04 Centroide e centro de massa pc edit

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE PROCESSAMENTO DE ENERGIA ELÉTRICA 
ELEMENTOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
Centro de gravidade, 
centro de massa e centroide 
 
 
 
Paulo Cesar Vargas Luz 
(Adaptado de Macklini Dalla Nora) 
 
 
 
Santa Maria, RS 
24 de agosto de 2017 
Conceitos 
Centro de gravidade (CG / baricentro): 
 
• Ponto onde uma única força P (peso) pode ser 
aplicada para representar o efeito da atração 
gravitacional da terra sobre as inúmeras 
partículas que formam o corpo; 
 
 
 
 
2 
Conceitos 
Centro de massa (CM): 
 
• Ponto onde toda a massa de um corpo pode ser 
dita concentrada; 
 
• Seu cálculo depende da média ponderada das 
partículas que formam o corpo, ou corpos que 
formam um sistema; 
 
• Uma força externa atuante nesse ponto não gera 
rotação no corpo, apenas translação; 
 3 
CM de um conjunto de partículas 
4 
m1 
x1, y1 
x2, y2 
x3, y3 
X 
Y 
321
332211
mmm
xmxmxm
xCM



m2 
m3 xCM, yCM 
321
332211
mmm
ymymym
yCM



Média 
ponderada! 
Centroide: 
 
• Centro geométrico de uma figura plana ou 
linha 
5 
Conceitos 
Generalizações 
Centro de gravidade (CG) 
 = 
 Centro de massa (CM) 
6 
Apenas no caso de 
campo gravitacional 
uniforme. 
 Centro de massa (CM) 
 = 
 Centroide 
Apenas no caso de 
placas homogêneas com 
espessura constante. 
CG de corpos bidimensionais 
7 
E assumindo-se que a placa seja homogênea, de 
espessura uniforme, e que o campo gravitacional 
seja também uniforme, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Se a placa não for homogênea, as equações não 
podem ser usadas para determinar seu CG, mas ainda 
valem para determinar seu centroide! 
 dAxA
x
1
 dAyA
y
1
Simetria 
Centro de simetria Eixo de simetria 
8 
Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu 
centroide fica localizado sobre esse eixo! 
Beer, F.R.; et al. Estática e Mecânica dos Materiais, 1ª edição, 2013. 
Simetria 
Uma superfície que tenha um centro de 
simetria não tem, necessariamente, um eixo de 
simetria. 
9 
Beer, F.R.; et al. Estática e Mecânica dos Materiais, 1ª edição, 2013. 
Simetria 
Se uma superfície ou curva possui dois eixos 
de simetria, seu centroide estará situado na 
interseção desses eixos. 
10 
Centroide de superfícies usuais 
11 
𝑎 + 𝑏
3
 
𝑎 
Triângulo 
Um quarto 
de círculo e 
semicírculo 
Um quarto 
de elipse e 
semi-elipse 
Beer, F.R.; Johnston Jr, E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática, 9ª edição, 2010. 
Centroide de superfícies usuais 
12 
Beer, F.R.; Johnston Jr, E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática, 9ª edição, 2010. 
Superfície 
sob arco 
parabólico 
Superfície 
sob função 
potencial 
Setor 
circular 
Centroide de superfícies compostas 
13 
Uma superfície complexa pode ser dividida em 
retângulos, círculos, triângulos... 


i
i
A
Ax
X



i
i
A
Ay
Y
B
e
e
r,
 F
.R
.;
 J
o
h
n
s
to
n
 J
r,
 E
.R
. 
M
e
c
â
n
ic
a
 V
e
to
ri
a
l 
p
a
ra
 E
n
g
e
n
h
e
ir
o
s
 –
 E
s
tá
ti
c
a
, 
9
ª 
e
d
iç
ã
o
, 
2
0
1
0
. 
Centroide de superfícies compostas 
14 



i
i
A
Ax
X



i
i
A
Ay
Y
X (m) 
Y (m) 
3 
4 
6 
Forma 𝑨𝒊 (𝒎
𝟐) 𝒙 (𝒎) 𝒚 (𝒎) 𝒙 𝑨𝒊 (𝒎
𝟑) 𝒚𝑨𝒊 (𝒎
𝟑) 
Soma