RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO

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SEÇÃO 4.3 COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO  1
 1. f (x) = 20 – x – x2, f ¢(x) = –1 – 2x = 0  
x = – 1
2
 (o único número crítico)
 (a) f ¢(x) > 0  –1 – 2x > 0  x < – 1
2
,
f ¢(x) < 0  x > – 1
2
, logo f é crescente em ( )12,-¥ - 
e decrescente em ( )12, .- ¥
 (b) Pelo Teste da Primeira Derivada, ( )12 20,25f - = é um 
máximo local.
 2. 3 2 1
3
( ) 1. ( ) 3 1 0 f x x x f x x x¢= - + = - =  =  
(os únicos números críticos).
 (a) 2 13
1 1 1 1
3 3 3 3
 ( ) 0 3 1 
 ou e ( ) 0 .
f x x x
x x f x x
¢ >  >  > 
¢< - > <  - < <
 Logo, f é crescente em ( ) ( )1 13 3, e , -¥ - ¥ e decres-
cente em ( )1 13 3, .-
 (b) Pelo Teste da Primeira Derivada, ( )1 23 3 31f - = + é 
um máximo local e ( )1 23 3 31f = - é um mínimo local.
 3. 3 2( ) 1 ( ) 3 1 0 para todo
.
¢= + +  = + >
Î 
f x x x f x x
x
 (a) f é crescente em .
 (b) f não tem máximo ou mínimo locais.
 4. f (x) = x3 – 2x2 + x.
f ¢(x) = 3x2 – 4x + 1 = (3x – 1) (x – 1). Assim, os números 
críticos são x = 13 , 1.
 (a) 
1 1
3 3
 ( ) 0 (3 1)( 1) 0 
 ou 1 e ( ) 0 1.
f x x x
x x f x x
¢ >  - - > 
¢< > <  < <
 Logo, f é crescente em ( )13 , -¥ e (1, ¥) e f é decrescen-
te em ( )13, 1 .
 (b) O máximo local é ( )1 43 27f = e o mínimo local é f (1) = 0.
 5. f (x) = 2x2 – x4.
f ¢(x) = 4x – 4x3 = 4x (1 – x2) = 4x (1 + x) (1 – x), então os 
números críticos são x = 0, 1.
 
(a) Intervalo 4x 1 + x 1 – x f ¢(x)
x < –1 – – + +
–1 < x < 0 – + + –
0 < x < 1 + + + +
x > 1 + + – –
 Então f é crescente em (–¥, –1), decrescente em (–1, 0), 
crescente em (0, 1), e decrescente em (1, ¥).
 (b) Máximo local f (–1) = 1, mínimo local f (0) = 0, máximo 
local f (1) = 1.
 6. 2 2
2 2
( ) (1 ) .
0 ( ) 2 (1 ) [2(1 )( 1)]
2 (1 )(1 2 )
f x x x
f x x x x x
x x x
= -
¢= = - + - -
= - -
 Assim, os números críticos são 1
2
0, , 1.x =
 
(a) Intervalo 2x 1 – x 1 – 2x f ¢(x)
x < 0 – + + –
0 < x < 1
2
+ + + +
1
2
 < x < 1 + + – –
x > 1 + – – +
 Então f é decrescente em (–¥, 0), crescente em ( )120, , 
decrescente em ( )12, 1 , e crescente em (1, ¥).
 (b) Mínimo local f (0) = 0, máximo local ( )1 12 16,f = mínimo 
local f (1) = 0.
 7. 3 4
2 4 3 3
2 3
( ) ( 4) .
( ) 3 ( 4) 4( 4)
( 4) (7 12)
f x x x
f x x x x x
x x x
= -
é ù¢ = - + -ë û
= - -
 Os números críticos são 1270, 4, .x =
 (a) 2 2
12
7
12
7
( 4) 0 então ( ) 0 
( 4)(7 12) 0 ou 4.
 ( ) 0 4.
x x f x
x x x x
f x x
¢- ³ ³ 
- - ³  £ ³
¢ £  £ £
 Logo, f é crescente em ( )127, e (4, )-¥ ¥ e decrescente 
em ( )127 , 4 .
 (b) Máximo local ( ) 473 16127 712 137,5,f = ⋅ » mínimo local 
f (4) = 0.
 8. 5 3
4 2
4 2 2 2
( ) 3 25 60 .
( ) 15 75 60
15( 5 4) 15( 4)( 1)
15( 2)( 2)( 1)( 1)
f x x x x
f x x x
x x x x
x x x x
= - +
¢ = - +
= - + = - -
= - + + -
 Assim, os números críticos são x = 2, 1.
 
