Matemática Basica (8)

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Gil da Costa Marques
TriGonoMeTria no 
TriânGulo reTânGulo8
Fu
nd
am
en
to
s 
de
 M
at
em
át
ic
a 
i
8.1 Trigonometria nos primórdios
8.2 ângulos no triângulo retângulo: o grau
8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo
8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a lei dos Senos e a lei dos Cossenos
8.5 outras razões trigonométricas
8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis
163
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8.1 Trigonometria nos primórdios
Por alguma razão, o número 60 tinha um apelo místico para os babilônios. Como resultado, 
cerca de 2.000 anos antes da era cristã, já propunham um sistema de numeração cuja base era 
esse número. Tal sistema tornou-se conhecido como sexagesimal, uma vez que a base escolhida 
por eles era o número 60, ou seja, nesse sistema qualquer número poderia ser expresso como 
soma de potências de 60 multiplicadas por constantes adequadas. Os Babilônios propuseram 
a divisão da circunferência de um círculo em 360 partes iguais, daí resultando a unidade de 
medida de ângulo conhecida como grau. Dessa forma uma circunferência tem 360°.
Considerando-se dois pontos (P1, P2), ambos localizados sobre uma circunferência, é 
possível construir o segmento de reta determinado por esses dois pontos (veja Figura 8.1). 
Hiparco definia corda (Crd) como o comprimento desse segmento. Para medi-lo, Hiparco 
introduzia uma unidade de comprimento que dependia do raio da circunferência. Para isso, 
dividia o raio da circunferência em 60 partes iguais.
Traçando duas semirretas a partir da origem, passando pelos dois 
pontos, P1 e P2, podemos agora introduzir o ângulo a medindo 
a inclinação dessas semirretas. Claramente, a corda depende desse 
ângulo. Temos assim:
 8.1 
Hiparco (cerca 140 a.C.) recebeu o crédito por ter iniciado a trigono-
metria, ou melhor, ter introduzido, de forma indireta, o conceito de 
seno de um ângulo. Hiparco era pesquisador no museu de Alexandria, 
a primeira instituição científica financiada pelo poder público. 
Transformou-se num dos maiores astrônomos da antiguidade. Sua 
principal contribuição à matemática teve a influência da matemática 
dos babilônios. Credita-se a ele a introdução, nos meios científicos 
relevantes na época, da medida de ângulo proposta pelos babilônios. 
Introduziu também a função seno utilizando o número 60.
Figura 8.1: Definição de Corda 
associada a um ângulo.
Crd Crd= ( )a
164
8 Trigonometria no triângulo retângulo
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A corda pode ser, nesse contexto, entendida como função do ângulo a.
Adotando essa forma de caracterizar ângulos, ou de medi-los, podemos agora entender 
como Hiparco introduziu a função seno, como é definida nos dias de hoje. De fato, sua relação 
com a função comprimento da corda é bem simples:
 8.2 
Escrevendo a corda como sendo dada por 
 8.3 
e utilizando o valor do raio, sem efetuar sua divisão em 60 partes, a função seno, definida a 
partir da função corda em 8.2, pode ser escrita como: 
 8.4 
A rigor, Hiparco não estava introduzindo a função seno. Ele definia o que denominamos 
seno de um ângulo. Tal definição é análoga àquela obtida a partir das relações métricas de 
ângulos agudos num triângulo retângulo.
Hiparco gerou uma tabela de cordas. Essa tabela é muito semelhante a uma tabela dos senos, 
desde que nos atenhamos a ângulos menores do que 180°. A fim de determinar a posição dos 
corpos celestes, Hiparco teve a ideia de fazer a interpolação para gerar algo como a função corda. 
Ptolomeu publicou, em sua obra O Almagesto, uma tabela de cordas para ângulos variando 
dentro de intervalos de 0,5°.
8.2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau
Um triângulo é retângulo quando possui um ângulo reto, isto é, dois de seus lados são 
perpendiculares. Esses lados são denominados catetos e aquele oposto ao ângulo reto é deno-
minado hipotenusa. 
sen
Crd
sen
Crda a
R
a a
2 2 2 120
=
( )
→ 




