Equações Diferenciais Ordinárias

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
Muitos fenômenos nas áreas das ciências, engenharias, economia, etc., são 
modelados por equações diferenciais. 
 
Exemplo: Suponha que se quer determinar a posição de um corpo em movimento, e que 
apenas se conhece a sua velocidade ou a sua aceleração. No fundo, deseja-se determinar 
uma função desconhecida, utilizando certos dados relacionados por uma equação que 
contém, pelo menos, uma das derivadas dessa função. Estas equações chamam-se 
equações às derivadas ou equações diferenciais. 
 
 Descrevendo o movimento da mola pela função 𝑥(𝑡), e sabendo que, pela lei de 
Hooke: 𝐹 = −𝑘𝑥 e pela lei de Newton: 𝐹 = 𝑚𝑎, tem-se: 
𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝑘𝑥 
 
 Assim, uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função 
desconhecida (incógnita) e suas derivadas. 
 
Definição: Seja 𝑦 uma função de 𝑥 e n um número inteiro positivo, então uma relação 
de igualdade que envolva x, y, 𝑦′, 𝑦′′, ..., 𝑦(𝑛) é chamada uma equação diferencial 
ordinária (EDO). 
Exemplo: 𝑒𝑦
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 2 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
= 1 
 
Se a função desconhecida depende de mais do que uma variável, as derivadas 
que aparecem na equação diferencial são derivadas parciais, e a equação chama-se 
equação diferencial parcial (EDP). 
 Exemplo: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
− 4 (
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
)
2
= 0 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais elevada da 
função incógnita presente na equação. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável 
independente x é uma função 𝑦(𝑥) que verifica a equação para todo o x. Voltando no 
exemplo do movimento da mola, tem-se: 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝑘𝑥 
Que equivale à: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −
𝑘
𝑚
𝑥 ou 𝑥′′ = −
𝑘
𝑚
𝑥 
São soluções desta EDO: 
𝑥(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 (√
𝑘
𝑚
 𝑡) e 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (√
𝑘
𝑚
 𝑡) 
 
Que possui a seguinte solução geral: 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑠𝑒𝑛 (√
𝑘
𝑚
 𝑡) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠 (√
𝑘
𝑚
 𝑡) 
Um problema de valor inicial (PVI) consiste numa equação diferencial, 
juntamente com condições relativas à função incógnita e suas derivadas, dadas para o 
mesmo valor da variável independente. 
Exemplo: PVI de 2ª ordem: 
{
𝑥′′ = −4𝑥
𝑥(0) = 0
𝑥′(0) = 2
 
 
Uma solução de um PVI é uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) que satisfaz a equação 
diferencial e todas as condições relativas à função incógnita. 
 
Definição do problema (problema de valor inicial (PVI) de 1ª ordem): determinar a 
função 𝑦 = 𝑦(𝑥) que satisfaz simultaneamente a equação diferencial (1ª ordem) e a 
condição inicial: 
{
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]
 
 
Existência e unicidade de solução 
Teorema: Seja 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) definida e contínua em 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦 ∈ ℝ } 
com a e b finitos. Seja 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) contínua e limitada em D. Então ∀𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] e 
𝑦0 ∈ ℝ , o problema 
{
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]
 
tem solução única continuamente diferenciável para 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. 
 
Tal como acontece com o cálculo da integral de uma função, os métodos 
analíticos para a resolução de equações diferenciais aplicam-se apenas a certos tipos de 
problemas. Por isso recorre-se com frequência ao uso de métodos numéricos para obter 
a solução de uma equação diferencial sujeita a uma dada condição. 
 
Estudaremos métodos, chamados métodos de variável discreta, para resolver 
problemas de valor inicial. Estes métodos determinam aproximações para a solução 
𝑦(𝑥) num conjunto discreto de pontos x0, x1, x2, ..., da variável independente. Isto é, a 
solução aproximada obtida é apresentada por uma tabela de valores 
(xn, yn), n = 1, 2, ... 
em que: 
𝑦𝑛 ≅ 𝑦(𝑥𝑛) 
Para obter a solução 𝑦(𝑥) em pontos 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] diferentes de xn (n = 0, 1, ...) 
pode se usar interpolação. 
 
Vamos considerar apenas o caso em que o passo h é constante, tendo-se 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ = 𝑥0 + (𝑛 + 1)ℎ, 𝑛 = 0, 1, … 
 
Além disso, Apresentaremos apenas métodos da classe de métodos de passo 
único, isto é, o valor de yn+1 pode ser calculado se apenas yn é conhecido. 
 
