SL Slides - Modulo1 - Sinais

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Análise de Análise de 
Sistemas LinearesSistemas Lineares
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Sistemas LinearesSistemas Lineares
Módulo 1Módulo 1
Sinais e SistemasSinais e Sistemas
ConteúdoConteúdo
IntroduçãoIntrodução
SinaisSinais
�� Classificação de SinaisClassificação de Sinais
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 22
�� Sinais BásicosSinais Básicos
SistemasSistemas
�� Classificação de SistemasClassificação de Sistemas
Operações com SinaisOperações com Sinais
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 33
IntroduçãoIntrodução
ConceitosConceitos
Sinais e SistemasSinais e Sistemas
�� Definições Definições 
�� DescriçõesDescrições
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 44
�� Representações MatemáticaRepresentações Matemática
�� ClassificaçõesClassificações
Sinais Sinais 
�� Elementares (básicos)Elementares (básicos)
�� OperaçõesOperações
SinalSinal
DefiniçãoDefinição
�� Um Um SinalSinal é a representação física de uma é a representação física de uma informaçãoinformação
�� Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula 
informações sobre o comportamento ou a natureza de informações sobre o comportamento ou a natureza de 
um fenômeno físicoum fenômeno físico
ff((tt))
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 55
�� Função de uma variável independente Função de uma variável independente ff((tt)), em que , em que 
geralmentegeralmente a variável a variável tt representa o temporepresenta o tempo
ExemploExemplo
�� Circuito RC: o sinal pode Circuito RC: o sinal pode 
ser a tensão no capacitor, ser a tensão no capacitor, vvcc(t)(t),,
ou a corrente no resistor, ou a corrente no resistor, i(t)i(t)
v(t)
R
C
vc(t)i(t)
SistemaSistema
Entidade que processa Sinais, modificandoEntidade que processa Sinais, modificando--os os 
ou extraindo informaçõesou extraindo informações
DefiniçãoDefinição
�� Entidade que processa um conjunto de sinais Entidade que processa um conjunto de sinais 
(entradas) resultando em um outro conjunto de (entradas) resultando em um outro conjunto de 
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 66
sinais (saídas)sinais (saídas)
ImplementaçãoImplementação
�� Hardware: componentes físicos, elétricos, Hardware: componentes físicos, elétricos, 
mecânicos ou hidráulicosmecânicos ou hidráulicos
�� Software: algoritmo que calcula as saídas em Software: algoritmo que calcula as saídas em 
função das entradasfunção das entradas
Energia e Potência do SinalEnergia e Potência do Sinal
Energia*Energia*
�� Será finita se Será finita se xx((tt))�� 0 quando 0 quando | | t t ||�� ∞∞
caso contrário as integrais da definição não convergemcaso contrário as integrais da definição não convergem
(J) )( 2∫
∞
∞−
= dttxEx(J) )(2∫
∞
∞−
= dttxEx
x(t) é um Sinal Real x(t) é um Sinal Complexo
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 77
�� Para sinais com energia infinita (sinais periódicos), usaPara sinais com energia infinita (sinais periódicos), usa--se a se a 
medida de Energia Média, ou:medida de Energia Média, ou:
Potência*Potência*
(W) )(1lim
2
2
2
∫
−
∞→
=
T
T
Tx
dttx
T
P (W) )(1lim
2
2
2
∫
−
∞→
=
T
T
Tx
dttx
T
P
x(t) é um Sinal Real x(t) é um Sinal Complexo
Px é o valor médio quadrático de x(t) ���� raiz quadrada de Px = rms de x(t)
*
n
o
r
m
a
l
i
z
a
d
a
(valor eficaz)
ExemploExemplo
Determine a Energia ou Potência dos sinaisDetermine a Energia ou Potência dos sinais
t
x(t)
2
2.e -t / 2
-1 0 2 4
Como x(t) é um Sinal Real e tende a zero
para grandes tempos então esse é um sinal 
de Energia:
844)2()2()(
0
22/
0
1
22
=+=+== ∫∫∫
∞
−
−
∞
∞−
dtedtdttxE tx
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 88
t
-1 0 2 4
Como x(t) é um Sinal Real e não tende a zero