 =
( )
Crd a l( ) = 2
sen a l
R2





 =
165
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Para medir os ângulos de um triângulo retângulo utilizamos o grau como unidade de medida.
Observamos que, como o ângulo reto tem 90° por medida, os outros dois ângulos de um 
triângulo retângulo são complementares, ou seja, têm como medida de sua soma 90°.
No caso de um triângulo retângulo, vale o teorema de Pitágoras, ou seja, vale a relação:
 8.5
onde c é medida da hipotenusa, a e b são as medidas dos catetos.
8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo 
agudo num triângulo retângulo
Considerando o ângulo A, por exemplo, o lado que é 
oposto a ele tem o nome de cateto oposto (o lado de medida 
a ou simplesmente o lado a), enquanto o lado adjacente a ele, 
e diferente da hipotenusa (o lado de medida b ou lado b), é 
denominado cateto adjacente a esse ângulo. Observe que, 
considerando agora o ângulo B, o lado b é o seu cateto oposto 
enquanto o lado a é o seu cateto adjacente.
Você lembra?
1 grau é a medida do ângulo central obtido ao 
dividir uma circunferência em 360 partes iguais. 
Figura 8.2: Lados e vértices 
do triângulo retângulo.
a b c2 2 2+ =
Figura 8.3: Lados de um 
triângulo retângulo.
166
8 Trigonometria no triângulo retângulo
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A partir da notação, definimos o seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo como 
sendo o quociente do cateto oposto pela hipotenusa:
Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3: 
 8.6 
Podemos também definir o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo como 
sendo o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa:
Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3: 
 8.7 
Convém observar que num triângulo retângulo só temos como definir senos e cossenos para 
os ângulos agudos. 
senθ = cateto oposto
hipotenusa
Figura 8.4: Seno de um ângulo 
agudo de um triângulo retângulo.
sen sen
 
A a
c
B b
c
= = 
cosθ = cateto adjacente
hipotenusa
Figura 8.5: Cosseno de um ângulo 
agudo de um triângulo retângulo.
cos cosA b
c
B a
c
 = = 
167
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Exemplos
• ExEmplo 1
A partir do triângulo equilátero ABC de lado l e do quadrado de lado a da Figura 8.6, preencha 
as lacunas da tabela: 
30° 60° 45°
Seno
Cosseno
→ REsolução:
Observemos a Figura 8.6:
a. Para o caso do triângulo equilátero ABC, de lado l:
Lembrando que, num triângulo equilátero, a altura, bissetriz e mediana, traçadas a partir de um 
vértice, coincidem, consideremos CH a altura do triângulo equilátero ABC, relativa à base AB;
pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo HBC, obtemos que
de onde
h l= 3
2
 ou h l= − 3
2
 (não convém)
Portanto, temos que:
Figura 8.6: O triângulo equilátero ABC e o quadrado DEFG.
h l l2 2
2
4
= −
sen sen sen30
2
2 1
2
° = = = = =HCB ACB
l
l

 cateto oposto
hipotenusa
168
8 Trigonometria no triângulo retângulo
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e
bem como:
e
b. Para o caso do quadrado DEFG, de lado a:
Consideremos DF a diagonal do quadrado; pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retân-
gulo isósceles DEF, obtemos que
de onde
d a= 2 ou d a= − 2 (não convém)
Portanto, temos que:
Completando então a tabela:
30° 60° 45°
Seno
1
2
3
2
2
2
Cosseno 3
2
1
2
2
2
Convém notar que sen 30° = cos 60° e cos 30° = sen 60° que, alias, é uma propriedade válida para 
qualquer par de ângulos complementares, isto é sen α = cos (90° − α) e e cos α = sen (90° − α), 
como adiante veremos.
cos cos cos30
2
3
2° = = = = =HCB ACB h
l
l
l

