Séries de Fourier - UFMG

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Cap 17 – Séries de Fourier - IntroduçãoCap 17 – Séries de Fourier - Introdução
MotivaçãoMotivação
Interesse em funções periódicas:
(a) Muitas fontes de energia elétrica de interesse prático geram formas de ondas
periódicas:
ƒ retificadores de onda completa e meia onda alimentados por senóides;
ƒ geradores varredura para controle de feixe eletrônico de tubos de
imagem (osciloscópios ou televisões);
ƒ osciladores eletrônicos para testes de equipamentos;
ƒ geradores síncronos (geradores de energia elétrica), embora projetados
para produzirem ondas senoidais, na prática, não conseguem gerar
ondas senoidais perfeitas, embora as ondas geradas sejam periódicas.
(b) Qualquer não linearidade em um circuito elétrico submetido a excitação
senoidal dá origem a uma função periódica não senoidal.
(c) Funções senoidais periódicas aparecem em outros ramos da engenharia
Interesse na análise de circuitos senoidais: esta análise permite investigar a
resposta estacionária dos circuitos a qualquer excitação periódica, mesmo que a
função de excitação não seja senoidal.
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Cap 17 – Séries de Fourier - IntroduçãoCap 17 – Séries de Fourier - Introdução
( )
1
( ) cos seno n o n o
n
f t a a n t b n tω ω∞
=
= + +∑
onω harmônicos de f(t) (n é número inteiro maior que 1)
Seja f(t) uma função periódica, de período fundamental T. O matemático francês
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descobriu que funções periódicas podem
ser expressa como uma série infinita de funções trigonométricas na forma:
onde
2
o T
πω = freqüência angular fundamental em rad/s
a0, an e bn são os coeficientes de Fourier da função f(t)
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Cap 17 – Séries de Fourier - IntroduçãoCap 17 – Séries de Fourier - Introdução
1) f(t) deve ser unívoca (monovaloridade);
2) f(t) deve ter um número finito de descontinuidades em um intervalo periódico;
3) f(t) deve ter um número finito de máximos e mínimos no intervalo periódico;
4) A integral existe.( )o
o
t T
t
f t dt
+
∫
Condições suficientes para expressar f(t) como Série de Fourier
(Condições de Dirichlet: condições suficientes, mas não necessárias)
Condições suficientes para expressar f(t) como Série de Fourier
(Condições de Dirichlet: condições suficientes, mas não necessárias)
( )( )
período da fundamental
f t f t nT
T
= +⎧⎪⎨ →⎪⎩
Funções periódicas:Funções periódicas:
A função f(t) é uma função periódica, de período fundamental T quando
4
Coeficientes de FourierCoeficientes de Fourier
( )1 o
o
t T
o
t
a f t dt
T
+
= ∫
Efeitos da simetriaEfeitos da simetria
Se f(t) = f(–t) então f(t) é uma função parSe f(t) = f(–t) então f(t) é uma função par
( ) ( )2 seno
o
t T
n o
t
b f t n t dt
T
ω
+
= ∫( ) ( )2 coso
o
t T
n o
t
a f t n t dt
T
ω
+
= ∫
Cap 17 – Séries de Fourier - IntroduçãoCap 17 – Séries de Fourier - Introdução
bn = 0bn = 0
Se f(t) = –f(– t) então f(t) é uma função ímparSe f(t) = –f(– t) então f(t) é uma função ímpar an = 0an = 0
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( ) ( ) ( )
0 0
1 20 ; cos 0 ( )
T T
o g n g o ga v t dt a v t n t dt v t é ímparT T
ω ⎡ ⎤= = = ⋅ = ⎣ ⎦∫ ∫
Série de Fourier da entrada vg(t)Série de Fourier da entrada vg(t)
( ) ( ) ( ) ( )2
0 0
2 42 4sen sen 1 cos ( )
TT
m m
n g o m o
V Vb v t n t dt V n t dt n n ímpar
T T n n
ω ω ππ π= ⋅ = ⋅ = − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( )