para grandes tempos e como é periódico,
então esse é um sinal de Potência:
∫∫
−−
===
1
1
2
1
1
2
3
1
2
1)(
2
1 dttdttxPxt
x(t)
1
-1 1 2 4
ExercícioExercício
Determine a potência e o valor Determine a potência e o valor rmsrms de de xx((tt) = ) = CC.cos.cos((ωω00tt + + θθ))
)]22cos(1[
2
lim 
)(cos1lim )(1lim
2
2
0
2
2
2
0
22
2
2
2
dtt
T
CP
dttC
T
dttx
T
P
T
T
Tx
T
T
T
T
T
Tx
++=
+==
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∫
∫∫
θω
θω
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 99
2
0
2
lim
)22cos(
2
lim
2
lim
2
22
2
2
0
22
2
2
2
C
T
TCP
dtt
T
Cdt
T
CP
T
Tx
T
T
T
T
T
Tx
T
=+=
++
∞→
−
∞→
−
∞→
=
−
∫∫ θω
Portanto, toda senóide de amplitude C, independentemente de sua 
frequência ω0, possui potência C2/2, e valor rms: 22.C
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 1010
Operações com SinaisOperações com Sinais
Realizadas na Realizadas na variável dependente variável dependente (eixo vertical)(eixo vertical)
�� Mudança de Escala da AmplitudeMudança de Escala da Amplitude
�� AdiçãoAdição
)(.)( txcty =
)()()( 21 txtxty +=
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 1111
�� MultiplicaçãoMultiplicação
�� DiferenciaçãoDiferenciação
�� IntegraçãoIntegração
)(.)()( 21 txtxty =
)()( tx
dt
d
ty =
∫
∞−
=
t
dxty ττ )()(
Exemplos de Aplicação das Operações com SinaisExemplos de Aplicação das Operações com Sinais
�� Mudança de Escala da AmplitudeMudança de Escala da Amplitude
Amplificadores e AtenuadoresAmplificadores e Atenuadores
�� AdiçãoAdição
Circuito Somador/Subtrator com Circuito Somador/Subtrator com AmpAmp--OpOp
Operações com SinaisOperações com Sinais
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 1212
Circuito Somador/Subtrator com Circuito Somador/Subtrator com AmpAmp--OpOp
�� MultiplicaçãoMultiplicação
Circuito Modulador AM:Circuito Modulador AM:
�� DiferenciaçãoDiferenciação
Circuito com Indutor:Circuito com Indutor:
�� IntegraçãoIntegração
Circuito com capacitor:Circuito com capacitor:
)()( ti
dt
dLtvL =
)2cos()( :onde )().()( tftptptmts Ppi==
∫
∞−
=
t
C dttiC
tv )(1)(
Operações com SinaisOperações com Sinais
Realizadas na Realizadas na variável independente variável independente (eixo horizontal)(eixo horizontal)
�� Mudança de EscalaMudança de Escala
Compressão (Compressão (a > 1a > 1) ou Expansão () ou Expansão (0 < a < 10 < a < 1) ) 
).()( taxty =
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Operações com SinaisOperações com Sinais
Realizadas na Realizadas na variável independente variável independente (eixo horizontal)(eixo horizontal)
�� ReflexãoReflexão
ExemploExemplo
)()( txty −=
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• Todo sinal par é igual à sua versão refletida
• Todo sinal ímpar é igual ao oposto de sua versão refletida
Operações com SinaisOperações com Sinais
Realizadas na Realizadas na variável independente variável independente (eixo horizontal)(eixo horizontal)
�� DeslocamentoDeslocamento
ExemploExemplo
)()( 0ttxty −=
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t (s)
x(t)
2
2.e -t / 2
-1 0 2 4
t (s)
x(t-2)
2
2.e –(t–2) / 2
-1 0 2 4
Atraso de 2 s.
Avanço de 2 s.
t (s)
x(t+2)
2
2.e –(t+2) / 2
-3 -1 0 2 4
Operações com SinaisOperações com Sinais
Regra de PrecedênciaRegra de Precedência para operações combinadas de para operações combinadas de 
deslocamentodeslocamento e e mudança de escala da variável mudança de escala da variável 
independente independente de um sinal de um sinal xx((tt) ) : : yy((tt)) = x= x((a.t a.t -- bb))
A relação entre A relação entre x(t)x(t) e e y(t)y(t) deve atender às condiçõesdeve atender às condições
�� yy((00)) = x= x((--bb) e ) e yy((b/ab/a)) = x= x((00))
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Faz-se o deslocamento temporal x(t - b),
e depois o escalonamento temporal x(a.t)
Exemplo: Exemplo: y y ((tt)) = x = x ((2.t 2.t –– 22))
