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Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Ca´lculo II
Ronaldo Malheiros Grego´rio
2012/II
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
A integral (09/01/2012)
1. Motivac¸a˜o – ca´lculo de a´rea;
2. A integral de Riemann;
3. Integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o;
4. Integrac¸a˜o por partes;
5. me´todo das frac¸o˜es parciais;
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A integral (09/01/2012)
1. Motivac¸a˜o – ca´lculo de a´rea;
2. A integral de Riemann;
3. Integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o;
4. Integrac¸a˜o por partes;
5. me´todo das frac¸o˜es parciais;
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A integral (09/01/2012)
1. Motivac¸a˜o – ca´lculo de a´rea;
2. A integral de Riemann;
3. Integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o;
4. Integrac¸a˜o por partes;
5. me´todo das frac¸o˜es parciais;
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A integral (09/01/2012)
1. Motivac¸a˜o – ca´lculo de a´rea;
2. A integral de Riemann;
3. Integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o;
4. Integrac¸a˜o por partes;
5. me´todo das frac¸o˜es parciais;
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A integral (09/01/2012)
1. Motivac¸a˜o – ca´lculo de a´rea;
2. A integral de Riemann;
3. Integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o;
4. Integrac¸a˜o por partes;
5. me´todo das frac¸o˜es parciais;
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A integral (09/01/2012)
1. Motivac¸a˜o – ca´lculo de a´rea;
2. A integral de Riemann;
3. Integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o;
4. Integrac¸a˜o por partes;
5. me´todo das frac¸o˜es parciais;
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Apresentac¸a˜o
6. A integral definida;
7. Aplicac¸o˜es da integral;
8. Integrac¸a˜o Impro´pria;
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Apresentac¸a˜o
6. A integral definida;
7. Aplicac¸o˜es da integral;
8. Integrac¸a˜o Impro´pria;
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Apresentac¸a˜o
6. A integral definida;
7. Aplicac¸o˜es da integral;
8. Integrac¸a˜o Impro´pria;
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Apresentac¸a˜o
6. A integral definida;
7. Aplicac¸o˜es da integral;
8. Integrac¸a˜o Impro´pria;
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Seja f : R −→ R uma func¸a˜o real contı´nua em [a, b]. Admita
que f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Seja f : R −→ R uma func¸a˜o real contı´nua em [a, b]. Admita
que f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Problema:
Calcular a a´rea A compreendida entre o gra´fico da func¸a˜o e o
eixo-x.
Possibilidades:
caso 1. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´ inferior
ao gra´fico de f .
caso 2. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´
superior ao gra´fico de f .
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Problema:
Calcular a a´rea A compreendida entre o gra´fico da func¸a˜o e o
eixo-x.
Possibilidades:
caso 1. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´ inferior
ao gra´fico de f .
caso 2. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´
superior ao gra´fico de f .
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Problema:
Calcular a a´rea A compreendida entre o gra´fico da func¸a˜o e o
eixo-x.
Possibilidades:
caso 1. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´ inferior
ao gra´fico de f .
caso 2. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´
superior ao gra´fico de f .
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Problema:
Calcular a a´rea A compreendida entre o gra´fico da func¸a˜o e o
eixo-x.
Possibilidades:
caso 1. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´ inferior
ao gra´fico de f .
caso 2. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´
superior ao gra´fico de f .
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Problema:
Calcular a a´rea A compreendida entre o gra´fico da func¸a˜o e o
eixo-x.
Possibilidades:
caso 1. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´ inferior
ao gra´fico de f .
caso 2. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´
superior ao gra´fico de f .
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Problema:
Calcular a a´rea A compreendida entre o gra´fico da func¸a˜o e o
eixo-x.
Possibilidades:
caso 1. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´ inferior
ao gra´fico de f .
caso 2. Aproximar a a´rea A por retaˆngulos cuja altura e´
superior ao gra´fico de f .
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAinf =
n∑
i=1
f (xi−1)(xi − xi−1),
e
A ≥ lim
n→+∞SOMAinf = limh→0
SOMAinf,
onde h = xi − xi−1.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAinf =
n∑
i=1
f (xi−1)(xi − xi−1),
e
A ≥ lim
n→+∞SOMAinf = limh→0
SOMAinf,
onde h = xi − xi−1.
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Motivac¸a˜o- ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAinf =
n∑
i=1
f (xi−1)(xi − xi−1),
e
A ≥ lim
n→+∞SOMAinf = limh→0
SOMAinf,
onde h = xi − xi−1.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAinf =
n∑
i=1
f (xi−1)(xi − xi−1),
e
A ≥ lim
n→+∞SOMAinf = limh→0
SOMAinf,
onde h = xi − xi−1.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 1. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAinf =
n∑
i=1
f (xi−1)(xi − xi−1),
e
A ≥ lim
n→+∞SOMAinf = limh→0
SOMAinf,
onde h = xi − xi−1.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAsup =
n∑
i=1
f (xi)(xi − xi−1),
e
A ≤ lim
n→+∞SOMAsup = limh→0
SOMAsup.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAsup =
n∑
i=1
f (xi)(xi − xi−1),
e
A ≤ lim
n→+∞SOMAsup = limh→0
SOMAsup.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAsup =
n∑
i=1
f (xi)(xi − xi−1),
e
A ≤ lim
n→+∞SOMAsup = limh→0
SOMAsup.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
caso 2. Refinamento da aproximac¸a˜o.
Portanto, para n suficientemente grande
A ∼= SOMAsup =
n∑
i=1
f (xi)(xi − xi−1),
e
A ≤ lim
n→+∞SOMAsup = limh→0
SOMAsup.
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Se
lim
h→0
SOMAinf = S1,
lim
h→0
SOMAsup = S2
e
S1 = S2 = S
enta˜o a a´rea A e´ dada por
A = S
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Se
lim
h→0
SOMAinf = S1,
lim
h→0
SOMAsup = S2
e
S1 = S2 = S
enta˜o a a´rea A e´ dada por
A = S
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Se
lim
h→0
SOMAinf = S1,
lim
h→0
SOMAsup = S2
e
S1 = S2 = S
enta˜o a a´rea A e´ dada por
A = S
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Se
lim
h→0
SOMAinf = S1,
lim
h→0
SOMAsup = S2
e
S1 = S2 = S
enta˜o a a´rea A e´ dada por
A = S
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Se
lim
h→0
SOMAinf = S1,
lim
h→0
SOMAsup = S2
e
S1 = S2 = S
enta˜o a a´rea A e´ dada por
A = S
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Se
lim
h→0
SOMAinf = S1,
lim
h→0
SOMAsup = S2
e
S1 = S2 = S
enta˜o a a´rea A e´ dada por
A = S
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Motivac¸a˜o - ca´culo de a´rea
Se
lim
h→0
SOMAinf = S1,
lim
h→0
SOMAsup = S2
e
S1 = S2 = S
enta˜o a a´rea A e´ dada por
A = S
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A integral de Riemann
Sejam f : [a, b]→ R e x1 < · · · < xn−1, n− 1 pontos arbitra´rios
em (a, b), com a = x0, b = xn. Defina a soma
S =
n∑
i=1
f (ci)hi,
onde ci ∈ [xi−1, xi] e hi = xi− xi−1.
Se lim
n→+∞ S existe e independe da partic¸a˜o adotada para [a, b]
enta˜o ele e´ denominado integral de Riemann de f em [a, b]
(Rba(f )). Note que, quando n→ +∞, h = max1≤i≤n{hi} → 0.
