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VARIÁVEIS COMPLEXAS E APLICAÇÕES À MECÂNICA DOS 
FLUIDOS 
 
Thiago Cantos Lopes [Bolsista PIBIC/UTFPR] 1, Fabio Antonio Dorini [orientador] 2 
 
1Depto. Acadêmico de Mecânica 
2Depto. Acadêmico de Matemática 
Campus Curitiba-CT 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR 
Av. Sete de Setembro, 3165 - Rebouças CEP 80230-901 - Curitiba - PR - Brasil 
 
 
thiagocantos@uol.com.br, fabio.dorini@gmail.com 
 
 
 
Resumo - Após estudar fundamentos de cálculo complexo, as propriedades deste foram aplicadas à mecânica 
dos fluidos, gerando uma descrição analítica de escoamentos. Essa descrição requer as hipóteses de fluido 
invíscido, escoamento bidimensional, fluido incompressível e propriedades constantes e é capaz de descrever 
analiticamente campos vetoriais variados inclusive o escoamento ao redor de um aerofólio. Foram desenvolvidos 
programas em MATLAB para visualizar este resultado. 
 
Palavras-chave: Cálculo complexo; Mecânica dos fluidos; Analítico; Aerofólio. 
 
Abstract - After studying the fundamentals of complex calculus, its properties were applied to fluid mechanics, 
generating an analytical description of fluid flows. This description requires the assumptions of inviscid fluid, 
two-dimensional flow and incompressible fluid with constant properties and can analytically describe many 
vector fields including the flow around an airfoil. Programs were developed in MATLAB to demonstrate this 
result. 
 
Keywords: Complex calculus; Fluid Mechanics; Analytical; Airfoil. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A mecânica dos fluidos é uma área muito ampla e complexa, e dificilmente uma 
abordagem analítica é capaz de satisfazer completamente suas equações. Assim, a aplicação 
de variáveis complexas no estudo de escoamentos bidimensionais requer hipóteses 
simplificadoras, que podem permitir abordar o problema dentro de certas restrições. O foco 
deste estudo foi no caso particular do aerofólio, descrevendo analiticamente o perfil do 
aerofólio, bem como o escoamento ao redor do mesmo. 
Como em praticamente todas as áreas de engenharia, caso deseje-se uma descrição do 
comportamento dos fluidos sem algumas das hipóteses simplificadoras, é inevitável o uso de 
métodos numéricos. 
Estes requerem, geralmente, condições iniciais e de contorno para poder funcionar. 
Estas podem ser cruciais para uma boa resolução e convergência rápida para uma situação de 
regime permanente. Assim, a utilização de recursos analíticos para encontrar tais condições 
pode se provar muito útil. 
Esse trabalho apresenta em sua primeira seção as fundamentações teóricas de 
engenharia e matemática utilizadas para a determinação das equações empregadas. Na seção 
RESULTADOS, apresentam-se os testes feitos em MATLAB, bem como considerações 
quanto aos resultados e métodos. Na última seção são apresentadas as conclusões deste 
projeto, bem como algumas considerações gerais. 
 
