 = 2,475 
 
c) 247,5 1000 = 0,2475 
 
Leitura dos números com representação 
decimal 
 
Exemplos: 
0,6 = seis décimos 
0,37 = trinta e sete centésimos 
0,189 = cento e oitenta e nove milésimos 
3,7 = três inteiros e sete décimos 
13,45 = treze inteiros e quarenta e cinco 
centésimos 
130,824 = cento e trinta inteiros e oitocentos 
e vinte e quatro milésimos 
 
Comparação entre números na forma 
decimal 
Para compararmos dois números escritos na 
forma decimal, primeiro comparamos as 
partes inteiras. O maior número será aquele 
que tiver a maior parte inteira. 
Exemplo: 2,12 >1,98 
Se as partes inteiras forem iguais, 
comparamos as ordens dos décimos. Se 
estas forem iguais, comparamos as ordens 
dos centésimos e assim por diante, até 
encontrarmos a ordem que seja ocupada por 
algarismos diferentes. O maior número será 
aquele que tiver o algarismo dessa ordem 
com maior valor. 
 
Exemplo: 1,34 <1,39 pois 
 
 
u d c 
1, 3 4 
1, 3 9 
 
 iguais iguais 9>4 
Obs: Para compararmos números racionais 
ou racionais na forma decimal que são 
negativos, basta compararmos os valores 
absolutos dos números. 
 
Valor absoluto ou módulo de um número é 
a distância do ponto que o representa até a 
origem. 
Exemplo: Determine o módulo de - 3. 
O módulo de -3 é 3, pois -3 está a 3 unidades 
de distância do ponto de abscissa zero. 
 
Notação: |-3| = 3 
Exemplo: Determine qual número é menor: 
 ? 
Como os números são negativos, 
comparamos os módulos. O número que 
possui maior módulo é o menor deles. 
Observe que: e . 
Assim, e e 
 > . Logo, . 
22 
 
Operações com números na forma 
decimal 
 
Adição de números na forma decimal 
Para adicionar números na forma decimal 
basta realizar os seguintes passos: 
 
- iguale o número de casas decimais dos 
números a serem somados, acrescentando 
zeros. Dessa forma, as vírgulas ficarão 
alinhadas; 
 
- depois some milésimos, centésimos, 
décimos, unidades e coloque todas as 
vírgulas alinhadas. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 0,3 + 0,81= 1,11 
 
 0,30 
 + 0,81 
 --------- 
 1,11 
 
b) 1,42 + 2,03 = 3,45 
 
 1,42 
 + 2,03 
 -------- 
 3,45 
 
c) 7,4 + 1,23 + 3,122= 11,752 
 
 7,400 
 + 1,230 
 3,122 
 ---------- 
 11,752 
 
Subtração de números na forma decimal 
A subtração de números na forma decimal é 
efetuada de maneira análoga a adição. 
 
Exemplos: 
 
a) 4,4 - 1,21=3,19 
 
 4,40 
 - 1,21 
 -------- 
 3,19 
 
b) 9,1 - 4,323=4,777 
 9,100 
 - 4,323 
 -------- 
 4,777 
 
Multiplicação de números na forma 
decimal 
Para compreender como a multiplicação 
entre números na forma decimal, vejamos 
um exemplo: 
Uma torneira despeja 13,4 litros de água por 
minuto em um tanque. Mantendo a mesma 
vazão, quantos litros de água essa torneira 
despejará em 17 minutos? 
Solução: Podemos resolver este problema de 
duas maneiras diferentes: 
1ª maneira: transformando os decimais em 
frações 
 
 
 
2ª maneira: multiplicando 13,4 por 10, 
calculando 17x134 e dividindo o resultado 
por 10. 
 
 
Em 17 minutos, a torneira despejará 227,8 
litros de água. 
 
23 
 
Exemplo: 4,21 x 2,1= 8,841 
 
Divisão de números na forma decimal 
Na divisão de números a forma decimal, o 
dividendo e o divisor devem ter o mesmo 
número de casas decimais. Devemos igualá-
las antes de começar a divisão. 
 