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A integral de Riemann
Sejam f : [a, b]→ R e x1 < · · · < xn−1, n− 1 pontos arbitra´rios
em (a, b), com a = x0, b = xn. Defina a soma
S =
n∑
i=1
f (ci)hi,
onde ci ∈ [xi−1, xi] e hi = xi− xi−1.
Se lim
n→+∞ S existe e independe da partic¸a˜o adotada para [a, b]
enta˜o ele e´ denominado integral de Riemann de f em [a, b]
(Rba(f )). Note que, quando n→ +∞, h = max1≤i≤n{hi} → 0.
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A integral de Riemann
Sejam f : [a, b]→ R e x1 < · · · < xn−1, n− 1 pontos arbitra´rios
em (a, b), com a = x0, b = xn. Defina a soma
S =
n∑
i=1
f (ci)hi,
onde ci ∈ [xi−1, xi] e hi = xi− xi−1.
Se lim
n→+∞ S existe e independe da partic¸a˜o adotada para [a, b]
enta˜o ele e´ denominado integral de Riemann de f em [a, b]
(Rba(f )). Note que, quando n→ +∞, h = max1≤i≤n{hi} → 0.
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A integral de Riemann
Sejam f : [a, b]→ R e x1 < · · · < xn−1, n− 1 pontos arbitra´rios
em (a, b), com a = x0, b = xn. Defina a soma
S =
n∑
i=1
f (ci)hi,
onde ci ∈ [xi−1, xi] e hi = xi− xi−1.
Se lim
n→+∞ S existe e independe da partic¸a˜o adotada para [a, b]
enta˜o ele e´ denominado integral de Riemann de f em [a, b]
(Rba(f )). Note que, quando n→ +∞, h = max1≤i≤n{hi} → 0.
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A integral de Riemann
Sejam f : [a, b]→ R e x1 < · · · < xn−1, n− 1 pontos arbitra´rios
em (a, b), com a = x0, b = xn. Defina a soma
S =
n∑
i=1
f (ci)hi,
onde ci ∈ [xi−1, xi] e hi = xi− xi−1.
Se lim
n→+∞ S existe e independe da partic¸a˜o adotada para [a, b]
enta˜o ele e´ denominado integral de Riemann de f em [a, b]
(Rba(f )). Note que, quando n→ +∞, h = max1≤i≤n{hi} → 0.
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A integral de Riemann
Exemplo 1
Empregue a Subdivisa˜o do intervalo [0, 1] da figura para
calcular SOMAinf e SOMAsup e estimar o valor de R10(f ).
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A integral de Riemann
Exemplo 1
Empregue a Subdivisa˜o do intervalo [0, 1] da figura para
calcular SOMAinf e SOMAsup e estimar o valor de R10(f ).
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A integral de Riemann
Exemplo 1 - Soluc¸a˜o
Usando o quadro a seguir
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f (x) 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
SOMAinf = 0× 0.1 + 0.01× 0.1 + 0.04× 0.1 + 0.09× 0.1 + 0.16× 0.1 + 0.25× 0.1 +
0.36× 0.1 + 0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 =
= (0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81)× 0.1 =?.
e
SOMAsup = 0.01× 0.1+ 0.04× 0.1+ 0.09× 0.1+ 0.16× 0.1+ 0.25× 0.1+ 0.36× 0.1+
0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 + 1× 0.1 =
= (0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1)× 0.1 =?.
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A integral de Riemann
Exemplo 1 - Soluc¸a˜o
Usando o quadro a seguir
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f (x) 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
SOMAinf = 0× 0.1 + 0.01× 0.1 + 0.04× 0.1 + 0.09× 0.1 + 0.16× 0.1 + 0.25× 0.1 +
0.36× 0.1 + 0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 =
= (0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81)× 0.1 =?.
e
SOMAsup = 0.01× 0.1+ 0.04× 0.1+ 0.09× 0.1+ 0.16× 0.1+ 0.25× 0.1+ 0.36× 0.1+
0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 + 1× 0.1 =
= (0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1)× 0.1 =?.
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A integral de Riemann
Exemplo 1 - Soluc¸a˜o
Usando o quadro a seguir
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f (x) 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
SOMAinf = 0× 0.1 + 0.01× 0.1 + 0.04× 0.1 + 0.09× 0.1 + 0.16× 0.1 + 0.25× 0.1 +
0.36× 0.1 + 0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 =
= (0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81)× 0.1 =?.
e
SOMAsup = 0.01× 0.1+ 0.04× 0.1+ 0.09× 0.1+ 0.16× 0.1+ 0.25× 0.1+ 0.36× 0.1+
0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 + 1× 0.1 =
= (0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1)× 0.1 =?.
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A integral de Riemann
Exemplo 1 - Soluc¸a˜o
Usando o quadro a seguir
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f (x) 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
SOMAinf = 0× 0.1 + 0.01× 0.1 + 0.04× 0.1 + 0.09× 0.1 + 0.16× 0.1 + 0.25× 0.1 +
0.36× 0.1 + 0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 =
= (0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81)× 0.1 =?.
e
SOMAsup = 0.01× 0.1+ 0.04× 0.1+ 0.09× 0.1+ 0.16× 0.1+ 0.25× 0.1+ 0.36× 0.1+
0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 + 1× 0.1 =
= (0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1)× 0.1 =?.
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A integral de Riemann
Exemplo 1 - Soluc¸a˜o
Usando o quadro a seguir
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f (x) 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
SOMAinf = 0× 0.1 + 0.01× 0.1 + 0.04× 0.1 + 0.09× 0.1 + 0.16× 0.1 + 0.25× 0.1 +
0.36× 0.1 + 0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 =
= (0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81)× 0.1 =?.
e
SOMAsup = 0.01× 0.1+ 0.04× 0.1+ 0.09× 0.1+ 0.16× 0.1+ 0.25× 0.1+ 0.36× 0.1+
0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 + 1× 0.1 =
= (0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1)× 0.1 =?.
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A integral de Riemann
Exemplo 1 - Soluc¸a˜o
Usando o quadro a seguir
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f (x) 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
SOMAinf = 0× 0.1 + 0.01× 0.1 + 0.04× 0.1 + 0.09× 0.1 + 0.16× 0.1 + 0.25× 0.1 +
0.36× 0.1 + 0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 =
= (0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81)× 0.1 =?.
e
SOMAsup = 0.01× 0.1+ 0.04× 0.1+ 0.09× 0.1+ 0.16× 0.1+ 0.25× 0.1+ 0.36× 0.1+
0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 + 1× 0.1 =
= (0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1)× 0.1 =?.
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A integral de Riemann
Exemplo 1 - Soluc¸a˜o
Usando o quadro a seguir
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f (x) 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1
SOMAinf = 0× 0.1 + 0.01× 0.1 + 0.04× 0.1 + 0.09× 0.1 + 0.16× 0.1 + 0.25× 0.1 +
0.36× 0.1 + 0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 =
= (0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81)× 0.1 =?.
e
SOMAsup = 0.01× 0.1+ 0.04× 0.1+ 0.09× 0.1+ 0.16× 0.1+ 0.25× 0.1+ 0.36× 0.1+
0.49× 0.1 + 0.64× 0.1 + 0.81× 0.1 + 1× 0.1 =
= (0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1)× 0.1 =?.
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 1
f : R −→ R e´ dita Riemann integra´vel em [a, b], isto e´, existe
Rba(f ) se para todo � > 0, existe δ > 0 tal que |S− Rba(f )| < �,
sempre que |h| < δ.
Consequeˆncias da definic¸a˜o:
Teorema 1
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] enta˜o f e´ Riemann
integra´vel em qualquer subintervalo [c, d] ⊂ [a, b].
