aula 6 derivadas

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Faculdade Metropolitana de Rio do Sul - FAMESUL 
Curso: Engenharia 
Disciplina: Cálculo 1 
Professor: Me. Odair Hammes Aula 6 
 
Introdução ao Estudo das Derivadas: 
 
Reta secante e reta tangente 
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
 
 
 
 
 
Derivada num ponto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎): 
𝒇′(𝒙𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙 − 𝒙𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01. Avalie 𝑓′(2) se 𝑓(𝑥) = 𝑥3. 
 
02. Use o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 para determinar se cada uma das quantidades seguintes é positiva, negativa ou 
zero. 
a) 𝑓′(1) 
 
b) 𝑓′(2) 
 
c) 𝑓′(−1) 
 
d) 𝑓′(0) 
 
03. Avalie a derivada de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 em 𝑥 = 0, gráfica e numericamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
01. Desprezando a resistência do ar, um corpo em queda livre nas proximidades da superfície da terra percorre 
uma distância d(t)=5t2 metros em t segundos. 
a) Qual a velocidade do corpo no instante t segundos? 
b) Qual a velocidade do corpo no instante t=2s? 
c) Qual a velocidade do corpo no instante t=3s? 
 
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02. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y=x2 no ponto P(1, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
03. Se f(x) = x2, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto P(2, 4). 
 
04. Calcule a derivada de f(x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y=x3 no 
ponto x=-1. Qual é a equação da reta tangente neste ponto? 
 
05. Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto P(3,1) 
 
 
 
 
 
06. Faça o que se pede: 
a) Determine a derivada de 𝑓(𝑥) = √𝑥 para 𝑥 > 0. 
b) Determine a reta tangente à curva 𝑦 = √𝑥 em 𝑥 = 4. 
 
 07. Uma bola foi deixada cair do posto de observação de uma torre 450 m acima do solo. Use a equação d(t) = 
4,9t2. 
a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos? 
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo? 
 
 
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08. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 - 8x + 9 no ponto P(3,-6). 
 
 
Técnicas de Derivação: 
Regra da Constante: 
𝑦 = 𝑐 → 𝑦′ = 0 
 
Regra da Potência: 
𝑦 = 𝑥𝑛 → 𝑦′ = 𝑛𝑥𝑛−1 
01. Determine a derivada das seguintes potências de x. 
a) 𝑦 = 𝑥
2
3 
b) 𝑦 = 𝑥4 
c) 𝑦 = 𝑥
3
2 
d) 𝑦 = 𝑥7 
 
02. A curva tem 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2 tangentes horizontais? Se sim, onde? 
 
03. Dada a função 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 6𝑥 − 1, calcule 𝑓′(2). 
 
04. Estima-se que daqui a t meses, a população de certo município será de 𝑃(𝑡) = 𝑡2 + 20𝑡 + 8000. 
a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses? 
b) Qual será variação da população durante o 16º mês? 
 
05. O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por N(t) = t2 + 5t + 106 bilhões de dólares, onde t é o 
número de anos após 2000. Qual a taxa de variação do PIB em 2010? 
 
 
 
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06. No decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de vidro. Se o líquido 
vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taxa de 
crescimento da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5 cm? 
 
07. Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 50 m/s. 
A pedra atinge uma altura de h(t) = 50t-5t2 metros após t segundos. 
a) Qual a altura máxima atingida pela pedra? 
b) Quais são as velocidades da pedra quando ela está a 80 metros do solo? 
c) Qual a aceleração da pedra em qualquer instante t durante sua trajetória (depois da explosão)? 
d) Quando a pedra atingirá o solo novamente? 
 
Derivadas de Ordem Superior: 
 
01. Se f(x) = x3 – x, encontre f´´(x). 
 
02. Determinar todas as derivadas da função: f(x) = x3+2x2+1. 
 
03. Obtenha a derivada terceira da função: f(x) = 1/x.