Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
MAT001 - CA´LCULO 1 - CCO TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS CAPI´TULO 3: INTEGRAIS SEGUNDO SEMESTRE DE 2014 PROF. JAIR 1. Obter (a) I = ∫ 3 √ xdx. Resp.: 3 4 3 √ x4 + c (b) I = ∫ ( 3x2 + x+ 1 x3 ) dx. Resp.: x3 + x 2 2 − 1 2x2 + c (c) I = ∫ ( 2 x + 3 x2 ) dx. Resp.: 2 ln |x| − 3 x + c (d) I = ∫ (√ x+ 1 x2 ) . Resp.: 2 3 √ x3 − 1 x + c (e) I = ∫ xsenx2dx. Resp.: −1 2 cosx2 + c (f) I = ∫ x2ex 3 dx. Resp.: 1 3 ex 3 + c (g) I = ∫ 2 x+3 dx. Resp.: 2 ln |x+ 3| (h) I = ∫ x 1+4x2 dx. Resp.: 1 8 ln (1 + 4x2) + c (i) I = ∫ x (1+4x2)2 dx. Resp.: − 1 8(1+4x2) + c (j) I = ∫ sen2xcosxdx. Resp.: 1 3 sen3x+ c (k) I = ∫ senx √ 3 + cosxdx. Resp.: −2 3 √ (3 + cosx)3 + c (l) I = ∫ sec2x 3+2tgx dx. Resp.: 1 2 ln |3 + 2tgx|+ c (m) I = ∫ 2x−3 1+4x2 dx. Resp.: 1 4 ln(1 + 4x2)− 3 2 arctg2x+ c 2. Obter (a) I = ∫ x+1 x2−4x+6dx. Resp.: 1 2 ln (x2 − 4x+ 6) + 3√ 2 arctg ( x−2√ 2 ) + c (b) I = ∫ (sen3xcos3x− e5x+1 + cotg7x)dx. Resp.: 1 6 sen23x− 1 5 e5x+1 + 1 7 ln |sen7x|+ c (c) I = ∫ [(1 + cos6x)2 + tg3x]dx. Resp.: 3x 2 + sen6x 3 + sen12x 24 + tg 2x 2 + ln |cosx|+ c (d) I = ∫ (x+ 10)20(x+ 2)dx, usando integrac¸a˜o por partes. Resp.: (x+10)21 21 · 21x+34 22 (e) I = ∫ x2−2x+5 ex dx. Resp.: −e−x(x2 + 5) + c 1 (f) I = ∫ eaxsenbxdx. Resp.: b a2+b2 eax ( asenbx b − cosbx)+ c (g) I = ∫ xm lnxdx. Resp.: x m+1 m+1 ( lnx− 1 m+1 ) + c (h) I = ∫ sen(lnx)dx. Resp.: x 2 [sen(lnx)− cos(lnx)] + c (i) I = ∫ arctg2xdx. Resp.: xarctg2x− 1 4 ln(1 + 4x2) + c (j) I = ∫ ln(x2 + 16)dx. Resp.: x ln(x2 + 16)− 2x+ 8arct (x 4 ) + c (k) I = ∫ ex+3 e2x−4dx. Resp.: −3x4 + 18 ln(ex + 2) + 58 ln |ex − 2|+ c (l) I = ∫ √ x2+1 x2 dx. Resp.: − √ x2+1 x + ln ∣∣√x2 + 1 + x∣∣+ c (m) I = ∫ x3 √ 4 + x2dx. Resp.: √ (4+x2)5 5 − 4 3 √ (4 + x2)3 + c (n) I = ∫ xdx√ 4x−x2 . Resp.: 2arcsen ( x−2 2 )−√4x− x2 + c 3. Mostre que para qualquer n ∈ N, n 6= 0 e n 6= 1, tem-se∫ secnxdx = 1 n− 1 · sec n−2xtgx+ n− 2 n− 1 ∫ secn−2xdx. 4. Se f ′ (x) = cosx− 1 x2 e f ( pi 2 ) = 2 pi , obter f ( pi 6 ) . Resp.: 12−pi 2pi 5. Se f ′ (x) = ( 1− 13√x )2 e f(8) = −5, obter f(27). Resp.: 2 6. Se f ′ (x) = sec2x+ 3√ x − cos2x e f (pi 4 ) = 3 √ pi, obter f(x). Resp.: f(x) = tgx+ 6 √ x− 1 2 sen2x− 1 2 7. Se f ′ (x) = cos2x− sen2x e f (pi 4 ) = 1 4 , obter f(x). Resp.: f(x) = x 2 + sen2x 4 + cos2x 2 − pi 8 8. Uma func¸a˜o f(x) e´ tal que f ′′ (x) = 2− 6x (1 + x2)2 − 2 x3 · Achar f(x), sabendo que a