Lista EDO

Prévia do material em texto

Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica - UFG
Equac¸o˜es Diferenciais - Eng. Ambiental e Sanita´ria
Lista 2 - 03 de maio de 2018
1. Uma equac¸a˜o diferencial da forma y′′(x) = F (y(x), y′(x))
se transforma em v′(x) = F (y(x), v(x)) com a substituic¸a˜o
v = y′. Considerando y como varia´vel independente, enta˜o
v′(x) = y′(x)v′(y) e a equac¸ ao original fica na forma
vv′(y) = F (y, v).
2. Verifique que x1(t) = 1 + t e x2(t) = e
t sa˜o soluc¸o˜es lin-
earmente independentes da equac¸a˜o homogeˆnea associada
a` equac¸a˜o
tx′′(t)− (1 + t)x′(t) + x(t) = t2e2t, t > 0
e determine sua soluc¸a˜o geral.
3. Mostre que a substituic¸a˜o v(t) = x
′(t)
x(t) transforma a
equac¸a˜o x′′(t) +x′(t) +x(t) = 0 numa equac¸a˜o de primeira
ordem em v(t), e resolva essa equac¸a˜o.
4. Determine se o conjunto de func¸o˜es dado e´ linearmente
independente no intervalo (−∞,∞). Use diretamente o
conceito de independeˆncia linear ou use o Wronskiano.
(a) f1(x) = x, f2(x) = x
2, f3(x) = 4x− 3x2
(b) f1(x) = 5, f2(x) = cos
2 x, f3(x) = sen
2 x
(c) f1(x) = 2 + x, f2(x) = 2|x|
(d) f1(x) = e
x/2, f2(x) = xe
x/2
(e) f1(x) = e
x+2, f2(x) = e
x−3
5. Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial de se-
gunda ordem.
(a) 4y′′ + y′ = 0
(b) y′′ − y′ − 6y = 0
(c) y′′ + 8y′ + 16y = 0
(d) y′′ − 4y′ + 5y = 0
(e) x2y′′ − 2y = 0
(f) xy′′ + y′ = 0
(g) x2y′′ + xy′ + 4y = 0
6. Nos problemas a seguir resolva o problema de valor inicial
dado.
(a) y′′ + 16y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −2
(b) y′′ − 4y′ − 5y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 2
(c) 4y′′ − 4y′ − 3y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 5
(d) y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = 5, y′(0) = 10
(e) x2y′′ + 3xy′ = 0, y(1) = 0, y′(1) = 9
(f) x2y′′ − 5xy′ + 8y = 0, y(2) = 32, y′(2) = 0
(g) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y(1) = 5, y′(3) = 9
7. Nos problemas a seguir resolva o problema de valor de con-
torno dado.
(a) y′′ − 10y′ + 25y = 0, y(0) = 1, y(1) = 0
(b) y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
(c) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y(pi) = 1
8. Determine a soluc¸a˜o geral de y′′′ + 6y′′ + y′ − 34y = 0,
sabendo que y1 = e
−4x cosx e´ uma soluc¸a˜o.
9. (a) Verifique que yp1 = 3e
2x e yp2 = x
2 + 3x sa˜o, respecti-
vamente, soluc¸o˜es particulares de
y′′ − 6y′ + 5y = −9e2x e y′′ − 6y′ + 5y = 5x2 + 3x− 16
(b) Use o item (a) para encontrar soluc¸o˜es particulares de
y′′ − 6y′ + 5y = 5x2 + 3x− 16− 9e2x
10. Nos problemas a seguir use o me´todo dos coeficientes a
determinar para resolver a equac¸a˜o diferencial dada.
(a) y′′ + 3y′ + 2y = 6
(b) y′′ − 10y′ + 25y = 30x+ 3
(c) y′′ − 8y′ + 20y = 100x2 − 26xex
(d) 4y′′ − 4y′ − 3y = cos 2x
(e) y′′ + 2y′ = 2x+ 5− e−2x
(f) y′′ + y = 2x senx
11. Resolva cada equac¸a˜o diferencial por variac¸a˜o de
paraˆmetros.
(a) y′′ + y = sen x
(b) 2y′′ + 2y′ + y = 6
√
x
(c) 2y′′ + y′ − y = x+ 1; y(0) = 1; y′(0) = 0
(d) 4y′′ − y = xex/2; y(0) = 1; y′(0) = 0
(e) xy′′ − 4y′ = x4
(f) x2y′′ + xy′ − y = lnx
(g) x2y′′ − xy′ + y = 2x
12. Use a substituic¸a˜o x = et para transformar a equac¸a˜o de
Cauchy-Euler em uma equac¸a˜o com coeficientes constantes.
