AD1 Calculo 3 gabarito 2018 2 CEDERJ

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Ca´lculo III – Gabarito – 2018-2
Nome: Matr´ıcula:
Questa˜o 1 Sejam F : R −→ R3 e G : R −→ R3 as func¸o˜es vetoriais definidas por F (t) = (t, t2, 2)
e G(t) = (3, t, t), respectivamente. Determine:
(a) a func¸a˜o produto escalar F ·G;
(b) a func¸a˜o produto vetorial F ×G.
Soluc¸a˜o:
(a) Por definic¸a˜o, a func¸a˜o (F ·G) : R −→ R e´ dada por
(F ·G)(t) = (t, t2, 2) · (3, t, t) = 3t+ t3 + 2t = 5t+ t3
para cada t ∈ R.
(b) Por definic¸a˜o, a func¸a˜o (F ×G) : R −→ R3 e´ dada por
(F ×G)(t) = det
~i ~j ~kt t2 2
3 t t
 = (det (t2 2
t t
) )
~i+
(
det
(
2 t
t 3
) )
~j
+
(
det
(
t t2
3 t
) )
~k
= (t3 − 2t)~i+ (6− t2)~j − 2t2~k
para cada t ∈ R.
Questa˜o 2 Sejam a, b ∈ R duas constantes positivas e considere a curva C cuja parametrizac¸a˜o e´
dada por α(t) = (a cos t, asen t, bt), com t ∈ [0, 4pi].
(a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C no ponto P =
(
a√
2 ,
a√
2 ,
bpi
4
)
;
(b) Encontre o comprimento da curva C.
Soluc¸a˜o:
Ca´lculo III AD1 2
(a) Seja t0 ∈ [0, 4pi] tal que α(t0) = P . Como a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C em t0 e´ dada
por
r(t) = α(t0) + tα′(t0),
temos (a cos t0, asen t0, bt0) = P =
(
a√
2 ,
a√
2 ,
bpi
4
)
. Da´ı, deduzimos que t0 = pi4 . Ale´m disso,
sendo α′(t) = (−asen t, a cos t, b) para todo t ∈ [0, 4pi], segue que α′
(
pi
4
)
=
(
− a√2 , a√2 , b
)
, o
que implica
r(t) = α
(
pi
4
)
+ tα′
(
pi
4
)
=
(
a√
2
,
a√
2
,
bpi
4
)
+ t
(
− a√
2
,
a√
2
, b
)
para todo t ∈ R.
(b) Por definic¸a˜o, o comprimento da curva C e´ dado por
L =
∫ 4pi
0
‖α′(t)‖dt.
Um vez que
‖α′(t)‖ =
√
(−asen t)2 + (a cos t)2 + b2 =
√
a2 + b2,
conclu´ımos que
L =
∫ 4pi
0
√
a2 + b2dt = 4pi
√
a2 + b2.
Questa˜o 3 Uma part´ıcula se desloca de acordo com a func¸a˜o r = r(t), sendo v(t) = r′(t) a sua
velocidade e a(t) = r′′(t) a sua acelerec¸a˜o em cada instante t ≥ 0. Suponha que r0 = (0, 0, 0) seja
a posic¸a˜o inicial da part´ıcula e v0 = (2, 4, 5) seja a sua velocidade inicial. Sabendo que a acelerac¸a˜o
da part´ıcula e´ dada por a(t) = (cos t, sen t, t), encontre r = r(t).
Soluc¸a˜o:
Observando que r(t) = (x′′(t), y′′(t), z′′(t)) = (cos t, sen t, t) para todo t ≥ 0, obtemos
x′(t) =
∫
cos tdt = sen t+ C1,
y′(t) =
∫
sen tdt = − cos t+ C2
e
z′(t) =
∫
tdt = t
2
2 + C3,
onde C1, C2 e C3 sa˜o treˆs constantes reais. Mais precisamente, lembrando que v(0) = r′(0) =
(2, 4, 5), conclu´ımos que C1 = 2, C2 = 5 e C3 = 5. Finalmente,
x(t) =
∫
x′(t)dt =
∫
(sen t+ 2)dt = − cos t+ 2t+K1,
y(t) =
∫
y′(t)dt =
∫
(− cos t+ 5)dt = −sen t+ 5t+K2
e
z(t) =
∫
z′(t)dt =
∫
(t
2
2 + 5)dt =
t3
6 + 5t+K3,
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Ca´lculo III AD1 3
onde K1, K2 e K3 sa˜o treˆs constantes reais. Como r(0) = (0, 0, 0), segue que K1 = 1, K2 = 0 e
K3 = 0, donde
r(t) =
(
− cos t+ 2t+ 1,−sen t+ 5t, t
3
6 + 5t
)
.
Questa˜o 4 Caso existam, calcule os seguintes limites:
(a) lim
t→0
(1− cos t
t2
,
1− cos t
t
)
;
(b) lim
t→−∞
(
et,
1
t
,
√
2t2 + 3−
√
2t2 + t+ 3
)
.
Soluc¸a˜o:
(a) Inicialmente, observemos que
lim
t→0
1− cos t
t2
= lim
t→0
(1− cos t)(1 + cos t)
t2(1 + cos t) = limt→0
1− cos2 t
t2(1 + cos t)
= lim
t→0
sen 2t
t2(1 + cos t) = limt→0
[(
sen t
t
)2 ( 1
1 + cos t
)]
= 12 ,
(2)
o que decorre do limite triginome´trico fundamental lim
t→0
sen t
t
= 1. De forma inteiramente
ana´loga, tambe´m obtemos
lim
t→0
1− cos t
t
= lim
t→0
[(
sen t
t
)
(sen t)
( 1
1 + cos t
)]
= 0,
ou seja, lim
t→0
(1− cos t
t2
,
1− cos t
t
)
=
(1
2 , 0
)
.