 cateto adjacente
hipotenusa
==
3
2
sen sen60
3
2 3
2
° = = = = =CBH h
l
l
l

cateto oposto
hipotenusa
cos cos60 2 1
2
° = = = =CBH
l
l

cateto adjacente
hipotenusa
d a a2 2 2= +
sen
hipotenusa
45 45
2
2
2
° = ° = = =cos a a
a169
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8.4 Propriedades dos senos e cossenos: 
a lei dos Senos e a lei dos Cossenos
Uma propriedade notável do cosseno e seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo 
é facilmente derivada a partir do teorema de Pitágoras. De fato, tomando os valores do seno e 
do cosseno do ângulo agudo A no triângulo retângulo da Figura 8.3, conforme as expressões 
8.6 e 8.7, e, em seguida, somando os valores dos seus respectivos quadrados, obtemos:
 8.8 
Utilizando o teorema de Pitágoras (8.5), resulta de 8.8 que, para qualquer ângulo agudo 
num triângulo retângulo, vale a relação:
 8.9 
A fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis 
entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo 
ser acutângulo ou obtusângulo, vamos ampliar o conceito de seno e cosseno de um ângulo. 
Para tal, introduzimos as seguintes identidades:
 8.10 
 8.11 
 8.12 
 8.13 
sen cos2 2
2 2
2A A
a
c
b
c
a b
c
 + = 










 =
+2 2+ 
sen cos2 2 1θ θ+ =
sen90 1° =
cos90 0° =
sen( ) sen180° − =x x
cos( ) cos180° − = −x x
170
8 Trigonometria no triângulo retângulo
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Consideremos, em primeiro lugar, a Lei dos Senos a qual estabelece que, num triângulo 
ABC qualquer, vale a seguinte relação: 
onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectiva-
mente e r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerando um triângulo ABC qualquer, inscrito numa 
circunferência de raio r, a partir do vértice B podemos encontrar, 
na circunferência, um ponto diametralmente oposto D; ligando D 
a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C, pois o 
ângulo BCD é inscrito numa semicircunferência. 
Os ângulos de vértices em A e D são inscritos na circunferência 
e determinam o mesmo arco BC, logo têm a mesma medida.
Agora, no triângulo retângulo BCD, temos:
de onde 
ou seja,
Repetindo o raciocínio, para os ângulos de vértices B e C, teremos as relações:
b
B
r
sen 
= 2 e c
C
r
sen 
= 2
Logo, podemos concluir que: 
a
A
b
B
c
C
r
sen sen sen  
= = = 2
Figura 8.7: Triângulo ABC qualquer, 
inscrito numa circunferência de raio r.
senD a
r
 =
2
sen A a
r
 =
2
a
A
r
sen 
= 2
a
A
b
B
c
C
r
sen sen sen  
= = = 2
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Consideremos agora a Lei dos Cossenos, a qual estabelece que, num triângulo ABC, 
qualquer, valem as seguintes relações: 
onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente.
Vamos provar apenas a primeira das relações e isso será suficiente, pois as três são análogas. 
Analisemos as três possibilidades para o ângulo A (agudo, obtuso e reto).
a. A é um ângulo agudo.
Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo AHC é retângulo e pelo 
Teorema de Pitágoras, 
b2 = h2 + m2
O triângulo HBC também é retângulo e, novamente pelo Teorema de Pitágoras, 
a2 = h2 + n2
Além disso, m + n = c, e, eliminando h nas duas primeiras equações, obtemos: 
b2 − m2 = a2 − n2
Eliminando n obtemos:
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
 