curva definida pelo seu gra´fico passa pelo ponto P = (1, pi) e que a reta tangente a esta curva no ponto P tem coeficiente angular igual ao da reta 2y − 9x+ 10 = 0. Resp.: f(x) = x2 + 3arctgx− 1 x + pi 4 9. Obter (a) I = ∫ pi/2 0 x2cos2xdx. Resp.: −pi 4 2 (b) I = ∫ √pi/2 0 x3cosx2dx. Resp.: pi 4 − 1 2 (c) ∫ 1 0 x2arcsenxdx. Resp.: pi 6 − 2 9 (d) I = ∫ 2 1 ln ( x x+ 1 ) dx. Resp.: ln ( 16 27 ) (e) I = ∫ 2+√2 3 dx√ 4x− x2 . Resp.: pi 12 (f) I = ∫ ln 5 0 ex √ ex − 1 ex + 3 dx. Resp.: 4− pi 2 (g) I = ∫ 3 3/2 √ (9− x2)3 x2 dx. Resp.: 9 ( 9 √ 3 8 − pi 2 ) (h) I = ∫ 8 −1 dx√ 2 + 3 √ x · Resp.: 26 5 (i) I = ∫ 2 1 √ 4−x2 x2 dx. Resp.: 3 √ 3−pi 3 (j) I = ∫ 49 4 dx√ 2+ √ x · Resp.: 52 3 10. Obter o valor de a para que se tenha∫ 4 0 (x− a)√4− xdx = 0 Resp.: 8 5 11. Obter (a) I = ∫ x 3 √ 2 + xdx. Resp.: 3 7 3 √ (2 + x)7 − 3 2 3 √ (2 + x)4 + c (b) I = ∫ dθ 3√ θ · √ 1+ 3√ θ · Resp.: 2 √ (1 + 3 √ θ)3 − 6 √ 1 + 3 √ θ + c (c) I = ∫ pi2 4 0 sen √ xdx. Resp.: 2 (d) I = ∫ b/2 0 x2 √ b2 − x2dx. Resp.: b4 16 ( pi 3 − √ 3 4 ) (e) I = ∫ dx x(4−ln2 x) · Resp.: 14 ln |2 + ln x| − ln |2− lnx|+ c (f) I = ∫ −3ex−1 ex(e2x−1)dx. Resp.: 3x− e−x − ln(ex + 1)− 2 ln |ex − 1|+ c (g) I = ∫ cotgxdx sen2x+7senx+10 · Resp.: 1 10 ln |senx| − 1 6 ln (senx+ 2) + 1 15 ln (senx+ 5) + c 3 (h) I = ∫ 4x2−12x−10 (x−2)(x2−4x+3)dx. Resp.: 18 ln |x− 2| − 9 ln |x− 1| − 5 ln |x− 3|+ c (i) I = ∫ 5x2+3x−1 x3−2x2+x−2dx. Resp.: 5 ln |x− 2|+ 3arctgx+ c (j) I = ∫ 1 0 dx x2+6x+8 · Resp.: 1 2 ln ( 6 5 ) (k) I = ∫ 11x2+9x−12 x(x+3)(x−2)dx. Resp.: 2 ln |x|+ 4 ln |x+ 3|+ 5 ln |x− 2|+ c (l) I = ∫ dx (x2−x)(x−2) · Resp.: 12 ln |x| − ln |x− 1|+ 12 ln |x− 2|+ c (m) I = ∫ cosxdx sen3x−sen2x+4senx−4 · Resp.: 1 5 ln |senx− 1| − 1 10 ln (sen2x+ 4)− 1 10 arctg ( senx 2 ) + c (n) I = ∫ 3 2 2x+1 x3−x2−x+1dx. Resp.: 1 4 ln ( 3 2 ) + 3 4 (o) I = ∫ x4+x+1 x3−x dx. Resp.: x2 2 − ln |x|+ 1 2 ln |x+ 1|+ 3 2 ln |x− 1|+ c (p) I = ∫ dx x4+x2 . Resp.: − 1 x − arctgx+ c (q) I = ∫ cosx sen3x−7sen2x+12senxdx. Resp.: 1 12 ln |senx|+ 1 4 ln |senx− 4| − 1 3 ln |senx− 3|+ c 12. Usando a substituic¸a˜o t = tgx, obter I = ∫ dx 1+tgx ·. Resp.: 1 2 ln |1 + tgx| − 1 4 ln (sec2x) + x 2 + c 13. Usando apenas a geometria elementar, obter I = ∫ a −a √ a2 − x2dx, a > 0. Resp.: pia 2 2 14. Obter I = ∫ 29 −29 x29 29+x6 dx e justifique o resultado. Resp.: 0 15. Obter a a´rea da regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas curvas y2 = 2ax e x2 = 2ay, a > 0, de x = 0 a x = 2a. Resp.: 4a 2 3 16. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = ln x, x = 1 e y = 4. Resp.: e4 − 5 17. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = x3+9, y = 1 e x = 2. Resp.: 32 18. Obter a a´rea da regia˜o compreendida pela curva xy = 16, pelo eixo x e pelas retas x = 4 e x = 8. Resp.: 16 ln 2 19. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y+x2 = 5 e y−x−3 = 0. Resp.: 9 2 4 20. Obter a menor a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2 e pela circunfereˆncia (x− 1)2 + y2 = 1. Resp.: pi 4 − 1 3 21. Obter a a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2− 3x, pelo eixo x e pelas retas x = −1 e x = 4. Resp.: 49 6 22. Obter a a´rea da regia˜o comum a`s curvas y = √ x− 1 e y = (x − 1)2. Resp.: 1 3 23. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y = 3x. Resp.: 9 2 24. Obter a a´rea da regia˜o limitada pelo eixo x e pelo gra´fico de f(x) = x3 + 1 , −1 ≤ x ≤ 0 1− x , 0 < x ≤ 1 x2 − 1 , 1 < x ≤ 2 x+ 1 , 2 < x ≤ 3 Resp.: 73 12 25. Obter a a´rea da regia˜o limitada pela elipse{ x = 3cost y = 2sent Resp.: 6pi 26. Obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da regia˜o limitada pelas curvas x2 = y− 2, 2y− x− 2 = 0, x = 0 e x = 1. Resp.: 79pi 20 27. Obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da regia˜o limitada pela elipse { x = acosθ y = bsenθ onde a > 0 e b > 0. Resp.: 4piab 2 3 28. Obter, usando integral definida, o volume de um cone de raio r e altura h. Resp.: 1 3 pir2h 29. Obter o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o em torno do eixo y da regia˜o compreendida pelas curvas y− x2 = 0 e √x− y = 0. Resp.: 3pi 10 5 30. Obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da regia˜o limitada pelas curvas y − 4x = 0 e 2x2 − y = 0. Resp.: 256pi 15 31. Sabendo que a func¸a˜o f(x) tem ma´ximo relativo no ponto (x0, 6) e que f ′ (x) = −12x+ 4, pede-se (a) obter f(x); Resp.: f(x) = −6x2 + 24x− 18 (b) obter o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em tornoda reta x = 4 da regia˜o limitada pelo gra´fico de f e pelo eixo x. Resp.: 32pi 32. Obter o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o em torno do eixo y da regia˜o limitada pelas curvas y = 5x2 e x = 2 e pelo eixo x. Resp.: 40pi 33. Obter o volume do so´lido que se obtem quando se faz a rotac¸a˜o em torno do eixo x da regia˜o limitada pelas curvas y = ex, y = √ x, x = 0 e x = 1. Resp.: pi 2 (e2 − 2) 6
Compartilhar