Por exemplo: Faça a divisão de 42,5 por 5. 
 
Para realizar a divisão entre esses números, 
temos 2 opções: 
 
1ª) transformar os números que estão na 
forma decimal em uma fração. 
 
 
 
 
 
Feito isso, basta dividir 425 por cinquenta. 
 
2ª) Utilizar o algoritmo da divisão. 
 
Neste caso, como 42,5 tem uma casa 
decimal e o divisor não tem nenhuma, 
igualamos as casas decimais escrevendo o 
divisor 5 como 5,0. 
 
Exemplos: 
 
a) 7,2 3,51 = 
 
 
Observe que o número de casas decimais é 
o mesmo, pois 7,2=7,20. Para efetuar a 
divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos 
os números e e dividi-los normalmente. 
 
b) 11,7 2,34 
 
 
 
O número de casas decimais é o mesmo, 
pois 11,7=11,70. Para efetuar a divisão, 
basta eliminar as vírgulas de ambos os 
números e dividi-los normalmente. 
 
c) 23 7 = 
 
 
Observe que após dividir 23 por 7, o resto 
desta divisão é 2. Assim, como 2 é menor do 
que 7, temos que adicionar um zero em 2 e, 
dessa forma, acrescentamos uma vírgula no 
quociente. Além disso, a divisão não é 
exata, ou seja, o número 3,2 é um número 
que representa um quociente aproximado por 
falta, até o décimo. Podemos continuar a 
divisão obtendo mais casas decimais para o 
número 3,2. 
 
 
 
Frações 
Fração pode ser entendida como sendo um 
número que exprime uma ou mais partes 
iguais em que foi dividida uma unidade ou 
um inteiro. 
24 
 
 
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza 
inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, 
cada parte representará uma fração (um 
quarto) da pizza. 
 
Então, uma fração significa dividir algo em 
partes iguais. Assim: indica , sendo a 
e b números naturais, e . O número a 
representa o numerador e o número b 
representa o denominador. 
Exemplo: 
Considerando fração 
Temos que a unidade foi dividida em quatro 
partes. Conforme a figura: 
1/4 1/4 
1/4 1/4 
 
A parte sombreada indica uma parte da 
figura, que representa 
Leitura de frações 
 Metade (um meio) 
 Quatro quintos 
 Três sétimos 
 Dois doze avos 
 
 
Frações equivalentes 
Duas ou mais frações que representam a 
mesma quantidade de uma grandeza são 
chamadas frações equivalentes. 
 
Exemplo: 
Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate 
do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu 
chocolate em 6 partes iguais e comeu 4 
delas. Otávio preferiu dividir o seu em três 
partes iguais e comeu 2 partes. Quem comeu 
mais chocolates? 
Solução: 
 Observamos que os dois comeram 
quantidades iguais: 
Otávio comeu do chocolate e Luiz comeu 
do chocolate conforme ilustrado a seguir: 
 
As frações e representam a mesma parte 
da unidade e, por isso, são frações 
equivalentes. 
Indicamos assim: = 
Como reconhecer frações equivalentes? 
 
Para saber se e , por exemplo, são 
equivalentes, precedemos da seguinte 
maneira: 
1º Multiplicamos o numerador da primeira 
fração pelo denominador da segunda fração: 
 
25 
 
2º Multiplicamos o denominador da primeira 
fração pelo numerador da segunda fração: 
 
3º Comparamos os resultados obtidos. Se 
obtermos dois produtos iguais, as frações 
são equivalentes: 
9 x 8 = 72 = 12 x 6 
Portanto concluímos que: = 
OBS: 
- Duas frações que possuem a mesma forma 
irredutível são equivalentes. 
- Quando multiplicamos ou dividimos os 
termos de uma fração por um mesmo 
número natural, diferente de zero, obtemos 
uma fração equivalente à fração inicial. 
Simplificação de frações 
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la 
em uma forma mais simples, para que a 
mesma se torne mais fácil de ser 
manipulada. 
 A simplificação pode ser feita através dos 
processos de divisão sucessiva ou pela 
fatoração. 
1) A divisão sucessiva corresponde a dividir 
o numerador e o denominador pelo 
mesmo número. 
Exemplo: 
 