Suponhamos que o PVI satisfaz as condições de existência e unicidade de 
solução, pode-se tentar encontrar uma solução numérica para o problema. Para isso, 
considera-se m subintervalos de [𝑎, 𝑏], (𝑚 ≥ 1), e seja 
𝑥𝑗 = 𝑥0 + 𝑗ℎ 
Em que ℎ =
(𝑏−𝑎)
𝑚
, 
𝑗 = 0, . . . , 𝑚 e 
𝑥𝑗 ∈ [𝑎, 𝑏] 
 
Ao conjunto 𝐼ℎ = {𝑥0, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑚} obtido da forma anterior chama-se rede ou 
malha de [𝑎, 𝑏]. O objetivo dos métodos numéricos é o cálculo das aproximações 
𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑚 para as soluções exatas 𝑦(𝑥1), 𝑦(𝑥2), . . . , 𝑦(𝑥𝑚) 
 
A seguir, tem-se alguns métodos numéricos para a resolução de EDO’s. 
 
Método de Euler 
O método de Euler é um método de passo único e o mais simples de todos os 
métodos numéricos para problemas de valor inicial. 
No cálculo diferencial e integral II vimos a série de Taylor para f(x), em um real 
c  0. Ou seja, se f admite uma representação em série de potências f (x) = 




0
)(
n
n
n cxa
 
com raio de convergência 𝑟 > 0, então existe f (n) (c) para todo inteiro positivo n e an = 
!
)()(
n
cf n
. 
Assim, 
f(x) = f(c) + 
))(( cxcf 
 + 
2)(
2
)(
cx
cf


+ 
3)(
2.3
)(
cx
cf


+ ... + 
n
n
cx
n
cf
)(
!
)()(

 + ... = 
=




0
)(
)(
!
)(
n
n
n
cx
n
cf 
 
O método de Euler irá encontrar uma aproximação para a função solução do 
PVI: 
{
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 𝑥0 = 𝑎 
 
em vários valores de 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] (pontos da malha). Suponha que a solução 𝑦(𝑥) tenha 
segunda derivada contínua em [𝑎, 𝑏], então, para cada 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 1, então, pela 
fórmula de Taylor, tem-se 
y(xi+1) = f(xi) + 
))((' 1 iii xxxy 
 + 
2
1 )(
2
)(''
ii xx
y


 
em que 𝜉 ∈ (𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1). Logo 
y(xi+1) = f(xi) + 
hxy i )('
 + 
2
2
)(''
h
y 
 
Se h é “pequeno” o termo 
2
2
)(''
h
y 
escrever 
y(xi+1) = f(xi) + 
hxyxf ii ))(,('
 
O método de Euler consiste, então, em calcular recursivamente a sucessão {yj} 
através das fórmulas: 
{
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ. 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
 
 
Exemplo 1: Resolva o seguinte PVI de 1
a
 ordem usando o método de Euler, com 𝑛 = 4. 
{
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 − 𝑥2 + 1, 𝑥 ∈ [0, 2]
𝑦(0) = 0,5 
 
 
 
 
 
𝑛 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑛 = 10 
 
 
 
Método da Série de Taylor de ordem q 
Este método é muito parecido com o método de Euler, a principal diferença está 
no truncamento da série de Taylor, aqui faz-se o truncamento no termo de ordem q da 
derivada: 
y(xi+1) = f(xi) +
hxyxf ii ))(,('
+
!2
)).('),(,('' 2hxyxyxf iii
 +... + 
!
)).(),...,(,( )1()(
q
hxyxyxf qi
q
ii
q  
 
Exemplo 2: Resolva o seguinte PVI de 1
a
 ordem usando o método de Taylor de ordem 
4, com 𝑛 = 5. 
{
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 𝑦, 𝑥 ∈ [0, 2]
𝑦(0) = 1 
 
 
Da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, tem-se que a soluçãoanalítica é: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥– 𝑥– 1 
 
Vamos ignorar esse fato e resolver a equação diferencial numericamente, usando 
o desenvolvimento em Série de Taylor até a ordem 4. 
Temos: 
𝑦(𝑥) é a função incógnita; 
𝑦′(𝑥) é conhecida, por ser a própria equação dada: 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 𝑦; 
 𝑦′′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 + 𝑦) = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑦; 
 𝑦′′′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦′′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(1 + 𝑥 + 𝑦) = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑦 = 𝑦′′; 
 𝑦(4)(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦′′′(𝑥) = 𝑦′′; 
… 
 
