P1, P2, P3 Algebra Linear UFES 2015 1

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Primeira Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
14 de abril de 2015
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Seja A =

 3 −1 25 5 −2
1 2 3

. Determine:
(a) (0,8 pt) detA usando expansa˜o de cofatores pela segunda coluna.
(b) (1 pt) A−1.
(c) (0,7 pt) Utilizando o resultado da letra (b), determine a soluc¸a˜o do sistema


3x− y+ 2z = 1
5x+ 5y− 2z = 3
x+ 2y+ 3z = −2
2. Uma matriz A e´ chamada de sime´trica se AT = A, de anti-sime´trica se AT = −A e de idempotente se
A2 = A.
(a) (1 pt) Deˆ exemplo de duas matrizes 2x2 na˜o nulas e diferentes, A e B sime´tricas, onde o produto
A.B tambe´m e´ sime´trica.
(b) (1 pt) Se M =

 4+ a x ya b3 + 8 z
b c 2c− 8

 e´ uma matriz anti-sime´trica, determine os valores de x,
y, z.
(c) (1 pt) Determine os valores de x, y, z tais que a matriz E =

 2 −2 xy 3 4
1 z −3

 seja idempotente.
(d) (1 pt) Deˆ exemplo de treˆs matrizes 2x2 na˜o nulas, A, B e C tais que A.B = A.C e B 6= C.
(e) (1 pt) Sejam A, B e C matrizes reais de ordem 4, satisfazendo a seguinte relac¸a˜o: A.B = C−1
e B = -2A. Se o determinante de C vale 4 e o determinante de A e´ negativo, qual e´ o valor do
determinante da matriz B?
3. Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares: S =


−x+ 3y = a
2x− y = b
−2x+ y = c
3x+ y = d
(a) (1,5 pts) Estabelec¸a as condic¸o˜es sobre as constantes a, b, c e d para que o sistema linear S tenha
soluc¸a˜o. Justifique usando o conceito de posto.
(b) (0,5 pt) Existem valores para a, b, c e d para os quais S tenha infinitas soluc¸o˜es? Justifique usando
o conceito de posto e nu´mero de inco´gnitas.
(c) (0,5 pt) Fazendo a = 2, b = 1, c = −1 e d = 4, determine o conjunto soluc¸a˜o de S.
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Segunda Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
02 de junho de 2015
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Responda se os subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais de M(2, 2).
(a) (1 pt) W =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e b.c = 0
}
.
(b) (1 pt) V =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e a− 2b+ c = 0
}
.
2. Sejam W1 = [(1, 1,−2, 4), (1, 4,−4, 8)] e W2 = {(x, y, z,w) ∈ R
4 : x− y+ 2z = 0} subespac¸os vetoriais de
R
4.
(a) (1 pt) (−4, 5, 2,−3) ∈W1?
(b) (1 pt) Determine condic¸o˜es sobre x, y, z,w para que o vetor (x, y, z,w) ∈W1.
(c) (1 pt) Determine uma base de W2.
(d) (1 pt) Determine uma base de W1 ∩W2.
3. Sejam W1 e W2 dados por W1 = {(x, y, z,w) ∈ R
4 : y = x , z = 2x , w = 3x} e
W2 = {(x, y, z,w) ∈ R
4 : x+ 4y− z = 0 , w = 0} subespac¸os vetoriais de R4.
(a) (1,5 pts) Determine dim(W1 +W2).
(b) (0,5 pt) A soma e´ direta?
(c) (1 pt) Determine condic¸o˜es sobre x, y, z,w para que o vetor (x, y, z,w) ∈W1 +W2.
(d) (1 pt) Dado ~v = (6, 1,−2, 12) ∈W1 +W2, determine ~v1 ∈W1 e ~v2 ∈W2 tal que ~v = ~v1 + ~v2.
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Terceira Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
30 de junho de 2015
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. (1 pt) T : R2 → R2 dada por T(x, y) = (x.y , y) e´ linear? Justifique.
2. Determine a transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 tal que:
(a) (1 pt) T(1, 1, 1) = (1, 2), T(1, 1, 0) = (2, 3), T(1, 0, 0) = (3, 4).
(b) (1 pt) β1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e β2 = {(−1, 1), (0,−1) sa˜o bases ordenadas de R
3 e R2,
respectivamente e
[T ]
β1
β2
=
[
1 0 −1
−1 1 1
]
3. Seja T : R4 → R3 uma transformac¸a˜o linear dada por
T(x, y, z,w) = (x− 2y+w , −z+ 2w , 2z− 4w)
(a) (1 pt) Determine uma base para o nu´cleo de T .
(b) (1 pt) Determine uma base para a imagem de T .
(c) (1 pt) T e´ injetiva? T e´ sobrejetiva? Justifique.
(d) (1 pt) (4,−1, 2) ∈ Im(T)? Justifique.
4. Seja T : R3 → R3 uma transformac¸a˜o linear dada por
T(x, y, z) = (x+ y+ z , 2y+ z , 2y+ 3z).
(a) (2 pts) Ache os autovalores de T e seus autovetores correspondentes.
(b) (1 pt) Determine o polinoˆmio minimal de T e conclua se T e´ ou na˜o e´ diagonaliza´vel.