Segunda Prova Álgebra Linear 26-03-13 UFCG - Professor Jaime

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Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade                             
Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Álgebra Linear I – Curso: Engenharia Elétrica (1109049) – Turno: Manhã 
Professor(a): __​Jaime Alves Barbosa Sobrinho​__________________ Período: 2012.2 
Aluno(a): _______________________________________________________  Nota:_____________________ 
  
2ª Prova  – 26 de março de 2013 
 
Questão 1:​ ​(2,5) pts) Considere ​α​ = {(2,1,3), (3,­1,4), (5,0,7)}. Responda: 
a) α ​é um subconjunto gerador do espaço ​IR​3​? 
b) α​ é um subconjunto linearmente independente ou mesmo uma base para o espaço ​IR​3​? 
c) Determine uma base ​β​ para o espaço ​IR​3​, contendo o maior número possível de vetores de ​α​. 
d) Considerando ​ζ = base canônica = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e ​β a base encontrada no ítem (c),                                 
encontre a matriz de mudança de base de ​β ​ para ​ζ​. 
e) Determine também a matriz de mudança de base de ​ζ para ​β e as coordenadas do vetor (3,­1,4) em                                     
relação a base ​ζ ​e a base​ β​. 
 
Questão 2: ​(2,5 pts) Seja ​U = {(​x​, ​y​, ​z​, ​t​)∈​IR​4​; ​x – ​y + ​z = 0 e ​y + ​z = 0} e ​W = {(​x​, ​y​, ​z​, ​t​)∈​IR​4​; 2​x + ​y + 2​z –                                                                         
3​t​ = 0}. Responda: 
a) Encontre uma base para os subspaços ​U​ e ​W​; 
b) Encontre também uma base para o subespaço ​U​ ∩ ​W​ e calcule a dimensão do subespaço ​U​ + ​W​; 
c) Obtenha uma base para ​U​ + ​W​ a partir das bases de ​U​ e de ​W​, complementando ou retirando vetores, 
caso necessário; 
d) Defina uma transformação linear ​T​ do ​IR​4​ no ​IR​4​, tal que seu núcleo seja ​U​ e sua imagem contenha o 
subespaço ​W​; 
e) Determine a matriz da transformação linear encontrada em (d), em relação a base canônica do ​IR​4​. 
 
Questão 3: ​(2,5 pts) Seja uma transformação linear com ​V e ​W ​de dimensão finita. Responda e                                   
justifique a sua resposta: 
a) Enunciar o teorema do núcleo­imagem de uma transformação linear; 
b) Se ​T​  for injetiva então  ? 
c) Se ​T​  for sobrejetiva, então  ? 
d) Se  , então ​T​ é um isomorfismo (sobrejetiva e injetiva)? 
e) Se ​T ​é um isomorfismo, então  ? 
 
Questão 4: ​(2,5 pts) Considere ​α = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} e ​β = {(1,0), (1,1)} bases do ​IR​3 e ​IR​2​,                                       
respectivamentes. Se ​T : ​IR​3​→ IR​2 é uma transformação linear tal , determine quem é a                               
transformação linear caracterizando a imagem de quaisquer vetor ​T​(​x​, ​y​, ​z​) = (???, ???). Determine também                               
quais as coordenadas de ​v ​= (1, 0, ­1) em relação a base ​α​ e de ​T​⋅​v​ em relação a base ​β​. 
 
 
– ​☺​ Boa Prova e um Ótimo Feriado/Páscoa! ​☺​ –