 
METODOLOGIA 
 
Fundamentação teórica. Após adquirir uma base acerca do cálculo com variáveis complexas 
com base em [1], o foco do estudo passou a ser como aplicar o mesmo à ciência da mecânica 
dos fluidos. Esta área da engenharia frequentemente requer o auxílio de ferramentas 
computacionais para obter soluções numéricas para seus problemas. Isso se deve à 
complexidade das conhecidas equações de Navier-Stokes (veja, por exemplo, [2, 3, 6]). 
Soluções analíticas para estes problemas são viáveis somente quando se podem supor 
algumas sérias restrições, ou hipóteses simplificadoras, que restringem em muito a aplicação 
das mesmas. As mais comuns consistem em reduzir o número de dimensões do problema, 
uniformizar as propriedades do fluido em consideração, assumir que o sistema não sofre 
alteração com o tempo, dentre outras. Isso tudo pode muito bem ser característico do 
problema em questão, mas, caso se deseje ir além, é necessário o auxílio de computadores que 
ainda precisam fazer uso de modelos empíricos de simplificação para poder processar a 
complexidade dos problemas de forma viável. 
Simular totalmente uma tubulação, um aerofólio, uma bomba, ou qualquer outro 
componente sem simplificações é atualmente inviável pelo tempo que isso exigiria e também, 
em menor grau, pela propagação de erros intrínsecos ao cálculo computacional, que não 
podem ser evitados sem comprometer ainda mais o tempo de processamento requerido, ao 
aumentar a memória alocada visando precisão. Por isso, em geral, empregam-se modelos 
simplificadores que combinam resultados empíricos com simplificações das equações para 
estabelecer, por exemplo, relações entre parâmetros adimensionais que descrevem algumas 
variáveis de interesse. Um exemplo destes modelos é o teorema de Buckingham abordado 
detalhadamente, por exemplo, em [2]. 
Muitas vezes deseja-se obter informações quanto à operação do componente em regime 
permanente, ou seja, em funcionamento contínuo. Isso costuma apresentar dificuldades 
devido à necessidade de convergência da solução, algo que, ocorrendo, pode levar muito 
tempo, exigindo um custo computacional que pode inviabilizar o estudo. Almeja-se ser capaz 
de usar ferramentas computacionais para testar versões intermediárias de um produto, e não 
somente sua versão final. Isso aponta para a importância de boas aproximações iniciais 
(condições iniciais) para obter convergência com menor custo computacional. 
Em geral, algumas hipóteses de simplificação podem ser feitas sem comprometer a 
confiabilidade do resultado. Costuma-se supor homogeneidade e constância das propriedades 
do fluido, o que implica em incompressibilidade. Para escoamentos de líquidos, excetuando 
casos de pressão extremamente elevada ou grandes variações de temperatura, pode-se 
considerar esta hipótese válida. Para o ar, conforme detalhado em [3], pode-se supor um 
regime incompressível desde que a velocidade do fluido seja inferior a trinta por cento da 
velocidade do som. 
O estudo realizado requer que essas considerações sejam verificadas para que o modelo 
corresponda à realidade. Além disso, supõe-se também escoamento bidimensional, e uma 
última hipótese crucial: viscosidade nula. Todo fluido apresenta características viscosas, ou 
seja, forças que respondem a gradientes de velocidade. Enquanto, em casos semelhantes aos 
estudados, pode-se considerar o escoamento como independente de uma das direções 
espaciais, em geral os efeitos viscosos – mesmo os do ar – são de considerável importância, 
em especial nas regiões do escoamento próximas aos obstáculos, justamente a região cujos 
dados fornecem a base necessária para se determinar características de interesse de engenharia, 
como a força de sustentação e de arrasto. Considerar o fluido invíscido automaticamente 
desconsiderará os efeitos que causam a força de arrasto, e poderá comprometer a 
confiabilidade da análise da força de sustentação. 
Mas é frequentemente impraticável obter um resultado analítico para os problemas de 
mecânica dos fluidos em que se considere o atrito, mesmo com as demais simplificações, 
visto que isso ainda mantém as equações que regem a mecânica dos fluidos como um sistema 
de equações diferenciais parciais de segunda ordem que tem por conjunto solução um campo 
vetorial bidimensional e um campo escalar de pressão. Soluções analíticas para fluxos 
viscosos só são exequíveis para problemas unidimensionais (tubulações), mas este estudo se 
foca em casos bidimensionais. 
Empregam-se, assim, as seguintes simplificações às equações de Navier-Stokes: regime 
permanente, bidimensional, propriedades constantes e viscosidade nula – reduzindo, assim, 
significativamente a complexidade do problema. 
 