 
 
cos
cos
cos



Figura 8.8: Triângulo ABC em que 
o ângulo de vértice A é agudo.
b m a c m2 2 2 2− = − −( )
172
8 Trigonometria no triângulo retângulo
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Portanto, b2 − m2 = a2 − c2 + 2cm − m2 e daí a2 = b2 + c2 − 2cm. 
Mas (m/b) = cos A ou m b A= .cos  .
de onde a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A.
b. A é um ângulo obtuso.
Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo CHA é retângulo e 
assim, pelo teorema de Pitágoras, 
b2 = h2 + m2
Como o triângulo CHB é retângulo, pelo teorema de Pitágoras, 
a2 = h2 + (m + c)2
Eliminando h, temos:
b2 − m2= a2 − (m + c)2
Simplificando a última equação, temos:
a2 = b2 + c2 + 2cm
Mas 
m
b
H AC A A= = ° − = −cos cos( ) cos 180 , ou seja, 
m = − b.cos A
Logo, 
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A .
Figura 8.9: Triângulo ABC em que 
o ângulo de vértice A é obtuso.
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c. A é um ângulo reto.
Este caso é o próprio teorema de Pitágoras, pois cos A = 0.
• ExEmplo 2
1. Determine o valor de x no triângulo abaixo.
a. 
→ REsolução:
Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo da Figura 8.10, temos:
e, como sen 120° = sen 60° = 
3
2
 e sen 45° = 
2
2
 temos:
b. 
→ REsolução:
Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo ABC da Figura 8.11, temos:
uma vez que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.
Logo, como sen 30° = 
1
2
 e sen 45° = 
2
2
, temos
Figura 8.10: 
O triângulo dado.
100
120 45sen sen°
=
°
x
x = =100 2
3
100
3
6
Figura 8.11: 
O triângulo dado.
100
30 45sen sen°
=
°
x
x =100 2
174
8 Trigonometria no triângulo retângulo
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c. 
→ REsolução:
Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC da Figura 8.12, temos:
x2 = 16 + 25 − 2.4.5.cos 60°
ou seja, como cos 60° = 
1
2
, temos:
x2 = 21
ou seja, 
2. Mostre que a área S de um triângulo, cujos lados são a, b e c, é dada por: 
S p p a p b p c= − − −( )( )( ) , onde p é o semi-perímetro do triângulo. Essa relação é devida 
a Heron.
→ REsolução:
Consideremos a Figura 8.13.
Sabemos que a área do triângulo é dada por
Também temos sen A h
b
 = .
E, pela Lei dos Cossenos, 
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A
ou seja,
Como sen cos2 2 1A A + = , temos:
Figura 8.12: 
O triângulo dado
x = 21
Figura 8.13: O triângulo ABC.
S c h= ⋅
2
cos A b c a
bc
 =
+ −2 2 2
2
h
b
b c a
bc





 +
+ −




 =
2 2 2 2 2
2
1
175
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Ou seja, 
2
2
1
2 2 2 2 2S
bc
b c a
bc





 +
+ −




 = , pois h
S
c
=
2
.
Multiplicando e dividindo por 2 a primeira fração, temos
ou seja, 
(4S)2 + (b2 + c2 − a2)2 = (2bc)2
de onde resulta
16S2 = (2bc)2 − (b2 + c2 −a2)2
Uma vez que o segundo membro é uma diferença de quadrados, podemos escrever
16S2 = [2bc − (b2 + c2 − a2)].[2bc + (b2 + c2 − a2)] 
ou ainda,
16S2 = [a2 − (b2 + c2 − 2bc)].[(b2 + c2 + 2bc)] − a2] 
isto é,
16S2 = [a2 −(b − c)2].[(b + c)2 − a2] 
Novamente, fatorando as diferenças de quadrados,
16S2 = [a + b − c]. [a − b + c].[b + c + a].[b + c − a] 
ou
Como p a b c= + +
2
 é o semiperímetro, temos
S2 = (p − c).(p − b).p.(p − a) 
ou
Ou, de outra forma, 
S p p a p b p c= − − −.( ).( ).( ) .
4
2 2
1
2 2 2 2 2S
bc
b c a
bc





