[1] Análise de Fourier - Série_Integral_e_Transformada_de_Fourier

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Paraná - Campus Paranaguá 
Rua Antonio Carlos Rodrigues, 453 – Bairro: Porto Seguro CEP 83.215-750 - Paranaguá – Pr. - Fone/ Fax: (41) 3721-8300 
 
 
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Licenciatura em Física 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Análise de Fourier 
Série, Integral e Transformada de Fourier 
 
 
Prof. Mateus Gomes 
mateus.gomes@ifpr.edu.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2015 
 
 
 
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Sumário 
Análise de Fourier – Série, Integral e Transformada de Fourier 
1.1. Introdução ...................................................................................................... 3 
1.2. Função par, ímpar e periódica ....................................................................... 4 
1.3. Séries de Fourier ............................................................................................ 7 
1.4. Fórmulas de Euler ........................................................................................ 10 
1.5. Extensão periódica de uma função .............................................................. 13 
1.6. Expansão em série de Fourier: meia expansão e um quarto de expansão.. 15 
1.7. Integral de Fourier ........................................................................................ 17 
1.8. Transformada de Fourier .............................................................................. 23 
1.9. Propriedades das transformadas de Fourier ................................................ 26 
1.10. Convolução ............................................................................................... 27 
1.11. Tabela das transformadas de Fourier ....................................................... 28 
1.12. Referências ............................................................................................... 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Análise de Fourier: Série, Integral e 
Transformada de Fourier 
 
1.1. Introdução 
 
A análise de Fourier relaciona-se aos fenômenos periódicos que ocorrem 
com bastante frequência em engenharia e outras aplicações – considere, por 
exemplo, as peças rotativas de máquinas, as correntes elétricas alternadas ou o 
movimento dos planetas. As funções periódicas relacionadas a esses fenômenos 
podem ser complicadas. Tal situação impõe a importante tarefa prática de 
representar essas funções complicadas por meio de funções periódicas simples, a 
saber, senos e cossenos. Essas representações serão as séries infinitas, chamadas 
de Séries de Fourier. 
As séries de Fourier são séries infinitas concebidas para representar funções 
periódicas gerais em termos de funções simples, a saber, de senos e cossenos. Elas 
constituem uma ferramenta muito importante, especialmente na solução de 
problemas envolvendo EDOs e EDPs.A teoria das séries de Fourier é complicada, 
embora veremos que a aplicação destas séries é um tanto simples. As séries de 
Fourier são, num certo sentido, mais universais que as conhecidas séries de Taylor 
do cálculo, porque muitas funções periódicas descontinuas de interesse prático 
podem ser desenvolvidas em séries de Fourier, porém naturalmente, não tem 
representações em séries de Taylor. 
As ideias subjacentes as séries de fourier podem também ser estendidas a 
fenômenos não periódicos. Isso leva às integrais e transformadas de fourier. 
 
 
 
 
 
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1.2. Função par, ímpar e periódica 
 
Devido ao fato das séries de Fourier compreender as funções seno e 
cosseno é necessário relembrar alguns conceitos básicos de funções quanto a 
paridade e periodicidade. 
 
Função par: Para qualquer x do seu domínio: 
- O domínio é simétrico em relação à origem; 
- O gráfico é simétrico em relação ao eixo y; 
 
Exemplo: 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Impar: Para qualquer x do seu domínio: 
    Xxxfxf 
 
- O seu domínio é simétrico em relação á origem; 
- O seu gráfico é simétrico em relação à origem; 
 
 
 
    Xxxfxf 
 
 
 
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Exemplo: 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função periódica: Uma função f será periódica se existir um número real 
0p
 tal 
que quando x estiver no domínio de f, então 
px 
 estará também no domínio de f e 
   xfpxf 
. O menor número real positivo p é chamado de período de f. O 
período fundamental é o menor período que a função pode ter. 
 
Exemplo: 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Operações com funções par e ímpar 
 
Par + par = par 
Par x par = par 
Ímpar + ímpar = ímpar 
Ímpar x ímpar = par 
Ímpar x par = impar 
 
Adicionalmente duas propriedades da integração de funções serão úteis. 
Suponha que f é continua em . 
a) Se f for par     xfxf  então:     

aa
a
dxxfdxxf
0
2 
b) Se f for ímpar     xfxf  então:   0

a
a
dxxf 
 
Exercício: Demonstrar as propriedades (a) e (b) acima. 
 
Uma função pode ser escrita como uma combinação de função par e ímpar. 
 