4 sen( ) sen m og n o
n impar n impar
V n tv t b n t
n
ωω π
∞ ∞
= =∑ ∑
( )gv t Cjω
1 ( )ov t
To
πω 2=g
v
Desta forma:
Cap 17 – Séries de Fourier - AplicaçãoCap 17 – Séries de Fourier - Aplicação
Determinar a tensão no capacitor em regime estacionário v0(t)Determinar a tensão no capacitor em regime estacionário v0(t)
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Utilizando o Teorema da superposição
(Resposta total é a soma das respostas para cada freqüência)
Utilizando o Teorema da superposição
(Resposta total é a soma das respostas para cada freqüência)
Cap 17 – Séries de Fourier - AplicaçãoCap 17 – Séries de Fourier - Aplicação
1
( ) 1
1( ) 1
o
g
V j j C
V j j RCR j C
ω ω
ω ωω
= = ++
( )1
2 2 2
1( ) ( )
1
( )
tan
1
g
o g
V j
RV j V j
j R CC
C
R
ω ωω
ω ωω
−∠+= =+
( )gv t 1j Cω ( )ov t
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Resposta para a freqüência fundamental:Resposta para a freqüência fundamental:
Resposta para o 3º harmônico:Resposta para o 3º harmônico:
Cap 17 – Séries de Fourier - AplicaçãoCap 17 – Séries de Fourier - Aplicação
1
4V 0º
1
m
o
o
V
j RC
π
ω
⎛ ⎞∠⎜ ⎟⎝ ⎠= +
( )
( )
1 12 2 2
1
1
4V( ) sen
1
tan
m
o o
o
o
v t t
R C
RC
ω βπ ω
β ω−
⎧ = −⎪ +⎨⎪ =⎩
3
4V 0º3
1 3
m
o
o
V
j RC
π
ω
⎛ ⎞∠⎜ ⎟⎝ ⎠= +
( ) ( )
( )
3 32 2 2
1
3
4V( ) sen 3
3 1 3
tan 3
m
o o
o
o
v t t
R C
RC
ω β
π ω
β ω−
⎧ = −⎪⎪ +⎨⎪ =⎪⎩
1
4( ) senmg o
Vv t tωπ=
3
4( ) sen3
3
m
g o
Vv t tωπ=
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Resposta para o n-ésimo harmônico (n ímpar):Resposta para o n-ésimo harmônico (n ímpar):
Utilizando o Teorema da Superposição vem que:Utilizando o Teorema da Superposição vem que:
( )∑∞ +
−=
)( 22
221
senV4)(
imparn o
nom
o
CRnn
tntv ω
βω
π
Cap 17 – Séries de Fourier - AplicaçãoCap 17 – Séries de Fourier - Aplicação
4V 0º
1
m
on
o
n
V
jn RC
π
ω
⎛ ⎞∠⎜ ⎟⎝ ⎠= +
( ) ( )
( )
2 2 2
1
4V( ) sen
1
tan
m
on o n
o
n o
v t n t
n n R C
n RC
ω β
π ω
β ω−
⎧ = −⎪⎪ +⎨⎪ =⎪⎩
4V( ) senmgn ov t n tn
ωπ=
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Forma alternativa da Série de FourierForma alternativa da Série de Fourier
Cap 17 – Séries de Fourier – Forma AlternativaCap 17 – Séries de Fourier – Forma Alternativa
( ) ( )
1
coso n o n
n
f t a A n tω θ∞
=
= + −∑
onde An e θn são definidos pela expressão complexa
2 2 1tan nn n n n n n
n
ba jb a b A
a
θ− ⎛ ⎞− = + ∠− = ∠−⎜ ⎟⎝ ⎠
( )0 0 0 0 0 0
1 1
( ) cos sen cos cos 90n n n n
n n
f t a a n t b n t a a n t b n tω ω ω ω∞ ∞
= =
= + + = + + − °∑ ∑
ProvaProva
Escrevendo os termos dentro do somatório na forma de fasores, vem que:
( )
0 0
1 1
0 0 0
1 1
( ) 0 90
cos
n n n n
n n
n n n n
n n
f t a a b a a jb
a A a A n tθ ω θ
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
= + ∠ °+ ∠− ° = + − =
= + ∠− = + −
∑ ∑
∑ ∑
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De uma maneira geral:
( )
( )
1
1
( ) cos
( ) cos
dc n o vn
n
dc n o in
n
v t V V n t
i t I I n t
ω θ
ω θ
∞
=
∞
=
⎧ = + −⎪⎪⎨⎪ = + −⎪⎩
∑
∑
Cap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da PotênciaCap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da Potência
Potência Média de Funções PeriódicasPotência Média de Funções Periódicas
Desta forma
1 ( ) ( )
o
o
t T
t
P v t i t dt
T
+
= ⋅∫
( )
1
cos
2
n n
dc dc vn in
n
V IP V I θ θ∞
=
= + −∑
( )( ) ( )
1
cosdc dc rms n rms n vn in
n
P V I V I θ θ∞
=
= + −∑
ou seja, é possível o cálculo rápido da potência média quando se dispõe da tensão
e da corrente na forma modificada da Série de Fourier.
