Aula 6 Analise Diferencial do Movimento dos Fluidos 2018 1 20180611 0018

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Análise Diferencial do 
Movimento dos Fluidos
Daniel O. Tasaico
Eng. Mecânico, M.Sc. Engenharia Ambiental
A Equação Diferencial de 
Conservação de Massa
Volume de controle elementar, cartesiano e fixo que mostra 
as vazões em massa de entrada e de saída nas faces, x.
A Equação Diferencial de 
Conservação de Massa
 Para o volume de controle, como o escoamento em cada lado 
é aproximadamente unidimensional, a relação de 
conservação de massa é:
∂ρ
∂tVC∫ d
oV + ρiAiVi( )sai
i
∑ − ρiAiVi( )ent = 0
i
∑
Como o elemento é muito pequeno:
∂ρ
∂tVC∫ d
oV ≈ ∂ρ
∂t dx dy dz
A Equação Diferencial de 
Conservação de Massa
Para a conservação da massa:
ρu ρu+ ∂ρu ∂x( )dx
Face esquerda Face direita
A Equação Diferencial de 
Conservação de Massa
Os seis fluxos (em todas as caras do elemento diferencial):
A lei de conservação de massa
Substituindo na lei de conservação de massa:
∂ρ
∂tVC∫ d
oV + ρiAiVi( )sai
i
∑ − ρiAiVi( )ent = 0
i
∑
Obtemos:
∂p
∂t dxdydz+
∂
∂x ρu( )dxdydz+
∂
∂y ρv( )dxdydz+
∂
∂z ρw( )dxdydz = 0
Onde o volume elementar se cancela em todos os termos.
Conservação de massa para um volume 
de controle infinitesimal ou Equação da 
Continuidade
∂ρ
∂t +
∂
∂x ρu( )+
∂
∂y ρv( )+
∂
∂z ρw( ) = 0
Somente requer que a massa específica e a velocidade sejam 
funções contínuas. O escoamento pode ser permanente ou não, 
viscoso ou sem atrito, compressível ou incompressível. A 
equação não leva em conta nenhuma fonte ou sumidouro 
dentro do elemento.
Equação da Continuidade
∇ = iˆ ∂
∂x + jˆ
∂
∂y + kˆ
∂
∂z
∂
∂x ρu( )+
∂
∂y ρv( )+
∂
∂z ρw( ) ≡ ∇. ρV( )
∂ρ
∂t +∇. ρV( ) = 0
Divergente do vetor ǷV
Forma compacta da Equação da Continuidade:
Equação da Continuidade
n Casos particulares:
n Para um fluido incompressível, ρ = constante; a massa 
específica não é função nem das coordenadas 
espaciais nem do tempo. Neste caso, a eq. da 
continuidade é simplificada para:	
∂u
∂x +
∂v
∂y +
∂w
∂z =∇.V = 0
O campo de velocidade 
V(x,y,z,t) para escoamento 
incompressível deve satisfazer
∇.V = 0
Equação da Continuidade
n Para escoamento permanente, todas as propriedades 
dos fluidos são, por definição, independentes do 
tempo; assim, e, no máximo, 															∂ρ ∂t = 0 ρ = ρ x, y, z( )
∂ρu
∂x +
∂ρv
∂y +
∂ρw
∂z =∇. ρV = 0
Exercícios
n Para um escoamento bidimensional no plano xy, a 
componente x da velocidade é dada por u = Ax. 
Determine uma possível componente y para 
escoamento incompressível. Quantas componentes y 
são possíveis?
Exercícios
n Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel 
comporta-se como um dispositivo pistão-cilindro. No instante em 
que o pistão está L = 0,15 m afastado da extremidade fechada do 
cilindro, a massa específica do gás é uniforme em ρ = 18 kg/m3 e 
o pistão começa a se mover, afastando-se da extremidade fechada 
do cilindro com V = 12 m/s. Considere como modelo simples que 
a velocidade do gás é unidimensional e proporcional à distância 
em relação à extremidade fechada; ela varia linearmente de zero, 
na extremidade, a u = V no pistão. Encontre a taxa de variação 
da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma 
expressão para a massa específica média como uma função do 
tempo.