𝑓 (𝑥) = 
𝑓 (𝑥) + 𝑓 (−𝑥)
2
+ 
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (−𝑥)
2
 
 
𝑓 (𝑥) = 𝑓 𝑃𝐴𝑅(𝑥) + 𝑓 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅(𝑥) 
Observe que: 
𝑓 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅(𝑥) = 
𝑓 (−𝑥) − 𝑓 (𝑥)
2
= 
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (−𝑥)
2
= − 𝑓 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅(𝑥) 
E similarmente: 
𝑓 𝑃𝐴𝑅(−𝑥) = 𝑓 𝑃𝐴𝑅(𝑥) 
 ba,
 
 
 
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1.3. Séries de Fourier 
 
Inicialmente nosso problema consiste em representar várias funções 𝑓 (𝑥) 
de período 2𝜋 em termos das funções simples 
1, cos 𝑥, 𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 2𝑥 , 𝑠𝑒𝑛 2𝑥, … . , cos 𝑛𝑥, 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥, … . 
 
Todas essas funções têm o período 2𝜋, e constituem o chamado sistema 
trigonométrico. 
Uma forma de representar funções é através de polinômios utilizando a série 
de Taylor, por exemplo. Seja uma função 𝑓 (𝑥) infinitamente diferenciável no ponto 
x = a, então a série de Taylor é dada por: 
𝑓 (𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
 (𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
 
(1) 
 
Similarmente podemos representaruma função em séries trigonométricas. 
 
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑛 cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
) + 𝑏𝑛 sen (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
))
∞
𝑛=1
 
(2) 
 
 
A série acima é chamada de Série de Fourier , onde: 𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 são 
coeficientes da série. Podemos notar que (2) é uma função periódica com período 
fundamental1 2 𝑙. Para verificar isso, observe que (2) é uma combinação linear de 
1, cos(𝜋 𝑥 𝑙⁄ ) , sen(𝜋 𝑥 𝑙⁄ ), cos(2𝜋 𝑥 𝑙⁄ ) , sen(2𝜋 𝑥 𝑙⁄ ), e assim por diante e essas 
funções são periódicas com os seguintes períodos: 
 
 
1
 Período fundamental é o menor período (comum) da função. 
 
 
 
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n 1 Arbitrário 
1 cos (
 𝜋 𝑥
𝑙
) 𝑒 sen (
 𝜋 𝑥
𝑙
) 2𝑙, 4𝑙, 6𝑙, 8𝑙, … … 
2 
cos (
2 𝜋 𝑥
𝑙
) 𝑒 sen (
2 𝜋 𝑥
𝑙
) 
𝑙, 2𝑙, 3𝑙, 4𝑙, … … 
3 
cos (
3 𝜋 𝑥
𝑙
) 𝑒 sen (
3 𝜋 𝑥
𝑙
) 
2𝑙
3
 ,
4𝑙
3
, 2𝑙,
8𝑙
3
 
 
Os coeficientes da série de Fourier são dados pelas Fórmulas de Euler. 
 
𝑎0 = 
1
2𝑙
 ∫ 𝑓 (𝑥)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 
(3) 
 
𝑎𝑛 = 
1
𝑙
 ∫ 𝑓 (𝑥) cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 ; 𝑛 = 1,2,3, … .. 
(4) 
 
𝑏𝑛 = 
1
𝑙
 ∫ 𝑓 (𝑥) sen (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 ; 𝑛 = 1,2,3, … .. 
(5) 
 
É importante destacar que 𝑎0 é o valor médio da função 
 
Na próxima seção essas fórmulas serão tratadas em detalhes. Para a série 
de Fourier, Eq. (2), representar uma função é necessário que série convirja, e 
precisamos que a soma da função seja a função original 𝑓 (𝑥). Vários teoremas 
estão disponíveis com as condições suficientes para uma função poder ser 
representada por série de Fourier. A seguir mostraremos um que aborda a grande 
maioria dos casos. 
 
 
 
 
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Teorema: Teorema da convergência de Fourier 
 
Seja 𝑓 com período 2𝑙, e seja 𝑓 e 𝑓′ seccionalmente continua em [−𝑙, 𝑙]. 
Então a série de Fourier converge para 𝑓 (𝑥) quando for continua, e para o valor 
médio [𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−)] 2⁄ (a média dos limites à esquerda e a direita) quando em 
todo ponto x de f é descontinuo. 
 
Exemplos 
1. Onda quadrada 
Considere a “onda quadrada” 𝑓 mostrada na Fig. abaixo, onde 𝑓(𝑥) é 
definida como 2 em 𝑥 = 0, ±𝜋, ±2𝜋, … ... Represente essa função em série de fourier. 
 