Assim, temos: 
y(xi+1) = y(xi) +
hxy i ).('
+
!2
).('' 2hxy i
 + 
!3
).(''' 3hxy i
 + 
!4
).( 4)4( hxy i
 
y(xi+1) = y(xi) +
hyx ii ).( 
+
!2
).1( 2hyx ii 
 + 
!3
).1( 3hyx ii 
 + 
!4
).1( 4hyx ii 
 
 
Como 𝑛 = 5, então ℎ = 0,4 e: 
xi yi 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥– 𝑥– 1 |𝑒𝑟𝑟𝑜| 
0 1 1 0 
0,4 1,5835 1,5836 0,0001 
0,8 2,6506 2,6511 0,0005 
1,2 4,4391 4,4402 0,0011 
1,6 
2,0 
 
Nesse caso a solução foi simples pois, a partir da segunda derivada, 
𝑦(𝑖+1)(𝑥) = 𝑦(𝑖)(𝑥) 
 
Num caso mais geral, isso não acontece. 
Tomemos um caso geral: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦), com condição inicial (x0, y0). 
Então: 
y(xi+1) = y(xi) +
hxy i ).('
+
!2
).('' 2hxy i
 + 
!3
).(''' 3hxy i
 + 
!4
).( 4)4( hxy i
 + ... 
Temos 
𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) 
Para achar a segunda derivada de y, é preciso derivar 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação a x. 
Porém, trata-se de uma derivação de função implícita, pois 𝑦 é função de 𝑥, logo 
𝑦′′ =
𝑑𝑦′
𝑑𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓𝑥 + 𝑓𝑦 . 𝑓 
 
Em que fx é a derivada parcial de f em relação a x e fy é a derivada parcial de f em 
relação a y. 
Para calcular a terceira derivada, é preciso derivar, em relação a x, 𝑦′′: 
𝑦′′′ =
𝑑𝑦′′
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓𝑥 + 𝑓𝑦 . 𝑓) = 𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥𝑦. 𝑓 + (𝑓𝑦𝑥 + 𝑓𝑦𝑦 . 𝑓). 𝑓 + 𝑓𝑦(𝑓𝑥 + 𝑓𝑦. 𝑓) 
 
Imaginemos o cálculo da quarta derivada!!! 
 
Dessa forma, vê-se que a dificuldade de se aplicar o desenvolvimento em 
Taylor, para resolver equações diferenciais, passa pela dificuldade em calcular as 
derivadas de ordem superior. 
O Método de Runge-Kutta de segunda ordem, ou Euler Melhorado, leva em 
conta a variação da primeira derivada e, com isso, melhora a previsão que faz dos 
valores da função 𝑦(𝑥). 
 
 
Métodos de Runge-Kutta 
A ideia básica destes métodos é aproveitar as qualidades dos métodos de série de 
Taylor (ordem elevada) e ao mesmo tempo eliminar sua maior dificuldade que é o 
cálculo de derivadas de f(x,y) que torna os métodos de série de Taylor 
computacionalmente inaceitáveis. 
 
 
Teorema de Taylor em duas variáveis: Suponha 𝑓(𝑥, 𝑦) e suas derivadas parciais 
contínuas em 𝐷 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] e (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷, então 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + [(𝑥 − 𝑥0)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) + (𝑦 − 𝑦0)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)]
+
1
2!
[(𝑥 − 𝑥0)
2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
(𝑥0, 𝑦0) + 2(𝑥 − 𝑥0)(𝑦 − 𝑦0)
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) + (𝑦 − 𝑦0)
2
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
]
+ ⋯ +
1
𝑛!
∑ (
𝑛
𝑖
)
𝑛
𝑖=1
(𝑥 − 𝑥0)
𝑛−𝑖(𝑦 − 𝑦0)
𝑖
𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑥𝑛−𝑖𝜕𝑦𝑖
(𝑥0, 𝑦0) + 𝑅(𝑥, 𝑦) 
Para algum ξ entre x e 𝑥0 e μ entre y e 𝑦0: 
𝑅(𝑥, 𝑦) =
1
(𝑛 + 1)!
∑ (
𝑛 + 1
𝑖
)
𝑛+1
𝑖=1
(𝑥 − 𝑥0)
𝑛+1−𝑖(𝑦 − 𝑦0)
𝑖
𝜕𝑛+1𝑓
𝜕𝑥𝑛+1−𝑖𝜕𝑦𝑖
(𝜉, 𝜇) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos de Runge-Kutta de 2
a
 Ordem 
 