Exercícios
* Sob que condições o campo de velocidade 
V = a1x + b1y+ c1z( ) iˆ + a2x + b2y+ c2z( ) jˆ + a3x + b3y+ c3z( ) kˆ
em que a1, b1,... = cte., representa um escoamento 
incompressível que conserva a massa?
* Um campo de velocidade incompressível é dado por
u = a(x2 – y2) , v desconhecida, w = b, em que a e b são 
constantes. Qual deve ser a forma do componente v da 
velocidade?
Exercícios
n Um rotor centrífugo de 40 cm de diâmetro é usado 
para bombear hidrogênio a 15°C e 1 atm de pressão. 
Calcule a rotação máxima possível do rotor para 
evitar efeitos de compressibilidade nas pontas das pás.
Coordenadas Polares 
Cilíndricas
n Volume de controle em coordenadas cilíndricas.
No centro: massa específica ρ, velocidade V = eˆrVr + eˆθVθ + kˆVz
Vo l u m e d e c o n t r o l e 
d i f e r e n c i a l e m 
coordenadas cilíndricas.
Coordenadas Polares 
Cilíndricas
Coordenadas Polares 
Cilíndricas
A taxa líquida de fluxo de massa para fora da superfície de controle é dada 
por:
ρV.dA = ρVr + r
∂ρVr
∂r +
∂ρVθ
∂θ
+ r ∂ρVz
∂z
"
#$
%
&'SC
∫ dr dθ dz
A massa dentro do volume de controle, em qualquer instante, é o produto 
da massa por unidade de volume, ρ, pelo volume, rdθdrdz. Desse modo, a 
taxa de variação da massa no interior do volume de controle é:
∂
∂t ρd∀ =
∂ρ
∂t r dθ dr dzVC∫
Coordenadas Polares 
Cilíndricas
 Em coordenadas cilíndricas, a equação diferencial para a conservação da 
massa é então
ρVr + r
∂ρVr
∂r +
∂ρVθ
∂θ
+ r ∂ρVz
∂z + r
∂ρ
∂t = 0
ou
∂ rρVr( )
∂r +
∂ρVθ
∂θ
+ r ∂ρVz
∂z + r
∂ρ
∂t = 0
1
r
∂ rρVr( )
∂r +
1
r
∂ ρVθ( )
∂θ
+
∂ ρVz( )
∂z +
∂ρ
∂t = 0
Dividindo por r:
Coordenadas Polares 
Cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas:
∇ = eˆr
∂
∂r + eˆθ
1
r
∂
∂θ
+ kˆ ∂
∂z
A equação também pode ser escrita em notação vetorial como:
∇.ρV + ∂ρ
∂t = 0
Para um fluido incompressível, ρ = constante, e a equação se 
reduz:
1
r
∂ rVr( )
∂r +
1
r
∂ Vθ( )
∂θ
+
∂Vz
∂z =∇.V = 0
Coordenadas Polares 
Cilíndricas
Para escoamento permanente, a equação reduz-se a:
1
r
∂ rρVr( )
∂r +
1
r
∂ ρVθ( )
∂θ
+
∂ ρVz( )
∂z =∇.ρV = 0
Exemplo
 Considere um escoamento radial e unidimensional, no plano 
rθ, caracterizado por Vr = f(r) e Vθ= 0. determine as 
condições sobre f(r) necessárias para que o escoamento seja 
incompressível.
Campo de Aceleração de um 
Fluido
Forma vectorial cartesiana de um campo de velocidades que 
varia no espaço e no tempo:
V r, t( ) = iˆ u x, y, z, t( )+ jˆ v x, y, z, t( )+ kˆ w x, y, z, t( )
Sistema referencial euleriano.
Campo vetorial de aceleração a do escoamento:
a = dVdt = iˆ
du
dt + jˆ
dv
dt + kˆ
dw
dt
Campo de Aceleração de um 
Fluido
Aplicando a regra da cadeia:
du x, y, z, t( )
dt =
∂u
∂t +
∂u
∂x
∂x
∂t +
∂u
∂y
∂y
∂t +
∂u
∂z
∂z
∂t
u = dxdt
v = dydt
w = dzdt
Por definição:
du
dt =
∂u
∂t +u
∂u
∂x + v
∂u
∂y +w
∂u
∂z =
∂u
∂t + V.∇( )u
Cinemática: Aceleração de uma Partícula 
Fluida em um Campo de Velocidade
a = dVdt =
∂V
∂t + u
∂V
∂x + v
∂V
∂y +w
∂V
∂z
"
#
$
%
&
'=
∂V
∂t + V.∇( )V
Aceleração Local Aceleração Convectiva
D e s a p a r e c e s e o 
e s c o a m e n t o f o r 
permanente.
