extra_lista-15

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Lista extra 15 - Otimizac¸a˜o
1. Para as func¸o˜es abaixo definidas em R2 encontre os pontos cr´ıticos e classifique.
a) f(x, y) = x2 + xy + y2 + 3x− 3y + 4 b) g(x, y) = x2 + xy + 3x + 2y + 5
c) u(x, y) = 3x2 + 6xy + 7y2 − 2x + 4y d) F (x, y) = 3 + 2x + 2y − 2x2 − 2xy − y2
e) G(x, y) = x3 + 3xy + y3 f) J(x, y) = 4xy − x4 − y4
2. Encontre o ponto do plano x + 2y − z = 4 que se encontra mais pro´ximo da origem.
3. Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 12 cuja soma dos quadrados das distaˆncias a (0, 0, 0)
e (1, 1, 1) seja mı´nima.
4. Encontre o ponto extremo de f(x, y) = 1
x2
+ 1
y
+ xy, definida em {(x, y) ∈ R2 | x > 0 , y > 0}.
Esse ponto e´ extremo global ? Explique.
5. Encontre os pontos extremos locais e/ou globais para f(x, y) com a restric¸a˜o dada.
a) f(x, y) = 3x + y , x2 + 2y2 = 1 b) f(x, y) = x2 − 2xy + y2 , x2 + y2 = 1
c) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y , x + 2y = 3 d) f(x, y) = x2 − 2y2 , x2 + y2 − 2x = 0
6. Encontre os pontos extremos de f(x, y) = xy sobre a curva x2 + 2y2 = 1.
7. Ache o valor ma´ximo de f(x, y) = 49− x2 − y2 sobre a reta x + 3y = 10.
8. Ache o valor mı´nimo de f(x, y) = x + y restrito a` xy = 16, x > 0, y > 0.
9. Determine a curva de n´ıvel de f(x, y) = x2 + 16y2 que seja tangente a` curva xy = 1, x > 0 e
y > 0. Qual o ponto de tangeˆncia ?
10. Determine o ponto da superf´ıcie xyz = 1, x > 0 e y > 0, que se encontra mais pro´ximo da
origem.
11. Encontre o paralelep´ıpedo de volume ma´ximo entre aqueles que podem ser inscritos no elipso´ide
x
2
4
+ y
2
9
+ z
2
16
= 1, com arestas paralelas aos eixos coordenados.
Respostas:
(1). legenda:m=mı´nimo, M=ma´ximo, s=sela. a)m (-3,3). b) s (-2,1). c)m (13/12,-3/4). d) M (0,1). e)s
(0,0),m (-1,-1). f)s (0,0), M (1,1), (-1,-1). (2). (2
3
, 4
3
,−2
3
). (3). (17/7, 25/14, 8/7). (4). O ponto de mı´nimo
local e global e´ P = (2
2
5 , 2−
1
5 ). Para mostrar que P e´ mı´nimo global, note que quando (x, y) se aproxima
dos eixos y = 0 ou x = 0 o valor de f(x, y) tende para +infinito. O mesmo ocorre quando x ou y va˜o
para +∞. Tente usar essa ide´ia e argumente matematicamente porque na˜o pode haver (x1, y1) no domı´nio
com f(x1, y1) < f(P ). Lembre que o domı´nio e´ um conjunto aberto e ilimitado. (5). a) ma´ximo em
(6/
√
38, 1/
√
38), mı´nimo em (−6/√38,−1/√38) b) mı´nimo em (1/√2, 1/√2), ma´ximo em (−1/√2, 1/√2)
e (1/
√
2,−1/√2) c) mı´nimo local em (1, 1), ma´ximo local em (−13/7, 17/7) d) ma´ximo em (2, 0), mı´nimo
em (2/3, 2
√
2/3) e (2/3,−2√2/3). (6). {( 1√
2
, 1
2
), (− 1√
2
, 1
2
), ( 1√
2
,−1
2
), (− 1√
2
,−1
2
)}. (7). 39. (8). 8. (9).
x2 + 16y2 = 8. O ponto de tangeˆncia e´ (2, 1
2
). (10). (1, 1, 1). (11). As arestas sa˜o 4√
3
, 6√
3
e 8√
3
.