 
2. Represente em série de Fourier a função do gráfico apresentado abaixo. 
 
 
 
 
 
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1.4. Fórmulas de Euler 
 
Agora vamos ver de onde surgem as fórmulas de Euler. Assumindo que uma 
função 𝑓 de período 2𝑙 pode ser representada em série de Fourier na seguinte 
forma: 
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑛 cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
) + 𝑏𝑛 sen (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
))
∞
𝑛=1
 
(6) 
 
Nosso objetivo é calcular 𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛, e, portanto precisamos lembrar das 
seguintes integrais elementares: 
 
∫ cos (
𝑚𝑥𝜋
𝑙
) cos (
𝑛𝑥𝜋
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 = {
0 , 𝑚 ≠ 𝑛
𝑙 , 𝑚 = 𝑛 ≠ 0
2𝑙 𝑚 = 𝑛 = 0
 
(7) 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝑥𝜋
𝑙
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝑥𝜋
𝑙
) 𝑑𝑥 = {
0 , 𝑚 ≠ 𝑛
𝑙 , 𝑚 = 𝑛 ≠ 0
𝑙
−𝑙
 
(8) 
 
 
∫ cos (
𝑚𝑥𝜋
𝑙
) sen (
𝑛𝑥𝜋
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 = 0 ∀ 𝑚, 𝑛 
(9) 
 m e n são inteiros. 
 
Exercício: Resolver as integrais 7, 8 e 9. 
 
Vamos resolver a Eq. (6) para 𝑎2, por exemplo. Para isso multiplicamos 
ambos os lados da Eq. (6) por cos(2𝜋𝑥 𝑙⁄ ) e integramos ao longo de um período. 
 
 
 
 
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∫ 𝑓 (𝑥) cos (
2 𝜋 𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 = ∫ [𝑎0 + ∑ (𝑎𝑛 cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
) + 𝑏𝑛 sen (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
))
∞
𝑛=1
]
𝑙
−𝑙
 cos (
2 𝜋 𝑥
𝑙
) 𝑑𝑥 
 
= 𝑎0 ∫ cos (
2𝜋𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 + 𝑎1 ∫ cos (
𝜋𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
cos (
2𝜋𝑥
𝑙
) 𝑑𝑥
+ 𝑏1 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑥
𝑙
) cos (
2𝜋𝑥
𝑙
) 𝑑𝑥 +
𝑙
−𝑙
 𝑎2 ∫ cos (
2𝜋𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
cos (
2𝜋𝑥
𝑙
) 𝑑𝑥
+ 𝑏2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋𝑥
𝑙
) cos (
2𝜋𝑥
𝑙
) 𝑑𝑥 + 𝑎3 ∫ cos (
3𝜋𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
cos (
2𝜋𝑥
𝑙
) 𝑑𝑥
𝑙
−𝑙
+ ⋯. 
 
 
= 0 + 0 + 0 + 𝑎2𝑙 + 0 + 0 + ⋯. 
= 𝑎2𝑙 
Portanto 
𝑎2 = 
1
𝑙
 ∫ 𝑓 (𝑥) cos (
2 𝜋 𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 
(10) 
 
O que pode ser estendido para: 
𝑎𝑛 = 
1
𝑙
 ∫ 𝑓 (𝑥) cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝑙
)
𝑙
−𝑙
𝑑𝑥 ; 𝑛 = 1,2,3, … .. 
(11) 
 
Para encontrar 𝑏𝑛 o procedimento é análogo, entretanto multiplicamos 
ambos os lados da Eq. (6) por sen(2𝜋𝑥 𝑙⁄ ) e integramos ao longo de um período. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: Encontrar 𝑎0. 
 
Exercício: Encontrar 𝑏𝑛. 
 
Exemplos de aplicação da Série de Fourier 
 
1. Oscilador harmônico forçado 
Considere o oscilador mecânico da figura abaixo e governado pela seguinte 
equação diferencial: 
𝑚 𝑥′′ + 𝑐 𝑥′ + 𝑘𝑥 = 𝐹 (𝑡) (12) 
 
 
 
Onde 𝑚 , 𝑐 , 𝑘 são a massa, coeficiente de amortecimento e rigidez da mola, 
respectivamente. Considere 𝑚 = 1 𝑘𝑔, 𝑐 = 0,04 𝑘𝑔/𝑠 e 𝑘 = 15 𝑘𝑔/𝑠2 e considere 
𝐹 (𝑡), em newtons, mostrada na figura a seguir. F consiste de uma sequencia 
interminável de pulsos. Assim expanda F em série de fourier de modo a possibilitar 
resolução por completo da equação diferencial. 
 
 
 
 
 
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2. Viga infinita num solo elástico 
Considere uma viga longa infinitamente sobre uma solo elástic0, apresentada 
na figura abaixo. A constante k é chamada de módulo de fundação (isto é, a rigidez 
da mola por unidade comprimento) e a onda quadrada 𝑤 (𝑥) é o carregamento 
periódico prescrito ( força por unidade de comprimento). Desejamos determinar a 
deflexão vertical 𝑢 (𝑥) . 
 