(a) Intervalo x + 2 x – 2 x + 1 x – 1 f ¢(x)
x < –2 – – – – +
–2 < x < –1 + – – – –
–1 < x < 1 + – + – +
1 < x < 2 + – + + –
x > 2 + + + + +
4.3 SOLUÇÕES
2  SEÇÃO 4.3 COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO
 Então f é crescente em (–¥, –2), decrescente em (–2, –1), 
crescente em (–1, 2), decrescente em (1, 2) e decrescente 
em (2, ¥). 
 (b) Máximo local f (–2) = –16, mínimo local f (–1) = –38, 
máximo local f (1) = 38, mínimo local f (2) = 16.
 9. ( ) 6 .
1 3(4 )
( ) 6 .
2 6 2 6
f x x x
x
f x x x
x x
= -
æ ö -÷ç¢ = - + - =÷ç ÷÷çè ø- -
 Os números críticos são x = 4, 6.
 (a) ( ) 0 4 0 (e 6) 4 
e ( ) 0 4 0 (e 6) 4 6.
f x x x x
f x x x x
¢ >  - > <  <
¢ <  - < <  < <
 Logo, f é crescente em (– ¥, 4) e decrescente em (4, 6).
 (b) Máximo local (4) 4 2f = .
 10. 2
2 2
2
2 2
( ) 1 .
1 2
( ) 1 .
1 1
= -
-¢ = - - =
- -
f x x x
x x
f x x
x x
 
 Os números críticos são 1
2
 e 1. 
 (a) 2 2 1
2
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
 ( ) 0 1 2 0 
 . ( ) 0 
1 ou 1.
f x x x
x x f x
x x
¢ >  - >  < 
¢<  - < < < 
- < < - < <
 
 Logo f é crescente em ( )1 12 2, - e decrescente em 
( ) ( )1 12 21, e , 1 .- -
 (b) Mínimo local ( )1 1- = - máximo local ( )1 122 .f =
 11. 1/5
4/5 1/5 4/51 1
5 5
 ( ) ( 1).
( ) ( 1) (6 1).
f x x x
f x x x x x x- -
= +
¢ = + + = +
 Os números críticos são 1
6
 0, .x = -
 (a) 
1 1
6 6
 ( ) 0 6 1 0 ( 0) 
( 0) e ( ) 0 .
f x x x
x x f x x
¢ >  + > ¹ 
¢> - ¹ <  < -
 Logo f é crescente em ( )16, - ¥ e decrescente em 
( )16,-¥ -
 (b) Mínimo local ( ) 6 / 5516 6 0,58f - = - » -
 12. 2/3 2
1/3 2 2/32
3
1/32
3
 ( ) ( 2) . O domínio é .
( ) ( 2) [2( 2)]
( 2)(4 2)
f x x x
f x x x x x
x x x
-
-
= -
¢ = - + -
= - -

