Apostila Geometria Eng. Cicil Dist. Dois Pontos

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Créditos:
	Professor: Ms Erno Pedro Schwerz – erno@mhnet.com.br
Geometria Analítica
.Introdução
 Histórico da Geometria Analítica
	A Geometria Analítica foi criada por volta de 1628 pelo francês René Descartes ( 1596 – 1650 ), um dos maiores matemáticos do século XVII. Nessa época, Descartes deixou a França e foi para Holanda, onde viveu 20 anos; nesse país escreveu a obra La Géométrie, por meio da qual seus contemporâneos tiveram conhecimento da Geometria Analítica, também conhecida como geometria cartesiana. 
	A Geometria de Descartes estabelece relações entre a álgebra e a geometria e métodos que auxiliam a resolução de vários problemas. Nela, uma figura geométrica pode ter suas propriedades analisadas e estudadas através de processos algébricos.
3. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
	Vamos estabelecer uma relação matemática que permitirá obter a distância entre dois pontos a partir de suas coordenadas.
	Dados dois pontos A ( X1, Y1 ) e B ( X2, Y2 ), calculemos a distância d entre eles.
10 caso: AB || 0X
 d = dA1B1 = | X2 – X1 |
 
EX: Obtenha a distância entre os pontos P (2, 4 ) e Q ( 8, 4).
20 caso: AB || 0Y
	 d = dA1B1 = | Y2 – Y1 |
EX: Obtenha a distância entre os pontos P ( -4, 3 ) e Q ( -4, -2 ).
30 caso: AB 0X e AB 0Y
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, temos
d2 = d2AC + d2BC
d2 = (X2 – X1 )2 + ( Y2 – Y1 )2 
 d = 
 
EX: Calcular a distância entre os pontos P (5, 3 ) e Q ( -4 , 3 )
EX: Provar que é isósceles o triângulo cujos vértices são os pontos A(2, -2 ); B ( -3, -1 ) 
e C ( 1, 6 ).
Exercícios:
1)Calcular a distância entre os pontos:
a) A(1, 3) e B (-2, 1)
b) K(-3, 1) e M(5, -14)
c) S(-4, -2) e R( 0, 7)
2) Sendo A (3, 1 ), B (4, 4 ) e C (-2, 2 ) vértices de um triângulo, classifique-o quanto aos seus lados e ângulos.
3) Calcule a distância do ponto P (3, -4 ) à origem do sistema cartesiano.
4) Calcule o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A( 3, 1), B (-1, 1) e C (-1, 4).
5) Prove que o triângulo cujos vértices são A (2, 2 ), B (-4, -6 ) e C (4, -2) é retângulo.
6) Determine X de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados: A(-2, 5), B (2, -1 s C (3, X ).
7) Dados P(X, 2), A (4, -2 ) e B (2, -8), calcule o numero real X de modo que o ponto P seja eqüidistante de A e B.
8) Dados A (X, 3 ), B (-1, 4 ) e C ( 5, 2), obtenha X de modo que A seja eqüidistante de B e C.
9) Considere, no plano cartesiano o paralelogramo de vértices ( 1, 1 ), ( 3, 3 ), ( 6, 1 ) e ( 8, 3 ). A maior diagonal desse paralelogramo mede?
13) Classifique cada triângulo como: isósceles, eqüilátero ou escaleno.
a) A ( 3, 1 ), B ( 1, 6 ) e C ( 2, 3 )
b) A ( 2, 3 ), B ( -1, 2 ) e C ( -2, 3 )
c) A ( 1, 8 ), B ( 3, 4 ) e C ( 0, 6 )
d ) A ( -2, 0 ), B ( 2, 0 ) e C ( 0, 2
)
10) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A (1, 1 ), B ( 5, -2 ) e C ( 5, 4 ).
11) Se um triângulo tem lados a, b e c, sendo a o maior lado, sabemos que:
O 
 é retângulo → a2 = b2 + c2
O 
 é acutângulo → a2 < b2 + c2
O 
 é obtusângulo → a2 > b2 + c2
Classifique quanto aos ângulos o triângulo ABC nos casos:
A (2, 2 ), B ( -4, -6 ) e C ( 4, -12)
A ( 4, 3 ), B ( 6, 6 ) e C ( -1, 1)
12) Calcule a área de um círculo, sabendo que as extremidades de um diâmetro são A (-1, -5 e B ( 1, 9 ).