 +
+ −




 =
S a b c a b c a b c b c a2
2 2 2 2
=
+ −
⋅
− +
⋅
+ +
⋅
+ −
S p c p b p p a= − − −( ).( ). .( )
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8.5 Outras razões trigonométricas
Num triângulo retângulo, sempre no caso de um ângulo agudo, ainda podemos definir 
outras razões entre as medidas de seus lados, além daquelas que definem o seno e o cosseno. 
Definimos a tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo o quo-
ciente do cateto oposto pelo cateto adjacente: 
 8.14 
Temos assim que, num triângulo retângulo, como o da Figura 8.3, definimos a tangente dos 
ângulos A e B, em termos dos catetos do triângulo retângulo:
 8.15 
Definimos também a cotangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo 
o quociente do cateto adjacente pelo cateto oposto ou o inverso da tangente do mesmo ângulo:
 8.16 
Temos assim que a cotangente do ângulo A e a cotangente do ângulo B da Figura 8.3 são, 
em termos dos catetos a e b:
 8.17 
Figura 8.14: Tangente de um ângulo 
agudo do triângulo retângulo.
tg cateto oposto
cateto adjacente
θ =
tg tgA a
b
B b
a
 = = 
Figura 8.15: Cotangente de um 
ângulo agudo do triânguloretângulo.
cotg
tg
θ
θ
= =
1 cateto adjacente
cateto oposto
cotg cotgA b
a
B a
b
 = = 
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Definimos ainda o valor da secante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o 
inverso do cosseno do mesmo ângulo. Temos, pois, em termos dos lados do triângulo:
 8.18 
Assim, para os ângulos A e B da Figura 8.3, temos:
 8.19 
Definimos a cossecante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o inverso do 
seno do mesmo ângulo:
 8.20 
Consequentemente, os valores da cossecante do ângulo A e da cossecante do ângulo B da 
Figura 8.3 são dados, em termos dos lados do triângulo
 8.21 
Conclui-se que, num triângulo retângulo, podemos definir diferentes valores associados a 
ângulos agudos, valores esses que são quocientes entre as medidas dos lados do triângulo. 
Figura 8.16: Secante de um ângulo 
agudo do triângulo retângulo.
secθ = hipotenusa
cateto adjacente
sec secA c
b
B c
a
 = = 
Figura 8.17: Cossecante de um 
ângulo agudo do triângulo retângulo.
cossecθ = hipotenusa
cateto oposto
cossec cossecA c
a
B c
b
 = = 
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8 Trigonometria no triângulo retângulo
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8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis
Medir é comparar. No cotidiano, a medida de distâncias é feita através de uma medida direta, 
isto é, comparando-se as dimensões de algo com uma unidade padrão. Usualmente, adotamos o 
metro como unidade padrão para medir distâncias. Na astronomia utilizamos outras unidades, 
as quais serão aqui apresentadas. 
Medidas diretas são inviáveis na Astronomia. Por isso, no caso dos objetos localizados fora 
da Terra as medidas são efetuadas de uma maneira indireta.
Um dos métodos indiretos mais antigos de determinação das distâncias é o uso da triangu-
lação. Na Figura 8.18 esboçamos o esquema básico do uso da triangulação, para determinação 
da altura (h) do monte. Ele requer a determinação de um ângulo (θ), entre as direções da base e 
do cume do monte, e da distância (d) entre o observador e o monte; θ e d podem ser medidos. 
O ângulo θ é medido com um instrumento denominado teodolito.
Algumas vezes utilizamos a semelhança entre triângulos.
Um dos registros mais antigos de uso desse método indireto é aquele atribuído a Tales de 
Mileto (625 – 558 a.C.), o qual teria determinado a altura da pirâmide de Gizé a partir da 
determinação da dimensão da sombra projetada no solo. Tomou o cuidado de efetuar tal 
medida no exato momento em que o tamanho de sua sombra projetada no solo era igual à 