2) A fatoração corresponde em obter o 
máximo divisor comum entre o 
numerador eo denominador e dividir 
ambos por esse valor. 
Exemplo: Simplifique . 
Como m.d.c. (36,60) = 12, então: 
 
Tipos de Frações 
Fração propria: é aquela em que o 
numerador é menor que o denominador. 
Ex.: (1 2 ) 
Fração impropria: é aquela em que o 
numerador é maior ou igual que o 
denominador. 
Exemplo: 
a) ( 9 5 ) 
 
b) ( 2 = 2 ) 
 
Propriedades das Frações 
Uma fração não se altera, quando se 
multiplica seus dois termos pelo mesmo 
número, sendo ele diferente de zero, ou 
mesmo, fazendo a divisão dessa fração pelo 
mesmo divisor comum. 
 Exemplos: 
a) 
 
b) 
 
Uma fração é alterada quando é adicionado 
ou subtraido um valor igual tanto do 
numerador quanto do denominador. 
 Exemplos: 
a) 
 
b) 
 
Operações fundamentais com frações 
Adição: Há dois casos possiveis: 
1º) Frações com denominadores iguais. 
26 
 
 
Neste caso, somamos os numeradores e 
conservamos o valor do denominador. 
 Exemplos: 
a) 
 
b) 
2º) Frações com denominadores diferentes. 
Neste caso, reduzimos as frações ao mesmo 
denominador comum e, em seguida 
procedemos como no caso anterior. 
Para reduzir duas ou mais frações ao mesmo 
denominador comum, procedemos do 
seguinte modo: 
-Calculamos o mmc dos denominadores. 
Esse mmc será o menor denominador 
comum. 
-Dividimos o denominador comum pelo 
denominador de cada fração e multiplicamos 
o resultado pelo numerador dessa fração. 
Exemplo: Reduza as frações , ao 
mesmo denominador comum. 
Como mmc(3,5,6)=30 então: 
 
 
 
Logo temos que: = 
Exemplo: Usando a redução ao mesmo 
denominador comum, calcule: 
a) = 
Como mmc (4,2) = 4, então, 
 
 
Subtração: Procede-se de maneira análoga 
à adição. 
Por exemplo: 
1º) Frações com denominadores iguais. 
Exemplo: 
 
2º) Frações com denominadores diferentes. 
Exemplo: 
 
Como mmc (2,6) = 6, então: 
 
Multiplicação: O produto de duas ou mais 
frações resulta em uma fração cujo 
numerador é a multiplicação dos 
numeradores das frações a serem 
multiplicadas e o denominador é a 
multiplicação dos denominadores das frações 
a serem multiplicadas. 
Exemplos: 
a) 
 
b) 
 
Inverso Multiplicativo: 
Toda fração (número racional) diferente de 
zero possui um inverso multiplicativo. 
Exemplo: é o inverso de , pois: 
 
Para que um número seja o inverso 
multiplicativo de outro número, o produto 
entre eles deverá ser igual a 1. 
27 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Aula 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão: Para que haja a divisão entre 
frações, multiplicamos a primeira fração pelo 
inverso da segunda fração. 
Exemplo: 
a) 
 
As frações e a reta numérica 
As frações podem ser representadas 
geometricamente na reta numerada. 
Sejamos um exemplo: Obtenha a 
representação geométrica das frações 
. 
Quando os números estão na forma 
fracionária, dividimos o segmento de reta que 
representa a unidade de referência em partes 
iguais, conforme o denominador da fração: 
 Dividimos a unidade em 2 partes iguais 
 
 
Dividimos a unidade em 3 partes iguais 
 
 
 