Primeiro o deslocamento: Primeiro o deslocamento: z z ((tt)) = x = x ((t t –– 22))
Depois o escalonamento: Depois o escalonamento: y y ((tt)) = z = z ((2.t2.t)) = x = x ((2.t 2.t –– 22))
Exemplos de OperaçõesExemplos de Operações
t
x(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
t
x(t-2)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
x(-t)
Sinal Original Desloc. Temporal
Reflexão
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 1717
t
x(t/2)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
t
x(2t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
t
x(-t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
Reflexão
Compressão Expansão
ExercíciosExercícios
1.1. Classifique os sinais quanto à paridade:Classifique os sinais quanto à paridade:
2.2. Indique a Indique a freqüênciafreqüência em Hz e em Hz e radrad/s:/s:
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3.3. Qual é a Qual é a freqüênciafreqüência fundamental ?fundamental ?
4.4. Seja x[n] = { Seja x[n] = { --1,1,--1,1,33,1,1}, esboce,1,1}, esboce
x[n] e y[n] = x[n+3].x[n] e y[n] = x[n+3].
5.5. Encontre y(t)=x(2t+3).Encontre y(t)=x(2t+3).
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 1919
Classificação de SinaisClassificação de Sinais
Sinal de Tempo ContínuoSinal de Tempo Contínuo
�� O sinal O sinal x(t)x(t) é de tempo contínuo se a variável tempo é de tempo contínuo se a variável tempo t t for for 
contínuacontínua
Sinal de Tempo DiscretoSinal de Tempo Discreto
�� O sinal O sinal x(t)x(t) é de tempo discreto se a variável tempo é de tempo discreto se a variável tempo t t for for 
definida em tempos discretos, e será representado por uma definida em tempos discretos, e será representado por uma 
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definida em tempos discretos, e será representado por uma definida em tempos discretos, e será representado por uma 
seqüência de números seqüência de números x[n]x[n]
t
x(t)
0 n
x[n]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Classificação de SinaisClassificação de Sinais
Sinal AnalógicoSinal Analógico
�� Se um sinal de tempo contínuo Se um sinal de tempo contínuo x(t)x(t) puder assumir qualquer puder assumir qualquer 
valor no intervalo contínuo valor no intervalo contínuo (a,b), (a,b), então ele é então ele é analógico analógico 
Sinal DigitalSinal Digital
�� Se um sinal de tempo discreto Se um sinal de tempo discreto x[n]x[n] puder assumir apenas um puder assumir apenas um 
número finito de valores distintos, então ele é número finito de valores distintos, então ele é digitaldigital
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2121
número finito de valores distintos, então ele é número finito de valores distintos, então ele é digitaldigital
t
x(t)
0 n
x[n]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3
2
1
0
-1
Classificação de SinaisClassificação de Sinais
Sinal RealSinal Real
�� Se um sinal Se um sinal x(t)x(t) puder assumir somente valores reaispuder assumir somente valores reais, , então então 
ele é ele é real real 
Sinal ComplexoSinal Complexo
�� Se um sinal Se um sinal x(t)x(t) puder assumir somente valores complexospuder assumir somente valores complexos, , 
então ele é então ele é complexo complexo do tipo do tipo xxRR(t)+j x(t)+j xII(t)(t), onde, onde xxRR(t) (t) ee xxII(t) (t) 
são sinais reaissão sinais reais
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2222
RR II RR II
são sinais reaissão sinais reais
Sinal DeterminísticoSinal Determinístico
�� Seus valores podem ser completamente determinados em Seus valores podem ser completamente determinados em 
qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função 
matemática conhecidamatemática conhecida
Sinal AleatórioSinal Aleatório