 
 
1.5. Extensão periódica de uma função 
 
Ao estudar equações diferenciais parciais muitas vezes necessitamos 
extender o domínio de uma função 2l – periódica que está definida apenas sobre o 
meio intervalo [0, 𝑙] ao intervalo completo [−𝑙, 𝑙] para nos beneficiarmos da simetria 
da função no intervalo simétrico. 
A idéia é extender o domínio da função 𝑓 =𝑓(𝑥) que é [0, 𝑙] a todo intervalo 
[−𝑙, 𝑙] de modo que a extensão 𝑓𝑐 seja uma função par ou impar e então construir a 
série de Fourier da extensão. 
Vamos supor que o domínio de 𝑓 = 𝑓(𝑥) seja [0, 𝜋] e além disso 
𝑓 (𝑥) = ∑ 𝐴𝑛 cos(𝑛𝑥)
∞
𝑛=0
 
 
 
 
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Devemos extender esta função 𝑓 = 𝑓(𝑥) a todo intervalo simétrico [−𝜋, 𝜋] 
de modo que a extensão seja uma função par, pois a função dada esta desenvolvida 
em série de cossenos. 
A extensão par pode ser definida por: 
𝑓2(𝑥) = {
𝑓 (−𝑥) 𝑠𝑒 − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
 
Observamos que a extensão 𝑓2 coincide com a função f sobre o intervalo 
[0, 𝜋]. 
Suponhamos agora que o domínio de 𝑓 = 𝑓(𝑥) seja [0, 𝜋] e além disso 
𝑓 (𝑥) = ∑ 𝐵𝑛 sen(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
Devemos extender esta função 𝑓 = 𝑓(𝑥) a todo intervalo simétrico [−𝜋, 𝜋] 
de modo que a extensão seja uma função ímpar, pois a função dada está 
desenvolvida em série de senos. 
A extensão ímpar pode ser definida por: 
𝑓1(𝑥) = {
−𝑓 (−𝑥) 𝑠𝑒 − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
𝑓 (𝑥) 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
 
A extensão 𝑓1 coincide com a função sobre o intervalo [0, 𝜋]. 
Pelas definições acima 𝑓1 = 𝑓1(𝑥) é uma extensão ímpar e 𝑓2 = 𝑓2(𝑥) é uma 
extensão par. Estas extensões são definidas e integráveis sobre o intervalo [−𝜋, 𝜋], 
coincidindo com 𝑓 = 𝑓(𝑥) sobre a “metade do intervalo”. 
Em resumo, quando a extensão for ímpar os coeficientes 𝑎𝑛 ficarão nulos e 
quando a extensão for par os coeficientes 𝑏𝑛 que ficarão nulos. 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
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1) 
a) Determine os coeficientes de Fourier correspondente à função 
𝑓(𝑥) = {
0, −5 < 𝑥 < 0
 3, 0 < 𝑥 < 5
 com período igual a 10. 
 
b) Escreva a série de Fourier correspondente. 
c) Como deveríamos definir 𝑓(𝑥) em 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 e 𝑥 = 5 a fim de que a 
série de Fourier convirja para 𝑓(𝑥) em −5 < 𝑥 < 5 ? 
2) Desenvolva 𝑓 (𝑥) = 𝑥2, 0 < 𝑥 < 2𝜋 em série de Fourier, se o período é 
2𝜋. 
3) Desenvolva 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), 0 < 𝑥 < 𝜋 em série de Fourier de cossenos. 
 
1.6. Expansão em série de Fourier: meia expansão e um 
quarto de expansão 
 
Meia expansão Cosseno 
 
Expansão em meio intervalo cosseno. 
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑛 cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
)) 0 < 𝑥 < 𝐿
∞
𝑛=1
 
(13) 
Onde: 
 
𝑎0 = 
1
𝐿
 ∫ 𝑓 (𝑥)
𝐿
0
𝑑𝑥 
(14) 
 
𝑎𝑛 = 
2
𝐿
 ∫ 𝑓 (𝑥) cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
)
𝐿
0
𝑑𝑥 
(15) 
 
 
 
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Meia expansão seno 
 
Expansão em meio intervalo seno. 
 
𝑓 (𝑥) = ∑ (𝑏𝑛 sen (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
)) 0 < 𝑥 < 𝐿
∞
𝑛=1
 
(16) 
Onde: 
𝑎𝑛 = 
2
𝐿
 ∫ 𝑓 (𝑥) sen (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
)
𝐿
0
𝑑𝑥 
(17) 
 
Expansão quarto de cosseno 
 
𝑓 (𝑥) = ∑ (𝑎𝑛 cos (
𝑛 𝜋 𝑥
2𝐿
)) 0 < 𝑥 < 𝐿
∞
𝑛=1,3,..
 
