Sedimentos

Prévia do material em texto

TRANSPORTE DE SEDIMENTOS E 
MORFODINÂMICA
Prof. Guilherme A. S. Franz
Correntes
• As correntes no mar podem ser causadas por movimentos de marés, tensões do
vento, gradientes de pressão atmosférica, forças induzidas por ondas, vazões de
rios, e gradientes de densidade horizontais associados a circulações oceânicas.
• Na região costeira, as correntes induzidas por ondas são dominantes.
Correntes
• As correntes agitam e transportam sedimentos e, portanto, o transporte de
sedimentos segue em grande parte a direção da corrente.
• No entanto, como a taxa de transporte de sedimentos depende da velocidade da
corrente de forma não-linear, e também porque o efeito da agitação das ondas é
importante, a direção do transporte de sedimentos a longo prazo pode ser muito
diferente da direção da corrente residual.
Correntes
• Uma corrente que flui sobre o fundo do mar sofre fricção com o leito que forma
uma camada limite turbulenta tipicamente com alguns metros ou dezenas de
metros de espessura.
• Em águas rasas, a camada limite pode ocupar toda a profundidade, enquanto que
em águas profundas, ocupa a parte inferior da coluna de água e é sobreposta por
água relativamente não afetada pela fricção.
Correntes
• Dentro da camada limite, a velocidade da corrente aumenta com a altura de zero
no fundo do mar até um máximo na superfície da água ou próximo dela, com o
aumento mais rápido com a altura ocorrendo próximo ao leito.
• A maneira como a corrente aumenta com a altura é conhecida como o perfil de
velocidade de corrente.
Correntes
• A velocidade média da corrente em profundidade, que está relacionada ao perfil
de velocidade U(z) através da equação:
• O limite inferior da integral deve ser alterado de 0 a z0 - o perfil de velocidade
tende a zero a uma altura z = z0.
Correntes
• Dentro de alguns metros acima do leito, a velocidade da corrente U varia com a
altura z acima do leito de acordo com o perfil logarítmico de velocidade.
• A faixa de altura para a qual a equação anterior é válida desde o leito até cerca de
20-30% da profundidade da água em águas rasas (digamos, até z = 2 a 3 m), ou
20-30% da espessura da camada limite em águas profundas (por exemplo, até z =
20 a 30 m).
Correntes
• A velocidade de atrito 𝑢∗ está relacionada ao estresse de cisalhamento do leito
através da relação:
Correntes
• A equação do perfil logarítmico aplica-se a um fluxo constante sem estratificação
de densidade sobre um fundo do mar plano (mas possivelmente ondulado), bem
longe de estruturas e fora da zona de arrebentação.
• Um fluxo de maré pode, a uma aproximação razoável, ser tratado como quase
constante nos 2-3 m inferiores, exceto dentro de aproximadamente uma hora
antes e depois do estofo da maré, o que geralmente não é importante para fins
de transporte de areia.
Equação da quantidade de movimento
• Uma equação dinâmica descrevendo o movimento do fluido pode ser obtida
aplicando a segunda lei de Newton a uma partícula.
• Para deduzir a forma diferencial da equação da quantidade de movimento,
aplicaremos a segunda lei de Newton a uma partícula fluida infinitesimal de
massa dm:
𝒅𝑭 = 𝑑𝑚𝒂 = 𝑑𝑚
𝑑𝑽
𝑑𝑡
Equação da quantidade de movimento
𝑑𝑽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑑𝑡
=
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+
𝜕𝑽
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑽
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕𝑽
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝒅𝑭 = 𝑑𝑚𝒂 = 𝑑𝑚
𝑑𝑽
𝑑𝑡
= 𝑑𝑚
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
Forças de superfície e de campo
• Necessitamos agora obter uma formulação adequada para a força, ou para suas
componentes, dFx, dFy e dFz, atuando sobre o elemento.
• Cada partícula fluida pode sofrer a ação de forças de superfície (pressão, atrito)
que são geradas pelo contato com outras partículas ou com superfícies sólidas; e
forças de campo (tais como forças de gravidade e eletromagnética) que agem
através das partículas.
• Forças de superfície incluem tanto forças normais quanto forças tangenciais (de
cisalhamento).
Forças de superfície e de campo
• Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram tensões. O conceito
de tensão é útil para descrever como é que forças, agindo sobre as fronteiras de
um meio (fluido ou sólido), são transmitidas através do meio.
• Quando um corpo se move através de um fluido, tensões são desenvolvidas no
fluido.
• A diferença entre um fluido e um sólido é que as tensões em um fluido são
majoritariamente geradas por movimento e não por deflexão.
Tensões
Ao lidar com quantidades vetoriais, tais como a força, é usual considerar as
componentes em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas. Em
coordenadas retangulares, podemos considerar as tensões atuando em planos
cujas normais orientadas para fora estão nas direções dos eixos x, y ou z.
Tensões
• Dividindo o módulo de cada componente da força pela área, δAx, e tomando o
limite quando δAx se aproxima de zero, definimos as três componentes da
tensão:
• Usamos uma notação com índice duplo para designar as tensões. O primeiro
índice indica o plano no qual a tensão atua. O segundo índice indica a direção na
qual a tensão atua.
Tensões
• Os planos são nomeados e denotados como positivos ou negativos de acordo
com o sentido da sua normal. Dessa forma, o plano superior, por exemplo, é um
plano y positivo, o posterior é um plano z negativo.
• Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a tensão. Uma
componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o do plano no qual atua
são ambos positivos ou ambos negativos.
• Na figura, todas as tensões foram traçadas como positivas. As componentes da
tensão são negativas quando seu sentido tem sinal oposto ao sinal do plano no
qual atuam.
Tensões
• Qual a origem das tensões? Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando
um material é deformado ou cisalhado elasticamente; para um fluido, as tensões
de cisalhamento aparecem devido ao escoamento viscoso.
• Desse modo, dizemos que os sólidos são elásticos e os fluidos são viscosos.
• Para um fluido em repouso, não existirá tensão de cisalhamento.
Tensões
• Consideremos a componente x da força atuando sobre um elemento diferencial
de massa dm e volume dv = dxdydz.
• Somente aquelas tensões que atuam na direção x darão origem a forças de
superfície na direção x.
• Se as tensões no centro do elemento diferencial forem tomadas como σxx, τyx e
τzx, então as tensões atuando na direção x em cada face do elemento (obtidas por
uma expansão em séries de Taylor em torno do centro do elemento) são
conforme mostrado na próxima figura.
Tensões
Balanço de forças 
Para obter a força de superfície resultante na direção x, devemos somar as forças
nesta direção:
Balanço de forças 
Simplificando, obtemos:
Balanço de forças 
• A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é
dada por 𝜌 Ԧ𝑔𝑑𝑉, no qual 𝜌 é a massa específica (massa por unidade de volume) e
Ԧ𝑔 é a aceleração local da gravidade.
• Portanto, a força de campo gravitacional por unidade de volume é 𝜌 Ԧ𝑔 e por
unidade de massa é Ԧ𝑔 .
• Quando a força da gravidade é a única força de corpo atuante, a força resultante
na direção x é dada por:
Balanço de forças 
Expressões semelhantes podem ser deduzidas para as componentes da força nas
direções y e z:
Equação da quantidade de movimento
Acabamos de formular expressões para as componentes, dFx, dFy e dFz, da força,
atuando sobre o elemento de massa dm. Se substituirmos essas expressões nas
componentes x, y e z da força na equação,
obteremos as equações diferenciais do movimento.
𝒅𝑭 = 𝑑𝑚
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
Equação da quantidade de movimento
Equações diferenciais do movimentode qualquer partícula fluida satisfazendo a
hipótese do contínuo.
Equação da quantidade de movimento
Antes que elas possam ser usadas na solução para u, υ e w, expressões adequadas
para as tensões devem ser obtidas em termos dos campos de velocidade e de
pressão.
Tensão de cisalhamento
• Para um fluido newtoniano, a tensão viscosa é diretamente proporcional à taxa
de deformação por cisalhamento (taxa de deformação angular).
• Para um escoamento newtoniano, unidimensional e laminar, a tensão de
cisalhamento é proporcional à taxa de deformação angular: τyx = du/dy
Tensão de cisalhamento
Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas infinitas
conforme mostrado na figura. O elemento fluido retangular está inicialmente em
repouso no tempo t.
Tensão de cisalhamento
Consideremos agora que uma força constante para a direita δFx seja aplicada à
placa de modo que ela é arrastada através do fluido a velocidade constante δu.
Tensão de cisalhamento
Um fluido se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de
cisalhamento (tangencial).
Tensão de cisalhamento
A ação de cisalhamento relativo da placa infinita produz uma tensão de
cisalhamento, τyx, aplicada ao elemento fluido que é dada por:
em que δAy é a área de contato do elemento fluido com a placa e δFx é a força
exercida pela placa sobre aquele elemento.
Tensão de cisalhamento
Durante o intervalo de tempo 𝛿𝑡, a deformação do fluido é dada por:
taxa de deformação = lim
𝛿𝑡→0
𝛿𝛼
𝛿𝑡
=
𝑑𝛼
𝑑𝑡
Tensão de cisalhamento
Desejamos expressar dα/dt em função de quantidades prontamente mensuráveis.
A distância 𝛿𝑙 entre M e M´ é dada por:
𝛿𝑙 = 𝛿𝑢𝛿𝑡
Alternativamente, para pequenos ângulos:
𝛿𝑙 = 𝛿𝑦𝛿𝛼
Tensão de cisalhamento
Igualando essas duas expressões para δl, obteremos:
𝛿𝛼
𝛿𝑡
=
𝛿𝑢
𝛿𝑦
Tomando os limites de ambos os lados da igualdade, obteremos:
𝑑𝛼
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dessa forma, o elemento fluido quando submetido à tensão de cisalhamento, τyx,
experimenta uma taxa de deformação (taxa de cisalhamento) dada por du/dy.
Tensão de cisalhamento
• Qualquer fluido sob a ação de uma tensão de cisalhamento escoará (ele terá uma
taxa de cisalhamento).
• Qual é a relação entre tensão de cisalhamento e taxa de cisalhamento? Os fluidos
para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de
deformação são fluidos newtonianos.
• A expressão não newtoniano é empregada para classificar todos os fluidos em
que a tensão cisalhante não é diretamente proporcional à taxa de deformação.
Tensão de cisalhamento
Em fluidos Newtonianos (e.g., água):
𝜏 ∝
𝑑𝑢
𝑑𝑦
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica (𝜇):
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝜇 é uma propriedade dos fluidos que caracteriza sua resistência à deformação, e 𝜏
é a tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento
• Para um escoamento tridimensional, a situação é um pouco mais complicada
(entre outras coisas, necessitamos usar expressões mais complexas para a taxa de
deformação angular).
• As tensões podem ser expressas em termos de gradientes de velocidade e de
propriedades dos fluidos, em coordenadas retangulares, como segue:
Equações de Navier-Stokes
Introduzindo estas expressões para as tensões nas equações diferenciais do
movimento,
Equações de Navier-Stokes
Obtemos:
Equações de Navier-Stokes
Estas equações de movimento são chamadas de equações de Navier-Stokes. Elas
são bastante simplificadas quando aplicadas ao escoamento incompressível com
viscosidade constante. Sob estas condições, as equações se reduzem a:
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 𝜌𝑔𝑤 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
Equações de Navier-Stokes
• Estas equações, mais a equação da continuidade, formam um conjunto de quatro
equações diferenciais parciais não-lineares acopladas para u, υ, w e p.
• Em princípio, essas quatro equações descrevem muitos escoamentos comuns; as
únicas restrições são que o fluido deve ser newtoniano (com uma viscosidade
constante) e incompressível.
• Infelizmente, elas não podem ser resolvidas analiticamente, exceto para casos
muito básicos, nos quais as geometrias e as condições iniciais ou de contorno são
simples.
Equação da continuidade
Equação da continuidade:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
= 0
Para escoamento incompressível:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
Fluxo de Massa através da Superfície de Controle de um 
Volume de Controle Diferencial Retangular
Equação da continuidade
Essa expressão é a avaliação da integral de superfície para o nosso cubo diferencial.
Equação da continuidade
Para completar a equação da continuidade, precisamos avaliar a integral de volume
(lembre-se de que é a taxa de variação de massa no volume de controle):
Equação da continuidade
Assim, depois de cancelar dxdydz, obtemos, uma forma diferencial da lei de
conservação da massa:
Para um fluido incompressível, ρ = constante; a massa específica não é função nem
das coordenadas espaciais nem do tempo:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
Exemplo
Um líquido escoa sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar.
Obtenha expressões para:
(a) o perfil de velocidades
Exemplo
Considerações:
Exemplo
• A consideração (1) elimina variações do tempo em qualquer propriedade do
fluido.
Exemplo
• A consideração (1) elimina variações do tempo em qualquer propriedade do
fluido.
• A consideração (2) elimina variações espaciais na massa específica.
Exemplo
• A consideração (1) elimina variações do tempo em qualquer propriedade do
fluido.
• A consideração (2) elimina variações espaciais na massa específica.
• A consideração (3) estabelece que não existe componente z da velocidade e que
não existem variações das propriedades na direção z. Todos os termos na
componente z da equação de Navier-Stokes se cancelam.
Exemplo
• A consideração (1) elimina variações do tempo em qualquer propriedade do
fluido.
• A consideração (2) elimina variações espaciais na massa específica.
• A consideração (3) estabelece que não existe componente z da velocidade e que
não existem variações das propriedades na direção z. Todos os termos na
componente z da equação de Navier-Stokes se cancelam.
• Após a aplicação da consideração (4), a equação da continuidade reduz-se a
∂υ/∂y = 0.
Exemplo
• A consideração (1) elimina variações do tempo em qualquer propriedade do
fluido.
• A consideração (2) elimina variações espaciais na massa específica.
• A consideração (3) estabelece que não existe componente z da velocidade e que
não existem variações das propriedades na direção z. Todos os termos na
componente z da equação de Navier-Stokes se cancelam.
• Após a aplicação da consideração (4), a equação da continuidade reduz-se a
∂υ/∂y = 0.
• As considerações (3) e (4) também indicam que ∂υ/∂z = 0 e ∂υ/∂x = 0. Portanto, υ
deve ser constante. Como υ é igual a zero na superfície sólida, então υ deve ser
também igual a zero em qualquer lugar.
Exemplo
Considerações: Estado estacionário
Equação da continuidade:
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
Equação de Navier-Stokes:
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
Exemplo
Considerações: Estado estacionário
Equação da continuidade:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
Equação de Navier-Stokes:
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
Exemplo
Equação de Navier-Stokes:
𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= −𝜌𝑔𝑥
Integrando:
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜌𝑔𝑥
𝜇
𝑦 + 𝑐1
𝑢 = −
𝜌𝑔𝑥
𝜇
𝑦2
2
+ 𝑐1𝑦 + 𝑐2
Exemplo
Condições de contorno:
Em 𝑦 = 0 ; u = 0
Em 𝑦 = ℎ ; 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 0
𝑢 = −
𝜌𝑔𝑥
𝜇
𝑦2
2
+ 𝑐1𝑦 + 𝑐2
𝑢 =
𝜌𝑔𝑥
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
Exemplo
Um líquido escoa sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar.
Obtenha expressões para:
(b) a distribuição das tensões de cisalhamento
Exemplo
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑢 =
𝜌𝑔 sin 𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
𝜏𝑦𝑥 = 𝜌𝑔 sin 𝜃 ℎ − 𝑦
Exemplo
𝜏𝑦𝑥 = 𝜌𝑔 sin 𝜃 ℎ − 𝑦
𝜏0 = 𝜌𝑔ℎ sin 𝜃
𝜏𝑦𝑥 = 𝜏0 1 −
𝑦
ℎ
Exemplo
Um líquido escoa sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar
Obtenha expressões para:
(c) a velocidade média do escoamento.
Exemplo
Velocidade média:
𝑈 =
1
ℎ
න
0
ℎ
𝑢𝑑𝑦
𝑢 =
𝜌𝑔 sin 𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
Exemplo
𝑈 =
1
ℎ
න
0
ℎ
𝑢𝑑𝑦
𝑈 =
1
ℎ
න
0
ℎ 𝜌𝑔 sin 𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
𝑑𝑦
𝑈 =
𝜌𝑔 sin 𝜃
𝜇
ℎ2
3
Exemplo
Um líquido escoa sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar.
(d) Calcule a velocidade média 𝑈 para ℎ = 1 𝑚𝑚 , 𝜃 = 15º , e μ =
10−3𝑘𝑔 𝑚−1𝑠−1.
Exemplo
Para ℎ = 1 𝑚𝑚, 𝜃 = 15º, e μ = 10−3𝑘𝑔 𝑚−1𝑠−1:
𝑈 =
𝜌𝑔 sin 𝜃
𝜇
ℎ2
3
𝑈 = 0.845 𝑚 𝑠−1
Exemplo
Um líquido escoa sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar.
(e) Calcule a velocidade média 𝑈 para ℎ = 10 𝑚𝑚 , 𝜃 = 15º , e μ =
10−3𝑘𝑔 𝑚−1𝑠−1.
Exemplo
Para ℎ = 10 𝑚𝑚, 𝜃 = 15º, e μ = 10−3𝑘𝑔 𝑚−1𝑠−1:
𝑈 =
𝜌𝑔 sin 𝜃
𝜇
ℎ2
3
𝑈 = 84.5 𝑚 𝑠−1
Turbulência
• Momento não é perdido apenas por forças viscosas, mas também através da
turbulência.
• Turbulência pode ser expressa pela diferença entre a velocidade instantânea em
um ponto e a velocidade média: 𝑢′ = 𝑢 − ത𝑢
Turbulência
• A turbulência ocorre quando as forças viscosas no fluido não são capazes de
conter flutuações aleatórias no movimento do fluido (e.g., geradas pela
rugosidade de fundo) e o escoamento torna-se caótico.
• A turbulência no oceano e na atmosfera é afetada fortemente pela presença de
fronteiras.
• A condição de fronteira de velocidade nula na fronteira aplica-se a velocidade
média e as flutuações.
Turbulência
• Em escoamentos laminares, as forças viscosas são dominantes.
• Em escoamentos turbulentos, as forças inerciais são dominantes.
• Número de Reynolds:
𝑅𝑒 =
forças inerciais
forças viscosas
=
𝜌𝑈𝐻
𝜇
𝑹𝒆 ≤ 𝟓 × 𝟏𝟎𝟓 ⇒ 𝑳𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓
𝑹𝒆 > 𝟓 × 𝟏𝟎𝟓 ⇒ 𝑻𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐
Turbulência
• No escoamento laminar, as partículas de fluido movem-se em “lâminas”
• No escoamento turbulento, as partículas de fluido misturam-se rapidamente
enquanto movimentam-se ao longo do escoamento devido à flutuações
aleatórias no campo de velocidades.
https://youtu.be/9TVz_Mdx26g
Difusão de momento
A viscosidade pode ser interpretada como um coeficiente de difusão de momento.
Difusão de momento
Difusão é o processo em que propriedades (e.g., momento, calor, substâncias
dissolvidas, sedimentos suspensos) são transportadas de uma parte do meio para
outra por movimentos aleatórios, moleculares ou macroscópicos.
𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐷𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜 = −𝐷
𝜕𝑐
𝜕𝑥
𝐷 = coeficiente de difusão
Difusão de momento
Para um escoamento turbulento, flutuações tridimensionais e aleatórias de
velocidade transportam quantidade de movimento através das linhas de corrente
do escoamento médio, aumentando a tensão de cisalhamento efetiva.
Perfis de velocidade
Perfis de velocidade em escoamentos laminares e turbulentos com a mesma vazão
Tensão de cisalhamento total
• Não existem relações universais entre o campo de tensões e o campo de
velocidade média em um escoamento turbulento.
• Informações sobre o perfil de velocidades em escoamentos turbulentos foram
obtidos através de análise dimensional, teorias semi-empíricas e dados
experimentais.
Tensão de cisalhamento total
𝜏 = 𝜇
𝑑ത𝑢
𝑑𝑦
+ 𝜇𝑡
𝑑ത𝑢
𝑑𝑦
viscosidade molecular
depende apenas do fluido
viscosidade turbulenta
depende do escoamento
Tensão de cisalhamento total
𝜏 = 𝜏𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 + 𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎
𝜏 = 𝜇
𝑑ത𝑢
𝑑𝑦
− 𝜌𝑢′𝑣′
Tensão de Reynolds
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• Camada limite é a zona do escoamento na vizinhança imediata à uma superfície
sólida ou fronteira na qual o movimento do fluido é afetado pela resistência de
atrito exercida pela fronteira
• Na camada limite, tanto as forças viscosas quanto as forças de inércia são
importantes.
• Camadas limites desenvolvem-se nas paredes de dutos, no fundo do mar e de
rios, e na superfície da terra sob uma atmosfera em movimento.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• O conceito de uma camada limite foi introduzido originariamente, em 1904, por
Ludwig Prandtl, um alemão estudioso da aerodinâmica.
• Antes da histórica contribuição de Prandtl, a ciência da mecânica dos fluidos tinha
sido desenvolvida em duas direções distintas. A hidrodinâmica teórica evoluiu das
equações de Euler para o movimento de um fluido não viscoso.