Dividimos a unidade em 6 partes iguais 
 
 
Representando esses três números em uma 
mesma reta numerada, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
01) Escreva por extenso, os seguintes 
números decimais: 
a) 4, 4 
b) 0, 25 
c) 3, 456 
d) 2, 034 
e) 15, 200 
f) 25, 63 
g) 65, 354 
h) 78, 1234 
i) 321, 225 
j) 154, 890 
k) 759, 1233 
l) 564, 2000 
m) 410, 6 
n) 11, 312 
o) 0, 005 
02) Efetue as adições e subtrações: 
a) 12, 48 + 19 = 
b) 12, 5 + 0, 07 = 
c) 12, 8 + 3, 27 = 
d) 31, 3 + 29, 7 = 
e) 107, 03 + 32, 7 = 
f) 83, 92 + 16, 08 = 
g) 275, 04 + 129, 3 = 
h) 94, 28 + 36, 571 = 
i) 189, 76 + 183, 24 = 
j) 13, 273 + 2, 48 = 
k) 85, 3 − 23, 1 = 
l) 97, 42 − 31, 3 = 
28 
 
m) 250, 03 − 117, 4 = 
n) 431, 2 − 148, 13 = 
o) 400 − 23, 72 = 
p) 1050, 37 − 673, 89 = 
q) 3 − 1, 07 = 
r) 98 − 39, 73 = 
s) 43, 87 − 17 = 
t) 193 − 15, 03 = 
 
03) Efetue as multiplicações e divisões: 
a) 200 × 0, 3 = 
b) 130 × 1, 27 = 
c) 93, 4 × 5 = 
d) 208, 06 × 3, 15 = 
e) 0, 3 × 0, 7 = 
f) 112, 21 × 3, 12 = 
g) 12, 1 × 4, 3 = 
h) 243, 5 × 2, 53 = 
i) 357 × 0, 5 = 
j) 793 × 0, 07 = 
k) 3 ÷ 2 = 
l) 21 ÷ 2 = 
m) 7 ÷ 50 = 
n) 9, 6 ÷ 3, 2 = 
o) 4064 ÷ 3, 2 = 
p) 1, 5 ÷ 2 = 
q) 4, 8 ÷ 30 = 
r) 1, 776 ÷ 4, 8 = 
s) 7, 502 ÷ 12, 4 = 
t) 0, 906 ÷ 3 = 
u) 50, 20 ÷ 5 = 
v) 21, 73 ÷ 1, 06 = 
w) 35, 28 ÷ 9, 8 = 
 
04) Efetue as expressões: 
a) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) = 
b) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2 = 
c) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] = 
d) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] − 12, 33 = 
e) 3 − (0, 7 + 0, 4) · 2 = 
f) 1, 5 · 2 − (2 − 0, 5 · 2) = 
g) 1 − (0, 7 + 0, 3 · 0, 7) = 
 
05) Efetue: 
a) 36, 9 x 721 = 
b) 36, 9 x 7, 21 = 
c) 0, 369 x 7, 21 = 
d) 3, 69 x 7, 21 = 
e) 3, 69 x 0, 721 = 
f) 0, 369 x 0, 721 = 
g) 1, 2 0, 08 = 
h) 3, 2 x 0, 25 = 
i) 0, 15 x 0, 12 = 
j) 123, 45679 x 0, 9 = 
 
06) Se um número racional está na forma 
fracionária e um outro está na forma decimal, 
é possível compará-los, escrevendo, por 
exemplo, a fração na forma decimal. Pode-
se, também, escrever o número decimal na 
forma fracionária e efetuar a comparação 
com o número que está na forma fracionária. 
Qual é o maior número: 0,815 ou ? 
 
07) Compare os números a seguir, colocando 
<, > ou = 
a) 
b) 
c) 
 
08) Represente as frações na forma decimal: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
09) Converta os números que estão forma 
decimal para a forma de fração irredutível: 
a) 0,4 
b) 1,2 
c) 0,065 
d) 3,75 
e) 0,125 
f) 0,025 
 
10) Paulo Pintou de uma figura que 
representa um inteiro. Represente na forma 
decimal a parte não pintada. 
 