�� Seus valores são aleatórios em qualquer instante de tempo, e Seus valores são aleatórios em qualquer instante de tempo, e 
são descritos estatisticamentesão descritos estatisticamente
Classificação de SinaisClassificação de Sinais
Sinal ParSinal Par
�� Se Se xx((tt)) = x= x((--tt)), , 
então ele é um sinal então ele é um sinal par par 
Sinal ÍmparSinal Ímpar
�� Se Se xx((tt)) = = --xx((--tt)), , 
então ele é um sinalentão ele é um sinal ímparímpar t
xe(t)
0
Sinal Par
t
xo(t)
0
Sinal Ímpar
xx((tt))
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2323
Todo sinal Todo sinal xx((tt)) pode ser expresso como uma soma de dois pode ser expresso como uma soma de dois sinais, sinais, 
sua componente par sua componente par xxee((tt)), , e e sua componente ímpar, sua componente ímpar, xxoo((tt))
Classificação de SinaisClassificação de Sinais
O produto de dois Sinais Pares, ou de dois Sinais O produto de dois Sinais Pares, ou de dois Sinais 
Ímpares, resulta um Sinal Ímpares, resulta um Sinal ParPar
O produto de um Sinal Par com um Sinal Ímpar, resulta O produto de um Sinal Par com um Sinal Ímpar, resulta 
um Sinal Ímparum Sinal Ímpar
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2424
Sinal1 Sinal2 Sinal1 x Sinal2
PAR PAR PAR
ÍMPAR ÍMPAR PAR
PAR ÍMPAR ÍMPAR
ÍMPAR PAR ÍMPAR
Exemplos Exemplos –– Componentes Par e ÍmparComponentes Par e Ímpar
4.5
5 5
x(t)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2525
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
t
x
(
t
)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
Componente
Par
Componente
Ímpar
x(t)
Exemplos Exemplos –– Componentes Par e ÍmparComponentes Par e Ímpar
Sinal: Sinal: xx((tt)) = e = e j.tj.t
�� e e j.tj.t = = xxee((tt)) + + xxoo((tt))
�� xxee(t) = (t) = [ [ xx((tt)) + x+ x((--tt) ]) ] / 2/ 2 (componente par)(componente par)
xx (t) = (t) = [[ xx((tt)) –– xx((--tt) ]) ] / 2/ 2
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2626
�� xxoo(t) = (t) = [[ xx((tt)) –– xx((--tt) ]) ] / 2/ 2 (componente ímpar)(componente ímpar)
�� e e j.tj.t = = coscos((tt)) + + j.senj.sen((tt)) (Fórmula de (Fórmula de EulerEuler))
�� xxee((tt)) = = [[e e j.tj.t + e + e --j.tj.t]] / 2 = / 2 = coscos((tt))
�� xxoo((tt)) = = [[e e j.tj.t –– e e --j.tj.t]] / 2 = / 2 = j.senj.sen((tt))
Classificação de SinaisClassificação de Sinais
Sinal PeriódicoSinal Periódico
�� Um sinal Um sinal xx((tt)) é periódico com período é periódico com período T T se existir um valor se existir um valor T T ≥ 0, ≥ 0, para o qual para o qual 
xx((t+Tt+T)) = x= x((tt)), , ∀∀tt
Sinal Não PeriódicoSinal Não Periódico
�� Qualquer sinal Qualquer sinal xx((tt)) de tempo contínuo que não é periódico é chamado não periódico (ou de tempo contínuo que não é periódico é chamado não periódico (ou 
aperiódico)aperiódico)
Sinal de Energia*Sinal de Energia*
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A.Fleury AgoAgo--20092009 2727
Sinal de Energia*Sinal de Energia*
�� Para um sinal Para um sinal xx((tt)) o conteúdo de energia o conteúdo de energia 
normalizado (normalizado (por por OhmOhm) ) E E é dado poré dado por
�� xx((tt)) é um sinal de Energia é um sinal de Energia ⇔⇔ 0 < E <0 < E < ∞∞, e assim , e assim P = 0P = 0
Sinal de PotênciaSinal de Potência
�� Para um sinal Para um sinal xx((tt)) a potência média a potência média 
normalizada (normalizada (por por OhmOhm) ) P P é dado poré dado por
�� xx((tt)) é um sinal de Potência é um sinal de Potência ⇔⇔ 0 < P <0 < P < ∞∞, e assim , e assim E E → → ∞∞
(J) )( 2∫
∞
∞−
= dttxE
(W) )(1lim
2
2
2
∫
−
∞→
=
T
T
T
dttx
T
P
* Na prática os sinais são de Energia
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2828
Sinais BásicosSinais Básicos
Degrau Unitário (função de Degrau Unitário (função de Heaviside unitárioHeaviside unitário))
�� DefiniçãoDefinição
�� Degrau deslocado de Degrau deslocado de tt00
�� GráficoGráfico



