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Transformadas de Laplace Engenharia Mecânica - FAENG SISTEMAS DE CONTROLESISTEMAS DE CONTROLE Prof. Josemar dos Santos 1 Transformadas de Laplace SumárioSumário • Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Definições Básicas; • Exemplos. • Transformadas de Laplace • Definição; Transformada de Laplace;• Transformada de Laplace; • Exemplo. 2 Transformadas de Laplace Sistemas de ControleSistemas de Controle Objetivo:j •Introduzir ferramental matemático, conceitos fundamentais e algumas técnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos e de Engenharia de Controle Moderno;Controle Moderno; •Utilização do Scilab como ferramenta computacional de engenharia para aplicação dos conceitos e técnicas de controle e modelagem. Ementa: • Introdução à engenharia de controle de sistemas. Preliminares matemáticas Re isão de Números Comple os e• Preliminares matemáticas: Revisão de Números Complexos e Transformadas de Laplace. • Conceitos e técnicas de modelagem de sistemas. • Funções de transferência e diagramas de blocos. • Critérios de desempenho, estabilidade e realimentação de sistemas. • Técnicas de síntese de controle pelo método do lugar das raízes e 3 de resposta em freqüência. • Projeto de compensadores. Transformadas de Laplace Sistemas de ControleSistemas de Controle Livro Texto: • Nise, N. Engenharia de Sistemas de Controle, 3a edição, LTC Editora , 2002. Bibliografia Complementar: • Franklin, G.; Powell, J.D. Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice-Hall 2005Prentice-Hall,2005. • Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, 4a edição, Prentice- Hall, 2003. Dorf R C Sistemas de Controle Moderno LTC Editora 2001• Dorf, R.C. Sistemas de Controle Moderno, LTC Editora, 2001. 4 Transformadas de Laplace Sistemas de ControleSistemas de Controle Critério de Avaliaçãoç P1*0 4+P2*0 4+AT*0 2P1*0,4+P2*0,4+AT*0,2 5 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Definições Básicas; • Exemplos. • Transformadas de Laplace • Definição; Transformada de Laplace;• Transformada de Laplace; • Exemplo. 6 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Controle Controle é o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou alguém. Assim, ummanipular alguma coisa ou alguém. Assim, um sistema de controle é um conjunto de componentes que tem por função dirigir algumacomponentes que tem por função dirigir alguma coisa (ou alguém). 7 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas. – Entradas são grandezas que estimulam, excitam um sistema Também chamadas de Referência ou dosistema. Também chamadas de Referência ou do inglês, Set Point (SP). – Saídas são as reações, respostas, do sistema a um ou mais estímulos externos. Também chamadas deou mais estímulos externos. Também chamadas de Variável do Processo ou do inglês, Process Variable (PV). 8 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas. – Variável manipulada é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para que modifique oque é variada pelo controlador para que modifique o valor da variável controlada. Do inglês, Manipulated Variable (MV).a ab e ( ) 9 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas. – Perturbações (ou distúrbios) são sinais que tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistemaa afetar adversamente o valor da saída do sistema. Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela é denominada perturbação interna, enquanto que umade o ada pe u bação e a, e qua o que u a perturbação (distúrbio) externa é gerada fora do sistema e constitui uma entrada. 10 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de Controle Si t d t l li t d é i t Introdução a Sistemas de Controle • Sistema de controle realimentado é um sistema que mantém uma determinada relação entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um meio de controle. Exemplo: um sistema de controle da temperatura ambiente. Os sistemas de controle realimentados não estão limitados a aplicações de p ç Engenharia. Um exemplo é o sistema de controle da temperatura do corpo humano, que é um sistema altamente avançado.avançado. 