11) Identifique os decimais equivalentes a 
1,2: 
a) 102; b) 1,20; c) 1,200; d) 1,0020 
 
12) Coloque uma vírgula no número 25314 
de modo a obter: 
a) um número menor que 3 
b) um número maior que 100 
c) um número maior que 2500 e menor que 
2600. 
 
29 
 
13) Pensei em um número, adicionei 0,73 e 
obtive 1,27. Em que número pensei? 
 
14) Um reservatório de água tem um 
vazamento e perde 0,15 litro por hora. 
Supondo que o vazamento continue no 
mesmo ritmo e que o reservatório continue 
recebendo água, responda: 
a) quantos litros esse reservatório perderá 
em 27 horas? 
b) quantos litros esse reservatório perderá 
em uma semana? 
 
15) Simplifique as frações: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
16) Calcule: 
a) = 
b) = 
c) = 
d) = 
e) = 
f) = 
g) = 
h) = 
i) = 
17) Em julho de 1969, os astronautas 
americanos Armstrong e Aldrin foram os 
primeiros homens a pisar na Lua, lá 
permanecendo cerca de 21 horas. Mais 
tarde, o segundo grupo que pisou na Lua 
permaneceu cerca de uma vez e meia o 
tempo dos primeiros. Quantas horas o 
segundo grupo permaneceu na Lua? 
 
18) Responda: 
a) Quantos dias correspondem a da 
semana? 
b) Quantos dias correspondem a do mês? 
c) Quantas horas correspondem a do dia? 
d) Quantos minutos correspondem a de 
hora? 
e) Quantos anos correspondem a de 
século? 
 
19) Qual é o quociente? 
a) 28,5 0,15 
b) 0,625 
c) 10,24 3,2 
d) 3,408 0,04 
e) 1,743 24,9 
 (resolva este exercício utilizando a divisão 
pelo método da chave e também resolva-o 
convertendo os decimais em fração para 
fazer divisão entre frações) 
 
20) Cálcule o quociente aproximado com 
uma casa decimal após a vírgula. 
a) 38 
b) 138 
c) 267 45 
 
21) A parede de uma cozinha tem 5,7 m de 
comprimento. Ela será revestidacom 
azulejos de 0,15 m por 0,15 m. quantos 
azulejos inteiros poderão ser colocados em 
casa fila? 
 
22) Nesta igualdade n 0,07 = 2, a letra n 
representa um número racional. Qual é o 
valor de n? 
 
23) Determine qual número é menor: 
 
 
 
23) Transforme as frações mistas a seguir 
em frações impróprias: 
a) 
b) 
30 
 
c) 
24) Converta cada fração decimal em 
número decimal. 
a) 
3
10 = 
b) 5
100
 = 
c) 7
1000
 = 
d) 56
10
 = 
e) 43
1000
 = 
f) 1234
10
 = 
g) 51005
100
 = 
h) 57803
100
 = 
25) Coloque os números racionais em ordem 
crescente: 
 
____<____<____<_____<____<____ 
 
Links videoaulas – aula 3 
Videoaula 1 – valor posicional 1 
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gues/valor-posicional-1 
 
Videoaula 2 – valor posicional 2 
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gues/valor-posicional-2 
 
Videoaula 3 – valor posicional 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/valor-posicional-3 
 
Videoaula 4 – aproximando números inteiros 
1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-numeros-inteiros-1 
 
Videoaula 5 – aproximando números inteiros 
2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-numeros-inteiros-2 
 
Videoaula 6 – aproximando números inteiros 
3 
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gues/aproximando-numeros-inteiros-3 
 
Videoaula 7 – aproximando valores decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/aproximando-valores-decimais 
 
Videoaula 8 – comparando decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-decimais 
 
Videoaula 9 – pontos em uma reta numérica 
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gues/pontos-em-uma-reta-numerica 
 