<
>
=
0 0
0 1)(
t
t
tu



<
>
=−
0
0
0
 0
 1)(
tt
tt
ttu
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 2929
�� GráficoGráfico
t
u(t)
0
1
t
u(t-t0)
0
1
t0
Sinais BásicosSinais Básicos
Impulso Unitário (função Delta de Dirac)Impulso Unitário (função Delta de Dirac)
�� DefiniçãoDefinição
�� Impulso deslocado de Impulso deslocado de tt00
�� GráficoGráfico
-ε/2 ε/2
1/ε
1)( =∫
−
ε
ε
δ dtt
t
ε→0
-ε/2 ε/2
1/ε
-ε/2 ε/2
1/ε
-ε/2 ε/2
1/ε



=∞
≠
=
0 
0 0)(
t
t
tδ



=∞
≠
=−
0
0
0
 
 0)(
tt
tt
ttδ
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3030
�� GráficoGráfico
t
δ(t)
0
1
t
δ(t-t0)
0
1
t0
 0
Propriedades
∫
∫
∞−
∞
∞−
=∗
==∗
=∗
τ
ττδ
δ
δ
dtu
dt
tdu
tut
fdtttf
)()(
)()(')(
)0()()(
)(0
par função )()(
)(1)(
tδ)x(δ(t)x(t)
tt
t
a
at
=∗
−=∗
=∗
δδ
δδ
12
)cos()(
ωpi
θω
==
+=
fT
tAtx
Sinais BásicosSinais Básicos
SenóideSenóide
1
2
3
T = 1 / f
3cos(pi/6)
x(t)x(t)x(t)x(t)
3sen(4pipipipit+pipipipi/6)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3131
}Im{)(sen
}Re{)cos(
)(
)(
θω
θω
θω
θω
+
+
=+
=+
tj
tj
eAtA
eAtA
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-3
-2
-1
0
tttt
Sinais BásicosSinais Básicos
Exponencial ComplexaExponencial Complexa
�� Fórmula de EulerFórmula de Euler
tj
etx 0)( ω=
)sen()cos( 000 tjte tj ωωω +=
Parte Real Parte Imaginária
Periódico
0
2
ω
pi
=T
0.5
1 real(x)
imag(x)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3232
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
Sinais BásicosSinais Básicos
Exponencial Exponencial 
Complexa GeralComplexa Geral tjeteee
js
tttjts ωω
ωσ
σσωσ sen.cos.
complexo número um Seja
)( +==
+=
+
Parte Real Parte Imag.
10
20
30
Crescente
σσσσ > 0
20
30
Decrescente
σσσσ < 0
0.5
1 real(x)
imag(x)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3333
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-30
-20
-10
0
10
exp(1.08*t).*(cos(w*t)+j*sin(w*t))
exp(1.08*t)
-exp(1.08*t)
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-30
-20
-10
0
10
exp(-1.08*t)
-exp(-1.08*t)
exp(-1.08*t).*(cos(w*t)+j*sin(w*t))
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
Constante-oscilante σσσσ = 0
Exemplos de SinaisExemplos de Sinais
t
x(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1