11 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de Controle S (SC ) Introdução a Sistemas de Controle • Sistema de controle a malha aberta (SCMA) é l i t íd ã t h f it bé aquele sistema em que a saída não tem nenhum efeito sobre a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a saída não é medida nem realimentada para comparação com p p ç a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas. 12 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de Controle Sistema de controle a malha fechada (SCMF) Introdução a Sistemas de Controle •Sistema de controle a malha fechada (SCMF) Nome dado ao sistema de controle realimentado. Num SCMF a dif t f ê i ( i l d t d ) did d iá ldiferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variável controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro atuante, é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado O termo controle a malhaa saída do sistema a um valor desejado. O termo controle a malha fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim de reduzir o erro do sistema. 13 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • SCMF x SCMA 14 Transformadas de Laplace Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle • Componentes de um Sistema de Controle SP MV PV Controlador Atuador Planta ± Sensor 15 Transformadas de Laplace Modelo MatemáticoModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático Consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência e engenharia para se obter uma representação matemática d i tde um sistema. • Circuitos Elétricos – Lei de Ohm e as Leis de Kirchoff • Sistemas Mecânicos – Leis de Newton Entrada Saída Descrição matemática 16 Transformadas de Laplace Modelo MatemáticoModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático Equações Diferenciais 1 1 a d y dt a d y dt a dy dt a y b d x dt b d x dt b dx dt b xn n n n n n m m m m m m+ + + + = + + + +− − − − − −1 1 1 1 0 1 1 1 1 0... ... y - saída do sistema t d d i tx - entrada do sistema 17 Transformadas de Laplace d l á iModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático: Exemplo Circuito RLC 18 Transformadas de Laplace d l á iModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático: Exemplo Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Impedância Z(s) = V(s)/I(s) Admitância Y(s) = I(s)/V(s) Tabela 1 - Relações Tensão-corrente, Tensão-carga, e Impedâncias de capacitores, resistores e indutores Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Z(s) = V(s)/I(s) Y(s) = I(s)/V(s) Indutor Nota: ν( t ) = V (volts) i( t ) = A (ampères) q( t ) = Q (coulombs) C = F (farads) R = Ω (ohms) G = (mhos) L = H (henries)19 Nota: ν( t ) V (volts), i( t ) A (ampères), q( t ) Q (coulombs), C F (farads), R Ω (ohms), G (mhos), L H (henries) Transformadas de Laplace M d l M t átiModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático: Exemplo Circuito RLC ∫t diRitdiL )()(1)()( ∫ =++ tvdiCtRidtL 0 )()()()( ττ 20 Transformadas de Laplace M d l M t átiModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático: Exemplo Circuito RLC M d d iá l tMudança de variável corrente para carga 1)()(2 tdqtqd )()(1)()(2 tvtqCdt tdqR dt tqdL =++ 21 Transformadas de Laplace M d l M t átiModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático: Exemplo Circuito RLC Utili d l ã t ã d T b l 1Utilizando a relação tensão-carga da Tabela 1. )()( tCvtq = )()()()( )()( 2 tvtvtdvRCtVdLC tCvtq CC C =++ = )()(2 tvtvdt RC dt LC C =++ 22 Transformadas de Laplace M d l M t átiModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático: Exemplo Circuito RLC )()(2 tdvtvd )()()()(2 tvtvdt tdvRC dt tvdLC CCC =++ 23 Transformadas de Laplace M d l M t átiModelo Matemático Conceitos BásicosConceitos Básicos Modelo Matemático: Exemplo Circuito RLC )()()()(2 2 tvtv dt tdvRC dt tvdLC CCC =++2 dtdt Aplicar a Transformada de LaplaceAplicar a Transformada de Laplace 24 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace • Método para solucionar equações diferenciais ordinárias • É uma operação semelhante à transformada logarítmica• É uma operação semelhante à transformada logarítmica • Equações diferenciais são transformadas em equações algébricasalgébricas • Realiza-se operações no domínio “s” • Retorna ao domínio “t” através da transformada inversa 25 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace EsquematicamenteEsquematicamente 26 Transformadas de Laplace Transformada de Laplace Matemático francês LAPLACE (1749-1827) inventou um método