13) Determine X para que o triângulo ABC seja retângulo em B:
a) A ( 7, 8 ), B ( 4, 4 ) e C ( X, 7 )
b) A ( 2, 3 ), B ( -1, X) e C ( -2, 3 )
4. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Dados dois pontos, A (XA, YA ) e B ( XB , YB ), vamos determinar o ponto médio M do segmento 
.
 Y
 YB B 
 
 YM M
 YA A
 X
 0 XA XM XB
Uma vez que 
 = 
, projetando A, M e B sobre o eixo dos x, temos:
XM – XA = XB – XM, e
Sobre o eixo y, temos:
YM - YA = YB - YM
Dessas igualdades, resulta:
2XM = XA + XB
2YM = YA + YB
Portanto: X M= 
 e YM = 
EX1: Determinar as coordenadas do ponto M, se A = ( 1, 1 ) e B = ( 5, 7 )
EX2: Uma das extremidades de um segmento é o ponto A ( 13, 19 ). Sendo M ( -9, 30) o ponto médio do segmento. Calcular as coordenadas do ponto B, que é outra extremidade do segmento.
EX3: Obtenha os pontos que dividem o segmento 
 em três partes iguais. Dados A = ( 1, -2 ) e B = ( -5, 4 )
EX4: Os vértices de um triângulo são os pontos A ( 0, 4 ), B ( 2, -6 ) e C ( -4, 2). Calcular os comprimentos das medianas do triângulo.
Exercícios:
1)Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento 
 quando:
a) A ( 1, 7 ), B ( 11, 3 )
b) A ( -2, 5 ) e B ( -4, -1 )
c) A ( 3, -1 ) e B ( -2, 1 )
d) A ( ½, 1 ) e B ( 5/2, -4 )
2) Uma das extremidades de um segmento 
 é o ponto A ( 3, 2 ). Sendo M ( -1, 3 ) o ponto desse segmento, determine as coordenadas da outra extremidade do segmento.
3) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são M ( -2, 1 ), N ( 5, 2 ) e P ( 2, -3 ).
4) Num paralelogramo ABCD, dois vértices consecutivos são os pontos A ( 2, 3 ) e 
B ( 6, 4 ). Seja M ( 1, -2 ) o ponto de encontro das diagonais AC e BD do paralelogramo. Sabendo que as diagonais no paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vértices C e D desse paralelogramo.
5) Obtenha os pontos médios dos lados do triângulo ABC, sendo A ( 0, 12 ), B (10, 6 ) e C ( 8, 2 ).
6) Num paralelogramo ABCD tem-se A (-1, 5), B ( 1, 7 ) e C ( 5, -1 ). Determine D.
7) Calcule a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC. Dados A ( 0, 1 ), B ( 2, 9 ) e C ( 6, -1).
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
	Consideremos os pontos A(XA , YA), B(XB, YB) e C(XC, YC​​) alinhados numa reta não paralela ao eixo y e distintos dois a dois.
�
Nos triângulos ABE e ACD temos:
tgA= 
 = (XC – XA).(YB – YA) – (XB – XA).(YC – YA) = 0
 = (XCYB – XCYA – XAYB + XAYA ) – ( XBYC – XBYA - XAYC + XAYA) = 0
 = XCYB – XCYA – XAYB + XAYA – XBYC + XBYA + XAYC - XAYA = 0
 = – XAYB + XAYC + XBYA - XBYC - XCYA + XCYB = 0
 = XAYB - XAYC - XBYA + XBYC + XCYA - XCYB = 0
 = XAYB + XBYC + XCYA - XAYC - XBYA - XCYB = 0
Observe que o primeiro membro da igualdade acima é o desenvolvimento do determinante quando aplicamos a regra de Sarrus.
D = 
Assim, se três pontos A(XA, YA), B(XB, YB) e C (XC, YC) estão alinhados ou são colineares, então:
D = 
 = 0
Reciprocamente, demonstra-se que, quando D = 0, os três pontos A, B e C estão alinhados ou são colineares.
EX1: Verifique se os pontos estão alinhados nos seguintes casos:
A(2, 3), B(4, 6) e C (-4, -6)
P(4, 3), Q(1, 1) e M(-1, 1)
EX2: Sabendo-se que P(a, b), A(-1,-2) e B(2, 1) são colineares simultaneamente com P(a, b), C (-2, 1) e D(1, -4), calcular a e b.
EX3: Determinar o valor de a, para que os pontos A(2, 1), B(a + 1, 2) e C (-3, -1) sejam os vértices de um triângulo.