 Os números críticos são 1
2
0, , 2.x =
 
(a) Intervalo x–1/3 x – 2 2x – 1 f ¢(x)
x < 0 – – – –
0 < x < 1
2
+ – – +
1
2
 < x < 2 + – + –
x > 2 + + + +
 Então f é decrescente em (–¥, 0), crescente em ( )120, , 
decrescente em ( )12, 2 e crescente em (2, ¥).
 (b) Mínimo local f (0) = 0, máximo local ( ) ( )4/3912 4 1,42,f = » 
mínimo local f (2) = 0.
 13. 
{ }
2
2
2 2
 ( ) . O domínio de é
(1 ) 0 [0, 1]
1 2 (3 4 )
( ) .
2 2
f x x x x f
x x x
x x x
f x x x x
x x x x
= -
- ³ =
- -¢ = - + =
- -
 
 Assim, os números críticos são 3
4
0, , 1.x =
 (a) 3
4
3
4
 ( ) 0 3 4 0 0 .
( ) 0 1.
f x x x
f x x
¢ >  - >  < <
¢ <  < <
 
 Logo, ƒ é crescente em ( )340, e decrescente em ( )34, 1
 (b) Máximo local ( ) 3 334 16f =
 14. 
( )
3 2 1/3 2/33
2/3 1/3 2/3 1/31 2 1
3 3 3
( ) .
( ) 1 2 .
f x x x x x
f x x x x x- - -
= - = -
¢ = - = -
 Assim, os números críticos são 180, .x =
 (a) 1/3 1/31
2
1 1
8 8
 ( ) 0 1 2 0 
( 0). ( ) 0 .
f x x x
x x f x x
¢ >  - >  > 
¢< ¹ <  >
 Logo, f é crescente em ( )18, -¥ e decrescente em ( )18, .¥
 (b) Máximo local ( )1 18 4f = .
 15. 4 4
3 3
2 2
4
( ) sen cos , 0 2 .
( ) 4sen cos 4 cos sen
4sen cos (cos sen )
2sen 2 cos 2 sen 4 .
( ) 0 sen 4 0 4 .
f x x x x
f x x x x x
x x x x
x x x
f x x x n x n p
p
p
= + £ £
¢ = -
= - -
= - = -
¢ =  =  =  =
 Assim, os números críticos são 3 5 3 7
4 2 4 4 2 4
0, , , , , , , , 2 .p p p pp p p p
 (a) 4 2
3 5 3 7
4 4 2 4
 ( ) 0 sen 4 0 ou
 ou ou 2 .
f x x x
x x x
p p
p p p pp p
¢ >  <  < <
< < < < < <
 f é crescente nestes intervalos. f é decrescente em 
( ) ( ) ( ) ( )3 5 3 74 2 4 4 2 40, , , , , , , .p p p pp p p
 (b) Máximos locais ( ) ( )32 2( ) 1,f f f pp p= = = mínimos 
locais
( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 14 4 4 4 2.f f f fp p pp = = = =
SEÇÃO 4.3 COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO  3
 16. 
2 2
( ) sen cos , .
( ) sen cos sen cos , ( ) 0 
, 0, .
f x x x x x
f x x x x x x x f x
x p p
p p= + - £ £
¢ ¢= + - = = 
= -
 (a) 
2
( ) 0 cos 0 ouf x x x x pp¢ >  >  - £ £ - 
2
0 .x p< < Logo, f é crescente em ( ) ( )2 2, e 0, p pp- - e 
decrescente em ( ) ( )2 2, 0 e , .p p p-
 (b) Máximos locais ( ) ( )2 2 2 ,f fp p p- = = mínimo local 
f (0) = 1.
 17. 
( ) ( )
( )
3 2 2
4 28 2 7 2 7
6 3 3
2 7 2 7 2 7
3 3 3
2 7 2 7
3 3
2 7 2 7
3 3
 ( ) 2 1. ( ) 3 4 1 0 
. Agora ( ) 0 para ou 
 e ( ) 0 para .
 é crescente em , e , e decrescente
em , .
f x x x x f x x x
x f x x
x f x x
f
-  -  - -
- + - - - +
- - - +
- - - +
¢= + - + = + - = 
¢= = > <
¢> < < <
-¥ ¥
 18. 5 3 4 2 ( ) 4 6. ( ) 5 12 0 para todo
0. Então é crescenteem .
f x x x f x x x
x f
¢= + - = + >
¹ 
 19. 
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 4
2 4
4 2
( ) 2 tg tg .
( ) 2sec 2 tg sec 2 sec (1 tg ).
Então ( ) 0 1 tg 0 tg 1 
, , um inteiro. Então é crescente 
em , , um inteiro, e decrescente em
, ,
f x x x
f x x x x x x
f x x x
x n n n f
n n n
n n
p p
p p
p p
p p
p p
p p
= -
¢ = - = -
¢ >  - >  < 
Î - +
- +
+ + um inteiro.n
 20. 
( )
2 3 4 2 3
2 2
1 5 1 5
2 2
1 5 1 5 1 5
2 2 2
1 5 1 5
2 2
( ) 6 2 ( ) 12 6 4
 ( ) 12 12 12 0 1 0
 . Para , ( ) 0. Para
, ( ) 0, e se então
( ) 0. Portanto, é CC em , .
-  - -
- - - + - +
- - - +
¢= - -  = - -
¢¢ = - - =  + - =
¢¢ = < <
¢¢< < > >
¢¢ <
f x x x x f x x x x
f x x x x x
x x f x
x f x x
f x f
 21. { }2
1/2 21 2
2
3/2
3/2 1/2 2
3
2
2
5/2
, 1 
1
2 1 (1 ) 4 3
 
