Lista de Exercícios - UFJF

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162 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
4.12 Exercícios
1. Verifique que se f e g são períodicas de periódo T , então f + g e f g são perío-
dicas de
periódo T .
2. Seja F (x) =
∫
x
0
f(t) dt. Verifique que:
a) F é par se f é ímpar
b) F é ímpar se f é par
3. Seja f(x) = cos(αx) + cos(β x). Verifique que f é periódica se
α
β
∈ Q.
4. Se f é periódica de período 2 l, verifique que:
F (x) =
∫
x
0
[
f(t)−
a0
2
]
dt,
onde a0 ∈ R, é periódica de período 2 l.
5. Sejam P = Pn(x) os polinômios de Legendre. Verifique que são ortogonais em
C([−1, 1]):
Pn · Pm =
∫
1
−1
Pn(x)Pm(x) dx = 0,
se n 6= m e Pn · Pn =
2
2n+ 1
. Utilize a fórmula de Rodrigues.
6. Determine S[f ], se:
a) f(x) = 2 x; x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
b) f(x) = 2 x− 1; x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
c) f(x) = x2 + x; x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2 pi)
d) f(x) = ex, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
e) f(x) = senh(x), x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
f) f(x) = cosh(x), x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
g) f(x) = 2 cos2(x), x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2 pi)
4.12. EXERCÍCIOS 163
h) f(x) = cos(3 x) + cos2(x), x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2 pi)
i) f(x) =


1
2
+ x se − 1 ≤ x < 0
1
2
− x se 0 ≤ x < 1
, tal que f(x) = f(x+ 2)
j) f(x) =
{
−x+ pi se − pi ≤ x ≤ 0
x se 0 < x < pi
, tal que f(x) = f(x+ 2 pi)
k) f(x) =


0 se − 3 pi ≤ x < pi
1 se pi ≤ x < 2 pi
2 se 2 pi ≤ x < 3 pi
, tal que f(x) = f(x+ 6 pi)
l) f(x) =
{
0 se − pi ≤ x < 0
x2 se 0 ≤ x < pi
, tal que f(x) = f(x+ 2 pi)
m) f(x) =
{
0 se − pi ≤ x < 0
x3 se 0 ≤ x < pi
, tal que f(x) = f(x+ 2 pi)
n) A função que tem como gráfico:
pi
−pi pi 2pi
164 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
o) A função que tem como gráfico:
63-3-6
-3
p) A função que tem como gráfico:
−pi[
pi
pi−pi
7. Determine S[f ], onde:
a) f(x) = a x+ b, x ∈ [−l, l], tal que f(x) = f(x+ 2 l)
b) f(x) = a x2 + b x+ c, x ∈ [−l, l], tal que f(x) = f(x+ 2 l)
8. Determine a expressão matemática de fp, fo e esboce os gráficos de fp e fo das
funções:
a) f(x) = 2 x, x ∈ [0, 1]
b) f(x) = x2 + 1, x ∈ [0, 1]
c) f(x) = x2 − x+ 1, x ∈ [0, 1]
d) f(x) = ex, x ∈ [0, 1]
4.12. EXERCÍCIOS 165
e) f(x) = cos(pi x), x ∈ [0, 1]
f) f(x) = x3, x ∈ [0, 1]
g) f(x) = cosh(x), x ∈ [0, 1]
h) f(x) = senh(x), x ∈ [0, 1]
i) A função que tem como gráfico:
pi
pi2pi/3
j) A função que tem como gráfico:
1
2
−2
2
166 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
k) A função que tem como gráfico:
4
2
9. Determine a série dos cosenos S[fp] e dos senos S[fo], onde f é dada pelo ítem
anterior.
10. Esboce os gráficos das somas parciais até de ordem 4, do ítem anterior.
11. Seja f(x) =
{
0 se − 5 < x < 0
3 se 0 < x < 5,
tal que f(x+ 10) = f(x).
Como se deve redefinir f para que S[f ] convirja em [−5, 5].
12. Utilize a série de Fourier de f(x) = ex, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2 pi)
para achar o valor da série:
∞∑
n=1
(−1)n
n2 + 1
.
13. Utilize a série de Fourier de f(x) = x2, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2 pi)
para verificar que:
a)
∞∑
n=1
1
n2
=
pi2
6
b)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
=
pi2
12
c)
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
pi2
8
4.12. EXERCÍCIOS 167
14. Esboce o gráfico das séries de Fourier do ítem 1.
15. Utilize a série de Fourier de:
f(x) =
{
−1 se − pi ≤ x < 0
1 se 0 ≤ x < pi,
f(x) = f(x + 2 pi), para determinar por integração a série de Fourier de f(x) =
|x|,
x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2 pi).
16. Determine se a série de Fourier das seguintes funções convergem uniforme-
mente:
a) f(x) = ex, x ∈ (−1, 1)
b) f(x) = senh(x), x ∈ (−pi, pi)
c) f(x) = sen(x) + |sen(x)|, x ∈ (−pi, pi)
d) f(x) = x+ |x|, x ∈ (−1, 1)
17. Seja f(x) = x + 1|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve
ter Sn para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%?
18. Seja f(x) = x2 + x, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve
ter Sn para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%?