AV1 Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e integral GABARITO

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Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e integral 
Catiúscia Borges 
 
1) Observe cada função abaixo: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 𝑏(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝜋) ℎ(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔 (2𝑥 + 1) 𝑟(𝑥) = 0,5𝑥 
𝑔(𝑥) = 3𝑥 𝑚(𝑥) = 5𝑥 + 2,5 𝑞(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 𝑠(𝑥) = −𝑥 
𝑝(𝑥) = 5𝑥4 − 6𝑥2 + 5𝑥 𝑛(𝑥) = −3𝑥2 + 5𝑥 − 9 𝑡(𝑥) = −4𝑥 + 6 𝑐(𝑥) = √2 
 
a) Indique as funções constantes: 
𝑐(𝑥) = √2 
 
b) Indique as funções do primeiro grau: 
𝑚(𝑥) = 5𝑥 + 2,5 
𝑡(𝑥) = −4𝑥 + 6 
𝑠(𝑥) = −𝑥 
 
c) Indique as funções do segundo grau: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 
𝑛(𝑥) = −3𝑥2 + 5𝑥 − 9 
 
d) Indique as funções exponenciais: 
𝑔(𝑥) = 3𝑥 
𝑟(𝑥) = 0,5𝑥 
 
e) Indique as funções logarítmicas: 
ℎ(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔 (2𝑥 + 1) 
 
f) Indique as funções trigonométricas: 
𝑏(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝜋) 
𝑞(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 
 
g) Indique as funções polinomiais: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 
𝑝(𝑥) = 5𝑥4 − 6𝑥2 + 5𝑥 
 
h) Indique as funções crescentes: 
𝑔(𝑥) = 3𝑥 
𝑚(𝑥) = 5𝑥 + 2,5 
ℎ(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔 (2𝑥 + 1) 
 
i) Indique as funções decrescentes: 
𝑡(𝑥) = −4𝑥 + 6 
𝑟(𝑥) = 0,5𝑥 
𝑠(𝑥) = −𝑥 
j) Indique as funções periódicas: 
𝑏(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝜋) 
𝑞(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 
 
k) Indique as funções que possuem a parábola como gráfico: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 
𝑛(𝑥) = −3𝑥2 + 5𝑥 − 9 
 
 
 
l) Indique as funções que possuem a reta como gráfico: 
𝑚(𝑥) = 5𝑥 + 2,5 
𝑡(𝑥) = −4𝑥 + 6 
𝑠(𝑥) = −𝑥 
𝑐(𝑥) = √2 
 
Uma função constante é aquela em que f(x) tem sempre o mesmo valor independentemente do valor que 
atribuímos a x, isto é, f(x) = k onde k é um número real qualquer. O gráfico dessa função será uma reta 
paralela ao eixo do x passando em y no valor k. 
 
Uma função do 1º grau é aquela cuja lei de formação se dá por f(x) = ax + b com a diferente de zero. Essa 
função é crescente, quando a > 0 e decrescente quando a < 0. O gráfico de uma função do primeiro grau é 
uma reta. 
 
Uma função do 2º grau ou função quadrática é aquela estabelecida por f(x)= ax² + bx + c , a ≠ 0. O seu 
gráfico é uma parábola côncava para cima se a > 0, ou côncava para baixo se a < 0. 
 
Chamamos de função polinomial a função P dada por 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 em 
que n é um número inteiro positivo e os números 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, ... , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 são coeficientes do polinômio. 
 
Uma função exponencial é uma função da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, em que a base a é uma constante positiva. 
Quando a base a é um número entre 0 e 1, a função é decrescente e, quando a base a é um número maior 
que 1, dizemos que a função é crescente. 
 
Uma função logarítmica é aquela que dado um número real a (maior que zero e diferente de zero) que 
associa a cada x o número 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥. Assim como ocorre com a função exponencial, a função logarítmica 
também é decrescente se 0 < a < 1 e crescente se a > 1. 
 
Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de 
fenômenos periódicos. As principais funções trigonométricas são, seno ( f(x) = sem (x) ), cosseno ( f(x) = cos 
(x) ) e tangente ( f(x) = tg(x) ). 
 