1 2(1 )
(4 6 )2(1 ) 3(1 ) (4 3 )
4(1 )
3 8 8
0 3 8 8 0,
4(1 )
x
y D x x
x
x x x x x x
y
x x
x x x x x
y
x
x x
x x
x
-
= = > - +
+ - + ⋅ +¢ = = + +
+ + - + +¢¢ = +
+ += >  + + >+
 que é verdadeiro para todo x uma vez que o discriminante é 
negativo, logo a função é CC no seu domínio, que é (–1, ¥).
 22. 2
2 3 3
4 3
4
 ( ) (1 ) 
( ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 ) 
( ) 3(1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (2 4) 0 
(2 4) 0 2.
f x x x
f x x x x x x
f x x x x
x x
x x
-
- - -
- -
-
= + 
¢ = + - + = + + 
¢¢ = - + - - +
= + - > 
- >  >
 Portanto, f é CC em (2, ¥).
 23. 
3 4 2
2 2 2
3 2 2 2 4 2
2 4
2
2 3
9
 
3 ( 3)
(4 18 ) ( 3) 4 ( 3)( 9 )
( 3)
6 ( 9)
( 3)
x x x
y y
x x
x x x x x x x
y
x
x x
x
-¢=  = - -
- - - - -¢¢ = -
+= -
 Agora, uma vez que x2 + 9 > 0, o quociente é positivo 
 ( )( )2 0.3 3 3
x x
x x x
= >- - +
 