Fundamentos matemáticos empregados. Para o desenvolvimento dos estudos realizados, foi 
necessária uma base prévia acerca do cálculo complexo. Depois de um estudo das diversas 
funções complexas, sendo a mais importante a exponencial. Oconceito de função analítica foi 
estudado, bem como as pesadas consequências que ele carrega. Um breve estudo foi feito 
acerca da integral no plano complexo, fornecendo o incentivo para abordar os conceitos de 
resíduos e suas propriedades, que foram posteriormente utilizadas em diversas etapas da 
análise do problema de escoamento de fluidos. 
Dentre os resultados mais importantes encontram-se as condições de Cauchy-Riemann, 
o teorema de Cauchy-Goursat, a fórmula integral de Cauchy, as séries de Laurent, e o teorema 
dos resíduos. Essas fórmulas e teoremas, bem como suas consequências, estão detalhadas em 
[1]. 
As considerações matemáticas consideradas correspondem às considerações de 
engenharia, mas estão escritas de forma mais adequada às análises realizadas. Para descrever 
o escoamento, foram usadas as letras u e v para as componentes da velocidade q, e são 
impostas duas condições básicas de análise: a continuidade e a irrotacionalidade, além de 
regime permanente. O vetor velocidade q está representado na equação (1). 
 
 � = � + � ∗ � (1) 
 
Estas condições correspondem às condições de Cauchy-Riemann para uma função f 
conjugada do vetor q. Isso significa que esta função é analítica e, com isso, pesadas 
consequências emergem, como, por exemplo, o teorema de Cauchy-Goursat, a fórmula 
integral de Cauchy e o teorema dos resíduos. Todas essas relações foram usadas em alguma 
etapa da análise. Durante a análise, definiu-se uma função F, primitiva de f, denominada 
função potencial (que foi utilizada amplamente durante as diferentes etapas do estudo). Esta 
função potencial é empregada para determinar o comportamento do escoamento. 
A irrotacionalidade juntamente ao regime permanente corresponde à condição de fluido 
invíscido, devido o teorema da circulação de Kelvin. Em outras palavras, se a deformação das 
partículas que ocorre devido ao atrito não ocorrer, não ocorre rotação localmente, e desta 
forma as considerações matemáticas correspondem às condições de engenharia. 
Um ponto importante é a equação de Bernoulli, que associa à uma mesma linha de 
corrente uma relação entre a velocidade e a pressão. De forma que onde a pressão é maior, a 
velocidade é menor e vice-versa. Esta relação é importante, pois permite avaliar a força de 
sustentação aplicada pelo escoamento a um corpo, como um aerofólio. Demonstrações 
detalhadas dos procedimentos de análise podem ser encontradas em [4]. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Com base nos fundamentos de matemática e de engenharia empregados, foi 
implementado uma série de programas em MATLAB para visualizar diferentes escoamentos, 
culminando em uma simulação de um aerofólio. Primeiramente, foi desenvolvido um 
simulador que descreve o campo vetorial correspondente a uma função potencial dada. 
 
 
 
Figuras 1 e 2. Perfis de velocidades para diferentes funções potenciais. 
 
As figuras 1 e 2 representam os campos vetoriais obtidos analiticamente com o uso de 
um dos simuladores. A primeira emprega um campo potencial senoidal, enquanto a segunda 
emprega campos logarítmicos para gerar um vórtice e uma fonte, ilustrando a capacidade do 
método empregado de trabalhar com estes elementos apesar das hipóteses de 
incompressibilidade e de escoamento irrotacional. 
 
 
 
Figuras 3 e 4. Escoamento ao redor de um cilindro com e sem circulação. 
 