2) Considerando o conceito de limite e suas propriedades, determine o 
limite de cada uma das funções abaixo: 
 
a) 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 0 
(3 − 7𝑥 − 5𝑥²) = 3
 
b) 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 2
 
𝑥+4
3𝑥−1
=
6
5 
c) 
𝑙𝑖𝑚
 𝑤 → 2
 √2𝑤 + 3
3
= √7
3
 
d) 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 2
 
𝑥√𝑥−√2
3𝑥−4
=
√2
2 
e) 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 4
 (𝑒𝑥 + 4𝑥) = 𝑒4 + 16
 
 
3) Considerando o conceito de limite e suas propriedades, sabendo que 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 5 e 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
ℎ(𝑥) = 3, determine o limite de: 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
[2. 𝑓(𝑥) − 8. ℎ(𝑥) + 𝑓(𝑥). ℎ(𝑥)] = 
= (
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
2. 𝑓(𝑥)) − (
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
8. ℎ(𝑥)) + (
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥). ℎ(𝑥)]) = 
 
= 2. (
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)) − 8 (
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
ℎ(𝑥)) + [(
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)) . (
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
ℎ(𝑥))] = 
 
= 2. 5 − 8. 3 + 5. 3 = 
 
= 10 − 24 + 15 = 
= 1 
Note que, nestes casos, para 
resolver os limites precisamos 
apenas realizar a substituição 
numérica. 
Lembre-se da unicidade do limite, 
isto é, se o limite existe, ele é 
único. 
 
 
4) Dadas as funções definidas por mais de uma lei de associação 
determine os limites nos pontos indicados: 
 
 
 
a) 𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 3, 𝑥 < 0
𝑥2 + 3, 𝑥 ≥ 0
 
 
Ponto x = 0 
 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 0−
(−𝑥 + 3) = −0 + 3 = 3 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 0+
(𝑥2 + 3) = 02 + 3 = 3 
 
Como os limites laterais são iguais, existe 
limite no ponto estudado, ou seja: 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 0−
𝑓(𝑥) =
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 0+
𝑓(𝑥) = 3 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 0
𝑓(𝑥) = 3 
b) 𝑓(𝑥) = {
3𝑥, 𝑥 < 1
𝑥2 + 𝑥, 𝑥 ≥ 1
 
 
Ponto x = 1 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 1−
(3𝑥) = 31 = 3 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 1+
(𝑥2 + 𝑥) = 12 + 1 = 2 
 
Como os limites laterais são diferentes, não 
existe limite no ponto estudado, ou seja: 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 1−
𝑓(𝑥) ≠
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 1+
𝑓(𝑥) 
 
∄
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 1
𝑓(𝑥) 
 
 
 
5) Considerando o conceito de limite e suas propriedades e o que 
estudamos de limites laterais, determine o valor de k para que exista o 
limite da função f(x) no ponto x = -1. 
 
𝑓(𝑥) = {
−3𝑥 + 2, 𝑥 < −1
𝑥2 + 𝑘, 𝑥 ≥ −1
 
 
Para que exista limite no ponto x = k precisamos que os limites laterais sejam iguais. 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → −1−
(−3𝑥 + 2) = −3. (−1) + 2 = 3 + 2 = 5 
 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → −1+
(𝑥2 + 𝑘) = (−1)2 + 𝑘 = 1 + 𝑘 
1 + 𝑘 = 5 
𝑘 = 5 − 1 
𝑘 = 4 
 
6) Segundo Stewart (2012), os limites no infinito possuem algumas 
propriedades chamadas de propriedades operacionais, use tais 
propriedades para determinar cada limite abaixo: 
 
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
5𝑥2+ 𝑥
𝑥
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
𝑥 (5𝑥+1)
𝑥
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(5𝑥 + 1) = +∞ 
 
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑤→+∞
 (
5𝑤
7+𝑤 
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑤→+∞
 (
5𝑤
7+𝑤 
)
÷𝑤
÷𝑤
= 𝑙𝑖𝑚
𝑤→+∞
 (
5𝑤
𝑤
7
𝑤
+
𝑤
𝑤
 
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑤→+∞
 (
5
7
𝑤
+1 
) =
𝑙𝑖𝑚
𝑤→+∞
 (
5
1 
) = 5 
Para analisar o limite precisamos determinar os 
limites laterais e compará-los. 
 
 
 
c) 
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → +∞
(−𝑥3 + 𝑥) =
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → +∞
(−𝑥3) = −∞ 
 
d) lim
𝑥→+∞
(
𝑥6−5𝑥3
𝑥8+2 
) = lim
𝑥→+∞
(
𝑥6−5𝑥3
𝑥8+2 
)
÷𝑥8
÷𝑥8
= lim
𝑥→+∞
(
𝑥6
𝑥8
−
5𝑥3
𝑥8
𝑥8
𝑥8
+
2
𝑥8
 
) =
lim
𝑥→+∞
(
1
𝑥2
−
5
𝑥5
1+
2
𝑥8
 
) =
0
1
= 0 
 
 
e) lim
𝑥→+∞
(
𝑥8−5𝑥3
𝑥6+2 
) = lim
𝑥→+∞
(
𝑥8−5𝑥3
𝑥6+2 
)
÷𝑥6
÷𝑥6
= lim
𝑥→+∞
(
𝑥8
𝑥6
−
5𝑥3
𝑥6
𝑥6
𝑥6
+
2
𝑥6
 