(a) x2y′′ + 9xy′ − 20y = 0
(b) x2y′′ − 9xy′ + 25y = 0
(c) x2y′′ + 10xy′ + 8y = x2
(d) x2y′′ − 4xy′ + 6y = lnx2
13. Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de con-
vergeˆncia de cada uma das se´ries de poteˆncias.
(a)
∑∞
n=0(x− 3)n (b)
∑∞
n=0
n
2nx
n
(c)
∑∞
n=1
(2x+1)n
n2 (d)
∑∞
n=1
(x−x0)n
n
14. Suponha que a se´rie de poteˆncias
∑∞
k=0 ck(x − 4)k seja
convergente em −2 e divergente em 13. Decida se a se´rie e´
convergente em −7, 0, 7, 10 e11. As respostas poss´ıveis sa˜o
sim, na˜o, pode ser.
15. Procedendo formalmente, determine duas soluc¸o˜es em
se´ries de poteˆncia, linearmente independentes, e em
poteˆncias de x− x0 para cada uma das seguintes equac¸o˜es
diferenciais. Qual e´ a relac¸a˜o de recorreˆncia?
(a) y′′ − y = 0, x0 = 0
(b) y′′ − y′ − y = 0, x0 = 0
(c) (1− x)y′′ + y = 0, x0 = 0
16. Determine um limite inferior para o raio de convergeˆncia
das soluc¸o˜es por se´rie em torno de cada ponto x0 dado,
para cada uma das seguintes equac¸o˜es diferenciais.
(a) y′′ + 4y′ + 6xy = 0, x0 = 0, x0 = 4
(b) xy′′ + y = 0, x0 = 1
1
17. Determine os treˆs primeiros termos de cada uma das duas
soluc¸o˜es, linearmente independentes, por se´rie de poteˆncias
em poteˆncias de x de cada uma das equac¸o˜es.
(a) y′′ + (sen x)y = 0 (b) exy′′ + xy = 0
18. Nas equac¸o˜es a seguir determine se cada um dos pontos
−1, 0 e 1 e´ um ponto ordina´rio, um ponto singular regular
ou um ponto singular irregular.
(a) xy′′ + (1− x)y′ + xy = 0
(b) x2(1− x2)y′′ + 2xy′ + 4y = 0
(c) (1− x2)2y′′ + x(1− x)y′ + (1 + x)y = 0
19. Determine a soluc¸a˜o geral de cada uma das seguintes
equac¸o˜es diferenciais que seja va´lida em qualquer intervalo
que na˜o inclua o ponto singular.
(a) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0
(b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0
(c) 4x2y′′ + 8xy′ + 5y = 0
20. Determine os pontos singulares da equac¸a˜o diferencial
dada. Classifique cada ponto como regular ou irregular.
(a) x3y′′ + 4x2y′ + 3y = 0
(b) x2(x− 5)2y′′ + 4xy′ + (x2 − 25)y = 0
(c) x(x2 + 1)2y′′ + y = 0
21. Nas equac¸o˜es a seguir x0 = 0 e´ um ponto singular regular.
Mostre que as ra´ızes indiciais na˜o diferem por um nu´mero
inteiro. Determine duas soluc¸o˜es em se´rie linearmente in-
dependentes em torno de x = 0 e obtenha a soluc¸a˜o geral.
(a) 2xy′′ − y′ + 2y = 0
(b) 2xy′′ − (3 + 2x)y′ + y = 0
(c) 2x2y′′ − xy′ + (x2 + 1)y = 0
22. Um peso de 980 g distende em 15 cm uma mola de 60
cm. Se puxarmos o peso para baixo 8 cm adicionais
e enta˜o soltarmos, determine o movimento subsequente,
desprezando a resisteˆncia do ar. Qual e´ a amplitude, a
frequeˆncia e o per´ıodo do movimento?
23. Uma massa de 100 g esta´ ligada a uma mola de ac¸o de
50 cm de comprimento natural. Estica-se a mola de 5 cm
ao se adicionar esta massa. Se iniciarmos o movimento
da massa com uma velocidade de 10 cm/s na direc¸a˜o para
baixo, determine o movimento subsequente. Despreze a
resisteˆncia do ar.
24. Um peso de 1,8 kg distende de 3,8 cm uma mola. Uma
forc¸a externa de 1, 8 cos(3t) kg age sobre a mola. Deter-
mine o movimento subsequente se deslocarmos o peso a
uma distaˆncia de 5 cm de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e enta˜o
soltarmos. Despreze o amortecimento.
2