Em seguida foi abordado um problema clássico, o escoamento ao redor de um cilindro. 
Para obter a função potencial que descreve este escoamento foi utilizada uma linha de 
corrente ao redor do cilindro, e empregada uma série de Laurent. Foi encontrada uma família 
de funções que seriam adequadas para o problema, permitindo um parâmetro de circulação ser 
independente da velocidade do escoamento. As figuras 3 e 4 descrevem campos vetoriais para 
este tipo de escoamento, permitindo visualizar a circulação e o deslocamento do ponto de 
estagnação como resultado da mesma. 
Pode-se comparar o resultado obtido com resultados experimentais e verificar que eles 
são razoáveis para situações de baixa velocidade, onde o escoamento não possui grandes 
gradientes de velocidade e, consequentemente, o atrito possui uma influência menos 
significativa. Isso é ilustrado pelas figuras 5 e 6, que apresentam experimentos laminares e 
turbulentos. 
 
 
 
Figuras 5 e 6. Imagens experimentais de escoamento ao redor de um cilindro. 
(Fonte: DTU [5]) 
 
Em seguida foi aplicada uma transformação matemática denominada transformação de 
Joukovsky, detalhada em diversas bibliografias, entre elas [6]. A transformação esta descrita 
na equação 2, e os métodos empregados para aplicá-la encontram-se detalhados em [4]. 
 
 � =
	
∗ �� +
�
�
� (2) 
 
A figura 7 ilustra a transformação de um circulo em um aerofólio ao empregar a 
transformação de Joukovsky. Um dos simuladores desenvolvidos realiza esta função, 
permitindo arbitrar alguns parâmetros. 
 
 
 
Figura 7. A transformação de Joukovsky. 
 
A partir desta transformação e de diversos recursos matemáticos detalhados em [4], foi 
desenvolvido um outro simulador para obter o campo vetorial desenvolvido pelo fluido ao 
redor do aerofólio. O resultado obtido é uma função analítica que descreve o comportamento 
do fluido em qualquer posição fora do aerofólio, desde que, as hipóteses mencionadas possam 
ser consideradas válidas. A representação do campo vetorial obtido esta ilustrada na figura 8. 
 
 
 
 
 
Figura 8. Perfil de velocidades obtido com o simulador. 
 
Esta também pode ser comparada com resultados experimentais, e ao fazê-lo, verifica-
se novamente o mesmo problema referente a turbulência, apenas de forma mais peculiar. As 
figuras 9 e 10. 
 
 
Figuras 9 e 10. Imagens experimentais de escoamentos ao redor de aerofólios. (Fonte: 
AZIMUTH [7]) 
 
Novamente se verifica que em um caso no qual o atrito é menos importante, a análise 
produz resultados satisfatórios. Em regiões do problema nas quais o atrito acumula efeitos, 
como as regiões depois do aerofólio e casos em que o ângulo de ataque é muito grande, ocorre 
turbulência, invalidando a análise. 
Pode-se notar, no entanto, que em grande parte do escoamento, o resultado obtido é 
satisfatórios, permitindo a utilização do campo vetorial obtido tanto para uma aproximação de 
baixa responsabilidades, quanto como condição inicial para obter uma solução de alta 
confiabilidade. 
Outro estudo realizado e cuja demonstração esta detalhada em [4] consiste em avaliar a 
força de sustentação causada pelo escoamento do ar ao redor do aerofólio. Como na região 
superior deste a velocidade é maior que em sua região inferior, a pressão deve ser maior na 
parte superior do mesmo, devido à equação de Bernoulli. A análise realizada apontou para a 
expressão da força de sustentação expressa na equação (3). 
 
 � = 2kR ∗ �
 ∗ sin�� + �� (3) 
 
Onde α corresponde ao ângulo de ataque e θ corresponde a parâmetros geométricos 
consequentes de variáveis definidas a priori. Diversos experimentos são realizados para 
avaliar o coeficiente de sustentação. A figura 11 apresenta uma das típicas curvas de 
coeficiente de sustentação. 
 
 
Figura 11. Curva Típica de um coeficiente de sustentação. (Fonte: CLANCY [8]) 
 
Pode se verificar que o comportamento da curva é semelhante ao da função obtida, em 
especial para pequenos ângulos de ataque, região na qual os efeitos do atrito são menos 
significativos. 
 
