Material de Cálculo I (Integral Aula Aplicação em Física e Geometria 03) (1)

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t0
sds
v(t)lims'(t)
tdt
D®
D
===
D
MEC – SETEC
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DO PARÁ CAMPUS BELÉM – IFPA
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Me. Everaldo Raiol da Silva
Aluno (a): _____________________________ Data:___/___/____
Aplicação de Integral em Física e Geometria
· Velocidade Instantânea:
 
s(t)v(t)dt, pois v(t)s'(t)
=×=
ò
· Aceleração Instantânea:
t0
vdv
a(t)limv'(t)s''(t)
tdt
D®
D
====
D
 
v(t)a(t)dt,pois a(t)v'(t)
=×=
ò
Questões de Integral de Aplicação na Física
01) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 1 + 4t + 3t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no terceiro minuto? R: 30 metros.
02) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 3 + 2t + 6t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no segundo minuto? R: 20 metros
03) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, 
t0
³
, a velocidade é v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição S(t) = 1. Determine a posição S = S(t) da partícula no instante t.
R: 
2
S(t)tt1
=++
04) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t + 3, 
t0
³
. Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2. Determine:
a) Qual a posição da partícula em um instante t?
R: 
2
t
S(t)3t2
2
=++
b) Qual a posição da partícula em um instante t = 2? R: 10 m
c) Determine a aceleração. R: 
2
a(t)1 m/s
=
05) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t – 3, 
t0
³
. Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem. R: 
3
ts
2
=
06) Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:
a) A distância da pedra ao solo após t segundos.
R: S(t) = -4,9 t2 + 30 t + 45
b) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
R: 
t3,06 s
@
c) O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante. R: 
@
 - 42,13 m/s
07) Se um ponto se move em uma reta coordenada com a aceleração a(t) e as condições iniciais dadas, determine s(t):
a) a(t) = 2 – 6t; v(0) = - 5; s(0) = 4
 R: S(t) = t2 – t3 – 5t + 4
b) a(t) = 3t2; v(0) = 20; s(0) = 5 R: S(t) = 
4
t
4
 + 20t + 5
08) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t + 5, t > 0. Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 6, unidades SI.
Qual a posição da partícula no instante t? R: 
2
S(t)t5t6
=++
a) Determine a posição da partícula no instante t = 2.
R: S(2) = 20 m
b) Determine a aceleração. R: a(t) = 2 m/s2
09) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:
a) A sua distância no instante t. R: S(t) = - 4,9t2 + 500t
b) A altura máxima atingida. R: hmáx = 12.754,90 m.
10) Joga-se uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 5 m/s. Determine:
a) A sua distância do solo após t segundos? R: S(t) = - 4,9t2 + 5t
b) Quando ela atinge o solo? R: t = 1,02 seg
c) A velocidade com que atinge o solo? R: V(1,02) = - 5 m/s
11) Deixa-se cair um objeto da altura de 300 m. Desprezando a resistência do ar, determine:
a) A distância percorrida em t segundos R: S(t) = -4,9t2 + 300
b) A velocidade ao cabo de 3 segundos. R: V(3) = -29,4 m/s
c) Quando o objeto atinge o solo. R: 7,82 seg.
12) Uma constante gravitacional para objetos próximos da superfície da Lua é 1,62 m/s2.
a) Se um astronauta na Lua joga uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 20 m/s determine a altura máxima atingida. R: hmáx = 123,46 m.
b) Se, após sua volta à Terra, o astronauta lança a mesma pedra diretamente para cima com a mesma velocidade inicial, determine a altura máxima atingida. R: hmáx = 20,39 m.
13) Uma bola rola por um plano inclinado com uma aceleração de 61 cm/s2.
a) Se a bola não tem velocidade inicial, que distância percorrerá em t segundos? R: S(t) = 30,50t2
b) Qual deve ser a velocidade inicial para que a bola percorra 30 metros em 5 segundos? R: Vo = 447,50 cm/s
14) Uma pedra é atirada diretamente para baixo de um balão estacionário a 3000 metros acima do solo com uma velocidade de -14,4 m/s. Localize a pedra e encontre sua velocidade 20 segundos depois. 