sua altura. Nesse momento, o tamanho da sombra da pirâmide era igual à altura da pirâmide.
Figura 8.18: Determinação da altura do monte por triangulação: tgθ = h/d ou h = d × tgθ.
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Na Figura 8.19 está representada a configuração de uma estrela, vista da Terra em duas 
posições diametralmente opostas no seu movimento de translação e o Sol. A paralaxe estelar é 
o desvio aparente da estrela em relação às estrelas de 
fundo. O ângulo de paralaxe é p. As posições aparentes 
da estrela podem ser registradas em imagens da região 
do céu, obtidas em épocas diferentes. As paralaxes são 
diminutas. Ou seja, são medidas em segundos de arco. 
Por exemplo, a estrela mais próxima do Sol, a Próxima 
Centauro (e de grande paralaxe, portanto) tem paralaxe 
de meros 0,77 segundo de arco (2 décimos-milésimo 
de grau). Estrelas mais distantes têm paralaxes menores 
ainda.Tendo em vista a dificuldade experimental de 
distinguir pontos muito próximos, esse método é 
bastante limitado.
O método da paralaxe trigonométrica introduziu na Astronomia uma nova unidade de 
comprimento: o parsec. Um parsec é equivalente a 3,26 anos-luz ou 206.264 unidades 
astronômicas, ou ainda 31 trilhões de quilômetros. Nesta unidade, as distâncias a estrelas mais 
brilhantes visualmente ficam a distâncias entre 1,3 pc (a-Centauri) e 800 pc, excluindo-se 
evidentemente o Sol. 
 D(parsec) = 1 / p(segundo de arco) 
Experimente escrever essas distâncias em km, você vai ter que escrever muitos dígitos! 
Um parsec = 206265 U.A. Uma unidade astronômica, por sua vez, é equivalente a 1,49 · 108 km.
• ExEmplo 3
1. Na Figura 8.20 está representado um morro entre 
dois pontos A e B. Um teodolito colocado no ponto 
C consegue mirar tanto A quanto B, informando que 
o ângulo ACB = 135°. Sabendo que CA = 100 m 
e que CB = 75 m, pede-se determinar a distância 
entre A e B.
Figura 8.19: Paralaxe estelar.
Figura 8.20: Encontrar 
a distância entre A e B.
180
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
→ REsolução:
Pela Lei dos Cossenos, temos:
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2AC.BC.cos 135°
Como cos 135° = − cos 45° = −
2
2
 então 
(AB)2 ≅ 26231,6 de onde AB ≅ 161,96 m.
2. Na Figura 8.21, estão representados os pontos A e B situados em 
margens opostas de um rio. Para calcular a distância AB, o topógrafo 
considerou um ponto C de onde fosse possível mirar os pontos A e 
B. Em seguida, com uma trena, mediu BC, encontrando 300 m, e, 
com o teodolito, mediu os ângulos ACB e ABC , encontrando 85° e 
75°, respectivamente. Quanto mede AB aproximadamente?
→ REsolução:
Em primeiro lugar, sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é 
180o, determinamos o ângulo A BAC = = 20°.
Pela Lei dos Senos, temos:
de onde temos 
ou seja, usando uma calculadora, obtemos
AB ≅ 874
Glossário
Acutângulo: Todos os ângulos são agudos.
Obtusângulo: Há no triângulo um ângulo obtuso.
Parsec: Distância produzida por uma paralaxe anual média de um segundo de arco.
Figura 8.21: Encontrar 
a distância entre A e B.
300
20 85sen sen°
=
°
AB
AB = °
°
300 85
20
.sen
sen
Agora é sua vez...
Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize a(s) 
atividade(s) proposta(s).
	8.1 Trigonometria nos primórdios
	8.2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau
	8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo
	8.4 Propriedades dos senos e cossenos: 
a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos
	8.5 Outras razões trigonométricas
	8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis
	Acutângulo: 
	obtusângulo: 
	acutângulo_QD: 
	acutângulo_X: 
	obtusângulo_QD: 
	obtusângulo_X: 
	teodolito: 
	teodolito_QD: 
	teodolito_X: 
	parsec: 
	parsec_QD: 
	parsec_X: