confiabilidade modulo 2 definicoes taxa exponencial

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Confiabilidade Industrial 
TEP 00119 
 Confiabilidade 
◦ Qualidade ou estado daquele ou daquilo em que se 
pode confiar. 
 Confiar (lat confidere) 
◦ 1 Ter confiança, acreditar, fiar-se, ter fé. 
◦ 2 Entregar com segurança: Receava confiar seu dinheiro. 
Confiou-lhe a chave do cofre. 
◦ 3 Incumbir, encarregar: Confiou-lhe a delicada tarefa. 
◦ 4 Comunicar com confiança: Não é prudente confiar 
problemas íntimos. Confiou-lhe os planos financeiros. 
Venho confiar de Vossa Senhoria um segredo. 
◦ 5 Entregar-se cheio de confiança: Confiava-se ao 
confessor. Confiemo-nos em Deus. 
 Confiança 
◦ 1 Ação de confiar. 
◦ 2 Segurança íntima com que se procede. 
◦ 3 Crédito, fé. 
◦ 4 Boa fama. 
◦ 5 Segurança e bom conceito. 
◦ 6 Esperança firme. 
◦ 7 Familiaridade. 
◦ 8 pop Atrevimento, insolência, malcriação. 
◦ 9 Ato libidinoso; licença. 
◦ do Latim CONFIDENTIA, “confiança”, de CONFIDERE, “acreditar 
plenamente, com firmeza”. Formada por COM, intensificativo, mais 
FIDERE, “acreditar, crer”, que deriva de FIDES, “fé”. 
•CENÁRIO ATUAL 
•NBR 5462:1994 - Confiabilidade e 
mantenabilidade 
•Empresas buscam conhecer e aperfeiçoar a 
confiabilidade dos seus sistemas. 
•Empresas começam a exigir disponibilidade 
contratual dos seus fornecedores. 
•Diversos órgãos internacionais utilizam funções 
estatísticas para subsidiar estudos de 
confiabilidade. 
•No Brasil existe um anteprojeto de armazenagem 
de dados para a construção de banco de dados dos 
equipamentos usados no Brasil. Este banco de 
dados está sendo planejado pelo INMETRO. 
• CONCEITUAÇÃO INTUITIVA DA 
CONFIABILIDADE 
• Probabilidade de um sistema ou componente 
cumprir sua finalidade pre-fixada 
• Durante um intervalo de tempo pré estabelecido 
• Sob dadas premissas de operação. 
APLICABILIDADE 
◦A Engenharia da Confiabilidade é aplicável a diversas áreas da 
engenharia, especialmente: 
Produtos 
Calcular o período de garantia; 
Calcular aprovisionamento para arcar com a garantia 
Auxiliar no desenvolvimento de produtos mais confiáveis 
Manutenção 
Prever quando e quantos equipamentos irão falhar 
Determinar os períodos de manutenção preventiva 
Prever orçamento para peças de reposição 
Melhorar o gerenciamento dos ativos 
 
 
 
APLICABILIDADE 
◦A Engenharia da Confiabilidade é aplicável a diversas 
áreas da engenharia, especialmente: 
◦Projetos 
Calcular a probabilidade da produção do projeto 
Calcular e estimar antecipadamente a disponibilidade do 
projeto (plantas industriais e produtos) 
Definir o uso de equipamentos redundantes ou de maior 
confiabilidade 
 
 
 
• Conceituação “técnica” intuitiva da confiabilidade 
• Probabilidade de um sistema ou componente 
cumprir sua finalidade prefixada 
• Durante um intervalo de tempo pré estabelecido 
• Sob dadas premissas de operação. 
 Fundamentos de confiabilidade 
 Os equipamentos possuem uma assinatura 
estatística que rege o seu desempenho durante a 
sua vida útil. 
 Esta função estatística é a envoltória da 
distribuição em freqüência. 
 Esta função estatística é a base dos estudos de 
confiabilidade. 
10 
 Conceituação matemática da confiabilidade 
 Variável aleatória associada : tempo (t)  t ≥ 0 
 Seja f(t) a função de distribuição de 
probabilidade (fdp) de falha de um componente 
 Probabilidade de falha do componente até um 
instante T é dada por 
 
 F(T) é denominada função cumulativa de 
distribuição de falhas 
 
0
(0 ) ( ) ( )
T
P t T f t dt F T   
• Conceituação matemática da confiabilidade 
◦ A confiabilidade R(T) é a probabilidade do componente 
funcionar corretamente até o instante T. 
◦ Ou de não falhar até o instante T. Portanto tem-se 
◦ Por definição 
 
