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Lista 11 Ca´lculo B 10 de julho de 2018 Exercı´cio 1 Calcule as integrais: a) " R xex y dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2}. b) " R (x + y)−2dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2}. c) " R xy√ x2 + y2 + 1 dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. d) " R 1 + x2 1 + y2 dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. e) " R xyex 2ydA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}. Exercı´cio 2 Se [w] denota o maior inteiro contido em w, calcule a integral" R [x + y]dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5} Exercı´cio 3 Calcule as integrais e inverta a ordem de integrac¸a˜o: a) " R x √ y2 − x2dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}. b) " R x cos ydA, em que R e´ a regia˜o limitada por y = 0, y = x2 e x = 1. 1 c) " R x + ydA, em que R e´ a regia˜o limitada por y = √ x, y = x2. d) " R 2xydA, em que R e´ regia˜o triangular com ve´rtices em (0, 0), (0, 3) e (1, 2). e) " R ex 2 dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 3y ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}. f) " R √ x3 + 1dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; √y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. g) " R x3 sin(y3)dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}. Exercı´cio 4 Determine o volume do so´lido: a) abaixo da superfı´cie z = 2x + y2 e acima da regia˜o limitada por x = y2 e x = y3. b) limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x + 2y + z = 6. c) limitado por y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4. d) localizado no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pela superfı´cie z = 4 − y2. e) limitado por z = x, y = x, x + y = 2 e z = 0. f) limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e z2 + y2 = r2 . g) localizado no primeiro octante e limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z, x = 0, z = 0. h) dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4. i) acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1. j) limitado pelos parabolo´ides z = 4 − x2 − y2 e z = 3x2 + 3y2. l) abaixo do plano z = 2x e acima do disco (x − 1)2 + y2 ≤ 1. 2 Respostas: • 1] a)ln 2; b)ln (4 3 ) ; c) 1 3 (3 √ 3 − 4√2 + 1); d) pi 3 ; e) 1 2 (e2 − 3). • 2] 30 • 3] a) 1 12 ; b) 1 − cos 1 2 ; c) 3 10 ; d) 7 4 ; e) e9 − 1 6 ; f) 2 9 (2 √ 2 − 1); g)1 − cos 1 12 . • 4] a) 19 210 ; b)6; c) 128 3 ; d) 16; e) 1 3 ; f) 16r3 3 ; g) 1 3 ; h)32 √ 3pi; i) pi 3 (2 − √2); j)2pi; l)2pi. 3
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