Teorema 2
Toda func¸a˜o real contı´nua em um intervalo fechado [a, b] e´
Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 1
f : R −→ R e´ dita Riemann integra´vel em [a, b], isto e´, existe
Rba(f ) se para todo � > 0, existe δ > 0 tal que |S− Rba(f )| < �,
sempre que |h| < δ.
Consequeˆncias da definic¸a˜o:
Teorema 1
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] enta˜o f e´ Riemann
integra´vel em qualquer subintervalo [c, d] ⊂ [a, b].
Teorema 2
Toda func¸a˜o real contı´nua em um intervalo fechado [a, b] e´
Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 1
f : R −→ R e´ dita Riemann integra´vel em [a, b], isto e´, existe
Rba(f ) se para todo � > 0, existe δ > 0 tal que |S− Rba(f )| < �,
sempre que |h| < δ.
Consequeˆncias da definic¸a˜o:
Teorema 1
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] enta˜o f e´ Riemann
integra´vel em qualquer subintervalo [c, d] ⊂ [a, b].
Teorema 2
Toda func¸a˜o real contı´nua em um intervalo fechado [a, b] e´
Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 1
f : R −→ R e´ dita Riemann integra´vel em [a, b], isto e´, existe
Rba(f ) se para todo � > 0, existe δ > 0 tal que |S− Rba(f )| < �,
sempre que |h| < δ.
Consequeˆncias da definic¸a˜o:
Teorema 1
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] enta˜o f e´ Riemann
integra´vel em qualquer subintervalo [c, d] ⊂ [a, b].
Teorema 2
Toda func¸a˜o real contı´nua em um intervalo fechado [a, b] e´
Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 1
f : R −→ R e´ dita Riemann integra´vel em [a, b], isto e´, existe
Rba(f ) se para todo � > 0, existe δ > 0 tal que |S− Rba(f )| < �,
sempre que |h| < δ.
Consequeˆncias da definic¸a˜o:
Teorema 1
Se f e´ Riemann integra´vel em[a, b] enta˜o f e´ Riemann
integra´vel em qualquer subintervalo [c, d] ⊂ [a, b].
Teorema 2
Toda func¸a˜o real contı´nua em um intervalo fechado [a, b] e´
Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Teorema 3
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] e c ∈ (a, b) enta˜o
Rca(f ) + R
b
c(f ) = R
b
a(f ).
Teorema 4
Suponha que f (x) < 0, ∀x ∈ [a, b]. Se f e´ Riemann integra´vel
em [a, b] enta˜o
Rba(f ) = −Rba(−f ).
Teorema 5
Suponha que f e´ Riemann integra´vel em [a, b]. Enta˜o
Rba(f ) = −Rab(f ).
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A integral de Riemann
Teorema 3
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] e c ∈ (a, b) enta˜o
Rca(f ) + R
b
c(f ) = R
b
a(f ).
Teorema 4
Suponha que f (x) < 0, ∀x ∈ [a, b]. Se f e´ Riemann integra´vel
em [a, b] enta˜o
Rba(f ) = −Rba(−f ).
Teorema 5
Suponha que f e´ Riemann integra´vel em [a, b]. Enta˜o
Rba(f ) = −Rab(f ).
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A integral de Riemann
Teorema 3
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] e c ∈ (a, b) enta˜o
Rca(f ) + R
b
c(f ) = R
b
a(f ).
Teorema 4
Suponha que f (x) < 0, ∀x ∈ [a, b]. Se f e´ Riemann integra´vel
em [a, b] enta˜o
Rba(f ) = −Rba(−f ).
Teorema 5
Suponha que f e´ Riemann integra´vel em [a, b]. Enta˜o
Rba(f ) = −Rab(f ).
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A integral de Riemann
Teorema 3
Se f e´ Riemann integra´vel em [a, b] e c ∈ (a, b) enta˜o
Rca(f ) + R
b
c(f ) = R
b
a(f ).
Teorema 4
Suponha que f (x) < 0, ∀x ∈ [a, b]. Se f e´ Riemann integra´vel
em [a, b] enta˜o
Rba(f ) = −Rba(−f ).
Teorema 5
Suponha que f e´ Riemann integra´vel em [a, b]. Enta˜o
Rba(f ) = −Rab(f ).
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 2
f e´ contı´nua por partes em [a, b] se existe uma subdivisa˜o de
[a, b] em subintervalos disjuntos (xi−1, xi), i = 1, · · · , n, com
x0 = a e xn = b, tal que f e´ contı´nua em cada subintervalo.
Observac¸a˜o 1
Toda func¸a˜o limitada e contı´nua por partes em um intervalo
[a, b] e´ Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 2
f e´ contı´nua por partes em [a, b] se existe uma subdivisa˜o de
[a, b] em subintervalos disjuntos (xi−1, xi), i = 1, · · · , n, com
x0 = a e xn = b, tal que f e´ contı´nua em cada subintervalo.
Observac¸a˜o 1
Toda func¸a˜o limitada e contı´nua por partes em um intervalo
[a, b] e´ Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Definic¸a˜o 2
f e´ contı´nua por partes em [a, b] se existe uma subdivisa˜o de
[a, b] em subintervalos disjuntos (xi−1, xi), i = 1, · · · , n, com
x0 = a e xn = b, tal que f e´ contı´nua em cada subintervalo.
Observac¸a˜o 1
Toda func¸a˜o limitada e contı´nua por partes em um intervalo
[a, b] e´ Riemann integra´vel em [a, b].
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A integral de Riemann
Exemplo 2
Exemplo de func¸a˜o contı´nua por partes e limitada
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A integral de Riemann
Exemplo 2
Exemplo de func¸a˜o contı´nua por partes e limitada
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A integral indefinida
Equac¸o˜es diferenciais: Determinar uma soluc¸a˜o para
equac¸a˜o
dy
dx
= f (x),
onde y e´ uma func¸a˜o que depende de x.
Exemplo 3
Determinar y = F(x) que satisfaz
dy
dx
=
1
x
, (1)
para x > 0.
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A integral indefinida
Equac¸o˜es diferenciais: Determinar uma soluc¸a˜o para
equac¸a˜o
dy
dx
= f (x),
onde y e´ uma func¸a˜o que depende de x.
Exemplo 3
Determinar y = F(x) que satisfaz
dy
dx
=
1
x
, (1)
para x > 0.
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A integral indefinida
Equac¸o˜es diferenciais: Determinar uma soluc¸a˜o para
equac¸a˜o
dy
dx
= f (x),
onde y e´ uma func¸a˜o que depende de x.
Exemplo 3
Determinar y = F(x) que satisfaz
dy
dx
=
1
x
, (1)
para x > 0.
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A integral indefinida
Equac¸o˜es diferenciais: Determinar uma soluc¸a˜o para
equac¸a˜o
dy
dx
= f (x),
onde y e´ uma func¸a˜o que depende de x.
Exemplo 3
Determinar y = F(x) que satisfaz
dy
dx
=
1
x
, (1)
para x > 0.
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A integral indefinida
Exemplo 3 - Soluc¸a˜o
Note que F(x) = ln x, x > 0 e´ tal que
F′(x) =
1
x
.
Portanto, y = F(x) e´ uma soluc¸a˜o para equac¸a˜o (1).
Observac¸a˜o 2
Para toda constante real c, F(x) = ln x + c, x > 0 e´ soluc¸a˜o
para equac¸a˜o (1). Neste caso, denotamos∫
1
x
dx = ln x + c. (2)
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A integral indefinida
Exemplo 3 - Soluc¸a˜o
Note que F(x) = ln x, x > 0 e´ tal que
F′(x) =
1
x
.