Exercícios
Obtenha o ponto de intersecção da reta AB com eixo das ordenadas, sabendo que A(-3, 10) e B(2, -5).
Encontrar m, sendo M(m, m), N(0, 1) e P(1, 3) colineares.
Verificar se os pontos A(-1, 1), B(3,7) e C(4, 9) são colineares.
Os pontos P(0, 1), Q(-2, 7) e R(6, -17 estão alinhados?
Determine x de modo que os pontos P(x, 3), Q(2, -2) e R(-1, 5) sejam colineares.
Para que valores de k os pontos (0,-1), (3, 5) e (1, k) pertencem a uma mesma reta?
Determinar a intersecção da reta AB com o eixo das abscissas, sabendo que A(1, 5) e B(-3, -7)
Os pontos A(x, 3), B(-2, -5) e C(-1, -3) são colineares. Qual o valor de x?
Determine x de modo que os pontos A(1, 3), B(x, 1) e C (3, 5) sejam os vértices de um triângulo.
Os pontos A(0, 1), B(1, 0) e C(p, q) estão alinhados. Determine o valor de p em função de q.
Determine t, sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(-1, 6) são colineares.
 Determine m 
 R para que os pontos A(3, 1), B(m, m) e C(1, m + 1) sejam vértices de um triângulo.
Determine a intersecção dos eixos 0x e 0y com a reta que passa por A(2, -1) e B(-1, 2).
Dados os pontos A(1, 4), B(5, 2) e C(4, 7), sabemos que: M é ponto médio de AB, o ponto N divide AC na razão 2 e M, N e P são pontos alinhados, sendo P um ponto do eixo 0x.
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
	Toda reta do plano cartesiano tem uma equação da forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são números conhecidos, sendo a ≠ 0 ou b ≠ 0, a e b não são ambos nulos.
10 a = 0
	Nesse caso, temos by + c = 0 by = -c y = - 
�
20 b = 0
	Nesse caso, temos: ax + c = 0 ax = - c x = - 
�
Na equação da reta podemos ter c = 0. Quando isto ocorre, a reta passa pelo ponto 0 ( 0, 0).
EX1: Seja a reta determinada pelos pontos A(-1, 4) e B(5, -2). Determinar a equação geral dessa reta.
Obtenha a equação geral da reta que passa pelos pontos (1, 4 ) e B(3, 2).
Os pontos A(1, 2), B(3, 1) e c(2, 4 ) são vértices de um triângulo. Determine as equações das retas suportes dos lados desse triângulo.
Dados A(4, 0), B(7/2, -2) e C(-1, 5), ache a equação geral da reta que pasa por A e pelo ponto médio do segmento BC.
Verificar se A(2, 2), B(4, 1) e C(7, -1) pertencem à reta r de equação x + 2y – 6 = 0
Desenhe o gráfico no plano cartesiano de cada equação:
2x + 5y – 10 = 0
4x – 3y = 0
2x – 8 = 0
3y + 6 = 0
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA
	Determinamos uma equação da reta r, que intercepta os eixos coordenados nos pontos P(p, 0) e Q(0, q) , pq ≠ 0:
�
Dizemos que esta é a equação segmentária da reta r. Os denominadores são a abscissa e a ordenada dos pontos onde r intercepta os eixos x e y, respectivamente.
Exemplos:
�
Determine as equações segmentarias e geral da reta r em cada caso:
�
Determine os pontos de intersecção e equação geral com os eixos coordenados nos casos:
a) r: 3x – y + 6 = 0 b) r: 2x – 5y – 8 = 0
POSIÇÃO RELATIVAS DE DUAS RETAS
	Duas retas do plano cartesiano, distintas só podem ser paralelas ou concorrentes.
�
Retas paralelas distintas Retas concorrentes
 r // s r X s
 r 
 s = 
 r 
 s = { P }
Caso as retas ( r ) a1x + b1y + c1 = 0 e ( s ) a2x + b2y + c2 = 0 sejam concorrentes, o ponto de intersecção deve satisfazer ambas as equações. Assim, podemos determiná-lo resolvendo o sistema.
 a1x + b1y + c1 = 0
 a2x + b2y + c2 = 0 
DISCUSSÃO DO S
Calculando o determinante dos coeficientes das duas equações de S,
D = 
 dois casos podem ocorrer:
10 D ≠ 0 
	Neste caso, S é um sistema determinado ( possui uma única solução ). Isto significa que as retas possuem um único ponto de intersecção. Logo, são retas concorrentes.
