PORTFÓLIO CÁLCULO 1 semana 5

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CÁLCULO I – SEMANA 5 
 
VÍDEO-AULA 17 - EXERCÍCIO 1: 
Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑥²𝑙𝑛𝑥, podemos derivar a função da seguinte forma: 
 
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 ∗ 𝒍𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 ∗ (
𝟏
𝒙
) 
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 ∗ 𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 
Para obtermos os pontos críticos: 
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 ∗ 𝒍𝒏𝒙 + 𝒙 = 𝟎 
𝒙 = 𝟎 ↔ ∄𝒍𝒏𝒙 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒏 ∗ 𝒙 = −
𝟏
𝟐
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒏𝒙 = −
𝟏
𝟐
 
𝒙 = 𝒆
𝟏
𝟐 ≅ 𝟎, 𝟔𝟏 
𝒇′(𝟎, 𝟓) = 𝟎, 𝟓(𝟐 ∗ 𝒍𝒏𝟎, 𝟓 + 𝟏) ≅ −𝟎, 𝟏𝟗 < 𝟎 
𝒇′(𝒆) = 𝒆(𝟐 ∗ 𝒍𝒏𝒆 + 𝟏) = 𝟑𝒆 > 𝟎 
 
Sendo assim temos que o ponto crítico está em x=0,61 devido à característica 
logarítmica da função e seu índice 2x,observamos que o período decrescente da função 
está em 0≤x<0,61 e o período crescente está em x>0,61. 
 
 
EXERCÍCIO 2 
 
Encontre os pontos de máximo e mínimo da função𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥
) 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ∈ (0,1] 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥
) 𝑓′(𝑥) = cos (
1
𝑥
) ∗ −1 ∗ 𝑥−2 = − 𝐜𝐨𝐬 (
𝟏
𝒙
) ∗ (
𝟏
𝒙𝟐
) 
 
PONTO CRÍTICO:𝑓′(𝑥) = 0 
− 𝐜𝐨𝐬 (
𝟏
𝒙
) ∗ (
𝟏
𝒙𝟐
) = 𝟎 
 
cos
1
𝑥
= 0 
 
Então: 
𝟏
𝒙
=
𝝅
𝟐
+ 𝒌 ∗ 𝝅 
 
Atribuindo valores: 
1
𝑥
=
𝜋
2
↔ 𝑥 =
2
𝜋
= 0,64 
 
1
𝑥
=
3𝜋
2
↔ 𝑥 =
3
𝜋
= 0,21 
 
1
𝑥
=
5𝜋
2
↔ 𝑥 =
5
𝜋
= 0,13 
 
1
𝑥
=
7𝜋
2
↔ 𝑥 =
7
𝜋
= 0,09 
 
1
𝑥
=
9𝜋
2
↔ 𝑥 =
9
𝜋
= 0,07 
 
 
Substituindo estes valores em f’(x) observamos que todo “k” par é máximo e todos “k” 
impar é mínimo. 
 
 
EXERCÍCIO 3 
 
Se “a” e “b” são números positivos, encontre o valor máximo de: 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎(1 − 𝑥)𝑏, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 
𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥𝑎−1(1 − 𝑥)𝑏 + 𝑥𝑎𝑏(1 − 𝑥)𝑏−1(−1) 
 
𝑓′(𝑥) = 𝑎 (
𝑥𝑎
𝑥
) (1 − 𝑥)𝑏 − 𝑥𝑎𝑏
(1 − 𝑥)𝑏
(1 − 𝑥)
 
 
𝑥𝑎(1 − 𝑥)𝑏 [
𝑎
𝑥
−
𝑏
(1 − 𝑥)
] 
 
𝑥𝑎(1 − 𝑥)𝑏 [
𝑎(1 − 𝑥) − 𝑏𝑥
𝑥(1 − 𝑥)
] = 0 
 
Com x≠0 e x≠1,pois 𝒙𝒂(𝟏 − 𝒙)𝒃 = 𝟎 não é possível com x=0 ou x=1 
 
Então 
 
[
𝒂(𝟏 − 𝒙) − 𝒃𝒙
𝒙(𝟏 − 𝒙)
] = 𝟎 
 
𝑎(1 − 𝑥) − 𝑏𝑥 = 
 
𝑎 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 = 0 
 
𝑥 =
𝑎
𝑎 + 𝑏
 
Vamos atribuir a= 1 e b=1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 Para localizarmos o ponto e seus sinais: 𝑥 =
1
2
𝑒 𝑓(𝑥) =
1
4
 
Portanto a e b são números positivos. 
 