Videoaula 10 – posição dos valores decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/posicao-dos-valores-decimais 
 
Videoaula 11 – posição dos valores decimais 
2 
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gues/posicao-dos-valores-decimais-2 
 
Videoaula 12 – convertendo decimais para 
frações 1 – exemplo 1 
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exemplo-1 
 
Videoaula 13 – convertendo decimais para 
frações 1 – exemplo 2 
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gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-
exemplo-2 
 
Videoaula 14 – convertendo decimais para 
frações 1 – exemplo 3 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-
exemplo-3 
 
Videoaula 15 – convertendo decimais para 
frações 2 – exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-2-
exemplo-1 
 
31 
 
Videoaula 16 – convertendo decimais para 
frações 2 – exemplo 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-2-
exemplo-2 
 
Videoaula 17 – convertendo frações em 
decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-fracoes-em-decimais 
 
Videoaula 18 – convertendo frações para 
decimais (exemplo 1) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-fracoes-para-decimais-
exemplo-1 
 
Videoaula 19 – convertendo frações para 
decimais (exemplo 2) 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-fracoes-para-decimais-
exemplo-2 
 
Videoaula 20 – decimais e frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/decimais-e-fracoes 
 
Videoaula 21 – decimais na reta numérica 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/decimais-na-reta-numerica 
 
Videoaula 22 – ordenando expressões 
numéricas 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/ordenando-expressoes-numericas1 
 
Videoaula 23 – dividindo decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-decimais 
Videoaula 24 – dividindo decimais 2.1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-decimais-21 
 
Videoaula 25 – multiplicando decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicacao-nivel-8-multiplicando-
decimais1 
 
Videoaula 26 – multiplicando decimais por 
potências de 10 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/multiplicando-numeros-decimais-por-
potencias-de-10 
 
Videoaula 27 – somando números reais - 
aplicação 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-reais-aplicacao 
 
Videoaula 28– subtraindo problemas com 
decimais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtraindo-problemas-com-decimais 
 
Videoaula 29 – frações próprias e impróprias 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/fracoes-proprias-e-improprias 
 
Videoaula 30 –frações equivalentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/fracoes-equivalentes 
 
Videoaula 31 – exemplo de frações 
equivalentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-de-fracoes-equivalentes 
 
Videoaula 32 – numerador e denominador de 
uma fração 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/numerador-e-denominador-de-uma-
fracao 
Videoaula 33 – adição de números racionais 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicao-de-numeros-racionais 
 
Videoaula 34 – alterar um numero misto para 
uma fração impropria 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/alterar-um-numero-misto-para-uma-
fracao-impropria 
 
 
 
 
Videoaula 35 – adicionando e subtraindo 
números mistos -exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-05-exemplo-1 
Videoaula 36 – adicionando e subtraindo 
números mistos – exemplo 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-05-exemplo-2 
 
Videoaula 37 – adicionando e subtraindo 
números mistos 1 – exemplo 1 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-1-exemplo-1 
 
32 
 
Videoaula 38 – adicionando e subtraindo 
números mistos 1 – exemplo 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-1-exemplo-2 
 
Videoaula 39 – comparando frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes 
 
Videoaula 40 – comparando frações 2 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes-2 
 
Videoaula 41 – comparando frações 
impróprias e números mistos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/comparando-fracoes-improprias-e-
numeros-mistos 
 
Videoaula 42 – convertendo números mistos 
em frações impróprias 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/convertendo-numeros-mistos-em-
fracoes-improprias 
 
 
Videoaula 43 –transformando uma fração 
imprópria para um número misto 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/transformando-uma-fracao-impropria-
para-um-numero-misto 
 
Videoaula 44 – dividindo frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-fracoes 
 
Videoaula 45 – dividindo números mistos 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-mistos 
 
Videoaula 46 – dividindo números mistos e 
frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/dividindo-numeros-mistos-e-fracoes 
 
Videoaula 47 – exemplo de divisão de 
frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/exemplo-de-divisao-de-fracoes 
 