Portanto, y = F(x) e´ uma soluc¸a˜o para equac¸a˜o (1).
Observac¸a˜o 2
Para toda constante real c, F(x) = ln x + c, x > 0 e´ soluc¸a˜o
para equac¸a˜o (1). Neste caso, denotamos∫
1
x
dx = ln x + c. (2)
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A integral indefinida
Exemplo 3 - Soluc¸a˜o
Note que F(x) = ln x, x > 0 e´ tal que
F′(x) =
1
x
.
Portanto, y = F(x) e´ uma soluc¸a˜o para equac¸a˜o (1).
Observac¸a˜o 2
Para toda constante real c, F(x) = ln x + c, x > 0 e´ soluc¸a˜o
para equac¸a˜o (1). Neste caso, denotamos∫
1
x
dx = ln x + c. (2)
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A integral indefinida
Observac¸a˜o 3
A notac¸a˜o da equac¸a˜o (2) e´ lida como: F(x) = ln x + c, x > 0 e´
a integral indefinida de f (x) = 1x , x > 0.
Definic¸a˜o 3 - Integral Indefinida
Sejam f : [a, b] ⊂ R −→ R e F : [a, b] ⊂ R −→ R contı´nuas, com
F diferencia´vel em (a, b). Se F′(x) = f (x), para todo x ∈ (a, b)
enta˜o
∫
f (x)dx, e´ definida por
∫
f (x)dx = F(x) + c,
com c ∈ R.
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A integral indefinida
Observac¸a˜o 3
A notac¸a˜o da equac¸a˜o (2) e´ lida como: F(x) = ln x + c, x > 0 e´
a integral indefinida de f (x) = 1x , x > 0.
Definic¸a˜o 3 - Integral Indefinida
Sejam f : [a, b] ⊂ R −→ R e F : [a, b] ⊂ R −→ R contı´nuas, com
F diferencia´vel em (a, b). Se F′(x) = f (x), para todo x ∈ (a, b)
enta˜o
∫
f (x)dx, e´ definida por
∫
f (x)dx = F(x) + c,
com c ∈ R.
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A integralindefinida
Observac¸a˜o 3
A notac¸a˜o da equac¸a˜o (2) e´ lida como: F(x) = ln x + c, x > 0 e´
a integral indefinida de f (x) = 1x , x > 0.
Definic¸a˜o 3 - Integral Indefinida
Sejam f : [a, b] ⊂ R −→ R e F : [a, b] ⊂ R −→ R contı´nuas, com
F diferencia´vel em (a, b). Se F′(x) = f (x), para todo x ∈ (a, b)
enta˜o
∫
f (x)dx, e´ definida por
∫
f (x)dx = F(x) + c,
com c ∈ R.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
A integral indefinida
Observac¸a˜o 4
Note que a integral indefinida representa uma famı´lia de
func¸o˜es e na˜o uma u´nica func¸a˜o. Para que esteja bem
determinada a integral indefinida deve vir acompanhada de
condic¸o˜es iniciais.
Exemplo 4
Calcular
g(x) =
∫
cos x dx,
satisfazendo a condic¸a˜o inicial g(0) = 1.
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A integral indefinida
Observac¸a˜o 4
Note que a integral indefinida representa uma famı´lia de
func¸o˜es e na˜o uma u´nica func¸a˜o. Para que esteja bem
determinada a integral indefinida deve vir acompanhada de
condic¸o˜es iniciais.
Exemplo 4
Calcular
g(x) =
∫
cos x dx,
satisfazendo a condic¸a˜o inicial g(0) = 1.
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A integral indefinida
Observac¸a˜o 4
Note que a integral indefinida representa uma famı´lia de
func¸o˜es e na˜o uma u´nica func¸a˜o. Para que esteja bem
determinada a integral indefinida deve vir acompanhada de
condic¸o˜es iniciais.
Exemplo 4
Calcular
g(x) =
∫
cos x dx,
satisfazendo a condic¸a˜o inicial g(0) = 1.
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A integral indefinida
Exemplo 4 - Soluc¸a˜o
Note que (sen x)′ = cos x. Isto implica que
g(x) = sen x + c.
Como g(0) = 1, vem que
sen 0 + c = 1.
Logo, c = 1 e
g(x) = sen x + 1.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
A integral indefinida
Exemplo 4 - Soluc¸a˜o
Note que (sen x)′ = cos x. Isto implica que
g(x) = sen x + c.
Como g(0) = 1, vem que
sen 0 + c = 1.
Logo, c = 1 e
g(x) = sen x + 1.
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A integral indefinida
Propriedades da Integral indefinida
A integral indefinida satisfaz as seguintes propriedades:
(i)
∫
c · f (x) dx = c ·
∫
f (x) dx.
(ii)
∫
f (x) + g(x) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx.
(iii)
∫
f (x)− g(x) dx =
∫
f (x) dx−
∫
g(x) dx.
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A integral indefinida
Propriedades da Integral indefinida
A integral indefinida satisfaz as seguintes propriedades:
(i)
∫
c · f (x) dx = c ·
∫
f (x) dx.
(ii)
∫
f (x) + g(x) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx.
(iii)
∫
f (x)− g(x) dx =
∫
f (x) dx−
∫
g(x) dx.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
A integral indefinida
Propriedades da Integral indefinida
A integral indefinida satisfaz as seguintes propriedades:
(i)
∫
c · f (x) dx = c ·
∫
f (x) dx.
(ii)
∫
f (x) + g(x) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx.
(iii)
∫
f (x)− g(x) dx =
∫
f (x) dx−
∫
g(x) dx.
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A integral indefinida
Propriedades da Integral indefinida
A integral indefinida satisfaz as seguintes propriedades:
(i)
∫
c · f (x) dx = c ·
∫
f (x) dx.
(ii)
∫
f (x) + g(x) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx.
(iii)
∫
f (x)− g(x) dx =
∫
f (x) dx−
∫
g(x) dx.
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A integral indefinida
Propriedades da Integral indefinida
A integral indefinida satisfaz as seguintes propriedades:
(i)
∫
c · f (x) dx = c ·
∫
f (x) dx.
(ii)
∫
f (x) + g(x) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx.
(iii)
∫
f (x)− g(x) dx =
∫
f (x) dx−
∫
g(x) dx.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 5
Obter ∫
2x(x2 + 1)2dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = (x2 + 1), temos que dudx = 2x, ou ainda du = 2x dx.
Logo,∫
2x(x2 + 1)2dx =
∫
u2 du =
1
3
u3 + c =
1
3
(x2 + 1)3 + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 5
Obter ∫
2x(x2 + 1)2dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = (x2 + 1), temos que dudx = 2x, ou ainda du = 2x dx.
Logo,∫
2x(x2 + 1)2dx =
∫
u2 du =
1
3
u3 + c =
1
3
(x2 + 1)3 + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 5
Obter ∫
2x(x2 + 1)2dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = (x2 + 1), temos que dudx = 2x, ou ainda du = 2x dx.
Logo,
∫
2x(x2 + 1)2dx =
∫
u2 du =
1
3
u3 + c =
1
3
(x2 + 1)3 + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 5
Obter ∫
2x(x2 + 1)2dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = (x2 + 1), temos que dudx = 2x, ou ainda du = 2x dx.