para resolver equações diferenciais da seguinte forma •Multiplica cada termo da equação diferencial por e-st •Integra cada termo em relação ao tempo de ZERO a INFINITO • “s” é uma constante de unidade 1/tempo 27 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace Conceitos Básicos:Conceitos Básicos: Transformada de Laplace ( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF st−∞∫L Transformada de Laplace ( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF ∫== 0 L Em que ωσ js += é uma variável complexa Onde: F(s) - símbolo da transformada de Laplace f(t) - função contínua em 0 < t < infinito L operador de Laplace 28 L - operador de Laplace Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace Conceitos Básicos:Conceitos Básicos: Transformada Inversa de LaplaceTransformada Inversa de Laplace [ ]( ) ( )[ ]f t f s= −L 1 Onde: f(t) - função que não é definida para t < 0 L-1 - operador da inversa de Laplace 29 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace Conceitos Básicos:Conceitos Básicos: Tabela de Transformadas de Laplace 30 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES• PROPRIEDADES 1 - SOMA DE DUAS FUNÇÕESÇ ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftftftf 212121 +=+=+ LLL 2 - MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE ( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= =( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= = 31 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES• PROPRIEDADES 3 – FUNÇÃO COM ATRASO NO TEMPOÇ ( )[ ] ( )L f t t e F st s− = −0 0( )[ ]0 ( ) ∞∞ ∫∫( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L f t t f t t e d t t e f t e dts t t s t s t− = − − =− − −∫∫0 0 0 00 0 0 ( )[ ] ( )L f t t e F ss t− =0 0 32 ( )[ ] Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES• PROPRIEDADES 4 – DERIVADA PRIMEIRA DE UMA FUNÇÃOÇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d f t d t sF s f o nd e f f t ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − = =0 0 0:d t⎣ ⎦ ( ) ( ) [ ]df t df t⎡ ⎤ ∞∞ ∞∫∫( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )L Ldf t dt fdf t dt e dt f t e dt f t e s fs t s t s t ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = = + = − − − −∫∫ 00 0 0 ( ) ( ) ( )L df t F f⎡⎢ ⎤⎥ 0 33 ( ) ( )L dt sF s f⎣⎢ ⎦⎥ = − 0 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES• PROPRIEDADES 5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃOÇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00022 2 =−−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ tf dt donde dt dfsfsFs dt tfd :L ⎦⎣ dtdtdt ( ) ( ) ( )df ( ) ( ) ( )φ s sF s f= − 0φ = df dt ⎡ ⎤ [ ] ( ) ( )L Ld f dt d dt s s2 2 0⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ = = −φ φ φ 34 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES• PROPRIEDADES 5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃOÇ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0000 22 2 'fsfsFsfssFs dt fd −−=−−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φL dt ⎠⎝ 35 Transformadas de Laplace Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES• PROPRIEDADES 6 – DERIVADA N-ÉSIMA DE UMA FUNÇÃOÇ d d dn n⎡ ⎤ 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d dt f t s F s S f S d dt f d dt f n n n n n n⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − − − − − − − 1 2 1 0 0 0...... 36 Transformadas de Laplace R f ê i Bibli áfiReferências Bibliográficas BEGA E A (Organizador) Instrumentação Industrial 1a ed Rio de Janeiro:BEGA, E. A. (Organizador). Instrumentação Industrial 1a. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2003. 541 p. FRANKLIN, G.F., POWELL, J.D., EMAMI-NAEINI, A. Feedback Control of Dynamic y Systems 3a. ed. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 778 p. GARCIA, CLAUDIO. Modelagem e Simulação 1a. ed. São Paulo: EDUSP, 1997. 458 p. MARLIN, T. Process Control - Designing Processes and Control Systems for Dynamics Performance 1a. ed. USA: McGraw-Hill, 1995. 954 p. NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle 3a. Edição ed. São Paulo: LTC, 2002. 695 p. OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4a ed São Paulo: Pearson Prentice HallOGATA, K. Engenharia de Controle Moderno 4a. ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall, 2005. 788 p. 37
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