Videoaula 48 – problema prático de divisão 
de frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-pratico-de-divisao-de-fracoes 
 
Videoaula 49 – problema prático de 
multiplicação de frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/problema-pratico-de-multiplicacao-de-
fracoes 
 
Videoaula 50 – somando números mistos 
com denominadoresdiferentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-numeros-mistos-com-
denominadores-diferentes 
 
Videoaula 51 – somando e subtraindo 
frações com denominadores diferentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-fracoes-com-denominadores-
diferentes 
 
Videoaula 52 – somando frações com sinais 
diferentes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/somando-fracoes-com-sinais-diferentes 
 
Videoaula 53 – problema de expoentes 
envolvendo quocientes 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/propriedades-do-expoente-envolvendo-
quocientes 
Videoaula 54 – subtraindo frações 
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/subtraindo-fracoes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Aula 4 
 
 
 
 
 
 
Dízimas Periódicas 
Veremos agora, que todo número racional 
pode ser representado por uma fração 
decimal finita ou por uma fração decimal 
infinita periódica. 
Para obter a forma decimal de uma fração, 
temos 3 possibilidades: 
1. Representação ou forma decimal finita de 
uma fração; 
2. Representação decimal infinita de uma 
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES 
3. Representação decimal infinita de uma 
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA 
COMPOSTA 
 
1. Representação ou forma decimal finita 
de uma fração. 
 Uma fração ordinária e irredutível 
(número racional), terá uma representação 
decimal finita, quando seu denominador 
contiver apenas os fatores primos 2, 5 ou 2 e 
5. Neste caso, o número de casas decimais, 
será dado pelo maior expoente dos fatores 2 
ou 5. 
Exemplo: 
a) Represente a fração na forma decimal. 
A fração se converterá em uma fração cujo 
denominador é formado por uma potência de 
10, pois 25 = 52. Sua forma decimal terá 2 
casas decimais já que o expoente do fator 5 
é 2. Para tanto, basta multiplicar o numerador 
e o denominador por 22. 
 
b) Represente a fração na forma decimal. 
 
c) Represente a fração na forma decimal. 
 
 
4) Represente a fração na forma decimal. 
A fração se converterá em uma fração 
cujo denominador é formado por uma 
potência de 10, pois 125 = 53. Sua 
representação decimal terá 3 casas decimais 
já que o expoente do fator 5 é 3, ou seja, 
 
 
Caso Geral 
 
, onde, a, b, m, n e são inteiros. 
 
Exercício: Obtenha a representação decimal 
da fração ordinária . 
 
2. Representação decimal infinita de uma 
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES 
Uma fração ordinária e irredutível se 
transformará numa dízima periódica 
simples quando seu denominador 
apresentar apenas fatores primos diferentes 
de 2 e 5 ou de 2 ou de 5, ou seja, sua forma 
decimal será infinita possuindo um grupo de 
algarismos que se repetem indefinidamente. 
Exemplos: 
34 
 
 
 
a) , converteu-se em um dízima 
periódica simples, já que 11 é o único fator 
primo do denominador e é diferente de 2 e 5. 
Uma notação conveniente e usual para 
indicar uma dízima periódica consiste usar 
uma barra sobre a parte que se repete. Por 
exemplo: . 
 
b) Represente a fração na forma decimal. 
 
Inicialmente, vamos dividir 1 por 3. 
 
Observe que o processo de divisão não 
termina. Sempre teremos um resto diferente 
de zero, ou seja, resto 1 e sempre menor que 
o divisor 3. 
 
Observe que: 
 
( é a fração geratriz dessa dízima). 
Veja a seguir! 
Determinando a fração geratriz da dízima 
periódica simples 
 A geratriz de uma dízima periódica simples é 
a fração cujo numerador é o período (parte 
que se repete) e cujo denominador é formado 
por tantos “noves” quantos forem os 
algarismos do período. Se a dízima possuir 
parte inteira, ela deve ser incluída na frente 
dessa fração, formando um número misto. 
 