Aparece quando a partícula se desloca por regiões com 
velocidade variável no espaço como em um bocal ou 
difusor
axp =
Du
Dt = u
∂u
∂x + v
∂u
∂y +w
∂u
∂z +
∂u
∂t
ayp =
Dv
Dt = u
∂v
∂x + v
∂v
∂y +w
∂v
∂z +
∂v
∂t
azp =
Dw
Dt = u
∂w
∂x + v
∂w
∂y +w
∂w
∂z +
∂w
∂t
Cinemática: Aceleração de uma Partícula 
Fluida em um Campo de Velocidade
O conceito de Derivada Temporal Total (derivada 
substancial ou material) pode ser aplicado a qualquer 
variável.
∇ = iˆ ∂
∂x + jˆ
∂
∂y + kˆ
∂
∂z Operador Nabla
V.∇ = u ∂
∂x + v
∂
∂y +w
∂
∂z
Exercício
Dado o campo de velocidades euleriano
V = 3t iˆ + xz jˆ + ty2kˆ
encontre a aceleração total de uma partícula.
Cinemática: Aceleração de uma Partícula 
Fluida em um Campo de Velocidade
arp =Vr
∂Vr
∂r +
Vθ
r
∂Vr
∂θ
−
Vθ2
r +Vz
∂Vr
∂z +
∂Vr
∂t
aθp =Vr
∂Vθ
∂r +
Vθ
r
∂Vθ
∂θ
+
VrVθ
r +Vz
∂Vθ
∂z +
∂Vθ
∂t
azp =Vr
∂Vz
∂r +
Vθ
r
∂Vz
∂θ
+Vz
∂Vz
∂z +
∂Vz
∂t
Em coordenadas cilíndricas:Cinemática: Aceleração de uma Partícula 
Fluida em um Campo de Velocidade
Escoamento bidimensional: V=V(x,y,t)
a = DVDt =
∂V
∂t + u
∂V
∂x + v
∂V
∂y
"
#
$
%
&
'
Escoamento permanente em três dimensões: 
Escoamento unidimensional: V=V(x,t)
a = DVDt =
∂V
∂t +u
∂V
∂x
DV
Dt = u
∂V
∂x + v
∂V
∂y +w
∂V
∂z
Exemplo: Aceleração de Partícula nas 
Descrições Euleriana e Lagrangiana
V =V1 1+ x L( )!" #$iˆ
Considere o escoamento bidimensional, permanente e incompressível 
através do canal plano convergente mostrado. A velocidade sobre a linha 
de centro horizontal (eixo x) é dada por 
Determine uma expressão para a aceleração de uma partícula movendo-se 
ao longo da linha de centro. Use (a) o método euleriano e (b) o método 
lagrangiano aceleração quando a partícula está no início e no final do 
canal.
Equação da Quantidade de 
Movimento
Aplicamos a segunda lei de Newton a uma partícula fluida 
infinitesimal de massa dm.
Para um sistema:
F = dPdt
!
"
#
sistema
onde a quantidade de movimento, P, do sistema é dada por
Psistema = V dmmassa sistema( )∫
Equação da Quantidade de 
Movimento
 Para um sistema infinitesimal de massa dm, a segunda 
lei de Newton pode ser escrita
dF = dm dVdt
!
"
#
sistema
Introduzindo a expressão para a aceleração de um elemento 
de fluido de massa dm em movimento num campo de 
velocidade, a lei de Newton pode ser escrita na seguinte 
forma vetorial
dF = dm DVDt
!
"
#
sistema
= dm u∂V
∂x + v
∂V
∂y +w
∂V
∂z +
∂V
∂t
%
&
'
(
)
*
Força Atuando sobre uma partícula Fluida
 Consideremos a componente x da força atuando sobre um 
elemento diferencial de massa dm e volume dV=dxdydz. 
Somente aquelas tensões que atuam na direção x darão 
origem a forças de superfície na direção x. 