CONCLUSÕES 
 
Analisando os resultados obtidos, conclui-se que pode se descrever de forma analítica o 
perfil de velocidades de um problema de mecânica de fluidos bidimensional em que os efeitos 
viscosos possam ser desprezados. Uma vantagem de uma solução analítica consiste em ela 
não demandar mais ou menos memória caso deseje-serepresentar mais posições, uma solução 
analítica tem um impacto pesado e pode descrever com igual precisão qualquer número de 
pontos, ao contrário de métodos numéricos, que ou comprometem precisão, ou demandam 
mais memória e custo computacional. 
Por outro lado, uma solução analítica costuma ter o defeito de custar hipóteses 
simplificadoras que podem comprometem severamente a correspondência entre a solução e o 
problema real. Isso aponta para a necessidade de combinar recursos analíticos e numéricos, de 
ir o mais longe possível com recursos analíticos e, em seguida, aplicar métodos numéricos 
para poder completar o problema com todos os fatores possíveis. 
 
 
 
Figura 12. Turbilhões causados pela passagem do avião se formam em suas extremidades, nas 
pontas das asas. (Fonte: DRB [9]) 
 
Da mesma forma, constatou-se que mesmo as hipóteses que mais parecem razoáveis 
podem comprometer previsões em diversos casos. A figura 12 acima ilustra um efeito que não 
pode ser previsto por recursos analíticos, numéricos ou até experimentais (aerofólios 
“infinitos”) que considerem um escoamento bidimensional, pode apenas ser verificada 
experimentalmente, ou considerando um escoamento tridimensional. Isso aponta para a 
necessidade de análises mais complexas, sejam numéricas ou analíticas. 
Ocorreram dificuldades em conciliar as literaturas de engenharia, com sua abordagem 
mais prática e muitas vezes baseada em dados e modelos empíricos, e as literaturas de 
matemática, com sua abordagem mais teórica com sua lógica pesada e densa. Existem, é claro, 
pontes que ligam estas abordagens, mas frequentemente não descrita por nenhuma delas. 
Apesar destas dificuldades, este projeto propiciou amplos estudos dos recursos analíticos e 
numéricos, bem como uma maneira de combiná-los. 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradeço à UTFPR pela bolsa de estudos disponibilizada através de seu programa de 
Iniciação Científica. Agradeço, também, meu orientador, professor Fabio Antonio Dorini, pelo 
apoio que ele me prestou durante meu estudo de cálculo complexo e por sua imensa ajuda 
com a programação em MATLAB. 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] ZILL, D.G.; CULLEN, M.R. Matemática Aplicada para Engenharia 3. Porto Alegre: 
Bookman, 2009. 
[2] FOX R.W.; MCDONALD A. T.; PRITCHARD P. J. Introduction to Fluid Mechanics. 
United States: Wiley & Sons, 2003. 
[3] YOUNG D. F.; BRUCE R. M.; THEODORE H. O.; WADE W. H. A Brief Introduction 
to Fluid Mechanics. United States: John Wiley & Sons, 2010. 
[4] ÁVILA G. Variáveis Complexas e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
[5] Danmarks Tekniske Universitet. Disponível em: < http://www.dtu.dk >. Acesso em: 31 jul. 2012. 
[6] NACHBIN, A. Aspectos de Modelagem Matemática em Dinâmica dos Fluidos. Rio de 
Janeiro: IMPA, 2001. 
[7] The Azimuth Project. Disponível em: < http://www.azimuthproject.org >. Acesso em: 31 jul. 2012. 
[8] CLANCY, L. J. Aerodynamics. London: Pitman Publishing Limited, 1975. 
[9] Dark Roasted Blend. Disponível em: < http://www.darkroastedblend.com >. Acesso em: 
31 jul. 2012.