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Flambagem 
José Mauro Marquez, PhD 
Flambagem 
• Os sistemas mecânicos e estruturas em geral 
quando estão submetidos a carregamentos, 
podem falhar de várias formas, o que vai 
depender do: 
– material usado, 
– do tipo de estrutura, 
– das condições de apoio, 
– entre outras considerações... 
 
Flambagem 
• Quando se projeta um 
elemento, é necessário 
que ele satisfaça 
requisitos específicos 
de: 
– Tensão, 
– Deflexão 
– Estabilidade. 
Flambagem de uma coluna devido a um carregamento axial de compressão P. 
 
Flambagem 
• Definição: Elementos compridos e 
esbeltos sujeitos a uma força axial de 
compressão são chamados de colunas e 
a deflexão lateral que sofrem é chamada 
de flambagem. 
• Em geral a flambagem leva a uma falha 
repentina e dramática da estrutura. 
 
Flambagem 
• Alguns elementos 
acoplados com 
pinos usados em 
partes móveis de 
maquinaria, como 
este elo curto, estão 
sujeitos a cargas de 
compressão e, assim 
agem como colunas. 
Flambagem 
• Flambagem de colunas 
 
Flambagem 
Exemplos de Flambagem 
Flambagem de Trilhos 
Flambagem em Trilhos 
• A flambagem da via 
permanente acontece 
quando a temperatura 
do trilho aumenta 
superando o ponto de 
equilíbrio entre as 
forças longitudinais 
existentes no mesmo. 
• O mesmo acontece 
com dutos. Dispositivo Antiflambagem. 
 
Carga de Flambagem 
• Denomina-se carga de flambagem ao valor da 
carga axial para a qual a forma reta, de 
equilíbrio da barra, deixa de ser estável. 
• A partir dessa carga, o eixo da barra se 
encurva porque a forma estável de equilíbrio 
passa a ser uma curva, denominada “elástica”. 
• A figura mostra a barra reta flambada quando 
P atingiu o valor crítico. 
Cálculo do Índice de Esbeltez 
• Outros autores denominam o índice de esbeltez como 
uma medida mecânica utilizada para estimar com que 
facilidade um pilar irá encurvar. 
• É dado pela letra Lambda: 
 
 
 
– Lf = comprimento de flambagem da peça em metros 
– i ou r = raio de giração em metros 
O Hibbeler escreve o Índice de Esbeltez como λ = 
𝑳
𝒓
 
• Se o índice de esbeltez crítico for maior que o índice de 
esbeltez padronizado do material, a peça sofre 
flambagem; se for menor, a peça sofre compressão. 
 
Índice de Esbeltez de uma Barra Prismática 
• Denomina-se o índice de esbeltez, λ, à relação 
entre o comprimento l da barra e o raio de 
giração, imin, de sua seção transversal. 
• Isto é: λ = 
𝑙
𝑖
 
• Determinação do raio de giração, i, é o momento 
de inércia I dividido pela área S da peça. 
 i = 
𝐼
𝑆
 
Assim: ix = 
𝐼𝑥
𝑆
 e iy= 
𝐼𝑦
𝑆
 
 
em relação aos eixos x e y, respectivamente. 
 
Carga Crítica de Euler 
• O matemático suíço 
Leonhard Euler (1707-
1783) deduziu pela 
primeira vez a carga crítica 
Per . 
• Por esse motivo a carga é 
frequentemente 
denominada Carga de 
Euler (Per). 
Cálculo da Carga Crítica (Per) 
• Definição: Carga crítica é a carga 
axial máxima que uma coluna 
pode suportar antes de ocorrer a 
flambagem. 
• Qualquer carga adicional 
provocará flambagem na coluna. 
 
• Para compreender melhor esse tipo de instabilidade, 
considere um mecanismo formado por duas barras 
sem peso rígidas e acopladas por pinos nas duas 
extremidades. 
 
Fonte: Resistência dos Materiais – R. C. Hibbeler 
a) Mola com rigidez k sem deformação 
b) Deslocamento do pino em A de uma posição Δ 
c) Diagrama de corpo livre. 
Tipos de Equilíbrio 
 
– Equilíbrio estável 
 
 P < 
 
– Equilíbrio instável 
 
 P > 
 
– Equilíbrio Neutro – Carga Crítica 
 
 P = 
𝑘𝐿
4
 
𝑘𝐿
4
 
𝑘𝐿
4
 
Equação Diferencial para Flambagem de Coluna 
• Para determinar os carregamentos críticos correspondentes às formas 
defletidas para uma coluna real apoiada por pinos, usamos as equações 
diferenciais da curva de deflexão de uma viga. Essas equações são 
aplicáveis a uma coluna flambada porque a coluna flete como se fosse 
uma viga. Tem-se a seguinte equação: 
 EI 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 = M 
 
