Prova de Álgebra Linear - UFVJM 2014

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri - UFVJM
Instituto de Ciência e Tecnologia - ICT
Prova Final - Álgebra Linear - 07/03/2014
1. (15%) Calcule a inversa de A=
 1 2 33 1 2
2 1 3
.
2. (15%) Usando a matriz anterior como a matriz de coeficientes de um sistema AX = b, onde b=
 1410
13
,
encontre a matriz aumentada e ache sua forma escada, indicando todas as operações.
3. (10%) Determine se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais. Se forem prove e exiba uma base.
Caso não sejam, dê um contra exemplo numérico que explique o motivo de não ser.
(a) W =
{[
a b
c d
]
|a,b,c,d ∈ R, a= b+1ec= d−1
}
(b) W =
{[
a b
c d
]
|a,b,c,d ∈ R, c=−bed = 2a
}
4. (5 %) De um contra exemplo numérico que prove que T (x,y) = (x+ y,x3+ y3) não é Transformação
Linear.
5. (24%) Considerando a T.L, T (x,y,z) = (14x,2y+4z,6y+12z):
(a) Ache uma base β de autovetores para R3.
(b) Determine [T ]ββ e verifique que [T ]
β
β = [I]
C
β [T ]
β
β [I]
β
C , onde C é a base canônica do R3.
6. (12 %) Considerando a T.L T (x,y) = (2y,2x):
(a) Ache a T.L T : R2→ R2, S tal que S= R◦T ◦R−1, onde R é a rotação anti-horária de pi6 centrada
na origem.
(b) Calcule ~v1, a rotação anti-horária de pi6 do vetor
[
1
−1
]
e ~v2, a rotação anti-horária do vetor
[
1
1
]
.
(c) Verifique que ~v1 e ~v2 são autovetores de S. Descubra os autovalores a que estão associados.
7. (19%) Bole uma T.L, T : R3→ R2 que tem por núcleo o subespaço gerado pelos vetores
 13
0
 e
 10
2
.
1