(b) Ja´ sabemos que lim
t→−∞ e
t = 0 e lim
t→−∞
1
t
= 0. Ale´m disso, como |t| = −t para todo t < 0, vem
que
lim
t→−∞
√
2t2 + 3−
√
2t2 + t+ 3 = lim
t→−∞
[
(
√
2t2 + 3−√2t2 + t+ 3)(√2t2 + 3 +√2t2 + t+ 3)√
2t2 + 3 +
√
2t2 + t+ 3
]
= lim
t→−∞
 (2t2 + 3)− (2t2 + t+ 3)√
t2
(
2 + 3
t2
)
+
√
t2
(
2 + 1
t
+ 3
t2
)

= lim
t→−∞
−t
|t|
√
2 + 3
t2 + |t|
√
2 + 1
t
+ 3
t2
= lim
t→−∞
1√
2 + 3
t2 +
√
2 + 1
t
+ 3
t2
= 1
2
√
2
.
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Ca´lculo III AD1 4
Portanto, lim
t→−∞
(
et,
1
t
,
√
2t2 + 3−
√
2t2 + t+ 3
)
=
(
0, 0, 1
2
√
2
)
.
Questa˜o 5 Seja C a curva de intersec¸a˜o entre as esferas x2+y2+z2 = −ax+a
2
4 e x
2+y2+z2 = ax,
onde a ∈ R− {0}.
(a) Determine uma parametrizac¸a˜o para C;
(b) Determine o comprimento de C.
Soluc¸a˜o:
Se P = (x, y, z) ∈ R3 pertence a intersec¸a˜o entre as duas superf´ıcies dadas, enta˜o
x2 + y2 + z2 = −ax+ a
2
4 e x
2 + y2 + z2 = ax,
o que implica ax = −ax+ a24 . Assim, devemos ter x =
a
8 e
y2 + z2 = ax− x2 = a
2
8 −
a2
64 =
7a2
64 =
(√
7
8 a
)2
.
Logo, podemos parametrizar C pondo
α(t) = (x(t), y(t), z(t)) =
(
a
8 ,
√
7
8 a cos t,
√
7
8 asen t
)
,
com t ∈ [0, 2pi].
Sendo α = α(t) a parametrizac¸a˜o de C obtida no item anterior, sabemos que
α′(t) =
(
0,−
√
7
8 asen t,
√
7
8 a cos t
)
e
‖α′(t)‖ =
√√√√02 + (−√78 a
)2
+
(√
7
8 a cos t
)2
= |a|
√
7
8 .
Consequentemente, o comprimento de C e´ dado por
L =
∫ 2pi
0
‖α′(t)‖dt = pi|a|
√
7
4 .
Questa˜o 6 Sejam X um subconjunto de R e considere duas func¸o˜es vetoriais deriva´veis F : X −→
R3 e G : X −→ R3. Mostre que:
(a) a func¸a˜o produto escalar (F ·G) : X −→ R e´ deriva´vel e e´ va´lida a relac¸a˜o
d
dt
(F ·G) = dF
dt
·G+ F · dF
dt
;
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Ca´lculo III AD1 5
(b) se existir k ∈ R tal que ‖F (t)‖ = k para todo t ∈ X, enta˜o
F · dF
dt
= 0.
Soluc¸a˜o:
Na resoluc¸a˜o de ambos os itens, ponhamos F (t) = (F1(t), F2(t), F3(t)) e G(t) = (G1(t), G2(t), G3(t))
para todo t ∈ X.
(a) Por definic¸a˜o,
(F ·G)(t) = F1(t)G1(t) + F2(t)G2(t) + F3(t)G3(t).
Como, para cada i ∈ {1, 2, 3}, as func¸o˜es Fi : X −→ R e Gi : X −→ R sa˜o deriva´veis, segue
da regra derivac¸a˜o para func¸o˜es reais de uma varia´vel real que
(FiGi)′(t) = F ′i (t)Gi(t) + Fi(t)G′i(t)
para todo t ∈ X. Portanto,
(F ·G)′(t) = (F1G2)′(t) + (F2G2)′(t) + (F3G3)′(t)
= F ′1(t)G1(t) + F1(t)G′1(t)
+F ′2(t)G2(t) + F2(t)G′2(t)
+F ′3(t)G3(t) + F3(t)G′3(t)
= (F ′1(t), F ′2(t), F ′3(t)) · (G1(t), G2(t), G3(t))
+(F1(t), F2(t), F3(t)) · (G′1(t), G′2(t), G′3(t))
= F ′(t) ·G(t) + F (t) ·G′(t)
para todo t ∈ X, isto e´, a fo´rmula utilizada para derivar o produto de duas func¸o˜es escalares
pode ser estendida para derivarmos o produto escalar de duas func¸o˜es vetoriais.
(b) Por definic¸a˜o, ‖F (t)‖ =
√
F (t) · F (t) para todo t ∈ X. Logo, utilizando o item (a) para
derivar (com respeito a t) os membros da igualdade
k2 = ‖F (t)‖2 = F (t) · F (t),
obtemos
0 = d
dt
(k2) = d
dt
[F (t) · F (t)] = dF
dt
(t) · F (t) + F (t) · dF
dt
(t) = 2F (t) · dF
dt
(t)
para todo t ∈ X.
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