Força Atuando sobre uma partícula Fluida
 Se as tensões no centro do 
e lemento d i ferenc ia l 
forem tomadas como σxx, 
τyx e τzx, então as tensões 
atuando na direção x em 
cada face do elemento 
( o b t i d a s p o r u m a 
expansão por série de 
Taylor em torno do 
centro do elemento) serão 
conforme mostrado na 
figura.
Força Atuando sobre uma partícula Fluida
 Para obter a força de superfície resultante na direção x, 
dFSx, devemos somar as forças nessa direção.
dFSx = σ xx +
∂σ xx
∂x
dx
2
"
#
$
%
&
'dydz− σ xx −
∂σ xx
∂x
dx
2
"
#
$
%
&
'dydz
+ τ yx +
∂τ yx
∂y
dy
2
"
#
$
%
&
'dxdz− τ yx −
∂τ yx
∂y
dy
2
"
#
$
%
&
'dxdz
+ τ zx +
∂τ zx
∂z
∂z
2
"
#
$
%
&
'dxdy− τ zx −
∂τ zx
∂z
dz
2
"
#
$
%
&
'dxdy
dFSx =
∂σ xx
∂x +
∂τ yx
∂y +
∂τ zx
∂z
"
#
$
%
&
'dxdydz
Força Atuando sobre uma partícula Fluida
 Quando a força da gravidade é a única força de corpo 
atuante, a força de corpo por unidade de massa é igual 
a 
g
A força resultante na direção x, dFx, é dada por
dFx = dFBx + dFSx = ρgx +
∂σ xx
∂x +
∂τ yx
∂y +
∂τ zx
∂z
"
#
$
%
&
'dxdydz
Similarmente para as componentes da força nas direções y e 
z:
dFy = dFBy + dFSy = ρgy +
∂τ xy
∂x +
∂σ yy
∂y +
∂τ zy
∂z
"
#
$
%
&
'dxdydz
dFz = dFBz + dFSz = ρgz +
∂τ xz
∂x +
∂τ yz
∂y +
∂σ zz
∂z
"
#
$
%
&
'dxdydz
Equação Diferencial da Quantidade de 
Movimento
 Se substituirmos as expressões para as componentes dFx, 
dFy e dFz, da força dF atuando sobre o elemento de massa 
dm, nas componentes x, y e z da força na equação da 
segunda lei de Newton:
dF = dm DVDt
!
"
#
sistema
= dm u∂V
∂x + v
∂V
∂y +w
∂V
∂z +
∂V
∂t
%
&
'
(
)
*
Obteremos as equações diferenciais do movimento:
ρgx +
∂σ xx
∂x +
∂τ yx
∂y +
∂τ zx
∂z = ρ
∂u
∂t +u
∂u
∂x + v
∂u
∂y +w
∂u
∂z
"
#
$
%
&
'
ρgy +
∂τ xy
∂x +
∂σ yy
∂y +
∂τ zy
∂z = ρ
∂v
∂t +u
∂v
∂x + v
∂v
∂y +w
∂v
∂z
"
#
$
%
&
'
ρgz +
∂τ xz
∂x +
∂τ yz
∂y +
σ zz
∂z = ρ
∂w
∂t +u
∂w
∂x + v
∂w
∂y +w
∂w
∂z
"
#
$
%
&
'
Equação Diferencial da Quantidade de 
Movimento
 As equações anteriores são as equações 
diferenciais do movimento de qualquer 
partícula fluida satisfazendo a hipótese do 
contínuo. Antes que possam ser usadas na 
solução para u, v e w, expressões adequadas 
para as tensões devem ser obtidas em 
termos dos campos de velocidade e de 
pressão.
Fluidos Newtonianos: Equação 
de Navier-Stokes
 Sabemos que para um escoamento newtoniano, 
unidimensional e laminar, a tensão de cisalhamento é 
proporcional à taxa de deformação angular:
τ yx =
du
dy
Para um escoamento tridimensional, a situação é mais 
complicada. Necessitamos usar expressões mais complexas 
para a taxa de deformação angular.
Fluidos Newtonianos: Equação de 
Navier-Stokes
 As tensões podem ser expressas em termos de gradientes 
de velocidade e de propriedades dos fluidos, em 
coordenadas retangulares, como segue:
τ xy = τ yx = µ
∂v
∂x +
∂u
∂y
"
#
$
%
&
'
τ yz = τ zy = µ
∂w
∂y +
∂v
∂z
"
#
$
%
&
'
τ zx = τ xz = µ
∂u
∂z +
∂w
∂x
"
#
$
%
&
'
σ xx = −p−
2
3µ∇.