Intervalo x x + 3 x – 3 2 3
x
x -
x < – 3 – – – –
– 3 < x < 0 – – – –
0 < x < 3 + + – –
x > 3 + + + +
 Logo, y é côncava para cima em ( ) ( )3, 0 e 3, .- ¥
 24. (a) 6
5 5
5
 ( ) 192 17 
( ) 6 192 6( 32). Então ( ) 0 
32 2 e ( ) 0 2.
f x x x
f x x x f x
x x f x x
= + + 
¢ ¢= + = + > 
¢> -  > - <  < -
 Logo f é crescente em (–2, ¥) e decrescente em (–¥, –2).
 (b) f muda de decrescente para crescente no seu único núme-
ro crítico, x = –2. Portanto, f (–2) = –303 é um mínimo 
local.
 (c) f ¢¢(x) = 30x4 ³ 0 para todo x, então a concavidade de f 
não muda e não há nenhum ponto de inflexão. f é côncava 
para cima em (–¥, ¥).
 25. (a) 2
2
22
4
4 3
 ( ) /(1 ) 
(1 ) (1) ( )2(1 )
( )
(1 )
(1 ) [(1 ) 2 ]
(1 )
(1 ) (1 ) 1
(1 ) (1 )
Logo ( ) 0 1 1 e 
( ) 0 1 ou 1.
f x x x
x x x
f x
x
x x x
x
x x x
x x
f x x
f x x x
= + 
+ - +¢ = é ù+ë û
+ + -= +
+ - -= =+ +
¢ >  - < <
¢ <  < - >
 Então, f é crescente em (–1, 1) e f é decrescente em 
(–¥, –1) e (1, ¥).
4  SEÇÃO 4.3 COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO
 (b) f muda de crescente para decrescente em x = 1. x = –1 
não está no domínio de f. Portanto, f (1) = 14 é um máxi-
mo local.
 (c) 
( )
3 2
23
2
6
4
(1 ) ( 1) (1 )3(1 )
( )
(1 )
(1 ) [ 1 (1 ) 3(1 )]
(1 )
2 4
.
(1 )
( ) 0 2 e ( ) 0 2 ( 1).
x x x
f x
x
x x x
x
x
x
f x x f x x x
+ - - - +¢¢ = é ù+ë û
+ - + - -= +
-= +
¢¢ ¢¢>  > <  < ¹ -
 Assim, f é côncava para cima em (2, ¥) e f é côncava 
para baixo em (–¥, –1) e (–1, 2). Existe um ponto de 
inflexão em ( )292, .
 26. (a) 2( ) 2 sen sen em [0, 2 ] 
( ) 2 cos 2 sen cos 2 cos (1 sen ).
( ) 0 cos 0 (uma vez que 1 sen 0
p= + 
¢ = + = +
¢ >  > + ³
f x x x
f x x x x x x
f x x x
 com igualdade quando 3
2
,x p= um valor onde cos x = 0) 
3
2 2
 0 ou 2 .x xpp p £ < < £ Logo, f é crescente em 
( ) ( )32 20, e , 2pp p e f é decrescente em ( )32 2, .pp
 (b) Uma vez que f muda de crescente para decrescente 
quando ( )2 2, 3x fp p= = é um máximo local. Uma 
vez que f muda de crescente para decrescente quando 
( )3 32 2, 1x fp p= = - é um mínimo local.
 (c) 
2 2
2 2
2
1
2
5
6 6
( ) 2 cos (cos ) (1 sen ) ( 2sen )
2 cos 2 sen 2sen
2(1 sen ) 2 sen 2sen
2 2 sen 4sen
2(1 sen ) (1 2 sen )
( ) 0 1 2 sen 0 sen
 0 ou 2 , então é côncava 
f x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
f x x x
x x fpp p
¢¢ = + + -
= - -
= - - -
= - -
= + -
¢¢ >  - >  <
 £ < < £
 para cima em ( ) ( )56 60, e , 2pp p e côncava para baixo em 
( )56 6, .pp Existem pontos de inflexão em ( ) ( )5 5 56 4 6 4, e , .pp
 27. f (–1) = 4 e f (1) = 0 nos dá dois pontos de início. 
f ¢(–1) = f ¢(1) = 0  tangentes horizontais em x = 1. 
f ¢(x) < 0 se ½x ½ < 1  f é decrescente em (–1, 1).
f ¢(x) > 0 se ½x ½ > 1  f é crescente em (–¥, –1) e (1, ¥). 
f ¢¢(x) < 0 se x < 0  f é côncava para baixo em (–¥, 0). 
f ¢¢(x) > 0 se x > 0  f é côncava para cima em (0, ¥) e 
existe um ponto de inflexão em x = 0.
 28. Uma vez que f ¢(–1) = 0 e f ¢(1) não existe, temos uma tan-
gente horizontal em x = –1 e uma tangente vertical em x = 1. 
f ¢(x) < 0 se ½x ½ < 1  f é decrescente em (–1, 1), e 
f ¢(x) > 0 se ½x ½ > 1  f é crescente em (– ¥, –1) e (1, ¥). 
f ¢¢(x) < 0 se x ¹ 1  f é côncava para baixo em (– ¥, 1) 
e (1, ¥).
 29. Primeiro marcamos os pontos presentes no gráfico: (2, –1) e 
(0, 0). Podemos também desenhar um curto segmento de reta 
da inclinação 0 em x = 2, uma vez que temos f ¢(2) = 0. Agora 
sabemos que f ¢(x) < 0 (ou seja, a função é decrescente) em 
(0, 2) e que f ¢¢(x) < 0 em (0, 1) e f ¢¢(x) > 0 em (1, 2). Então, 
devemos unir os pontos (0, 0) e (2, –1) de modo que a curva 
fique côncava para baixo em (0, 1) e côncava para cima em 
(1, 2). A curva deve ser côncava para cima e crescente em (2, 
4) e côncava para baixo e crescente em (4, ¥). Agora, preci-
samos apenas refletir a curva com respeito ao eixo y, já que 
nos é dado que f é uma função par.
 30. 
3
lim ( ) 
x
f x