1. Método de Euler Modificado 
Queremos resolver o P.V.I: 
{
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 𝑥0 = 𝑎 
 
Sejam 𝑦(𝑥) sua solução e xi+1 = xi+h os pontos da malha, temos: 
y(xi+1) = y(xi) + 
hxy i ).('
 + 
!2
).('' 2hxy i
 + Ri+1 
= y(xi) + h.f(xi,y(xi)) + 
))(,(
2
2
ii xyx
dx
dfh
+ Ri+1 
Logo: 
y(xi+1) ≈ y(xi) + h.f(xi,y(xi)) + 
))(,(
2
2
ii xyx
dx
dfh
 
= yi + h.f(xi,yi) + 
 ),().,(),(
2
2
iiiiyiix yxfyxfyxf
h

 
= yi +
2
h
.f(xi,yi) + 
2
h
f(xi,yi) + 
 ),().,(),(
2
2
iiiiyiix yxfyxfyxf
h

 
= yi +
2
h
.f(xi,yi) + 
 ),().,(.),(.),(
2
iiiiyiixii yxfyxfhyxfhyxf
h

 
≈ yi +
2
h
.f(xi,yi) + 
 )),(.,(
2
iiii yxfhyhxf
h

 
= yi +
2
h
.f(xi,yi) + 
 )),(.,(
2
1 iiii yxfhyxf
h

 
 
Assim, o método de Euler Modificado, é um método de Runge-Kutta de ordem 2 
que calcula valores aproximados para 𝑦(𝑥𝑖), para i = 1, ...., n – 1 , através das fórmulas: 
{
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +
ℎ
2
. [𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖 + ℎ. 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖))]
 
 
 
 
 
 
2. Método do Ponto Médio 
 
Queremos resolver o P.V.I: 
{
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 𝑥0 = 𝑎 
 
Sejam 𝑦(𝑥) sua solução e xi+1 = xi+h os pontos da malha, temos: 
y(xi+1) = y(xi) + 
hxy i ).('
 + 
!2
).('' 2hxy i
 + Ri+1 
= y(xi) + h.f(xi,y(xi)) + 
))(,(
2
2
ii xyx
dx
dfh
+ Ri+1 
Logo: 
y(xi+1) ≈ y(xi) + h.f(xi,y(xi)) + 
))(,(
2
2
ii xyx
dx
dfh
 
= yi + h.f(xi,yi) + 
 ),().,(),(
2
2
iiiiyiix yxfyxfyxf
h

 
= yi + h.f(xi,yi) + 






 ),().,(
2
),(
2
iiiiyiix yxfyxf
h
yxf
h
h
 
= yi + 






 ),().,(
2
),(
2
),( iiiiyiixii yxfyxf
h
yxf
h
yxfh
 
≈ yi +












 ),(.
2
,
2
iiii yxf
h
y
h
xfh
 
 
Assim, o método do Ponto Médio, é um método de Runge-Kutta de ordem 2 que 
calcula valores aproximados para 𝑦(𝑥𝑖), para i = 1, ...., n – 1 , através das fórmulas: 
{
𝑦(𝑥0) = 𝑦0 
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ. 𝑓 (𝑥𝑖 +
ℎ
2
, 𝑦𝑖 +
ℎ
2
. 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖))
 
 
 
Exemplo: Resolva o seguinte PVI de 1
a
 ordem usando o método de Euler Modificado e 
o Método do Ponto Médio, com 𝑛 = 10. 
{
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 − 𝑥2 + 1, 𝑥 ∈ [0, 2]
𝑦(0) = 0,5 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Resolver a Equação Diferencial abaixo pelos métodos que você conhece, com 
h = 0,1. Solucione para 2 passos de integração. 
2' tyy 
 
1)2( y
 
 
2. Seja o seguinte problema de valor inicial sobre o intervalo 
0x
 a 
75,0x
. 
yyx
dx
dy
 2
 
1)0( y
 
Resolva utilizando os métodos que você conhece com passo de 0,25. 
 
3. A solução analítica do exercício anterior é xxe 3
3
. Faça uma análise crítica dos 
resultados obtidos anteriormente comparando com os valores reais. 
 
4. Seja a equação diferencial: 
yte
dt
dy t 23 
 
0)0( y
 
Determine o valor de 
)1,0(y
 com 
05,0h
pelos métodos: 
a) Euler; 
b) Euler modificado; 
c) Ponto médio.