Logo,∫
2x(x2 + 1)2dx =
∫
u2 du =
1
3
u3 + c =
1
3
(x2 + 1)3 + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 6
Obter ∫
sen x · cos x dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = sen x, temos que dudx = cos x, ou ainda
du = cos x dx. Logo,∫
sen x · cos x dx =
∫
u du =
1
2
u2 + c =
1
2
sen2 x + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 6
Obter ∫
sen x · cos x dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = sen x, temos que dudx = cos x, ou ainda
du = cos x dx. Logo,∫
sen x · cos x dx =
∫
u du =
1
2
u2 + c =
1
2
sen2 x + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 6
Obter ∫
sen x · cos x dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = sen x, temos que dudx = cos x, ou ainda
du = cos x dx. Logo,
∫
sen x · cos x dx =
∫
u du =
1
2
u2 + c =
1
2
sen2 x + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
Exemplo 6
Obter ∫
sen x · cos x dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = sen x, temos que dudx = cos x, ou ainda
du = cos x dx. Logo,∫
sen x · cos x dx =
∫
u du =
1
2
u2 + c =
1
2
sen2 x + c.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
O me´todo da substituic¸a˜o se aplica quando o integrando e´ da
forma
f (g(x))g′(x).
Dessa maneira ∫
f (g(x))g′(x) dx,
se resolve fazendo u = g(x) e du = g′(x) dx, obtendo∫
f (u) du.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
O me´todo da substituic¸a˜o se aplica quando o integrando e´ da
forma
f (g(x))g′(x).
Dessa maneira ∫
f (g(x))g′(x) dx,
se resolve fazendo u = g(x) e du = g′(x) dx, obtendo∫
f (u) du.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
O me´todo da substituic¸a˜o se aplica quando o integrando e´ da
forma
f (g(x))g′(x).
Dessa maneira
∫
f (g(x))g′(x) dx,
se resolve fazendo u = g(x) e du = g′(x) dx, obtendo∫
f (u) du.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
O me´todo da substituic¸a˜o se aplica quando o integrando e´ da
forma
f (g(x))g′(x).
Dessa maneira ∫
f (g(x))g′(x) dx,
se resolve fazendo u = g(x) e du = g′(x) dx, obtendo∫
f (u) du.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
O me´todo da substituic¸a˜o se aplica quando o integrando e´ da
forma
f (g(x))g′(x).
Dessa maneira ∫
f (g(x))g′(x) dx,
se resolve fazendo u = g(x) e du = g′(x) dx, obtendo
∫
f (u) du.
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A integral indefinida - me´todo da substituic¸a˜o
O me´todo da substituic¸a˜o se aplica quando o integrando e´ da
forma
f (g(x))g′(x).
Dessa maneira ∫
f (g(x))g′(x) dx,
se resolve fazendo u = g(x) e du = g′(x) dx, obtendo∫
f (u) du.
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Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
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Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
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Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
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Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que
∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que
∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
O me´todo da integrac¸a˜o por partes se aplica quando o
integrando e´ da forma
f (x)g′(x).
Note que
[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Integrando a equac¸a˜o, vem que∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx.
Fazendo u = f (x) e dv = g′(x) dx, conclui-se que∫
u dv = uv−
∫
v du. (3)
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Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 7
Obter ∫
x · ln x dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = ln x e dv = x dx, vem que du = 1x dx e
v = x
2
2 . Substituindo em (3),∫
x · ln x dx = x
2
2
· ln x−
∫
x2
2
· 1
x
dx
=
x2
2
· ln x− x
2
4
+ c.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 7
Obter ∫
x · ln x dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = ln x e dv = x dx, vem que du = 1x dx e
v = x
2
2 . Substituindo em (3),∫
x · ln x dx = x
2
2
· ln x−
∫
x2
2
· 1
x
dx
=
x2
2
· ln x− x
2
4
+ c.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 7
Obter ∫
x · ln x dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = ln x e dv = x dx, vem que du = 1x dx e
v = x
2
2 . Substituindo em (3),∫
x · ln x dx = x
2
2
· ln x−
∫
x2
2
· 1
x
dx
=
x2
2
· ln x− x
2
4
+ c.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 7
Obter ∫
x · ln x dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = ln x e dv = x dx, vem que du = 1x dx e
v = x
2
2 . Substituindo em (3),
∫
x · ln x dx = x
2
2
· ln x−
∫
x2
2
· 1
x
dx
=
x2
2
· ln x− x
2
4
+ c.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 7
Obter ∫
x · ln x dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = ln x e dv = x dx, vem que du = 1x dx e
v = x
2
2 . Substituindo em (3),∫
x · ln x dx = x
2
2
· ln x−
∫
x2
2
· 1
x
dx
=
x2
2
· ln x− x
2
4
+ c.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8
Obter ∫
x2 · ex dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = x2 e dv = ex dx, vem que du = 2x dx e
v = ex. Substituindo em (3),∫
x2 · ex = x2 · ex − 2
∫
x · ex dx. (4)
Vamos agora obter
∫
x · ex dx. Fazendo u = x e dv = ex dx, vem
que du = dx e v = ex. Substituindo em (3),
Matema´tica/Cieˆnciada Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8
Obter ∫
x2 · ex dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = x2 e dv = ex dx, vem que du = 2x dx e
v = ex. Substituindo em (3),∫
x2 · ex = x2 · ex − 2
∫
x · ex dx. (4)
Vamos agora obter
∫
x · ex dx. Fazendo u = x e dv = ex dx, vem
que du = dx e v = ex. Substituindo em (3),
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8
Obter ∫
x2 · ex dx.
Soluc¸a˜o:
Fazendo u = x2 e dv = ex dx, vem que du = 2x dx e
v = ex. Substituindo em (3),∫
x2 · ex = x2 · ex − 2
∫
x · ex dx. (4)
Vamos agora obter
∫
x · ex dx. Fazendo u = x e dv = ex dx, vem
que du = dx e v = ex. Substituindo em (3),
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8
Obter ∫
x2 · ex dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = x2 e dv = ex dx, vem que du = 2x dx e
v = ex. Substituindo em (3),
∫
x2 · ex = x2 · ex − 2
∫
x · ex dx. (4)
Vamos agora obter
∫
x · ex dx. Fazendo u = x e dv = ex dx, vem
que du = dx e v = ex. Substituindo em (3),
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8
Obter ∫
x2 · ex dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = x2 e dv = ex dx, vem que du = 2x dx e
v = ex. Substituindo em (3),∫
x2 · ex = x2 · ex − 2
∫
x · ex dx. (4)
Vamos agora obter
∫
x · ex dx. Fazendo u = x e dv = ex dx, vem
que du = dx e v = ex. Substituindo em (3),
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8
Obter ∫
x2 · ex dx.
Soluc¸a˜o: Fazendo u = x2 e dv = ex dx, vem que du = 2x dx e
v = ex. Substituindo em (3),∫
x2 · ex = x2 · ex − 2
∫
x · ex dx. (4)
Vamos agora obter
∫
x · ex dx. Fazendo u = x e dv = ex dx, vem
que du = dx e v = ex. Substituindo em (3),
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8 - Soluc¸a˜o∫
x · ex dx = x · ex −
∫
exdx = x · ex − ex. (5)
Substituindo (5) em (4), obtemos∫
x2 · ex = x2 · ex − 2(x · ex − ex) + c.
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Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8 - Soluc¸a˜o
∫
x · ex dx = x · ex −
∫
exdx = x · ex − ex. (5)
Substituindo (5) em (4), obtemos∫
x2 · ex = x2 · ex − 2(x · ex − ex) + c.
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Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8 - Soluc¸a˜o∫
x · ex dx = x · ex −
∫
exdx = x · ex − ex. (5)
Substituindo (5) em (4), obtemos∫
x2 · ex = x2 · ex − 2(x · ex − ex) + c.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8 - Soluc¸a˜o∫
x · ex dx = x · ex −
∫
exdx = x · ex − ex. (5)
Substituindo (5) em (4), obtemos
∫
x2 · ex = x2 · ex − 2(x · ex − ex) + c.