 ≤≤−−
=
contrário caso 0
44 4)( tttx
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3434
t
x(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1


 ≤≤−
=
contrário caso 0
44 )( tttx
Sinais Sinais no Matlabno Matlab
30
40
50
60
f = inline('exp(-t).*cos(2*pi*t)','t')
t = -2:0.05:2;
plot(t,f(t)), grid
hold on
plot(t,f(t-2),'r')
plot(t,f(2*t),'m')
plot(t,f(t/2),'k')
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3535
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Sinais Sinais no Pythonno Python
import numpy as np
import scipy as sc
import matplotlib.pyplot as plt
def f(t):
return sc.exp(-t) * 
sc.cos(2*sc.pi*t)
t = np.arange(-2,2,0.05)
plt.plot(t,f(t))
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3636
plt.plot(t,f(t))
plt.plot(t,f(t-2),'r')
plt.plot(t,f(2*t),'m')
plt.show()
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Sinais Sinais no Matlabno Matlab
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
3737
u = inline('(t>=0)','t')
t = -2:0.05:2;
plot(t,u(t+1),'linewidth',2)
grid, hold on
plot(t,u(t-1),'k','linewidth',2)
plot(t,(u(t+0.5)-u(t-0.5))/2,'r','linewidth',2)
Axis([-2 2 -0.2 1.2])
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Sinais Sinais no Pythonno Python
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
3838
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(-2,2,0.05)
plt.step(t,t+1>=0,'b',linewidth=3)
plt.step(t,t-1>=0,'k',linewidth=2)
plt.step(t,((t+0.5>=0)-(t-0.5>=0))/2,'r',linewidth=2)
plt.axis([-2, 2, -0.2, 1.2])
plt.show()
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 3939
SistemasSistemas
Sistema Sistema 
�� DefiniçãoDefinição
Modelo matemático de um processo físico que Modelo matemático de um processo físico que 
relaciona o sinal de entrada (excitação) com o relaciona o sinal de entrada (excitação) com o 
sinal de saída (resposta)sinal de saída (resposta)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4040
Transformação (mapeamento) de Transformação (mapeamento) de xx em em yy
Sistema
Sinal de entrada
x(t)
Sinal de resposta
y(t)
SistemasSistemas
Sistema Sistema 
�� RepresentaçãoRepresentação
Matemática: operador linear T { Matemática: operador linear T { · · }}
Diagrama de BlocosDiagrama de Blocos y = y = TT{{xx}}
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4141
Sistema
T
x yUma Entrada, 
Uma SaídaSISO
y y = = TT{{ x x }}
Sistema
T
x1
xn
.
.
.
y1
ym
.
.
.Múltiplas Entradas, 
Múltiplas SaídasMIMO
Classificação de SistemasClassificação de Sistemas
Em relação ao Tempo Em relação ao Tempo 
�� ContínuoContínuo
Entrada(s) e Saída(s) são sinais de tempo contínuoEntrada(s) e Saída(s) são sinais de tempo contínuo
�� DiscretoDiscreto
Entrada(s) e Saída(s) são sinais ou seqüências de tempo Entrada(s) e Saída(s) são sinais ou seqüências de tempo 
discretodiscreto
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4242
Em relação à MemóriaEm relação à Memória
�� Sem MemóriaSem Memória
A saída depende apenas da entrada em cada instante de A saída depende apenas da entrada em cada instante de 
tempo. Ex.: Resistortempo. Ex.: Resistor
�� Com MemóriaCom Memória
Caso contrário. Ex. CapacitorCaso contrário. Ex. Capacitor
∫
∞−
=
t
di
C
tv ττ )(1)(
)(.)( tiRtv =
Classificação de SistemasClassificação de Sistemas
Em relação à Causalidade* Em relação à Causalidade* 
�� CausalCausal
A saída em um tempo arbitrário A saída em um tempo arbitrário t = tt = t00 só depende da só depende da 
entrada para entrada para t t ≤ t≤ t0 0 (não depende de valores futuros)(não depende de valores futuros)�� NãoNão--causalcausal
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4343
Caso contrárioCaso contrário
Em relação à Transformação da Entrada em SaídaEm relação à Transformação da Entrada em Saída
�� LinearLinear
O operador de transformação O operador de transformação TT é é linearlinear
�� NãoNão--LinearLinear
Caso contrárioCaso contrário
R
e
l
a
t
i
v
o
 
