Gabarito_Segunda_avaliacao_CalculoII_T01

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
CAMPUS NOVA IGUAC¸U
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS
Gabarito da 2a avaliac¸a˜o IM404 – Ca´lculo II (T01)
20 Semestre/2012
Professor: Ronaldo Malheiros Grego´rio
Curso: Licenciatura em Matema´tica/Bacharelado em Matema´tica Aplicada e Computa-
cional da Computac¸a˜o e Bacharelado em Cieˆncia da Computac¸a˜o
1a Questa˜o (4,6 pontos). Calcule as integrais a seguir.
a) (1,3 ponto)
∫ 2
0
x
4 + x2
dx
Soluc¸a˜o 1. Fazendo u = 4 + x2 vem que
1
2
du = x dx. Para x = 0⇒ u = 4 e x = 2⇒ u = 8.
Logo, ∫ 2
0
x
4 + x2
dx =
1
2
∫ 8
4
1
u
du =
1
2
ln(u)|84 =
1
2
(ln(8)− ln(4)) .
Soluc¸a˜o 2. Fazendo x = 2tg(u) vem que dx = 2sec2(u)du. Para x = 0 ⇒ u = 0 e
x = 2⇒ u = pi
4
. Logo,
∫ 2
0
x
4 + x2
dx =
∫ pi
4
0
2tg(u)
4sec2(u)
2sec2(u)du =
∫ pi
4
0
tg(u)du =
∫ pi
4
0
sen(u)
cos(u)
du.
Fazendo v = cos(u) vem que −dv = sen(u)du. Para u = 0 ⇒ v = 1 e u = pi
4
⇒ v =
√
2
2
.
Portanto, ∫ pi
4
0
sen(u)
cos(u)
du = −
∫ √2
2
1
1
v
dv = −ln(
√
2
2
).
b) (1,3 ponto)
∫
x√
1− 4x2 dx
Soluc¸a˜o. Fazendo u = 1− 4x2 vem que −1
8
du = x dx. Logo,
∫
x√
1− 4x2 dx = −
1
8
∫
1√
u
du = −1
8
√
u
1
2
+ c = −1
4
√
1− 4x2 + c.
c) (2,0 ponto)
∫ 1
−1
√
1 + x
1− x dx
Soluc¸a˜o. Note que para −1 < x < 1 temos√
1 + x
1− x ·
√
1 + x√
1 + x
=
1 + x√
1− x2 .
Donde segue que∫ 1
−1
√
1 + x
1− x dx =
∫ 1
−1
1 + x√
1− x2 dx =
∫ 1
−1
1√
1− x2 +
∫ 1
−1
x√
1− x2
= arcsen(x)|1−1 −
√
1− x2|1−1 =
pi
2
−
(
−pi
2
)
+ 0 = pi.
Anulada! 2a Questa˜o (2,0 pontos). Sejam f, g : R → R diferencia´veis. Mostre que se existem
os limites lim
x→−∞
f(x) e lim
x→+∞
f(x) e |g(x)| ≤ M (M > 0), para todo x ∈ R enta˜o existe a integral
impro´pria ∫ +∞
−∞
[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)] dx.
Observac¸a˜o: A pontuac¸a˜o referente a questa˜o foi dividida em 2 partes de 0,6 pontos e uma parte
de 0,8 pontos e esses valores foram redistribu´ıdos entre as questo˜es 1, 3 e 4. Assim sendo, os itens
a) e b) da 1a questa˜o passaram a valer 1,3 pontos, cada, a 3a questa˜o passou a valer 2,6 pontos e a
4a questa˜o, 2, 8 pontos.
3a Questa˜o (2,6 pontos). A posic¸a˜o s ( em m) de um mo´vel em um dado instante t (em s) e´
dada pela expressa˜o s(t) =
2
3
√
t3, t ≥ 0. Calcule a distancia percorrida pelo mo´vel no intervalo
1 ≤ t ≤ 2.
Soluc¸a˜o. Primeiramente, note que s′(t) =
d
dt
s(t) =
√
t. A distaˆncia percorrida pelo mo´vel, no
intervalo 1 ≤ t ≤ 2 e´ dada por
d =
∫ 2
1
√
1 + [s′(t)]2 dt =
∫ 2
1
√
1 + t dt =
∫ 3
2
√
u du =
2
3
u
3
2 |32 =
2
3
(
3
√
3− 2
√
2
)
m
4a Questa˜o (2,8 pontos). Calcule o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o R ={
(x, y) ∈ R2|y ≤ min
{
x2,
1
x
}
, x ≥ 0
}
em torno do eixo-x.
Soluc¸a˜o. Note que para 0 < x ≤ 1, min
{
x2,
1
x
}
= x2. ja´ para x > 1, min
{
x2,
1
x
}
=
1
x
. Dessa
forma,
V =
∫ 1
0
pi(x2)2dx+
∫ +∞
1
pi
(
1
x
)2
dx = pi
x5
5
|10 − pi
1
x
|+∞1 = pi
1
5
− pi
[
lim
b→+∞
1
b
]
+ pi =
1
5
pi + pi =
6
5
pi u.v.
2