◦ Logo a confiabilidade pode ser expressa como 
 
 
0
( ) 1f t dt


( ) ( ) ( )
T
R T f t dt P t T

  
( ) 1 ( )R T F T 
• Conceituação matemática da confiabilidade 
◦ Propriedades da confiabilidade 
 
 
0
0 0
(0) ( ) 1 ( ) 1R f t dt f t dt

    
 1 ( ) ( )dR d f t dt f t
dt dt
   
( ) ( ) 0R f t dt


  
• Conceituação de taxa de falha 
Define-se a taxa de falha de um componente no instante T ao valor 
λ(T) , tal que 
Usando-se o teorema de Bayes tem-se 
Analisando-se tem-se no numerador 
e no denominador 
 
   T T P t T T t T      
 
   
 
P t T t T T
P t T T t T
P t T
         
       ( )P t T t T T P T t T T f T T             
( ) ( )P t T R T 
• Conceituação de taxa de falha 
Logo a taxa de falha λ(T) pode ser expressa como 
Das propriedades da confiabilidade tem-se 
Integrando-se, tem-se 
 
 
 
 
f T
T
R T
 
 
 
 1 dR T
T
R T dT
  
 
 
 0 0
t
t dR T
T dT
R T
   
 
 
 
  
0
ln ln
0
t R t
T dT R t
R
       
 

 
 
0
t
T dT
R t e

 
 
 
 


• Conceituação de taxa de falha 
Como 
Tem-se 
 
( )
dR
f t
dt
 
 
 
0
t
T dT
d
f t e
dt

 
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 0
0
t
tT dT
d
f t e T dT
dt


 
 
 
 
  
   
 

   
 
0
t
T dT
f t t e


 
 
 
 

 
• Conceituação de MTTF (Mean Time To 
Failure) 
◦ O tempo médio até ocorrer falha (MTTF) é a esperança ou o valor médio 
da variável aleatória t com fdp f(t) 
◦ Como 
◦ Tem-se 
 
   
0
MTTF E t t f t dt

  
( )
dR
f t
dt
 
0
dR
MTTF t dt
dt

  
• Conceituação de MTTF (Mean Time To 
Failure) 
◦ Integrando-se por partes, tem-se 
◦ Para t=0 
◦ Quando t→∞ 
 
  0 1 0t R t   
 
 
 
0
0
lim lim lim
t
t
T dT
t t t
T dT
t
t R t t e
e


 
 
 
 
    
 
 
 
  
            
      
   
0
0 0
dR
MTTF t dt t R t R t dt
dt
 

       
• Conceituação de MTTF (Mean Time To 
Failure) 
◦ Pela regra de L’Hôpital tem-se 
◦ Desta forma tem-se que 
◦ Reunindo-se as expressões tem-se 
 
     
0 0
MTTF E t t f t dt R t dt
 
    
 
0
MTTF R t dt

 
 
 
 
0
1
lim lim 0
tt t
T dT
t R t
t e


   
 
 
 
 
 
       
  
 Exercício 
◦ Um engenheiro aproxima a confiabilidade de um 
equipamento de corte pela expressão 
◦ Determinar a confiabilidade para o instante t0/2; 
◦ Determinar o instante em que temos 80% de 
confiabilidade; 
◦ Determinar a fdp de falha do equipamento; 
◦ Determinar a taxa de falha; 
◦ Determinar o MTTF; 
 
 
 
2
0
0
0
1 , 0
0,
t t t
tR t
t t
    
  
 
 Solução 
◦ Determinar a confiabilidade para o instante t0/2; 
◦ Determinar o instante em que temos 80% de 
confiabilidade; 
 
2
0 11 0,25
2 2
t
R
   
    
  
 
2
0 0
0
0,8 1 1 0,8 0,106
t
t t t
t
 
       
 
 
2
0
0
0
1 , 0
0,
t t t
tR t
t t
    
  
 
 Solução 
◦ Determinar a fdp de falha do equipamento; 
◦ Determinar a taxa de falha; 
 
 
2
0
0
0
1 , 0
0,
t t t
tR t
t t
    
  
 
2
0
0
0
0
1
2
( ) 1 , 0
td
tdR tft t t
tdt dt t
  
           
 
 
 
  00
0
2 1
, 0
1
f t
t t t
R t t t
t
    
  
 
 Solução 
◦ Determinar o MTTF; 
 
 
2
0
0
0
1 , 0
0,
t t t
tR t
t t
    
  
 
 
00 2 3
0 0
0 0
0 0 0
1 1
3 3
tt
t tt tMTTF R t dt dt
t t

            
    