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Integrac¸a˜o por partes
Exemplo 8 - Soluc¸a˜o∫
x · ex dx = x · ex −
∫
exdx = x · ex − ex. (5)
Substituindo (5) em (4), obtemos∫
x2 · ex = x2 · ex − 2(x · ex − ex) + c.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Definic¸a˜o 4
Uma func¸a˜o real f e´ dita racional se e´ da forma
f (x) =
D(x)
d(x)
,
onde D(x) e d(x) sa˜o polinoˆmios em x, com d(x) na˜o
identicamente nulo.
Observac¸a˜o 5
Se o grau de D(x) e´ maior ou igual que o grau de d(x) enta˜o
f (x) =
D(x)
d(x)
= q(x) +
r(x)
d(x)
.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Definic¸a˜o 4
Uma func¸a˜o real f e´ dita racional se e´ da forma
f (x) =
D(x)
d(x)
,
onde D(x) e d(x) sa˜o polinoˆmios em x, com d(x) na˜o
identicamente nulo.
Observac¸a˜o 5
Se o grau de D(x) e´ maior ou igual que o grau de d(x) enta˜o
f (x) =
D(x)
d(x)
= q(x) +
r(x)
d(x)
.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Definic¸a˜o 4
Uma func¸a˜o real f e´ dita racional se e´ da forma
f (x) =
D(x)
d(x)
,
onde D(x) e d(x) sa˜o polinoˆmios em x, com d(x) na˜o
identicamente nulo.
Observac¸a˜o 5
Se o grau de D(x) e´ maior ou igual que o grau de d(x) enta˜o
f (x) =
D(x)
d(x)
= q(x) +
r(x)
d(x)
.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Definic¸a˜o 4
Uma func¸a˜o real f e´ dita racional se e´ da forma
f (x) =
D(x)
d(x)
,
onde D(x) e d(x) sa˜o polinoˆmios em x, com d(x) na˜o
identicamente nulo.
Observac¸a˜o 5
Se o grau de D(x) e´ maior ou igual que o grau de d(x) enta˜o
f (x) =
D(x)
d(x)
= q(x) +
r(x)
d(x)
.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Observac¸a˜o 5 - continuac¸a˜o
Logo, ∫
f (x) dx =
∫
q(x) dx +
∫
r(x)
d(x)
dx.
Portanto, basta considerar os casos em que o grau de D(x) e´
menor do que o grau d(x).
Exemplo 9
Obter as frac¸o˜es parciais para
f (x) =
5x− 4
(x− 2)(x + 1) .
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Observac¸a˜o 5 - continuac¸a˜o
Logo,
∫
f (x) dx =
∫
q(x) dx +
∫
r(x)
d(x)
dx.
Portanto, basta considerar os casos em que o grau de D(x) e´
menor do que o grau d(x).
Exemplo 9
Obter as frac¸o˜es parciais para
f (x) =
5x− 4
(x− 2)(x + 1) .
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Observac¸a˜o 5 - continuac¸a˜o
Logo, ∫
f (x) dx =
∫
q(x) dx +
∫
r(x)
d(x)
dx.
Portanto, basta considerar os casos em que o grau de D(x) e´
menor do que o grau d(x).
Exemplo 9
Obter as frac¸o˜es parciais para
f (x) =
5x− 4
(x− 2)(x + 1) .
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Observac¸a˜o 5 - continuac¸a˜o
Logo, ∫
f (x) dx =
∫
q(x) dx +
∫
r(x)
d(x)
dx.
Portanto, basta considerar os casos em que o grau de D(x) e´
menor do que o grau d(x).
Exemplo 9
Obter as frac¸o˜es parciais para
f (x) =
5x− 4
(x− 2)(x + 1) .
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Observac¸a˜o 5 - continuac¸a˜o
Logo, ∫
f (x) dx =
∫
q(x) dx +
∫
r(x)
d(x)
dx.
Portanto, basta considerar os casos em que o grau de D(x) e´
menor do que o grau d(x).
Exemplo 9
Obter as frac¸o˜es parciais para
f (x) =
5x− 4
(x− 2)(x + 1) .
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Observac¸a˜o 5 - continuac¸a˜o
Logo, ∫
f (x) dx =
∫
q(x) dx +
∫
r(x)
d(x)
dx.
Portanto, bastaconsiderar os casos em que o grau de D(x) e´
menor do que o grau d(x).
Exemplo 9
Obter as frac¸o˜es parciais para
f (x) =
5x− 4
(x− 2)(x + 1) .
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Primeiramente, fazemos
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A
x− 2 +
B
x + 1
.
Dessa maneira,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A(x + 1) + B(x− 2)
(x− 2)(x + 1) .
Enta˜o devemos ter A + B = 5 e A− 2B = −4. Donde se conclui
que A = 2 e B = 3.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Primeiramente, fazemos
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A
x− 2 +
B
x + 1
.
Dessa maneira,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A(x + 1) + B(x− 2)
(x− 2)(x + 1) .
Enta˜o devemos ter A + B = 5 e A− 2B = −4. Donde se conclui
que A = 2 e B = 3.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Primeiramente, fazemos
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A
x− 2 +
B
x + 1
.
Dessa maneira,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A(x + 1) + B(x− 2)
(x− 2)(x + 1) .
Enta˜o devemos ter A + B = 5 e A− 2B = −4. Donde se conclui
que A = 2 e B = 3.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Primeiramente, fazemos
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A
x− 2 +
B
x + 1
.
Dessa maneira,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A(x + 1) + B(x− 2)
(x− 2)(x + 1) .
Enta˜o devemos ter A + B = 5 e A− 2B = −4. Donde se conclui
que A = 2 e B = 3.
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Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Primeiramente, fazemos
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A
x− 2 +
B
x + 1
.
Dessa maneira,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A(x + 1) + B(x− 2)
(x− 2)(x + 1) .
Enta˜o devemos ter A + B = 5 e A− 2B = −4. Donde se conclui
que A = 2 e B = 3.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Primeiramente, fazemos
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A
x− 2 +
B
x + 1
.
Dessa maneira,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
A(x + 1) + B(x− 2)
(x− 2)(x + 1) .
Enta˜o devemos ter A + B = 5 e A− 2B = −4. Donde se conclui
que A = 2 e B = 3.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Logo,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
2
x− 2 +
3
x + 1
.
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me´todo das frac¸o˜es parciais
Exemplo 9 - Soluc¸a˜o
Logo,
5x− 4
(x− 2)(x + 1) =
2
x− 2 +
3
x + 1
.
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A integral definida
Definic¸a˜o Integral definida
Seja f uma func¸a˜o real positiva e contı´nua em [a, b] ⊂ R e
x1, x2, · · · , xn−1 ∈ (a, b), tal que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b = xn. Admita que
[xk−1, xk], k = 1, · · · , n, possuam igual comprimento, isto e´,
xk − xk−1 = ∆x = b− an , para todo k = 1, · · · , n. A integral
definida de f , em [a, b] e´ definida como o limite∫ b
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n∑
k=1
f (ck)∆x,
onde ck ∈ (xk−1, xk), para todo k ∈ N.