20 D = 0
	Neste caso, S é um sistema indeterminado ( tem infinitas soluções) ou um sistema impossível ( não tem solução). Isto significa que as retas tem infinitos pontos comuns ( são coincidentes ) ou nenhum ponto comuns ( são paralelos distintas ). 
	As retas são coincidentes se as equações forem equivalentes ( uma é igual a outra multiplicada por um número k); caso contrário, são paralelas distintas.
D ≠ 0 
 r X s
D = 0 r = s ou r // s
EX1: Obter o ponto de intersecção de ( r ) 3x + 2y – 3 = 0 e ( s ) 5x + 4y – 9 = 0
EX2: Determinar a posição relativa das retas r e s nos casos:
a) ( r ) 4x + 5y – 6 = 0 b) ( r ) 2x + 3y – 1 = 0 c) ( r ) 6x + 9y + 1 = 0 
 ( s ) 5x + 4y – 3 ( s ) 8x + 12y – 4 = 0 ( s ) 4x + 6y – 1 = 0
Calcular as coordenadas do ponto de intersecção das retas:
2x + 5y – 18 = 0 e 6x – 7y – 10 = 0
Determine o ponto de intersecção de r e s nos casos:
a) ( r ) x + y + 7 = 0 b) ( r ) 2x + 3y = 5
 ( s ) 2x – y + 2 = 0 ( s ) x + y/3 = 7
Verifique se as retas r e s são coincidentes, concorrentes ou paralelas distintas em cada caso:
a) ( r ) 3x – y – 2 = 0 b ) ( r ) 2x + 3y + 5 = 0 c) ( r ) x + 4y – 4 = 0
 ( s ) 6x – 2y – 4 = 0 ( s ) 4x + 6y + 15 = 0 ( s ) 2x + 6y – 11 = 0
d) ( r ) 4x + 8y + 9 = 0 e) ( r ) 2x + 7 = 0 f) ( r ) x/5 + y/2 = 1
 ( s ) 3x + 6y + 7 = 0 ( s ) 5x – y = 0 ( s ) 3y + 2 = 0
Ache a equação da reta r que passa por A( 1, 1 ) e B(3, -1), a equação da reta s que passa por C(4, 2 ) e D(3, 1) e depois ache o ponto de intersecção de r e s.
POSIÇÃO RELATIVA DE TRÊS RETAS
	Três retas do plano cartesiano, distintas, podem ocupar as seguintes posições relativas:
�
Concorrentes duas a duas Paralelas
Em pontos distintos
�
Concorrentes duas a duas Duas paralelas, concorrentes
no mesmo ponto. com outra.
Caso as retas ( r ) a1x + b1y + c1 = 0, ( s ) a2x + b2y + c2 = 0 e
( t ) a3x + b3y + c3 = 0 sejam concorrentes no mesmo ponto P, então P deve satisfazer as três equações do sistema.
EX: Verificar se as retas ( r ) 2x + 3y = 8, (s) 4x + 7y = 18 e (t) 5x – y = 3 passam por um mesmo ponto.
EX: Para que valores de K as retas ® x + y = 2k, ( s ) x – y = -k e (t) kx + 2y = 8 passam por um mesmo ponto?
EX:Obter os vértices do triângulo formado pelas retas (r)x – 2y = 0, (s) 2x – y – 4=0 e ( t ) x + y – 8 = 0.
Verificar se ( r ) 3x – 2y = 8, ( s ) x + 2y = 8 e ( t ) 5x – 6y = 8 passam por um mesmo ponto.
Obtenha os vértices do triângulo formado pelas retas 2x + y = 3; x – y + 3 = 0 e y – 5 = 0.
Calcule o valor de k para quais as retas x + 2y – 2k = 0, kx – y – 3 = 0 e 2x – 2y – k = 0 são concorrentes num mesmo ponto.
COEFICIENTE ANGULAR
Tangente de um ângulo
	Sabemos, da trigonometria, que tg
 = 
, se cos
 
 0.
Se 
 é a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, temos:
Tg 
 = 
�
Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação 
, ou seja: m = tg 
�
Se 
 = 0o → tg
 = 0o → m = 0 Se 0o < 
 < 90o → tg
 > 0 → m > 0
�
Se 90o < 
 < 180o Se 
 = 90o → tg
 não é definida:
Tg 
 < 0 → m < 0 m não é definido. Nesse caso, a reta
 R se diz vertical.