 Confiabilidade com dados discretos 
◦ Considere-se N0 componentes idênticos sendo testados 
◦ Seja Nf(t) o total de componentes que falharam até o 
instante t 
◦ Tem-se que a confiabilidade em t é dada por 
◦ A fdp de falha é dada por 
◦ A taxa de falha é dada por 
 
 
   0
0 0
( ) 1
f fN N t N t
R t
N N

  
 
0
1
( )
fdN tdR
f t
dt N dt
  
 
 
   
 
0
1 f
f
dN tf t
t
R t dtN N t
  
  
 Confiabilidade com dados discretos 
◦ Exemplo: teste de 1000 componentes 
Intervalo de 
tempo em 
100hs 
Falhas no 
intervalo - 
dNf 
Falhas 
cumulativas Nf(t) 
Função 
Densidade de 
falha f(t) 
Distribuição 
Cumulativa de 
falha F(t) 
Confiabilidade R(t) 
Taxa de falha 
λ(t) 
0 140 0 0,140 0 1 0,140 
1 85 140 0,085 0,140 0,860 0,099 
2 75 225 0,075 0,225 0,775 0,097 
3 68 300 0,068 0,300 0,700 0,097 
4 60 368 0,060 0,368 0,632 0,095 
5 53 428 0,053 0,428 0,572 0,093 
6 48 481 0,048 0,481 0,519 0,092 
7 43 529 0,043 0,529 0,471 0,091 
8 38 572 0,038 0,572 0,428 0,089 
9 34 610 0,034 0,610 0,390 0,087 
10 31 644 0,031 0,644 0,356 0,087 
11 28 675 0,028 0,675 0,325 0,086 
12 40 703 0,040 0,703 0,297 0,135 
13 60 743 0,060 0,743 0,257 0,233 
14 75 803 0,075 0,803 0,197 0,381 
15 60 878 0,060 0,878 0,122 0,492 
16 42 938 0,042 0,938 0,062 0,677 
17 15 980 0,015 0,980 0,020 0,750 
18 5 995 0,005 0,995 0,005 1,000 
 Confiabilidade com dados discretos 
0
200
400
600
800
1000
1200
0 5 10 15 20
Falhas no intervalo
Falhas cumulativas
 Confiabilidade com dados discretos 
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
0 5 10 15 20
Densidade de falhas
Distribuição cumulativa de
falhas
Confiabilidade
Taxa de falha
 Curva da Banheira 
◦ Curva característica de sistemas de engenharia e 
sistemas vivos 
◦ Apresenta 3 regiões distintas 
 Região inicial 
 Taxa de falha decrescente 
 Falhas devido a 
 métodos de fabricação inadequados 
 processos de produção inadequados 
 Controle de qualidade insuficiente 
 Insuficiente correção de problemas 
 Erro humano 
 Materiais e mão de obra abaixo do padrão 
 Burn-in test 
 
 Curva da Banheira 
◦ Região intermediária 
 Taxa de falha “constante” 
 Vida útil do componente 
 Falhas aleatórias devido a 
 Fatores de segurança de baixo 
 Defeitos indetectáveis 
 Erros humanos 
 Abuso na operação 
 Maior carga aleatória do que o previsto 
 Falhas naturais 
 Curva da Banheira 
◦ Região final 
 Taxa de falha crescente 
 Falhas devido a 
 Má manutenção 
 Práticas incorretas de reparo 
 Corrosão e fluência de material 
 Projeto de vida curto 
 Desgaste causado pelo envelhecimento 
 
 
 
Tempo t 
1 
Falhas 
Precoces / 
Mortalidade 
Infantil 
2 
Região de taxa de 
falha constante / 
Vida útil 
3 
Envelhecimento / 
Desgaste 
T
a
x
a
 d
e
 f
a
lh
a
 