 
 
 
 
VÍDEO - AULA 18 – EXERCÍCIO 1 
 
𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙𝟐 + 𝟏
 
 
𝒇′(𝒙) =
[(𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟏)] − [(𝒙)(𝟐𝒙)]
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
 
 
𝒇′(𝒙) =
[(𝒙𝟐 + 𝟏)] − [(𝟐𝒙𝟐)]
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
 
 
𝒇′(𝒙) =
−𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏
 
 
PONTOS CRÍTICOS: 
f’(x)=0 
 
PONTOS DE INFLEXÃO 
f”(x)=0 
Para o ponto crítico igualamos a zero: 
 
𝒇′(𝒙) =
−𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏
= 𝟎 
 
𝒇′(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒙𝟐 = 𝟏 
 
𝒙 = ±𝟏 
 
Substituindo[0,2] 
 
𝒇′(𝟎) =
−(𝟎)𝟐 + 𝟏
(𝟎)𝟒 + 𝟐(𝟎)𝟐 + 𝟏
=
𝟏
𝟏
= 𝟏 
 
𝒇′(𝟐) =
−(𝟐)𝟐 + 𝟏
(𝟐)𝟒 + 𝟐(𝟐)𝟐 + 𝟏
=
−𝟑
𝟐𝟓
= −𝟎, 𝟏𝟐 
 
Derivando novamente e aplicando a regra do quociente: 
 
𝒇′(𝒙) =
−𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏
 
 
𝒇" =
(−𝟐𝒙)(𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) − (𝟒𝒙𝟑 + 𝟒𝒙)(−𝒙𝟐 + 𝟏)
(𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
 
 
 
−𝟐𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 = 𝟎 
 
𝟐𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 = 𝟎 
 
𝟐𝒙(𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑) = 𝟎 
 
x=0 e 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑 = 𝟎 
(𝒙𝟐)𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑 = 𝟎 
𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 
 
∆= 𝟒 − 𝟒(−𝟑) = 𝟏𝟔 
 
𝒚 =
𝟐 ± 𝟒
𝟐
{
= 𝟑
= −𝟏
 
 
𝒙𝟐 = 𝟑 ↔ 𝒙 = √𝟑 ↔ ±𝟏, 𝟕 
 
𝒙𝟐 = −𝟏 ↔ ∄ 
 
Retornando a função atribuindo valores: 
 
𝒇(𝟎) =
𝟎
𝟎𝟐 + 𝟏
=
𝟏
𝟏
= 𝟏 
𝒇(−𝟐) =
−𝟐
(−𝟐)𝟐 + 𝟏
= −
𝟐
𝟓
= −𝟎, 𝟒 
 
𝒇(𝟏) =
𝟏
(𝟏)𝟐 + 𝟏
=
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 
 
𝒇(−𝟏) =
−𝟏
(−𝟏)𝟐 + 𝟏
= −
𝟏
𝟐
= −𝟎, 𝟓 
 
𝒇(𝟏, 𝟕) =
𝟏, 𝟕
(𝟏, 𝟕)𝟐 + 𝟏
≅ 𝟎, 𝟒𝟑𝟕 
 
𝒇(−𝟏, 𝟕) =
−𝟏, 𝟕
(−𝟏, 𝟕)𝟐 + 𝟏
≅ −𝟎, 𝟒𝟑𝟕 
 
Ponto máximo(0;1) 
 
Pontos mínimos(-2;-0,12) e (2;-0,12) 
 
 
 
VÍDEO AULA 19 - EXERCÍCIO 1.a 
 
∑
𝒇𝒏(𝟎)
𝒌!
𝒏
𝒌=𝟎
𝒙𝒌 = 𝒇(𝟎) +
𝒇′(𝟎)𝒙
𝟏!
+
𝒇"(𝟎)𝒙𝟐
𝟐!
+
𝒇′′′(𝟎)𝒙𝟑
𝟑!
+ ⋯ +
𝒇𝒏(𝟎)𝒙𝒏
𝒏!
 