a
 
c
a
u
s
a
 
e
 
e
f
e
i
t
o
• Aditividade: admitindo T{x1} = y1 e T{x2} = y2
então: T{x1 + x2} = y1 + y2
• Homogeneidade (Escalamento ou Mudança de Escala):
T{α.x1} = α.y1
• Superposição: T{α.x1 + β.x2} = α.y1 + β.y2
O
p
e
r
a
d
o
r
 
L
i
n
e
a
r
Classificação de SistemasClassificação de Sistemas
Em relação à Variação no Tempo Em relação à Variação no Tempo 
�� InvarianteInvariante
Entrada deslocada no tempo provoca a mesma Saída Entrada deslocada no tempo provoca a mesma Saída 
deslocada no tempo: deslocada no tempo: T{ x(t T{ x(t –– tt00) } = y(t ) } = y(t –– tt00))
�� VarianteVariante
Caso contrárioCaso contrário
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4444
Em relação à Estabilidade (interna ou Em relação à Estabilidade (interna ou externaexterna))
�� Estável Estável -- Entrada limitada e Saída limitada (BIBO*)Entrada limitada e Saída limitada (BIBO*)
Para qualquer entrada limitada Para qualquer entrada limitada | x(t) | | x(t) | ≤ k≤ k11 a saída será a saída será 
limitada limitada | y(t) | | y(t) | ≤ k≤ k2 2 
ondeonde kk11 ee kk22 são constantes reais finitassão constantes reais finitas
�� InstávelInstável
Caso contrárioCaso contrário
B
o
u
n
d
e
d
 
I
n
p
u
t
 
–
B
o
u
n
d
e
d
 
O
u
t
p
u
t
Classificação de SistemasClassificação de Sistemas
Em relação à sua Inversibilidade Em relação à sua Inversibilidade 
�� InversívelInversível
A Entrada aplicada ao sistema pode ser recuperada a partir da A Entrada aplicada ao sistema pode ser recuperada a partir da 
Saída do Sistema Inverso: Saída do Sistema Inverso: TT--11{{yy((tt)} = T)} = T--11{T{{T{xx((tt)}} = )}} = xx(t)(t)
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4545
�� Não InversívelNão Inversível
Caso contrárioCaso contrário
B
o
u
n
d
e
d
 