• Como os resultados da hidrodinâmica (especialmente aquele que sob a
consideração de escoamento invíscido, nenhum corpo experimenta arrasto!)
contradiziam muitas observações experimentais, engenheiros práticos
desenvolveram suas próprias artes empíricas da hidráulica.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• Estes estudos baseavam-se em dados experimentais e diferiam significativamente
da abordagem puramente matemática da hidrodinâmica teórica.
• Embora as equações completas que descrevem o movimento de um fluido
viscoso (as equações de Navier-Stokes, desenvolvidas por Navier em 1827 e,
independentemente, por Stokes em 1845) fossem conhecidas antes de Prandtl,
as dificuldades matemáticas para a sua solução (exceto para alguns casos
simples) proibiam um tratamento teórico dos escoamentos viscosos.
• Prandtl mostrou que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados
dividindo o escoamento em duas regiões, uma perto das fronteiras sólidas e a
outra cobrindo o resto do escoamento.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• Apenas na região adjacente a uma fronteira sólida (a camada limite) o efeito da
viscosidade é importante.
• Na região fora da camada limite, o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido
pode ser tratado como não viscoso.
• O conceito de camada limite forneceu o elo que faltava entre a teoria e a prática
(principalmente porque ele introduziu a possibilidade teórica do arrasto!).
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• Além disso, o conceito de camada limite permitiu a solução de problemas de
escoamentos viscosos, o que seria impossível pela aplicação das equações de
Navier-Stokes ao campo completo do escoamento.
• Desse modo, a introdução do conceito de camada limite marcou o começo da era
moderna da mecânica dos fluidos.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• Na camada-limite,tanto as forças viscosas quanto as forças de inércia são
importantes.
• Por conseguinte, não é surpreendente que o número de Reynolds (que
representa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas) seja significativo
na caracterização dos escoamentos da camada-limite.
• O comprimento característico usado no número de Reynolds ou é o comprimento
na direção do escoamento no qual a camada-limite desenvolveu-se ou é alguma
medida da espessura da camada-limite.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• O escoamento de camada-limite pode ser laminar ou turbulento.
• Não há valor único do número de Reynolds para o qual ocorre a transição de
escoamento laminar para turbulento em uma camada-limite.
• Entre os fatores que afetam a transição de camada-limite estão o gradiente de
pressão, a rugosidade superficial, a transferência de calor, as forças de campo e
as perturbações da corrente livre.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• Em muitas situações de escoamento real, uma camada-limite desenvolve-se
sobre uma superfície longa, essencialmente plana.
• Como as características básicas de todos esses escoamentos são ilustradas no
caso mais simples de uma placa plana.
• A simplicidade do escoamento sobre uma placa plana infinita é que a velocidade
U fora da camada-limite é constante e, por isso, a pressão também será constante
considerando que esta região é não viscosa, incompressível, e está em regime
permanente.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento.
𝑅𝑒𝛿 =
forças inerciais
forças viscosas
=
𝜌𝑈𝛿
𝜇
𝜌 = massa específica
𝑈 = velocidade média
𝛿 = espessura da camada limite
𝜇 = viscosidade dinâmica
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• A camada-limite é laminar por uma curta distância a jusante da borda de ataque;
a transição ocorre sobre uma região da placa e não sobre uma linha única
transversal à placa.
• A região de transição estende-se para jusante até o local onde o escoamento da
camada-limite torna-se inteiramente turbulento.
• Para fins de cálculo, sob condições típicas de escoamento, considera-se que a
transição ocorre, geralmente, em um número de Reynolds de 500.000.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• A camada-limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual tensões
viscosas estão presentes, em contraposição à corrente livre em que as tensões
viscosas são desprezíveis.
• Estas tensões estão presentes porque existe cisalhamento das camadas do fluido,
isto é, gradientes de velocidade na camada-limite.
• Tanto a camada-limite laminar quanto a camada turbulenta possuem tais
gradientes. Porém a dificuldade é que os gradientes apenas aproximam-se
assintoticamente de zero quando se atinge a borda da camada-limite.
Camada Limite de Corrente (fluxo unidirecional)
• Portanto, a definição de borda, isto é, de espessura da camada-limite, não é
muito óbvia — nós não podemos simplesmente defini-la como o local onde a
velocidade u é igual à velocidade da corrente livre U.
• Por causa disso, diversas definições de camada-limite têm sido desenvolvidas.
• A definição mais direta é a espessura de perturbação, δ. Ela é definida
usualmente como a distância da superfície na qual a velocidade situa-se dentro
de 1% da velocidade da corrente livre, isto é, u ≈ 0,99U.