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A integral definida
Definic¸a˜o Integral definida
Seja f uma func¸a˜o real positiva e contı´nua em [a, b] ⊂ R e
x1, x2, · · · , xn−1 ∈ (a, b), tal que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b = xn. Admita que
[xk−1, xk], k = 1, · · · , n, possuam igual comprimento, isto e´,
xk − xk−1 = ∆x = b− an , para todo k = 1, · · · , n. A integral
definida de f , em [a, b] e´ definida como o limite∫ b
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n∑
k=1
f (ck)∆x,
onde ck ∈ (xk−1, xk), para todo k ∈ N.
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A integral definida
Definic¸a˜o Integral definida
Seja f uma func¸a˜o real positiva e contı´nua em [a, b] ⊂ R e
x1, x2, · · · , xn−1 ∈ (a, b), tal que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b = xn. Admita que
[xk−1, xk], k = 1, · · · , n, possuam igual comprimento, isto e´,
xk − xk−1 = ∆x = b− an , para todo k = 1, · · · , n. A integral
definida de f , em [a, b] e´ definida como o limite
∫ b
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n∑
k=1
f (ck)∆x,
onde ck ∈ (xk−1, xk), para todo k ∈ N.
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A integral definida
Definic¸a˜o Integral definida
Seja f uma func¸a˜o real positiva e contı´nua em [a, b] ⊂ R e
x1, x2, · · · , xn−1 ∈ (a, b), tal que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b = xn. Admita que
[xk−1, xk], k = 1, · · · , n, possuam igual comprimento, isto e´,
xk − xk−1 = ∆x = b− an , para todo k = 1, · · · , n. A integral
definida de f , em [a, b] e´ definida como o limite∫ b
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n∑
k=1
f (ck)∆x,
onde ck ∈ (xk−1, xk), para todo k ∈ N.
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A integral definida
Definic¸a˜o Integral definida
Seja f uma func¸a˜o real positiva e contı´nua em [a, b] ⊂ R e
x1, x2, · · · , xn−1 ∈ (a, b), tal que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b = xn. Admita que
[xk−1, xk], k = 1, · · · , n, possuam igual comprimento, isto e´,
xk − xk−1 = ∆x = b− an , para todo k = 1, · · · , n. A integral
definida de f , em [a, b] e´ definida como o limite∫ b
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n∑
k=1
f (ck)∆x,
onde ck ∈ (xk−1, xk), para todo k ∈ N.
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A integral definida
Lembrete:
Teorema Teorema do valor me´dio
Seja g contı´nua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe
c ∈ (a, b), tal que
g(b)− g(a) = g′(c)(b− a)
Agora, suponha que F : R −→ R seja tal que
F′(x) = f (x),
para todo x ∈ (a, b).
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A integral definida
Lembrete:
Teorema Teorema do valor me´dio
Seja g contı´nua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe
c ∈ (a, b), tal que
g(b)− g(a) = g′(c)(b− a)
Agora, suponha que F : R −→ R seja tal que
F′(x) = f (x),
para todo x ∈ (a, b).
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A integral definida
Lembrete:
Teorema Teorema do valor me´dio
Seja g contı´nua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe
c ∈ (a, b), tal que
g(b)− g(a) = g′(c)(b− a)
Agora, suponha que F : R −→ R seja tal que
F′(x) = f (x),
para todo x ∈ (a, b).
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A integral definida
Lembrete:
Teorema Teorema do valor me´dio
Seja g contı´nua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe
c ∈ (a, b), tal que
g(b)− g(a) = g′(c)(b− a)
Agora, suponha que F : R −→ R seja tal que
F′(x) = f (x),
para todo x ∈ (a, b).
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A integral definida
Lembrete:
Teorema Teorema do valor me´dio
Seja g contı´nua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe
c ∈ (a, b), tal que
g(b)− g(a) = g′(c)(b− a)
Agora, suponha que F : R −→ R seja tal que
F′(x) = f (x),
para todo x ∈ (a, b).
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A integral definida
Lembrete:
Teorema Teorema do valor me´dio
Seja g contı´nua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe
c ∈ (a, b), tal que
g(b)− g(a) = g′(c)(b− a)
Agora, suponha que F : R −→ R seja tal que
F′(x) = f (x),
para todo x ∈ (a, b).
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A integral definida
Pelo Teorema do valor me´dio, para todo k = 1, · · · , n, existe
ck ∈ (xk−1, xk), tal que
F(xk)− F(xk−1) = F′(ck)(xk − xk−1) = f (ck)∆x.
Dessa forma,
F(b)−F(a) = F(xn)−F(x0) =
n∑
k=1
F(xk)−F(xk−1) =
n∑
k=1
f (ck)∆x.
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A integral definida
Pelo Teorema do valor me´dio, para todo k = 1, · · · , n, existe
ck ∈ (xk−1, xk), tal que
F(xk)− F(xk−1) = F′(ck)(xk − xk−1) = f (ck)∆x.
Dessa forma,
F(b)−F(a) = F(xn)−F(x0) =
n∑
k=1
F(xk)−F(xk−1) =
n∑
k=1
f (ck)∆x.
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A integral definida
Pelo Teorema do valor me´dio, para todo k = 1, · · · , n, existe
ck ∈ (xk−1, xk), tal que
F(xk)− F(xk−1) = F′(ck)(xk − xk−1) = f (ck)∆x.
Dessa forma,
F(b)−F(a) = F(xn)−F(x0) =
n∑
k=1
F(xk)−F(xk−1) =
n∑
k=1
f (ck)∆x.
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A integral definida
Pelo Teorema do valor me´dio, para todo k = 1, · · · , n, existe
ck ∈ (xk−1, xk), tal que
F(xk)− F(xk−1) = F′(ck)(xk − xk−1) = f (ck)∆x.
Dessa forma,
F(b)−F(a) = F(xn)−F(x0) =
n∑
k=1
F(xk)−F(xk−1) =
n∑
k=1
f (ck)∆x.
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A integral definida
Pelo Teorema do valor me´dio, para todo k = 1, · · · , n, existe
ck ∈ (xk−1, xk), tal que
F(xk)− F(xk−1) = F′(ck)(xk − xk−1) = f (ck)∆x.
Dessa forma,
F(b)−F(a) = F(xn)−F(x0) =
n∑
k=1
F(xk)−F(xk−1) =
n∑
k=1
f (ck)∆x.
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A integral definida
Teorema Teorema Fundamental do Ca´lculo
Seja f contı´nua em [a, b] e F uma func¸a˜o contı´nua em [a, b] e
diferencia´vel em (a, b), satisfazendo F′(x) = f (x), para todo
x ∈ (a, b). Enta˜o ∫ b
a
f (x) dx = F(b)− F(a).
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A integral definida
Teorema Teorema Fundamental do Ca´lculo
Seja f contı´nua em [a, b] e F uma func¸a˜o contı´nua em [a, b] e
diferencia´vel em (a, b), satisfazendo F′(x) = f (x), para todo
x ∈ (a, b). Enta˜o
∫ b
a
f (x) dx = F(b)− F(a).
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A integral definida
Teorema Teorema Fundamental do Ca´lculo
Seja f contı´nua em [a, b] e F uma func¸a˜o contı´nua em [a, b] e
diferencia´vel em (a, b), satisfazendo F′(x) = f (x), para todo
x ∈ (a, b). Enta˜o ∫ b
a
f (x) dx = F(b)− F(a).
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A integral definida
Exemplo 10
Calcular a a´rea abaixo do gra´fico da func¸a˜o
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A integral definida
Exemplo 10
Calcular a a´rea abaixo do gra´fico da func¸a˜o
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A integral definida
Exemplo 10 - Soluc¸a˜o∫ 1
0
x2 dx =
x3
3
|10 =
13
3
− 0
3
3
=
1
3
.