I
n
p
u
t
 
–
B
o
u
n
d
e
d
 
O
u
t
p
u
t
Sistema
T
x(t) y(t) Sistema
T-1
x(t)
Sistema Inverso
Descrição de SistemasDescrição de Sistemas
Modelo do Sistema Modelo do Sistema 
�� Descrição matemática do comportamento dinâmico Descrição matemática do comportamento dinâmico 
do sistemado sistema
�� Relação EntradaRelação Entrada--SaídaSaída
Equação DiferencialEquação Diferencial
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009
Equação DiferencialEquação Diferencial
Resposta em Frequência, Resposta em Frequência, HH((ωω))
Função de Transferência, Função de Transferência, HH((ss))
�� Característica DescritaCaracterística Descrita
Externa: Resposta ao Impulso, Externa: Resposta ao Impulso, hh((tt) ) 
(medida nos terminais externos do sistema)(medida nos terminais externos do sistema)
Interna: Espaço de Estados Interna: Espaço de Estados 
(descrição completa)(descrição completa)
4646
ExemploExemplo
Circuito RCCircuito RC
�� Entrada: Entrada: x(t) = vx(t) = vSS(t) (t) 
Saída:Saída: y(t) = y(t) = vvCC(t)(t) vS(t)
R
C
i(t)
vC(t)
)()()( :Assim
)(
.)( e )()(.)(
txtytydRC
td
tvdCtitvtiRtv CCS
=+
=+=
Hsu, 1.32, p.50
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4747
)()()( :Assim txty
td
tydRC =+
dt
tdx
R
ty
RCdt
tdy
txdy
C
tyR
di
C
tvtvtiRtv
t
t
CCS
)(1)(1)( :Ou
)()(1)(. :Assim
)(1)( e )()(.)(
=+
=+
=+=
∫
∫
∞−
∞−
ττ
ττ
�� Entrada: Entrada: x(t) = vx(t) = vSS(t)(t)
Saída:Saída: y(t) = i(t)y(t) = i(t)
Uma equação diferencial 
linear de primeira ordem 
com coeficientes 
constantes descreve a 
relação entrada-saída do 
sistema
ExercícioExercício
Para o circuito mostrado a seguir, com L= 1 H, R= 3 Para o circuito mostrado a seguir, com L= 1 H, R= 3 ΩΩ e C = ½ F, e C = ½ F, 
determine a equação diferencial que relaciona Entradadetermine a equação diferencial que relaciona Entrada--Saída, Saída, 
considerando considerando vvss((tt) como variável de Entrada e ) como variável de Entrada e ii((tt) como variável de ) como variável de 
Saída.Saída.
R
i(t)
v (t)
L
)()()()( :LKV tvtvtvtv SCRL =++
1)(tdi t
=++ ∫
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4848
vS(t) C
i(t)
vC(t)
)()(2)(3)(
)()(1)(.)(.
txdttyty
dt
tdy
tvdtti
C
tiR
dt
tdiL
t
S
=++
=++
∫
∫
∞−
∞−
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd )()(2)(3)(2
2
=++ )()()23(
 l,diferenciaoperador como Usando
2 tDxtyDD
d/dtD
=++
Exercícios ExtrasExercícios Extras
Cap. 1 Cap. 1 –– HaykinHaykin e e VeenVeen
�� SinaisSinais
1.1 a, b, c, d1.1 a, b, c, d
1.2 a, b, c, g1.2 a, b, c, g
1.3, 1.5, 1.7, 1.9, 1.11, 1.13, 1.14, 1.161.3, 1.5, 1.7, 1.9, 1.11, 1.13, 1.14, 1.16
Prof. Cláudio A. FleuryProf. Cláudio A. Fleury AgoAgo--20092009 4949
1.3, 1.5, 1.7, 1.9, 1.11, 1.13, 1.14, 1.161.3, 1.5, 1.7, 1.9, 1.11, 1.13, 1.14, 1.16
�� SistemasSistemas
1.28 a, d, f, h, i, k1.28 a, d, f, h, i, k
1.29, 1.38, 1.401.29, 1.38, 1.40
�� MatlabMatlab
1.42, 1.43, 1.44, 1.45, 1.461.42, 1.43, 1.44, 1.45, 1.46