Cálculo do coeficiente angular
	Dada uma reta r: ax + by + c = 0, não vertical, vamos calcular o su coeficiente angular.
	Inicialmente vamos supor que A(x1, y1) e B(x2, y2) são dois pontos distintos que estão em r.
�
�
EX1: O coeficiente angular da reta que passa por A ( 2, 3 ) e B (4, 9) é:
EX2: O coeficiente angular da reta que passa por ( -1, 4) e (3, -2) é:
Coeficiente angular da reta de equação ax + by + c = 0
	A 
 r 
 ax1 + by1 + c = 0
 	B 
 r 
 ax2 + by2 + c = 0
					Temos: ax2 + by2 + c - ax1- by1 - c = 0
						a(x2 – x​1) + b(y2 – y1) = 0
						b(y2 – y1) = -a(x2 – x1)
				m = 
 logo: m = - 
Ex: O coeficiente angular da reta ( r ) 3x + 6y + 11 = 0, é:
Ex. O coeficiente angular da reta ( r ) 8x – 2y – 1 = 0 é:
Exercícios
Calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
A(1, 2) e B(3, 10)
G(-1, -2) e H(-3, -4)
E(6, 2) e F(-1, 2)
M(1/2, 3/2) e N(-1/2, 1)
Calcular o coeficiente angular de cada reta.
2x + 4y + 7 = 0
3x – 9y – 1 = 0
X – y + 2 = 0
X/2 + Y/3 = 0
X/2 – y = 7
2y = 3 – x
-4x – 3y = 0
3/4x – 2/3y = 0
Equação reduzida da reta
	Dada a reta (r) ax + by + c = 0, com b 
 0, sabemos que seu coeficiente angular é m = - 
.
	Além disso, se r intercepta o eixo y no ponto Q ( 0, q ) temos:
a (0) + b (q) + c = 0
 b(q) + c = 0
q = - 
 
Notemos agora que: ax + by + c = 0
 	 by = -ax - c 
 y = 
 , logo: Y = mx + q
EX: Escreva na forma reduzida a equação que passa pelo ponto A(1, 5) e tem coeficiente angular m = 2.
EX: Obter a equação reduzida da reta ( r ) 2x + 2y – 5 = 0
PARALELISMO
�
As retas r e s são paralelas se, e somente se, possuem inclinações iguais relativamente ao eixo x r // s 
�� EMBED Equation.DSMT4 r = 
s.
	Duas retas são paralelas se, e somente se, possuem coeficientes angulares iguais ou ambas não possuem coeficiente angular.
	r // s 
 mr = ms 
EX: Sendo ( r ) 3x + 2y – 1 = 0 e ( s ) x/2 + y/3 = 1 , temos
EX: Sendo ( r ) 2x – 4y = 3 e ( s ) 4x + 8y – 7 = 0, temos
EX: Sendo ( r ) 3x + 2 = 0 e ( s ) 7x – 1 = 0, temos
Exercícios: Verificar se são paralelas ou concorrentes as retas dadas em cada caso:
a) ( r ) 3x – y + 5 = 0 e ( s ) 9x – 3y + 2 = 0
b) ( r ) 2x + 6y – 1 = 0 e ( s ) x + 3y + 3 = 0
c) ( r ) x/4 + y/6 = 1 e ( s ) x/2 + y/3 = 1
PERPENDICULARIDADE
	Consideremos duas retas concorrentes, r e s, e estudemos os casos em que elas são perpendiculares ( r 
 s ), isto é, formam ângulo de 90o:
1o caso: a reta r é paralela ao eixo x.
�
Exemplo:
Isto ocorre quando Y1 = Y2, isto é, quando a reta é paralela ao eixo X.
Isto ocorre quando X1 = X2, isto é, quando a reta é paralela ao eixo Y.
Tg � EMBED Equation.DSMT4 ���= 
m=tg� EMBED Equation.DSMT4 ���=� EMBED Equation.DSMT4 ���
m = tg� EMBED Equation.DSMT4 ���= - tg(180o - � EMBED Equation.DSMT4 ���) =
= � EMBED Equation.DSMT4 ��� → m = � EMBED Equation.DSMT4 ���
Neste caso, mr = 0 e temos:
S � EMBED Equation.DSMT4 ��� r � EMBED Equation.DSMT4 ��� s // eixo y � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� ms.
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