Cálculo 3 - provas

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Faculdade de Cie^ncias Aplicadas - LE300A - Ca´lculo 3
Aluno(a): Data: RA:
ATENC¸~AO: i) N~ao omita ca´lculo nem justificativa, sob pena de reduc¸~ao no valor
da soluc¸~ao. Inicie as soluc¸~oes em pa´ginas distintas. Boa prova.
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Total
Primeira Prova
1. Identifique o tipo da equac¸a˜o diferencial e resolva:
(a) dy =
(
2 sen(2x)y + sen(x) cos(x)
)
dx
(b) −(2yex2+y2 − sen(x2 + y)) dy = (2xex2+y2 − 2x sen(x2 + y)) dx
(c)
a
b
+
dy
dx
=
b
a
+
x
y
, onde a, b sa˜o constantes.
2. Encontre a base para o espac¸o vetorial das func¸o˜es y que sa˜o soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada e o vetor (func¸a˜o) que satisfaz a condic¸a˜o inicial
ou de contorno.
(a) (x− c)2y′′(x) = 3(x− c)y′(x)− 4y(x) e y(0) = 0 e y′(0) = 1
(b) y′′′ − 2ay′′ + (a2 + b2)y′ = 0 onde a, b sa˜o constantes e b 6= 0 e a condic¸a˜o inicial e´ y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 1
Segunda Prova
Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o:
1. y′′ − y = (x− 3) cosx
Encontre a soluc¸a˜o geral da seguinte equac¸a˜o usando o me´todo de
variac¸a˜o de paraˆmetros.
2. y′′ − y′ = ex + xe−x
Sabendo que y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes
da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente, encontre uma soluc¸a˜o particu-
lar da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea
3. (1−x)y′′+xy′−y = 2(x−1)2e−x y1 = x, y2 = ex
4. Use os conhecimentos sobre se´ries para deduzir, qual e´ a func¸a˜o
fi(x) ou a qual e´ a se´rie da func¸a˜o dada, determine tambe´m
o raio de convergeˆncia de cada se´rie. (use se necessa´rio que
ex =
∑∞
n=0
xn
n!
)
(a) f1(x) =
∑∞
n=0 x
n;
(b) f2(x) =
∑∞
n=0
(−1)nxn
n!
;
(c) f3(x) = ln(4− x);
(d) f4(x) = x ln(2)
x.
Terceira Prova
1. (3.0) Determine, usando o me´todo das
se´ries, a soluc¸a˜o geral e a soluc¸a˜o que
satisfaz as condic¸o˜es de contorno da se-
guinte equac¸a˜o diferencial:
y′′ − xy′ − y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
2. (1.0) Considere a equac¸a˜o diferencial
2x2y′′ + 3xy′ + (2x2 − 1)y = 0, escreva
a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o. (Obs: na˜o e´
necessa´rio determinar explicitamente as
se´ries)
3. (2.0) Aplique transformada de Laplace
para resolver a seguinte equac¸a˜o:
y′′ + 4y′ + 4y = e2t
y(0) = 0
y′(0) = 0
4. (2.0) Prove as seguintes propriedades de
transformada de Laplace
a. L{tf(t)} = − d
ds
F (s)
b. Leatf(t) = F (s− a)
5. (3.0) Determine a func¸a˜o y(t), usando a
definic¸a˜o no item (a) e propriedades nos
demais itens:
a. y(t) = (eat ∗ ebt) ∗ ect;
b. y(t) = L−1
{
4
s2(s− 2)
}
;
c.
∫ t
0
y(s) ds− y′(t) = t y(0) = 2;
Func¸a˜o T. de Laplace
f(t) F (s)
tp
Γ(p+ 1)
sp+1
(∗)
eatf(t) F (s− a)
f ′(t) sF (s)− f(0)∫ t
0
f(u) du
1
s
F (s)
tf(t) −dF
ds
f(t)
t
∫ ∞
s
F (r)dr
u(t− a)f(t− a) e−asF (s)
δ(t− a) e−as
f
(
t
a
)
aF (as)
cos(bt)
s
s2 + b2
sin(bt)
b
s2 + b2
Tabela 1: Prop. da transf. de Laplace. (*)
n ∈ N⇒ Γ[n+ 1] = n!
Teorema 0.1 Supondo r1 > r2:
• Se r1 6= r2 e r1 − r2 /∈ Z enta˜o existe duas soluc¸o˜es LI da forma: y1 =
∑∞
n=0 cnx
n+r1 , c0 6= 0 e y2 =
∑∞
n=0 bnx
n+r2 , b0 6= 0
• Se r1 6= r2 e r1 − r2 ∈ Z enta˜o existe duas soluc¸o˜es LI da forma: y1 =
∑∞
n=0 cnx
n+r1 , c0 6= 0 e y2 = Cy1 lnx+
∑∞
n=0 bnx
n+r2 , (b0 6= 0)
• Se r1 = r2 enta˜o existe duas soluc¸o˜es LI da forma: y1 =
∑∞
n=0 cnx
n+r1 , c0 6= 0 e y2 = Cy1 lnx+
∑∞
n=0 bnx
n+r2