• Onde: 
 
 M = −P.ν 
 
 
 
• Quando a coluna está e posição defletida , o momento fletor interno pode ser 
determinado pelo método das seções. 
O diagrama do corpo livre de um segmento na posição defletida é mostrado em (b) 
(-) 
Para vários tipos de acoplamento das 
colunas há uma variação do k 
• k das colunas 
Fonte: Hibbeler 
Cálculo da Carga Crítica 
• Substituindo... 
 EI 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 = −P.ν 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 + (
𝑃
𝐸𝐼
) 𝑣 = 0 
𝑣 = C1 sen (
𝑃
𝐸𝐼
. 𝑥) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠(
𝑃
𝐸𝐼
. 𝑥) 
C1 e C2 são duas constantes de integração determinadas pelas 
condições de contorno nas extremidades da coluna. Visto que: 
𝑣 = 0 em x = 0, então C2 = 0. 
Considerando que: 𝑣 = 0 em x = L 
C1 sen (
𝑃
𝐸𝐼
. 𝐿) =0 ; para C1 = 0, então: 
sen (
𝑃
𝐸𝐼
. 𝑥) = 0 ; se 
𝑃
𝐸𝐼
. 𝑥 = 𝑛π 
• Assim: 
P = 
𝑛2π2EI
𝐿2
 
  n = 1, 2, 3, ... 
 
 
 
O menor valor de P é obtido quando n =1, de 
modo que a carga crítica para a coluna é dada 
pela fórmula conhecida como Carga Crítica de 
Euler. Ou seja... 
Carga Crítica de Euler 
• Para valores do índice de esbeltez, λ, maiores do que 
um certo limite, λmin, a carga de flambagem, Per, de 
uma barra prismática, articulada nas extremidades, e 
axialmente comprimida, é dada por: 
 Per = 
𝝅𝟐.𝑬.𝑰
𝒌𝑳𝟐
 
• Onde: 
– E é o módulo de elasticidade do material; 
– I é o momento de inércia mínimo da seção transversal em 
relação ao eixo baricêntrico; 
– L é o comprimento da barra; 
– k é o tipo de acoplamento da coluna. 
Carga Crítica de Euler 
• O valor Per dado pela fórmula de Euler, 
corresponde a uma carga de ruptura. 
• Assim: λ < λmin = 100 
• Consequentemente, para o dimensionamento 
de peças, é necessário introduzir nessa 
fórmula um coeficiente de segurança. 
• A expressão aplicável para a tensão normal é: 
 σer = 
Per
𝑆
 =
𝝅𝟐.𝑬 
(𝑳/𝒓)𝟐
 Onde: S é a área da seção transversal 
• Tensão Crítica: 
 σer=
𝝅𝟐.𝑬 
(𝑳/𝒓)𝟐
 
• Onde 
– σer – Tensão critica que é a tensão media na coluna 
imediatamente antes de a coluna flambar, essa tensão é 
uma tensão elástica e, portanto, σer ≤ σc ; 
– E – módulo de elasticidade do material; 
– L – comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades 
são presas por pinos; 
– r - o menor raio de giração da coluna, determinado 
por r = 
𝑰
𝑨
 , onde I é o menor momento de inércia da 
área da seção transversal da coluna A. 
Ponte de Espaguete 
1. Uma barra prismática de aço com seção 
retangular de 4 cm e 5 cm, é articulada nas 
extremidades e está submetida a uma carga 
axial de compressão. Sendo de 230 MPa o 
limite de proporcionalidade do aço e E= 210 
GPa, determinar o comprimento mínimo L 
para aplicação da fórmula de Euler. 
2. Determinar a carga crítica para uma seção 
10WF21 usada como uma coluna articulada. A 
barra tem 4 m de comprimento e E = 210 GPa. 
3. Uma barra de aço tem seção transversal 
circular com 5 cm de diâmetro. Ela é 
articulada nas extremidades e está sujeita a 
compressão axial. Sendo de 288 MPa o limite 
de proporcionalidade e de 240 GPa o módulo 
de elasticidade do material, pede-se 
determinar o comprimento mínimo de 
aplicação da fórmula de Euler. Qual o valor 
da carga de flambagem correspondente a 
esse comprimento? 
4. Determinar a carga crítica de um tubo de aço 
com 5 m de comprimento e tem 100 mm de 
diâmetro e 16 mm de espessura. E = 200 GPa