 
Derivando: 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇′′(𝒙) = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇′′′(𝒙) = 𝟑𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇𝒏(𝒙) = 𝒏𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
Série de MacLaurin(Taylor quando x=0) 
 
𝒇′(𝟎) = 𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝒆𝟎 + 𝟎𝒆𝟎 = 𝟏 
 
𝒇′′(𝟎) = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝟐𝒆𝟎 + 𝟎𝒆𝟎 = 𝟐 
 
𝒇′′′(𝟎) = 𝟑𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝟑𝒆𝟎 + 𝟎𝒆𝟎 = 𝟑 
 
𝒇𝒏(𝟎) = 𝒏𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝒏𝟏 + 𝟎 = 𝒏 
 
Série de Taylor quando x=0 
 
∑
𝒇𝒏(𝟎)
𝒌!
𝒏
𝒌=𝟎
𝒙𝒌 = 𝟎 + 𝒙 + 𝒙𝟐 +
𝟏𝒙𝟑
𝟐
+ ⋯ +
𝒏𝒙𝒏
𝒏!
 
 
EXERCÍCIO 1.B 
 
∑
𝒇𝒏(𝟎)
𝒌!
𝒏
𝒌=𝟎
𝒙𝒌 = 𝒇(𝟎) +
𝒇′(𝟎)𝒙
𝟏!
+
𝒇"(𝟎)𝒙𝟐
𝟐!
+
𝒇′′′(𝟎)𝒙𝟑
𝟑!
+ ⋯ +
𝒇𝒏(𝟎)𝒙𝒏
𝒏!
 
 
Derivando: 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇′′(𝒙) = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇′′′(𝒙) = 𝟑𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
𝒇𝒏(𝒙) = 𝒏𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
 
 
𝒇′(𝟏) = 𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝒆𝟎 + 𝟎𝒆𝟎 = 𝒆 + 𝒆 = 𝟐𝒆 
 
𝒇′′(𝟏) = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝟐𝒆𝟎 + 𝟎𝒆𝟎 = 𝟐𝒆 + 𝒆 = 𝟑𝒆 
 
𝒇′′′(𝟏) = 𝟑𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝟑𝒆𝟎 + 𝟎𝒆𝟎 = 𝟑𝒆 + 𝒆 = 𝟒𝒆 
 
𝒇𝒏(𝟏) = 𝒏𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝒏𝒆𝟏 + 𝟏𝒆𝟏 = 𝒆(𝒏 + 𝟏) 
 
∑
𝒇𝒏(𝟏)
𝒌!
𝒏
𝒌=𝟎
𝒙𝒌 = 𝒇(𝟏) +
𝒇′(𝟏)𝒙
𝟏!
+
𝒇"(𝟏)𝒙𝟐
𝟐!
+
𝒇′′′(𝟏)𝒙𝟑
𝟑!
+ ⋯ +
𝒇𝒏(𝟏)𝒙𝒏
𝒏!
 
 
∑
𝒇𝒏(𝟏)
𝒌!
𝒏
𝒌=𝟎
𝒙𝒌 = 𝒆 + 𝟐𝒆 +
𝟑𝒆𝒙𝟐
𝟐!
+
𝟒𝒆𝒙𝟑
𝟑!
+ ⋯ +
𝒆(𝒏 + 𝟏)𝒙𝒏
𝒏!
 
 
 
VÍDEO-AULA 20 - EXERCÍCIO 1: 
∑[𝒙𝒊 + 𝟏 − 𝒙𝒊]𝒇(𝒂𝒊)
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
 
 
∆𝒙 =
𝒃 − 𝒂
𝒏
 
 
∑ 𝒇(𝒂𝒊)∆𝒙
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙, 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟏]; ∆𝒙 =
𝟏
𝟒
 ↔ 𝒏 = 𝟒 
 
𝑺𝑬 = (
𝟏
𝟒
) {𝟎 + (
𝟏
𝟒
) + (
𝟏
𝟐
) + (
𝟑
𝟒
)} = (
𝟏
𝟒
) (
𝟑
𝟐
) =
𝟑
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 
 
𝑺𝑫 = (
𝟏
𝟒
) {(
𝟏
𝟒
) + (
𝟏
𝟐
) + (
𝟑
𝟒
) + 𝟏} = (
𝟏
𝟒
) (
𝟓
𝟐
) =
𝟓
𝟖
= 𝟎, 𝟔𝟐𝟓