(18) 
Onde: 
𝑎𝑛 = 
2
𝐿
 ∫ 𝑓 (𝑥) cos (
𝑛 𝜋 𝑥
2𝐿
)
𝐿
0
𝑑𝑥 
(19) 
 
Expansão quarto de Seno 
 
𝑓 (𝑥) = ∑ (𝑏𝑛 sen (
𝑛 𝜋 𝑥
2𝐿
)) 0 < 𝑥 < 𝐿
∞
𝑛=1,3,…
 
(20) 
Onde: 
 
 
 
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17 
𝑎𝑛 = 
2
𝐿
 ∫ 𝑓 (𝑥) sen (
𝑛 𝜋 𝑥
2𝐿
)
𝐿
0
𝑑𝑥 
(21) 
 
Exemplos: 
 
1) Desenvolva 𝑓 (𝑥) = 𝑥, 0 < 𝑥 < 2 em semi-série de: 
a) Senos 
b) Cossenos 
 
1.7. Integral de Fourier 
 
As séries de Fourier são ferramentas poderosas para se lidar com 
problemas envolvendo funções que sejam periódicas ou que tenham interesse 
apenas em intervalos finitos. Visto que, naturalmente, muitos problemas envolvem 
funções que não são periódicas e quem tem interesse sobre todo eixo x, 
perguntamo-nos o que podemos fazer para estender o método das séries de Fourier 
a tais funções. Esta ideia nos levará as integrais de Fourier. 
Até aqui consideramos a teoria e as aplicações do desenvolvimento de uma 
função 𝑓 (𝑥) de período 2L em uma série de Fourier. Uma pergunta que surge 
naturalmente é a seguinte: O que acontece quando 𝐿 → ∞? Veremos que em tal 
caso a série de fourier se torna uma integral de fourier. 
Inicialmente vamos verificar no exemplo abaixo (Onda retangular) o que 
acontece com a série de uma função de período 2L quando 𝐿 → ∞. 
 
Onda retangular 
Considere a onda retangular periódica 𝑓𝐿(𝑥) de período 2𝐿 > 2 dada por 
 
 
 
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𝑓𝐿 = {
0 𝑠𝑒 − 𝐿 < 𝑥 < −1
1 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 1
0 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 𝐿
 
A figura abaixo representa as formas de onda e espectros de amplitude para 
este problema. 
 
 
A parte da esquerda dessa figura mostra esta função para 2𝐿 = 4, 8 ,16 bem 
como a função não periódica 𝑓 (𝑥), que obtemos de 𝑓𝐿 se fizemos 𝐿 → ∞, 
𝑓 (𝑥) = lim
𝐿→∞
𝑓𝐿 (𝑥) = {
1 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 1
0 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 
Investiguemos agora o que acontece aos coeficientes de Fourier de 𝑓𝐿 à 
medida que L aumenta. Como 𝑓𝐿 é par, 𝑏𝑛 = 0 para todo n. Para 𝑎𝑛 temos, pela 
fórmula de Euler: 
 
 
 
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𝑎0 = 
1
2𝐿
 ∫ 𝑑𝑥 = 
1
𝐿
 𝑎𝑛 =
1
𝐿
 ∫ cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥 = 
2
𝐿
∫ cos (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
)
1
0
1
−1
1
−1
𝑑𝑥
= 
2
𝐿
 
𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋 𝐿⁄ )
𝑛𝜋 𝐿⁄
 
Esta sequência de coeficientes de Fourier é chamada de amplitude espectral 
de 𝑓𝐿, porque |𝑎𝑛| é a amplitude máxima da onda 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥 𝐿⁄ ). Na figura 
apresentada acima é apresentado esse espectro para os períodos 2𝐿 = 4, 8 ,16. 
Vemos que, para valores crescentes de L, essas amplitudes tornam-se cada vez 
mais densas sobre a parte positiva do eixo 𝑤𝑛, onde 𝑤𝑛 = 𝑛𝜋 𝐿⁄ . De fato, para 
2𝐿 = 4, 8 ,16, temos1,3,7 amplitudes por "meia escala" da função (2𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑛) (𝐿𝑤𝑛)⁄ . 
Logo, para 2𝐿 = 2𝑘 temos 2𝑘−1 − 1 amplitudes por meia onda, de modo que a 
densidade dessas amplitudes terminará por abarcar todo o eixo 𝑤𝑛 positivo (e cairá 
para zero). 
O resultado deste exemplo nosd a uma impressão intuitiva do que devemos 
esperar se passarmos nossa função especial para uma função arbitrária. 
 