Comprimento de mistura de Prandtl
• As flutuações turbulentas na velocidade são da ordem de grandeza da distância
através da qual momento é transferido vezes o gradiente de velocidade:
𝑢′ ≈ ℓ
𝜕ത𝑢
𝜕𝑦
Onde ℓ é o comprimento de mistura
Comprimento de mistura de Prandtl
Uma transferência de momento na direção vertical está associada a uma perda de
momento na direção horizontal (𝑣′ = −𝑢′)
𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎 = −𝜌𝑢′𝑣′ = 𝜌ℓ
2
𝜕ത𝑢
𝜕𝑦
2
Lembrando do exemplo anterior
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑢 =
𝜌𝑔 sin 𝜃
𝜇
ℎ𝑦 −
𝑦2
2
𝜏𝑦𝑥 = 𝜌𝑔 sin 𝜃 ℎ − 𝑦
𝜏𝑦𝑥 = 𝜌𝑔 sin 𝜃 ℎ − 𝑦
𝜏0 = 𝜌𝑔ℎ sin 𝜃
𝜏𝑦𝑥 = 𝜏0 1 −
𝑦
ℎ
Lei da parede
Considerando 𝑦/ℎ ≪ 1 e que ℓ varia linearmente com 𝑦 (ℓ = 𝑘𝑦):
𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝜌ℓ
2 𝜕ഥ𝑢
𝜕𝑦
2
= 𝜏0 1 −
𝑦
ℎ
𝜌𝑘2𝑦2
𝜕ത𝑢
𝜕𝑦
2
= 𝜏0
𝜕ത𝑢
𝜕𝑦
=
𝜏0
𝜌
1
𝑘𝑦
Lei da parede
Integrando:
𝜕ത𝑢
𝜕𝑦
=
𝜏0
𝜌
1
𝑘𝑦
𝑢 =
𝜏0
𝜌
1
𝑘
ln 𝑦 + 𝑐
Definindo 𝑢∗ =
𝜏0
𝜌
:
𝑢 =
𝑢∗
𝑘
ln 𝑦 + 𝑐
Lei da parede
Não podemos utilizar a condição de contorno 𝑢(0) = 0 para determinar 𝑐 porque ln 0 não
existe.
𝑢 =
𝑢∗
𝑘
ln 𝑦 + 𝑐
É preciso considerar uma distância do fundo 𝑦0 em que 𝑢 𝑦0 = 0:
𝑢 =
𝑢∗
𝑘
ln
𝑦
𝑦0
𝑘 = 0,4 é chamada constante de von Karman, tendo sido determinada experimentalmente
𝑦0é tipicamente muito pequeno (menor do que os elementos de rugosidade do fundo)
Lei da parede
ത𝑢
𝑢∗
=
𝑦𝑢∗
𝜈
ത𝑢
𝑢∗
=
1
𝑘
𝑙𝑛
𝑦𝑢∗
𝜈
+ 𝐵
𝑢∗ - velocidade de atrito (𝜏0/𝜌)
1/2
𝑘 - constante de von Karman (0,4)
𝜈 – viscosidade cinemática (𝜇/𝜌)
Lei da parede
Exemplo
Calcule a altura de rugosidade e a tensão de cisalhamento no fundo a partir do
perfil de velocidades medido:
z (m) 0,10 0,50 1,0 2,0
u (ms-1) 0,20 0,34 0,37 0,45
Exemplo
Calcule a altura de rugosidade e a tensão de cisalhamento no fundo a partir do
perfil de velocidades medido:
z (m) 0,10 0,50 1,0 2,0
u (ms-1) 0,20 0,34 0,37 0,45
𝑢 𝑧 =
𝑢∗
𝑘
ln(
𝑧
𝑧0
)
𝑢∗ = (𝜏0/𝜌)
1/2
𝑢 𝑧 =
𝑢∗
𝑘
ln 𝑧 −
𝑢∗
𝑘
ln(𝑧0)
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Calcule a altura de rugosidade e a tensão de cisalhamento no fundo a partir do
perfil de velocidades medido:
z (m) 0.10 0.50 1.0 2.0
u (ms-1) 0.20 0.34 0.37 0.45
𝑢∗ = 0,032 m/s
𝑧0 = 0,0083 m
𝜏0 = 1,07 Nm-2
Exemplo
Exemplo