R: Depois de 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de -214,4 m/s.
15) Suponha que a velocidade de um carro no instante t seja 
(
)
(
)
2
8
vt40
t1
=
+
+
 quilômetros por hora. Determine o espaço percorrido por este carro de t = 1 à t = 2 horas. R: 41,33 km.
16) A velocidade v(t) = s’(t) m/s, no instante t em s, de um corpo que está se movendo ao longo do eixo x é dada, juntamente com a posição inicial x(0) do corpo. Em cada caso abaixo Determine:
a) A posição do corpo s(t) no instante t.
b) A posição do corpo no instante t = 4 s.
c) O instante em que o corpo passa pelo ponto x = 3 m.
1) 
1
S'(t);s(0)5
10,5t
-
==
+
1
a)Ln10,5t5
0,5
R:b)2,80m
c)3,44s
ì
=-++
ï
ï
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î
2) 
12
S'(t)2(3t1);s(0)4
=-+=
3
4
a)(3t1)10
9
R:b)16,39m
c)0,40s
ì
éù
=-+-
ï
ëû
ï
=
í
ï
=
ï
î
3) 
232
2t
S'(t);s(0)4
(1t)
-
==
+
2
2
a)2
t1
R:b)2,52m
c)1,79s
ì
=+
ï
+
ï
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î
4) 
1
S'(t);s(0)0
2t1
==
+
a)2t11
R:b)2m
c)7,5s
ì
=+-
ï
=
í
ï
=
î
17) Um motorista, a partir de uma velocidade de 4 km/h, acelera de tal forma que a velocidade t horas mais tarde é 
v(t)4512t;km/h.
=+
Qual é a distancia percorrida pelo carro nas primeiras 2 horas? R: 114 km.
18) Um bola é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício e t segundos mais tarde, a velocidade da bola 
v(t)9,8t24;m/s.
=-+
 Qual é a distancia entre a bola e o edifício após 3 segundos? R: 27,9 m.
19) Um objeto parte de repouso 
v(0)0
=
, na posição 
s(0)2
=-
 e se move em linha reta de tal forma que a aceleração no instante t é dada por 
a(t)3sen(2t)
=×
 unidades por segundo ao quadrado.
a) Determine a velocidade v(t) do objeto no instante t. 
R: 
[
]
3
V(t)cos(2t)1
2
=-×-
b) Determine a posição s(t) do objeto no instante t.
R: 
3t3
S(t)sen(2t)2
24
=-+×-
20) Um objeto parte da posição 
s(0)4m
=
 e se move em linha reta de tal forma que a velocidade no instante t em s é dada por 
v(t)42cos(t)
=+×
 unidades por segundo.
a) Determine a posição s(t) do objeto no instante t.
R: 
S(t)4t2sen(t)4
=+×+
c) Qual distancia percorrida pelo objeto entre os instantes t = 1 e t = 5? R: 12,40 m.
21) Após t segundos, um corpo está se movendo a uma velocidade de 
t
2
v(t)te;m/s.
-
=×
 Expresse a posição do corpo em função do tempo quando 
S(0)0
=
. R: 
tt
22
S(t)2te4e4
--
=-×-×+
22) Um barco está se movendo em linha reta com uma aceleração 
21
a(t)5t(t1)
-
=-+
, km2. Supondo que tenha partido do repouso, qual será sua velocidade após 1 hora. R: 
1
V(1)5Ln2
2
=-
. m/s
Questões de Integral de Aplicação á Geometria
01) Dada a inclinada 
f'(x)
 em cada ponto P (x,y) de uma curva 
yf(x)
=
, juntamente com um ponto particular (a, b) da curva. Use essas informações para determinar a função 
f(x)
. Nos casos abaixo:
1) 
f'(x)4x1
=+
, no ponto 
P(1,2)
=
. R: 
2
f(x)2xx1
=+-
2) 
f'(x)x(x1)
=-+
, no ponto 
P(1,5)
=-
R: 
32
1131
f(x)xx
326
=--+
3) 
3
2
2
f'(x)x2
x
=-+
, no ponto 
P(1,3)
=
R: 
4
x25
f(x)2x
4x4
=++-
4) 
x2
f'(x)ex
-
=+
, no ponto 
P(0,4)
=
R: 
3
x
x
f(x)e5
3
-
=-++
02) Determine a função cuja tangente tem uma inclinação 
xlnx
×
 e cujo gráfico passa pelo ponto (2, -3).
R: 
2
x15
()Ln xLn(2)
422
æö
=×---
ç÷
èø
fx
.
03) Determine a função cuja tangente tem uma inclinação 
21
x(x1)
-
+
 e cujo gráfico passa pelo ponto(1, 5).
R: 
2
11
()Ln(x1)5Ln(2)
22
=×++-×
fx
.
04) Determine a função cuja tangente tem uma inclinação 
2
2x
xe
-
 e cujo gráfico passa pelo ponto (0, -3).
R: 
2
2x
111
()e
44
-
=×-
fx
05) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 4x+1 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (1, 2). 
R: f(x) = 2x2 + x –1
06) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 3x2 + 6x - 2 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (0, 6). 
R: f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 6
07) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 
3
2
2
x2
x
-+
 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (1, 3). R: 
4
x25
f(x)2x
4x4
=++-
Bom Estudo!!!!!!
AULA O3
1
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