Transição das Séries de Fourier para às Integraisde Fourier 
 
Consideremos agora uma função periódica qualquer 𝑓𝐿(𝑥) de período 2L que 
possa ser representada por uma série de Fourier 
 
𝑓𝐿 (𝑥) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos(𝑤𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 sen(𝑤𝑛𝑥))
∞
𝑛=1
 𝑤𝑛 =
𝑛𝜋
𝐿
 
(22) 
 
e vejamos o que acontece se fizermos 𝐿 → ∞. Juntamente com o exemplo anterior, o 
cálculo que aqui fazemos sugerirá que devemos esperar uma integral (em vez de 
uma série) envolvendo cos(𝑤𝑛𝑥) e sen(𝑤𝑛𝑥), com 𝑤 não mais se restringindo aos 
 
 
 
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múltiplos inteiros 𝑤 = 𝑤𝑛 = 𝑛𝜋 𝐿⁄ de 𝜋 𝐿⁄ , porém assumindo todos os valores. 
Também veremos qual será a forma assumida por uma integral desse tipo. 
Se inserirmos 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛, de acordo comas fórmulas de euler,e representarmos 
a variável de integração por 𝑣, a série de fourier de 𝑓𝐿(𝑥) torna-se: 
 
𝑓𝐿(𝑥) =
1
2𝐿
 ∫ 𝑓𝐿(𝑣)𝑑𝑣 
𝐿
−𝐿
+ 
1
𝐿
 ∑ [cos 𝑤𝑛𝑥 ∫ 𝑓𝐿(𝑣) cos 𝑤𝑛𝑣 𝑑𝑣
𝐿
−𝐿
∞
𝑛=1
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑛𝑥 ∫ 𝑓𝐿(𝑣)𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑣 𝑑𝑣 
𝐿
−𝐿
] 
(23) 
 
Fazemos agora 
∆𝑤 = 𝑤𝑛+1 − 𝑤𝑛 = 
(𝑛 + 1) 𝜋
𝐿
− 
𝑛𝜋
𝐿
= 
𝜋
𝐿
 
Então, 1 𝐿 = ∆𝑤 𝜋⁄⁄ , e podemos escrever a série de Fourier na forma 
 
𝑓𝐿(𝑥) =
1
2𝐿
 ∫ 𝑓𝐿(𝑣)𝑑𝑣 
𝐿
−𝐿
+ 
1
𝜋
 ∑ [(cos 𝑤𝑛𝑥) ∆𝑤 ∫ 𝑓𝐿(𝑣) cos 𝑤𝑛𝑣 𝑑𝑣
𝐿
−𝐿
∞
𝑛=1
+ (𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑛𝑥)∆𝑤 ∫ 𝑓𝐿(𝑣)𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑣 𝑑𝑣 
𝐿
−𝐿
] 
(24) 
 
 
 
 
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Esta representação é válida para qualquer L fixo, arbitrariamente grande, 
porém finito. Façamos agora 𝐿 → ∞. e suponhamos que a função não-periódica 
resultante 
𝑓(𝑥) = lim
𝐿→∞
 𝑓𝐿(𝑥) 
 
seja absolutamente integrável sobre o eixo x, isto é, o seguinte limite (finito) existe: 
lim𝑎→−∞ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 + 
0
𝑎
 lim𝑏→∞ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
𝑏
0
 escrito como ∫ |𝑓(𝑥)|
∞
−∞
𝑑𝑥 
 
Então, 1 𝐿⁄ → 0 e o valor do primeiro termo do lado direito de (23) aproxima-
se de zero. Além disso, ∆𝑤 = 𝜋 𝐿⁄ → 0 e parece plausível que a série infinita em 
(23) torna-se uma integral de 0 a ∞, que representa 𝑓(𝑥), a saber, 
 
𝑓 (𝑥) = 
1
𝜋
 ∫ [cos 𝑤𝑥 ∫ 𝑓 (𝑣)
∞
−∞
cos 𝑤𝑥 𝑑𝑣
∞
0
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑥 ∫ 𝑓 (𝑣)𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑣 𝑑𝑣
∞
−∞
] 𝑑𝑣 
(25) 
 
Se introduzirmos as notações 
 
𝑎 (𝜔) = 
1
𝜋
 ∫ 𝑓 (𝑣) cos(𝜔𝑣)𝑑𝑣
∞
−∞
 
(26) 
 
 
𝑏 (𝜔) = 
1
𝜋
 ∫ 𝑓 (𝑣) s 𝑒𝑛(𝜔𝑣)𝑑𝑣
∞
−∞
 
(27) 
 
 
 
 
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Então temos a Integral de Fourier, dada por: 
 