= -¥  há uma assíntota vertical em x = 3. 
f ¢(0) = 0 significa que há uma tangente horizontal em x = 0. 
f ¢(x) > 0 se x < 0 ou x > 3 e f ¢(x) < 0 se 0 < x < 3 indicam 
que há um máximo local x = 0, uma vez que f é crescente em 
(– ¥, 0) e decrescente em (0, 3) e, em seguida, crescente em 
(3, ¥). f ¢¢(x) < 0 se x ¹ 3  f é côncava para baixo em 
(– ¥, 3) e (3, ¥).
 31. (a) 2
2 2
2
2 2
( ) 1 
2 1
( ) 1 0,
1 1
P x x x
x x
P x x
x x
= + 
+¢ = + + = >
+ +
 portanto, P é crescente em .
 (b) Sem máximo ou mínimo
SEÇÃO 4.3 COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO  5
 (c) 
2 2
2
2
2
2 3/2
4 1 (2 1)
1( )
1
(2 3)
0 0,
( 1)
x
x x x
xP x
x
x x
x
x
+ - +
+¢¢ = +
+= >  >+
 então P é CC em (0, ¥) e CB em (–¥, 0). PI em (0, 0)
 (d) 
 32. (a) 1/3 2/3
2/3 2
1
( ) 3 ( ) 1 0 
1 1 1 ou 1,
Q x x x Q x
x
x x x x
¢= -  = - > 
>  >  < - >
 então Q é crescente em (– ¥, –1) e (1, ¥) e decrescente 
em (–1, 1).
 (b) ( ) 0 1; (1) 2Q x x Q¢ =  =  = - é um mínimo local 
e Q (–1) = 2 é um máximo local.
 (c) 5/32
3
( ) 0 0,Q x x x-¢¢ = >  > então Q é CC em 
(0, ¥) e CB em (–¥, 0). Ponto de inflexão em (0, 0)
 (d) 
 33. (a) 
( )
1/3 2/3
2/3 2/3 1/3 1/31 2
3 3
2/3 1/3
( ) ( 3) 
( ) ( 3) ( 3)
1
.
( 3)
Q x x x
Q x x x x x
x
x x
- -
-
= + 
¢ = + + +
+= +
 Os números críticos são –3, –1 e 0. Note que x2/3 ³ 0 
para todos x. Logo, Q ¢(x) > 0 quando x < –3 ou 
x > –1 e Q ¢(x) < 0 quando –3 < x < –1  Q é cres-
cente em (–¥, –3) e (–1, ¥) e decrescente em (–3,–1).
 (b) Q (–3) = 0 é um máximo local e Q (–1)= – 41/3 » –1,6 é 
um mínimo local.
 (c) 5/3 4/3
2
( ) ( ) 0
( 3)
Q x Q x
x x
¢¢ ¢¢= -  >+ quando
 x < 0, logo Q é CC em (–¥, –3) e (–3, 0) e CB em 
(0, ¥). PI em (0, 0)
 (d) 
 34. (a) ( ) ln (1 ) ( ) 0 f x x f x¢= +  = > 
 x > 0, então f é crescente em (0, ¥) e decrescente em 
(– ¥, 0).
 (b) f (0) = 0 é um mínimo local.
 (c) 
2 2
2 2 2 2
2(1 ) 2 (2 ) 2(1 )