Observac¸a˜o 6
Todas as propiedades va´lidas para integral indefinida
continuam va´lidas para integral definida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
A integral definida
Exemplo 10 - Soluc¸a˜o∫ 1
0
x2 dx =
x3
3
|10 =
13
3
− 0
3
3
=
1
3
.
Observac¸a˜o 6
Todas as propiedades va´lidas para integral indefinida
continuam va´lidas para integral definida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
A integral definida
Exemplo 10 - Soluc¸a˜o∫ 1
0
x2 dx =
x3
3
|10 =
13
3
− 0
3
3
=
1
3
.
Observac¸a˜o 6
Todas as propiedades va´lidas para integral indefinida
continuam va´lidas para integral definida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos consumidores
O superavit dos consumidores e´ definido como a diferenc¸a
entre o que os consumidores estariam dispostos a pagar por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente pagam por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
CS =
∫ x¯
0
D(x) dx− p¯x¯,
onde D(x) e´ a func¸a˜o demanda, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de
mercado e x¯ e´ a quantidade vendida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos consumidores
O superavit dos consumidores e´ definido como a diferenc¸a
entre o que os consumidores estariam dispostos a pagar por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente pagam por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
CS =
∫ x¯
0
D(x) dx− p¯x¯,
onde D(x) e´ a func¸a˜o demanda, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de
mercado e x¯ e´ a quantidade vendida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos consumidores
O superavit dos consumidores e´ definido como a diferenc¸a
entre o que os consumidores estariam dispostos a pagar por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente pagam por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
CS =
∫ x¯
0
D(x) dx− p¯x¯,
onde D(x) e´ a func¸a˜o demanda, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de
mercado e x¯ e´ a quantidade vendida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos consumidores
O superavit dos consumidores e´ definido como a diferenc¸a
entre o que os consumidores estariam dispostos a pagar por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente pagam por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
CS =
∫ x¯
0
D(x) dx− p¯x¯,
onde D(x) e´ a func¸a˜o demanda, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de
mercado e x¯ e´ a quantidade vendida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dosconsumidores
O superavit dos consumidores e´ definido como a diferenc¸a
entre o que os consumidores estariam dispostos a pagar por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente pagam por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
CS =
∫ x¯
0
D(x) dx− p¯x¯,
onde D(x) e´ a func¸a˜o demanda, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de
mercado e x¯ e´ a quantidade vendida.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos produtores
O superavit dos produtores e´ definido como a diferenc¸a entre o
que os fornecedores estariam dispostos a receber por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente recebem por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
PS = p¯x¯−
∫ x¯
0
S(x) dx,
onde S(x) e´ a func¸a˜o oferta, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de mercado e x¯
e´ a quantidade ofertada.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos produtores
O superavit dos produtores e´ definido como a diferenc¸a entre o
que os fornecedores estariam dispostos a receber por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente recebem por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
PS = p¯x¯−
∫ x¯
0
S(x) dx,
onde S(x) e´ a func¸a˜o oferta, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de mercado e x¯
e´ a quantidade ofertada.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos produtores
O superavit dos produtores e´ definido como a diferenc¸a entre o
que os fornecedores estariam dispostos a receber por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente recebem por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
PS = p¯x¯−
∫ x¯
0
S(x) dx,
onde S(x) e´ a func¸a˜o oferta, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de mercado e x¯
e´ a quantidade ofertada.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos produtores
O superavit dos produtores e´ definido como a diferenc¸a entre o
que os fornecedores estariam dispostos a receber por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente recebem por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
PS = p¯x¯−
∫ x¯
0
S(x) dx,
onde S(x) e´ a func¸a˜o oferta, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de mercado e x¯
e´ a quantidade ofertada.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Superavit dos produtores
O superavit dos produtores e´ definido como a diferenc¸a entre o
que os fornecedores estariam dispostos a receber por x¯
unidades de um produto e o que eles realmente recebem por
essas x¯ unidades.
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Matema´ticamente, o superavit dos consumidores e´ dado por
PS = p¯x¯−
∫ x¯
0
S(x) dx,
onde S(x) e´ a func¸a˜o oferta, p¯ e´ o prec¸o unita´rio de mercado e x¯
e´ a quantidade ofertada.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Anuidade
Uma anuidade e´ uma sequeˆncia de pagamentos feitos em
intervalos regulares de tempo. O perı´odo durante o qual tais
pagamentos sa˜o efetuados e´ chamado prazo de anuidade.
Definic¸a˜o Montante de uma anuidade
O montante de uma anuidade e´ definido como a soma dos
pagamentos mais os juros obtidos.
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Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Anuidade
Uma anuidade e´ uma sequeˆncia de pagamentos feitos em
intervalos regulares de tempo. O perı´odo durante o qual tais
pagamentos sa˜o efetuados e´ chamado prazo de anuidade.
Definic¸a˜o Montante de uma anuidade
O montante de uma anuidade e´ definido como a soma dos
pagamentos mais os juros obtidos.
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Aplicac¸o˜es da integral definida
Definic¸a˜o Anuidade
Uma anuidade e´ uma sequeˆncia de pagamentos feitos em
intervalos regulares de tempo. O perı´odo durante o qual tais
pagamentos sa˜o efetuados e´ chamado prazo de anuidade.
Definic¸a˜o Montante de uma anuidade
O montante de uma anuidade e´ definido como a soma dos
pagamentos mais os juros obtidos.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Sejam P o valor de cada pagamento da anuidade, i a taxa de
juros compostos continuamente, T o prazo da anuidade (em
anos) e m o nu´mero de pagamentos por ano. O montante da
anuidade e´ definido por
M =
mP
i
(eiT − 1).
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Aplicac¸o˜es da integral definida
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Sejam P o valor de cada pagamento da anuidade, i a taxa de
juros compostos continuamente, T o prazo da anuidade (em
anos) e m o nu´mero de pagamentos por ano. O montante da
anuidade e´ definido por
M =
mP
i
(eiT − 1).
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
Sejam P o valor de cada pagamento da anuidade, i a taxa de
juros compostos continuamente, T o prazo da anuidade (em
anos) e m o nu´mero de pagamentos por ano. O montante da
anuidade e´ definido por
M =
mP
i
(eiT − 1).
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
A expressa˜o do montante de uma anuidade e´ obtida atrave´s da
integral
eiT
∫ T
0
R(t)e−it dt,
onde, nesse caso, R e´ um fluxo de renda constante (ver
TAN[3]) da forma R(t) = mP.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II (DTL/IM/UFFRJ)
Aplicac¸o˜es da integral definida
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
A expressa˜o do montante de uma anuidade e´ obtida atrave´s da
integral
eiT
∫ T
0
R(t)e−it dt,
onde, nesse caso, R e´ um fluxo de renda constante (ver
TAN[3]) da forma R(t) = mP.
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Aplicac¸o˜es da integral definida
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
A expressa˜o do montante de uma anuidade e´ obtida atrave´s da
integral
eiT
∫ T
0
R(t)e−it dt,
onde, nesse caso, R e´ um fluxo de renda constante (ver
TAN[3]) da forma R(t) = mP.
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Aplicac¸o˜es da integral definida
Observac¸a˜o Modelo matema´tico
A expressa˜o do montante de uma anuidade e´ obtida atrave´s da
integral
eiT
∫ T
0
R(t)e−it dt,
onde, nesse caso, R e´ um fluxo de renda constante (ver
TAN[3]) da forma R(t) = mP.
Matema´tica/Cieˆncia da Computac¸a˜o – DTL/IM/UFRRJ Ronaldo Malheiros Grego´rio - Professor Adjunto II