𝑓 (𝑥) = ∫[𝑎 (𝜔) cos(𝜔𝑥) + 𝑏 (𝜔)𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑥)]
∞
0
𝑑𝑤 
(28) 
 
 
Exemplos 
 
1. Pulso único 
Encontre a representação por integral de Fourier da função 
𝑓(𝑥) = {
1 𝑠𝑒 |𝑥| < 1
0 𝑠𝑒 |𝑥| > 1
 
 
2. Viga infinita num solo elástico 
Vamos considerar um problema semelhante ao apresentado anteriormente, 
entretanto temos agora como carregamento um pulso retangular não periódico 
apresentado na figura a seguir: 
 
 
A equação diferencial que representa esse fenômeno é dada por: 
𝐸𝐼𝑢′′′′ + 𝑘𝑢 = 𝑤(𝑥) 
Encontre uma equação para deflexão, utilizando a integral e Fourier. 
 
 
 
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1.8. Transformada de Fourier 
 
Uma transformada integral é uma transformação na forma de uma integral 
que produz, a partir de funções dadas, novas funções dependentes de uma variável 
diferente. O principal interesse dessas transformações é seu uso como ferramentas 
de resolução de EDOs, EDPs e equações integrais, além do fato de elas 
frequentemente também serem de valia na manipulação e nas aplicações das 
funções especiais. A transformada de Laplace é desse tipo, sendo, de longe a de 
maior importância em engenharia. As próximas transformadas em ordem de 
importância são as de Fourier. Veremos que é possível, de uma maneira um tanto 
simples, obter essas transformadas a partir da integral de Fourier. 
 
Transição da Integral de Fourier para a transformada de Fourier 
 
Nosso ponto de partida é a Integral de Fourier, dada pelas Eqs. (26),(27) e 
(28). Como a serie de Fourier complexa pode ser expressa na forma exponencial a 
integral de Fourier, Eq. (28) também pode ser expressa na forma complexa 
exponencial. Portanto substituímos as Eqs. (26) e (27) na Eq. (28), e mudamos a 
variável de integração para não confundir com x da Eq. (27) Assim: 
 
𝑓 (𝑥) =
1
𝜋
 ∫ { ∫ 𝑓 (𝜀)[cos(𝜔𝜀) cos(𝜔 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝜀)𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑥)]𝑑𝜀
∞
−∞
}
∞
0
𝑑𝜔 
Como cos(𝐴 − 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵, portanto reescrevemos a equação 
acima como: 
𝑓 (𝑥) =
1
𝜋
 ∫ ∫ 𝑓 (𝜀) 𝑐𝑜𝑠(𝜔(𝜀 − 𝑥))
∞
−∞
𝑑𝜀
∞
0
𝑑𝜔 
Para introduzir a forma complexa exponencial reescrevemos a equação acima 
como: 
 
 
 
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𝑓 (𝑥) =
1
𝜋
 ∫ ∫ 𝑓 (𝜀) 
𝑒𝑖𝜔(𝜀−𝑥) + 𝑒−𝑖𝜔(𝜀−𝑥)
2
∞
−∞
𝑑𝜀
∞
0
𝑑𝜔 
Ou ainda 
 
𝑓 (𝑥) = 
1
2𝜋
 ∫ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒𝑖𝜔(𝜀−𝑥)𝑑𝜀 𝑑𝜔
∞
−∞
∞
0
+ 
1
2𝜋
 ∫ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒−𝑖𝜔(𝜀−𝑥)𝑑𝜀 𝑑𝜔
∞
−∞
∞
0
 
 
Para combinar os dois termos do lado direito, vamos mudar a variável de integração 
𝜔 para – 𝜔 no primeiro termo, assim: 
 
𝑓 (𝑥) = 
1
2𝜋
 ∫ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒−𝑖𝜔(𝜀−𝑥)𝑑𝜀 (−𝑑𝜔)
∞
−∞
−∞
0
+ 
1
2𝜋
 ∫ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒−𝑖𝜔(𝜀−𝑥)𝑑𝜀 𝑑𝜔
∞
−∞
∞
0
 
 
𝑓 (𝑥) = 
1
2𝜋
 ∫ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒−𝑖𝜔(𝜀−𝑥)𝑑𝜀 𝑑𝜔
∞
−∞
0
−∞
+ 
1
2𝜋
 ∫ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒−𝑖𝜔(𝜀−𝑥)𝑑𝜀 𝑑𝜔
∞
−∞
∞
0
 
 
𝑓 (𝑥) = 
1
2𝜋
 ∫ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒−𝑖𝜔(𝜀−𝑥)𝑑𝜀 𝑑𝜔
∞
−∞
∞
−∞
 