Voltando ao exemplo dado: 0,333..., vamos 
justificar porque a geratriz é . 
Seja a equação dada por: 
 x = 0,333... (1) 
Multiplicando a equação (1) por 10 obtemos 
a equação: 
10x = 3,333.... (2) 
Subtraindo a equação (2) da equação (1) 
obtemos: 
 10x = 3,333.... 
- x = 0,333.... 
-------------------------- 
 9x = 3,000... 
Assim, 
 
Resumindo.... 
Coloca-se o período no numerador da fração 
e, para cada algarismo dele, coloca-se um 
algarismo 9 no denominador. 
Exemplo: 0,4444... 
Período 4 e (1 algarismo) 
0,444... = 
 
Exemplo: 0,313131... 
Período é 31 e possui 2 algarismos. 
Então: 0,3131....= 
 
 
3. Representação decimal infinita de uma 
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA 
COMPOSTA 
Uma fração ordinária e irredutível se 
transformará em uma dízima periódica 
35 
 
 
 
composta quando seu denominador, além 
dos outros fatores primos 2, 5 ou 2 e 5, 
possuir outros fatores primos quaisquer. 
Exemplo: 
a) é uma dízima periódica 
composta, pois além dos fatores 2 e 5, tem o 
fator 3. 
 
Determinando a fração geratriz da dízima 
composta 
A geratriz de uma dízima periódica composta 
é a fração cujo numerador é o anteperíodo, 
acrescido do período e diminuído do 
anteperíodo e cujo denominador, é formado 
por tantos “noves” quanto forem os 
algarismos do período, acrescido de tantos 
“zeros” quantos forem os algarismos do ante-
período. 
Se a dizima possuir parte inteira, ela deve ser 
incluída à frente dessa fração formando um 
número misto. 
Exemplos: 
a) Calcule a fração geratriz de 0,03666..... 
Observe que o anteperíodo dessa dízima é 
03 (possui 2 algarismos) e o período é 6 
(possui 1 algarismo). 
 
 
b) Calcule a fração geratriz de 2,14272727.... 
 
Observe que 2,14 é a representação decimal 
finita do número racional procurado. Agora, o 
número 0,002727... é a representação 
decimal periódica infinita, cujo período é 27, 
ou seja, possui 2 casas decimais. Assim, 
 . 
Portanto, 
 
 
Resumindo... 
 
Para cada algarismo do período se coloca 
um algarismo 9 no denominador. Mas, para 
cada algarismo do antiperíodo se coloca um 
algarismo zero, também no denominador.No 
caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período) – 
(parte inteira com antiperíodo). 
Exemplo: 0,27777.... 
 
 
 
Fique atento.... 
Todo número real ou é racional, ou é 
irracional. 
Quando um número real é um número 
racional, sua representação decimal ou 
forma decimal pode ser finita ou infinita 
periódica. 
36 
 
EXERCÍCIOS – Aula 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando um número real não é um número 
racional, será neste caso um número 
irracional e sua forma decimal será infinita 
e não periódica. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01) Determine a fração geratriz de cada número 
 decimal abaixo. 
 
a) 0,525252 ... = 
b) 0,666 ... = 
c) 0,32444 ... = 
d) 5,241241241 ... = 
e) 0,48121121121 ... = 
f) 34,212121 ... = 
g) 5,131131131 ... = 
h) 0,643777 ... = 
 
02) Assinale as sentenças com v 
(verdadeiras) ou f (falsas): 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
04) Classifique os numerais abaixo em 
racionais ou irracionais: 
a) 0,2222222.... ______________ 
b) 12,5 _____________________ 
c) 2,3434...__________________ 
d) 0,54789 ... ________________ 
e) 2,4458___________________ 
f) 0,444444... _______________ 
g) ______________________ 
h) ____________________ 
 
 
05) Obtenha as frações geratrizes das 
dízimas a seguir: 
 
a) 0,777... = 
b)