( ) 0 
(1 ) (1 )
x x x x
f x
x x
+ - -¢¢ = = > + + 
 ½x ½ < 1, logo f é CC em (–1, 1), CB em (– ¥, –1) e 
(1, ¥). Existem PI em (1, ln 2) e (–1, ln 2).
 (d) 
 35. (a) 
( ) ( )
2
3
2 2
( ) sen 
( ) 2sen cos sen 2 0 
2 (0, ) (2 , 3 ) 0, , .
f
f
pp
q q
q q q q
q p p p q p
= 
¢ = = > 
Î È  Î È
 Logo, f é crescente em ( ) ( )32 20, e , pp p e decrescente em 
( ) ( )32 2, e , 2 .pp p p
 (b) Mínimo local f (p) = 0, máximos locais ( ) ( )32 2 1f f pp = =
 (c) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 5 7
2 2 2 2
3 5 7
4 4 4 4
( ) 2cos 2 0 
2 0, , , 4 
0, , , 2 ,
f
p p pp
p p pp
q q
q p
q p
¢¢ = > 
Î È È 
Î È È
 logo, f é CC nesses intervalos e CB em ( ) ( )3 5 74 4 4 4, e , .p p pp 
PI em ( )14 2, , 1, 3, 5, 7n np =
 (d) 
 36. (a) 
,
 A partir dos gráficos de f (x) = 3x5 – 40x3 + 30x2, parece 
que f é côncava para cima em (–2, 0,25) e (2, ¥) e côncava 
para baixo em (– ¥, –2) e (0,25, 2), com pontos de inflexão 
em aproximadamente (–2, 350), (0,25, 1) e (2, –100).
6  SEÇÃO 4.3 COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO
 (b) 
, ,
 A partir do gráfico de f ¢¢(x) = 60x3 – 240x + 60, parece 
que f é CC em (–2,1, 0,25) e (1,9, ¥) e CB em 
(–¥, –2,1) e (0,25, 1,9), com pontos de inflexão em cerca 
de (–2,1, 386), (0,25, 1,3) e (1,9, –87). (Temos de verificar 
novamente o gráfico de f para encontrar as coordenadas y 
dos pontos de inflexão.)
 37. (a) 
 A partir do gráfico de f (x) = 2cos x + sen2x, parece que f 
é CC em (1,5, 3,5) e (4,5, 6,0) e CB em (0, 1,5), (3,5, 4,5) 
e (6,0, 2p), com pontos de inflexão em cerca de (1,5, 0,3), 
(3,5, –1,3), (4,5, 0,0) e (6,0, 1,5).
 (b) 
 A partir do gráfico de f ¢¢(x) = –2cos x – 4 sen 2x, 
parece que f é CC em (1,57, 3,39) e (4,71, 6,03) e CB em 
(0, 1,57), (3,39, 4,71) e (6,03, 2p), com pontos de inflexão 
em cerca de (1,57, 0,00), (3,39, –1,45), (4,71, 0,00) e 
(6,03, 1,45).