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Valor RMS de Funções PeriódicasValor RMS de Funções Periódicas
Desta forma
22
2 2
1 12 2
n n
rms o o
n n
A AY a a
∞ ∞
= =
⎛ ⎞= + = + ⎜⎝ ⎠∑ ∑
Cap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da PotênciaCap 17 – Séries de Fourier – Cálculo da Potência
( )21 o
o
t T
rms
t
Y y t dt
T
+
= ∫ ( ) ( )
1
coso n o n
n
y t a A n tω θ∞
=
= + −∑sendo
Seja um sinal genérico periódico y(t). Para este sinal tem-se que
ou seja, o valor RMS de y(t) pode ser expresso em termos dos coeficientes da
Série de Fourier.
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Cap 17 – Séries de Fourier – Forma ExponencialCap 17 – Séries de Fourier – Forma Exponencial
Forma exponencial da Série de FourierForma exponencial da Série de Fourier
( ) ∑∞
−∞=
=
n
tjn
n
oeCtf ω ( )1 o o
o
t T
jn tn
t
C f t e dt
T
ω
+
−= ∫onde
ProvaProva
0
1
0
1
0
1
( ) cos sen
2 2
2 2
o o o o
o o
n o n o
n
jn t jn t jn t jn t
n n
n
jn t jn tn n n n
n
f t a a n t b n t
e e e ea a b
j
a jb a jba e e
ω ω ω ω
ω ω
ω ω∞
=
− −∞
=
∞ −
=
= + + =
+ −= + + =
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
∑
∑
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Cap 17 – Séries de Fourier – Forma ExponencialCap 17 – Séries de Fourier – Forma Exponencial
( )1 ; 1,2,3,...
2 2
n
n n n n
AC a jb nθ= − = ∠− =
Definindo Cn como
e utilizando as expressões para an e bn, vem que
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 2cos sen
2
1 cos sen
o o
o o
o
o
t T t T
n o o
t t
t T
o o
t
C f t n t dt j f t n t dt
T T
f t n t j n t dt
T
ω ω
ω ω
+ +
+
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= −⎡ ⎤⎣ ⎦
∫ ∫
∫
Ou seja, os coeficientes Cn vão ser da forma:
( )1 o o
o
t T
j n t
n
t
C f t e dt
T
ω
+
−= ∫
válido inclusive para C0 .
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Cap 17 – Séries de Fourier – Forma ExponencialCap 17 – Séries de Fourier – Forma Exponencial
( ) ( )*1 1
2
o
o
o
t T
j n t
n n n n
t
C f t e dt C a jb
T
ω
+
− = = = +∫
Em seguida observa-se que
Desta forma
Ou seja
( )
0
1
* *
0
1 0 1
0 1 0 1
( )
2 2
o o
o o o o
o o o o
jn t jn tn n n n
n
jn t jn t jn t jn t
n n n n
n n n
jn t jn t jn t jn t
n n n n
n n n n
a jb a jbf t a e e
C C e C e C e C e
C e C e C e C e
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
∞ −
=
∞ ∞ ∞− −
= = =
∞ ∞ ∞ −∞−
−
= = = =−
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + + = + =
= + = +
∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
( ) ojn tn
n
f t C e ω
∞
=−∞
= ∑ onde ( )1 o o
o
t T
j n t
n
t
C f t e dt
T
ω
+
−= ∫