 
𝑓 (𝑥) = 
1
2𝜋
 ∫ [ ∫ 𝑓(𝜀)𝑒−𝑖𝜔𝜀𝑑𝜀 
∞
−∞
]
∞
−∞
𝑒𝑖𝜔𝑥 𝑑𝜔 
 
Podemos separar em duas partes. 
𝑓 (𝑥) = 𝑎 ∫ 𝑐 (𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑥𝑑𝜔
∞
−∞
 
 
 
 
 
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𝑐 (𝜔) = 𝑏 ∫ 𝑓 (𝜀)𝑒−𝑖𝜔𝜀𝑑𝜀
∞
−∞
 
Considerando 𝑎 = 1 2𝜋⁄ e 𝑏 = 1 temos: 
 
𝑓 (𝑥) =
1
2𝜋
 ∫ 𝑐 (𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑥𝑑𝜔
∞
−∞
 
(29) 
 
𝑐 (𝜔) = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥
∞
−∞
 
(30) 
 
A Eq. (30) define a Transformada de Fourier e a Eq. (29) define a 
Transformada inversa de Fourier. Portantotemos: 
𝐹 {𝑓 (𝑥)} = 𝑓(𝜔) = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥
∞
−∞
 
(31) 
 
𝐹−1 {𝑓 (𝜔)} = 𝑓(𝑥) =
1
2𝜋
 ∫ 𝑓 (𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑥𝑑𝜔
∞
−∞
 
(32) 
 
Exemplo: 
 
1) Pulso retangular 
Considere um pulso retangular 𝑓 (𝑥) = 𝐻 (𝑥 + 1) − 𝐻(𝑋 − 1), onde H denota 
a função de Heaviside. O gráfico dessa função é apresentado abaixo, calcule a 
transformada de Fourier para essa função. 
 
 
 
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2. Calcule a transformada de Fourier de 𝑓(𝑥) = 𝐻(𝑥)𝑒−𝑎𝑥. 
 
1.9. Propriedades das transformadas de Fourier 
 
Linearidade 
𝐹 {𝛼 𝑓 + 𝛽 𝑔} = 𝛼 𝐹 {𝑓} + 𝛽 𝐹 {𝑔} (32) 
 
𝐹−1 {𝛼 𝑓 + 𝛽 �̂�} = 𝛼 𝐹−1 {𝑓} + 𝛽 𝐹−1 {�̂�} (33) 
 
Transformada da n-ésima derivada 
 
𝐹 {𝑓(𝑛)(𝑥)} = (𝑖 𝜔)𝑛 𝑓(𝜔) , 𝑛 = 0,1,2,3 … (34) 
 
Fórmulas de Translação 
 
𝐹 {𝑓 (𝑥 − 𝑎)} = 𝑒−𝑖𝑎𝜔𝑓(𝜔) (35) 
 
𝐹−1 {𝑓 (𝜔 − 𝑎)} = 𝑒𝑖𝑎𝑥𝑓(𝑥) (36) 
 
Exemplo: 
 
 
 
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1) Dado 𝑓 (𝑥) = 4 𝑒−|𝑥| − 5𝑒−3|𝑥+2| encontre 𝑓(𝜔). 
2) Dado 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑒−4𝑥
2
 encontre 𝑓(𝜔). 
3) Dado 𝑓 (𝜔) = 𝑒−2|𝜔| encontre 𝑓 (𝑥). 
4) Calcule 𝐹−1 {
1
𝜔2+4𝜔+13
}. 
 
1.10. Convolução 
 
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = ∫ 𝑓 (𝑥 − 𝜀)𝑔(𝜀)𝑑𝜀
∞
−∞
 
(37) 
 
𝐹 {𝑓 ∗ 𝑔} = 𝑓(𝜔)�̂�(𝜔) (38) 
 
𝐹−1{𝑓 . �̂�} = 𝑓 ∗ 𝑔 (39) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.11. Tabela das transformadas de Fourier 
 
 
 
 
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1.12. Referências 
 
 [1] CHURCHILL, RUEL V. Séries de Fourier e Problemas de valor de 
contorno,Editora Guanabara, Rio de Janeiro, 1978. 
[2] GREENBERG, MICHAEL D. Advanced Engineering Mathematics, 2ª ed 
Prentice Hall, 1998. 
[3] KREYSZIG, E. Matemática Superior - Volumes 1, 2 e 3. LTC, Rio de Janeiro, 
1995. 
[4] SPIEGEL, MURRAY R., Análise de Fourier, Coleção Schaum,Editora McGRAW-
Hill do Brasil,São Paulo, 1976. 
[5] ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. .Matemática Avançada para Engenharia. V 1,2 e 3. 
3 ed., Porto Alegre, Bookman.