0 
 Curva da Banheira 
◦ Cada região pode ser modelado com uma função de confiabilidade diferente 
◦ Os três distribuições de confiabilidade principais são 
 Weibull 
 Exponencial 
 Log-normal 
◦ Não existe uma regra definitiva na escolha da distribuição. 
◦ As distribuições de Weibull e log-normal são comumente usados ​​para modelar uma 
mudança na taxa de falha. 
◦ A distribuição exponencial é usada para modelar uma taxa de falha constante no 
tempo (por exemplo, a porção de estado estacionário da curva de banheira). 
◦ A distribuição Weibull é a mais popular para a mortalidade infantil. 
◦ A modelagem com log-normal é frequentemente utilizado em confiabilidade de 
componentes eletrônicos para a região de envelhecimento. 
◦ O fator decisivo na escolha de uma distribuição é selecionar a função de 
distribuição que melhor se ajusta aos dados. 
 Curva da Banheira 
◦ Uma outra distribuição que é comumente 
utilizada nas estatísticas de confiabilidade é a 
distribuição normal (ou de Gauss). 
◦ Geralmente não é usada na modelagem da curva da 
banheira. 
◦ No entanto, é bastante utilizada para se determinar 
os parâmetros de modelagem. 
 Curva da Banheira 
◦ Resumo dos quatro modelos de principais de distribuição 
 Distribuição Weibull 
• Pode representar qualquer uma das três regiões banheira. 
• Usada principalmente em microeletrônica para a modelagem de mortalidade infantil. 
• São necessários 3 parâmetros para o modelo, mas apenas dois são normalmente 
utilizados. 
• Apropriado para ensaios acelerados de vida. 
 Distribuição Exponencial 
• taxa de falha constante. 
• Descreve apenas a parte plana (steady-state) da curva da banheira. 
• Necessita apenas um parâmetro no modelo. 
 Log Normal-Distribuição 
• Necessita 2 parâmetros para a distribuição. 
• Pode representar qualquer uma das três regiões banheira. 
• Usado principalmente em microeletrônica para modelagem de envelhecimento ou 
desgaste. 
• Substitui tempo para falhar por seu logaritmo. 
• Apropriado para ensaios acelerados de vida. 
 Normal (ou Gaussiana) 
• Dois parâmetros no modelo de curva. 
• Usada para monitoramento de processos e cartas de controle. 
• Taxa de falha constante 
Seja a taxa de falha λ(T) constante expressa como 
A confiabilidade associada é dada por 
A distribuição da taxa de falha correspondente é dada por 
que é a distribuição exponencial, cuja função de distribuição 
acumulada é dada por 
 
 T 
  0
t
dT
tR t e e


 
 
   

 
( ) t
dR
f t e
dt
   
( ) 1 ( ) 1 tF t R t e    
• Taxa de falha constante 
Propriedade “memoryless” da distribuição exponencial de falhas 
 
 
   
1 0 0 1
1 0
0 0
( ) ( )
|
P t T P t T P T t T
P t T t T
P t T P t T
    
   
 
    11 1 1
T
P t T F T e
   
   0 1 1 0( )P T t T P t T P t T     
    00 0 1
T
P t T F T e
   
    00 0
T
P t T R T e
  
      
0 1
1 0
0
1 0 1 0| 1
T T
T T
T
e e
P t T t T e P t T T
e
  
 
 


       
• Taxa de falha constante 
A média da distribuição exponencial de falhas é dada por 
A variância da distribuição exponencial de falhas é dada por 
0
0 0 0
1tt t t et e dt te e dt

     
  

         
2
2
2
0
1 1tt e dt 
 

    
 

 Variância da distribuição exponencial 
◦ De forma geral tem-se 
 
22 E x  
  
22 E x E x  
    2 2 22E x x E x E x     
       2 2 22E x E x E x E x     
   2 2 2E x E x  
 Variância da distribuição exponencial 
◦ Desta forma para a distribuição exponencial tem-se 
   2 2 2 2 2 2
2 1 1
E x E x       
 2 2 2
0
0 0
2t t tE x t e dt t e t e dt  
 

        
 2
0
2
0 tE x t e dt


   
 
0
1tE x t e dt 


    
 2 2
0
2 2
0 tE x t e dt 

    
• Taxa de falha constante 
O MTTF correlacionado é dado por 
 
0 0 0
1tt eMTTF R t dt e dt



  
     
 Exercício 
◦ Um grupo de componentes foi testado até o último componente falhar. A intervalos 
de 200 hs foi anotada a quantidade de componentes que falharam no intervalo, 
obtendo-se a seguinte sequência de dados: 262; 115; 50; 48; 43; 39; 41; 43; 38; 34; 
31; 28; 33; 47; 51; 55; 61; 63; 55; 45; 18. 
◦ Pede-se: 
a) Traçar a curva de confiabilidade; 
b) Traçar a curva da fdp de falha; 
c) Traçar a curva de taxa de falha; 
d) Calcular o MTTF; 
e) Delimitar as regiões de mortalidade infantil, vida útil e envelhecimento da curva de 
taxa de falha; 
f) Determinar a fdp exponencial associada à região de vida útil da curva de taxa de 
falha; 
g) Se o componente funcionar 2000 hs qual a probabilidade dele funcionar mais 500 
h?