V + 2µ ∂u
∂x
σ yy = −p−
2
3µ∇.

V + 2µ ∂v
∂y
σ zz = −p−
2
3µ∇.

V + 2µ ∂w
∂z
onde p é a pressão termodinâmica local. A pressão 
termodinâmica está relacionada com a massa específica e com 
a temperatura por meio de relações termodinâmicas 
usualmente chamadas de equações de estado.
 Introduzindo essas expressões para as tensões nas equações 
diferenciais do movimento, obtemos:
ρ
Du
Dt = ρgx −
∂p
∂x +
∂
∂x µ 2
∂u
∂x −
2
3∇.

V$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/+
∂
∂y µ
∂u
∂y +
∂v
∂x
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
+
∂
∂z µ
∂w
∂x +
∂u
∂z
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
ρ
Dv
Dt = ρgy −
∂p
∂y +
∂
∂x µ
∂u
∂y +
∂v
∂x
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/+
∂
∂y µ 2
∂v
∂y −
2
3∇.

V$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
+
∂
∂z µ
∂v
∂z +
∂w
∂y
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
ρ
Dw
Dt = ρgz −
∂p
∂z +
∂
∂x µ
∂w
∂x +
∂u
∂z
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/+
∂
∂y µ
∂w
∂z +
∂w
∂y
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
+
∂
∂z µ 2
∂w
∂z −
2
3∇.

V$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
EQUAÇÕES 
DE NAVIER-
STOKES
Fluidos Newtonianos: Equação de Navier-
Stokes
 As equações anteriores, quando aplicadas ao escoamento 
incompressível com viscosidade constante, se reduzem a:
ρ
∂u
∂t +u
∂u
∂x + v
∂u
∂y +w
∂u
∂z
"
#
$
%
&
'= ρgx −
∂p
∂x +µ
∂2u
∂x2 +
∂2u
∂y2 +
∂2u
∂z2
"
#
$
%
&
'
ρ
∂v
∂t +u
∂v
∂x + v
∂v
∂y +w
∂v
∂z
"
#
$
%
&
'= ρgy −
∂p
∂y +µ
∂2v
∂x2 +
∂2v
∂y2 +
∂2v
∂z2
"
#
$
%
&
'
ρ
∂w
∂t +u
∂w
∂x + v
∂w
∂y +w
∂w
∂z
"
#
$
%
&
'= ρgz −
∂p
∂z +µ
∂2w
∂x2 +
∂2w
∂y2 +
∂2w
∂z2
"
#
$
%
&
'
Equações de Navier-Stokes para um 
Fluido Newtoniano com Viscosidade 
Constante
Não têm uma solução geral. Somente se tem soluções para 
poucos casos muito especiais. Se resolvem por métodos 
computacionais.
ρ
∂V
∂t +V. ΔV
#
$
%
&
'
(= ρg −∇p+µ∇2V
∇2 =
∂2
∂x2 +
∂2
∂y2 +
∂2
∂z2
Laplaciano
g − 1
ρ
∇p+ν∇2V = ∂V
∂t +V.∇V
Fluidos Newtonianos: Equação de Navier-
Stokes
 Para o caso de escoamento sem atrito (µ = 0), as equações 
do movimento reduzem-seà equação de Euler,
ρ
d

V
dt = ρ
g −∇p
Exemplos
n Fluxo permanente, laminar e viscoso em um tubo 
horizontal.
n Fluxo passando sobre uma placa plana com impulso 
inicial. 
n Escoamento da camada limite ao longo de uma placa 
plana.
Exemplo
n Um líquido escoa para baixo sobre uma superfície 
plana inclinada em um filme laminar, permanente, 
completamente desenvolvido e de espessura h. 
Simplifique as equações da continuidade e de Navier-
Stokes para modelar esse campo de escoamento. 
Obtenha expressões para o perfil de velocidades do 
líquido, a distribuição de tensões de cisalhamento, a 
vazão volumétrica e a velocidade média. Relacione a 
espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica 
em um filme de água com espessura h = 1 mm, 
escoando sobre uma superfície de largura b = 1 m, 
inclinada de θ = 15° em relação à horizontal.