Lista de exercícios Calculo I

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Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT
Cálculo para Arquitetura
Moiseis Cecconello - moiseis@gmail.com
Primeira lista de exercícios
Ex. 1 - Analise as situações a seguir:
a) Para realizar uma viagem verificou-se que o
preço do combustível está estimado entre R$
1, 98 e 2, 05 por litro e que são necessários
entre 38 e 41 litros de combustível. Qual é
a estimativa de gastos com combustível para
esta viagem?
b) O déficit habitacional em Mato Grosso está
estimado entre 70 e 80 mil habitações.
Pretende-se construir entre 9 e 12 mil casas
por ano nos próximos 4 anos. Qual é a esti-
mativa de déficit habitacional em MT em 4
anos?
c) O consumo de água diário está estimado en-
tre 148, 3 e 151, 2 litros por pessoa. Se uma
cidade tem população estimada entre 10 e
12 milhões, qual é a estimativa de consumo
diário da cidade?
Ex. 2 - Esboce um gráfico que possivelmente
represente cada uma das situações a seguir. Pes-
quise por informações caso seja necessário.
a) Número de pessoas em uma festa com rela-
ção ao tempo de início da festa.
b) Altura de uma pessoa como função da idade.
c) O número de pessoas na UFMT com relação
ao longo do dia.
d) A temperatura típica ao longo do dia em
Cuiabá.
e) O consumo de água de uma cidade ao longo
do dia.
f) O vocabulário de uma pessoa como função
da idade.
g) A quanditade de produtos vendidos com re-
lação ao seu preço.
h) O número de pessoas em Cuiabá como fun-
ção do tempo.
Além disso, apresente o gráfico duas varáveis que
estejam relacionadas por alguma função.
Ex. 3 - Para cada item esboce um gráfico com
base nas informações dadas.
a) A função é crescente e côncava no intervalo
(−∞,−1); decrescente e convexa no inter-
valo (−1, 0); decrescente e convexa no in-
tervalo (0, 1); crescente e convexa em (1, 3);
crescente e côncava em (3, 5) e, finalmente,
crescente e convexa em (5,∞). Analise a
existência de máximos e mínimos locais.
b) A função é decrescente e convexa no inter-
valo (−∞, 0); decrescente e convexa no inter-
valo (0,∞). Analise a existência de máximos
e mínimos locais.
c) A função possui máximos locais em x = −1
em x = 5. Analise a existência de mínimos
locais e concavidade.
d) A função possui um mínimo local maior do
que o um máximo local. Analise a concavi-
dade dessa função.
e) A função é positiva para todo x; crescente em
(−∞, 0); o ponto x = 0 é máximo local com
f(0) = 1; decrescente no intervalo (0,∞).
Analise a concavidade dessa função.
f) A função é positiva, crescente, côncava e está
definida apenas para x ≥ 0 e, para todo x,
f(x) < 20.
g) A função é positiva, crescente e está definida
apenas para x ≤ 0; para todo x, f(x) < 20;
convexa se f(x) ≤ 10; côncava se f(x) > 10.
Ex. 4 - Determine os vértices e, se existirem, as
raízes de cada uma das parábolas a seguir:
a) f(x) = −x2 + 4x− 3;
1
b) f(x) = x2 − 8x+ 12;
Ex. 5 - Para cada item, esboce as funções em um
mesmo gráfico, encontre os pontos de interseções
e indique os pontos em que f(x) > g(x.) Além
disso, com o auxílio de algum aplicativo, verifique
os resultados obtidos.
a) f(x) = 3 + 4x; g(x) = 6x− 1;
b) f(x) = 1− x2; g(x) = 2x− 2;
c) f(x) = 2− x2; g(x) = x2 − 3;
d) f(x) = (x− 1)2; g(x) = x− 2.
e) f(x) = x2 + x− 2; g(x) = −x2 + 2.
f) f(x) = x2 + x− 2; g(x) = −x2 + 2.
Ex. 6 - O custo para remover x% do poluente de
um lago é dado pela fórmula
C(x) =
0.8x
100− x
em que x ∈ [0, 100). Qual é o custo para se remo-
ver 10%, 50%, 80%, 90%, 99%, e 99.5%? Esboce
o gráfico dessa função usando algum aplicativo
e descreva o comportamento do gráfico em ter-
mos de crescimento, decrescimento, convavidade
e convexidade.
Ex. 7 - A diferença entre nascimentos e mortes
por ano, em milhares, de uma população como
função do número de indivíduos desta população
é estimado pela fórmula
f(x) = −8.4x3 + 58x2
em que x ≥ 0 é medido em milhões em milhões
de indivíduos. Calcule f(1), f(5) e f(8) e inter-
prete o resultado. Além disso, esboce o gráfico
dessa função usando algum aplicativo e descreva
o comportamento do gráfico em termos de cresci-
mento, decrescimento, convavidade, convexidade
máximos e mínimos.
Ex. 8 - A temperatura ao longo algum dia em
Cuiabá é dada pela expressão
f(x) = −0.0074x3+0, 2755x2−2, 3203x+29, 8200
em que x ∈ [0, 24] representa a hora do dia. Cal-
cule f(0) f(3), f(9), f(14), e f(21). Utilizando
esses valores esboce um possível gráfico dessa fun-
ção. Além disso, esboce o gráfico dessa função
usando algum aplicativo e descreva o comporta-
mento do gráfico em termos de crescimento, de-
crescimento, convavidade, convexidade máximos
e mínimos.
Ex. 9 - Se o lucro mensal de uma loja pela venda
de x unidades de um certo produto é dado por
l(x) = 80x− 0.13x2.
a) Esboce o gráfico de l(x);
b) De quanto é o lucro se são vendidas 500 uni-
dades?
c) Quantas unidades devem ser vendidas para
se ter um lucro máximo?