) = lim
𝑥→+∞
(
𝑥2−
5
𝑥3
1+
2
𝑥6
 
) =
+∞ 
 
 
f) lim
𝑥→+∞
(
𝑥8−5𝑥3
𝑥8+2 
) = lim
𝑥→+∞
(
𝑥8−5𝑥3
𝑥8+2 
)
÷𝑥8
÷𝑥8
= lim
𝑥→+∞
(
𝑥8
𝑥8
−
5𝑥3
𝑥8
𝑥8
𝑥8
+
2
𝑥8
 
) = lim
𝑥→+∞
(
1−
5
𝑥5
1+
2
𝑥8
 
) =
1
1
= 1 
 
g) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(3𝑥+1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(3𝑥. 3) = +∞ 
 
h) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
[ln(𝑥2 − 9) − ln (𝑥 − 3)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
[ln (
𝑥2−9
𝑥−3
)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
[ln (
(𝑥−3)(𝑥+3)
𝑥−3
)] =
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
[ln(𝑥 + 3)] = ln 6 
 
i) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[ln(𝑥2 − 1) − ln (2𝑥 − 2)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[ln (
𝑥2−1
2𝑥−2
)] =
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[ln (
(𝑥−1)(𝑥+1)
2(𝑥−1)
)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
[ln (
𝑥+1
2
)] = +∞ 
 
 
7) Observe os limites racionais abaixo e determine o valor de cada um: 
 
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
4𝑥−8
𝑥−2
) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
(
4(𝑥−2)
𝑥−2
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(4) = 4 
 
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 (
𝑥2−4𝑥+4
𝑥−2
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 (
(𝑥−2)2
𝑥−2
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 (
(𝑥−2)(𝑥−2)
𝑥−2
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(𝑥 − 2) = 2 − 2 = 0 
 
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑥3+𝑥2+3𝑥
𝑥
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑥(𝑥2+𝑥+3)
𝑥
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑥2 + 𝑥 + 3) = 3 
 
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(
𝑥2−1
2𝑥−2
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(
(𝑥+1)(𝑥−1)
2(𝑥−1)
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(
(𝑥+1)
2
) =
2
2
= 1 
 
 
 
 
 
8) A teoria dos limites é de fundamental importância, pois fundamentam os 
objetos centrais do Cálculo. Ainda falando em limites, encontramos 
alguns que recebem uma atenção especial, são os chamados limites 
fundamentais. Recebem esse nome por serem muito utilizados na 
solução de outros limites. Determine cada um dos limites abaixo: 
 
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
 
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(1 +
4
𝑥
)
𝑥
= 𝑒4 
 
c) lim
𝑛→+∞
(1 −
2
𝑛
)
𝑛
= lim
𝑛→+∞
(1 +
(−2)
𝑛
)
𝑛
= 𝑒−2 
 
d) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1 
 
e) lim
𝑥→2
𝑠𝑒𝑛(𝑥−2)
𝑥−2
= Adote 𝑦 = 𝑥 − 2, desta forma quando 𝑥 → 2, 𝑦 → 0 logo: 
lim
𝑦→0
𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑦
= 1 
 
f) lim
𝑥→0
7𝑥−1 
𝑥
= ln 7 
 
g) lim
𝑥→0
𝑒𝑥−1 
𝑥
= ln 𝑒 = 1 (todo logaritmo na sua base é igual à 1) 
 
h) lim
𝑥→0
1−3𝑥 
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(−1)(3𝑥−1) 
𝑥
= (−1)3𝑥 = −3𝑥 
 
9) Determine se a função abaixo é contínua nos pontos dados: 
 
𝑓(𝑥) = {
2 − 𝑥 𝑥 ≤ −1
𝑥2 − 2𝑥 −1 < 𝑥 < 1
2𝑥 − 2 𝑥 ≥ 1
 
 
Analisando o ponto x = -1 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1−
2 − 𝑥 = 2 − (−1) = 2 + 1 = 3 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
𝑥2 − 2𝑥 = (−1)2 − 2(−1) = 1 + 2
= 3 
 
𝑓(−1) = 2 − (−1) = 2 + 1 = 3 
 
Como 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 3, então 
existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 3 = 𝑓(−1) 
 
 
Logo a função é contínua no ponto 𝑥 = −1. 
 
Analisando o ponto x = 1. 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
𝑥2 − 2𝑥 = 11 − 2 . 1 = 1 − 2 = −1 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
2𝑥 − 2 = 2.1 − 2 = 0 
 
Como 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1+
𝑓(𝑥), então não 
existe𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓(𝑥). 
 
 
Logo a função não é contínua no ponto 
x = 1.