Ex. 10 - A emissão de partículas de poluição pro-
duzida pelos ônibus, na atmosfera de uma cidade
é dada por:
h(t) = −10t2 + 300t+ 2.61
com t em anos e h em milhares de toneladas, onde
se utilizou como ano base 2000.
a) Esboce o gráfico de h;
b) De quanto foi a poluição no ano de 2007?
c) Em que ano a poluição atingiu o máximo?
Ex. 11 - Uma pessoa deseja lançar uma nova cer-
veja artesanal no mercado. Com objetivo de en-
contrar o valor que maximiza seu lucro, o mesmo
percebe que vendeu 1000 litros de cerveja quando
ofertou o produto no valor de R$ 10, 00. Ao ofer-
tar o produto por R$ 20, 00, no entanto, o mesmo
vendeu apenas 300 litros. Supondo que a de-
manda pela cerveja decresce de acordo com uma
função afim e que o custo para produzir cada litro
é de R$ 7, 00, encontre a função que descreve o lu-
cro para cada litro de cerveja produzido/vendido
de acordo com o preço estabelecido pelo produ-
tor. Qual deve ser o valor do litro de cerveja para
se obter o lucro máximo?
Ex. 12 - Projeta-se que em t anos, a população
de um estado será de
P (t) = 10 e0.02t
2
milhões de habitantes. Qual é a população em
t = 0? Qual será a população em 20 anos, se a
população continuar crescendo nesta proporção?
Quantos anos são necessários para a população
dobrar de tamanho?
Ex. 13 - Um vídeo postado no YouTube de título
Cacete de Agulha, é conhecidamente um famoso
viral na internet. O número de visualizações, em
milhões, da versão mais famosa deste vídeo no
YouTube pode ser estimado pela expressão
v(t) = 1555− 1516 e−0,045t
em que t é medido em meses e contado a partir de
julho de 2012. Qual a estimativa de visualizações
30 meses após a contagem? E atualmente?
Ex. 14 - O valor de uma máquina após t anos de
uso é dada por
V (t) = 10 e−0.02t
milhares de reais. Qual será o valor da máquina
após dois anos de uso? Qual será valor da má-
quina após 20 anos de uso, se a depreciação con-
tinuar neste ritmo? Quanto tempo é necessário
para que máquina seja avaliada em 5 mil reais?
Ex. 15 - Suponha que a população de uma cidade
em função do tempo, em milhões de habitantes,
seja dada pela fórmula
p(t) =
20
2 + 18 e−0.02t
.
Calcule a quantidade de indivíduos em t = 0,
t = 10 e t = 100. Qual o tempo necessário para
a população atingir 5 milhões? E para atingir 9
milhões? Esboce o gráfico dessa função usando
algum aplicativo e descreva o comportamento do
gráfico em termos de crescimento, decrescimento,
convavidade e convexidade e analise em que pe-
ríodo houve um maior crescimento populacional.
Ex. 16 - Uma investigação revelou a presença da
bactéria salmonela, que se multiplica segundo a
lei
n(t) = 200 · 2αt,
em que n(t) é o número de bactérias encontra-
das na amostra de maionese t horas após o início
do almoço e α é uma constante real. Sobre essa
questão, responda:
a) Qual o número inicial de bactérias?
b) Sabendo que após 3 horas o número de bac-
térias era de 800, qual o valor da constanteα?
c) Qual o número de bactérias após um dia da
realização do almoço?
Ex. 17 - Em um experimento com uma colônia
de bactérias, observou-se que havia 5 mil bacté-
rias vinte minutos após o início do experimento
e, dez minutos mais tarde, havia 8500 bactérias.
Suponha que a população da colônia cresce expo-
nencialmente, de acordo com a função
p(t) = po e
αt
em que t representa o tempo, em minutos, após
o início do experimento. Quantas bactérias exis-
tirão em 1 hora após o início do experimento?
Ex. 18 - Numa certa cidade, o número de ha-
bitantes, num raio de r quilômetros a partir do
centro
p(r) = k e2.5r
em que k é constante e r > 0. Se há 98.304
habitantes num raio de 5km do centro, quantos
habitantes há num raio de 3km do centro?
Ex. 19 - A cada ano que passa, o valor de um
carro diminui de 20% em relação ao do ano ante-
rior. Se V for o valor do carro no ato da compra,
qual será o valor do carro após 10 anos?
Ex. 20 - Certo tratamento médico consiste na
aplicação, a um paciente, de uma determinada
substância. Admita que a quantidade Q de subs-
tância que permanece no paciente, t horas após
a aplicação, é dada, em miligramas, por
Q(t) = 2501−0.1t
Qual a quantidade inicial de substância aplicada
ao paciente? Qual a quantidade de substância
presente no organismo após 5 horas?
Ex. 21 - A tabela abaixo apresenta o consumo
médio de água diário por indivíduo no Brasil. En-
contre a reta que melhor representa esses dados e
estime qual o consumo diário para o ano de 2010.
3
Ano Cons. em litros
2007 149, 6
2008 151, 2
2009 148, 5
Ex. 22 - A tabela abaixo apresenta a frota
nacional de automóveis em milhões de veículos.
Usando algum aplicativo, encontre a reta que me-
lhor representa esses dados. Estime qual é a
quantidade de automóveis para o ano de 2014.
Além disso, faça uma estimativa para 2018 e com-
pare com a frota atual do Brasil.
Ano Qte de automóveis
2002 22, 49
2003 23, 67
2004 24, 94
2005 26, 31
2006 27, 89
2007 29, 85
2008 32, 05
4